1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 6 题型分类
一、空间向量研究距离问题
1．点 P 到直线 l 的距离:
→
已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点，设向量A P在直线 l 上的投影向量
→
为A Q＝a，则点 P 到直线 l 的距离为 a
2－ a·u 2 (如图)．
2．点 P 到平面 α 的距离:
→
|AP·n|
设平面 α 的法向量为 n，A 是平面 α 内的定点，P 是平面 α 外一点，则点 P 到平面 α 的距离为 (如图)．
|n|
3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.
4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.
5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．
二、空间向量研究夹角问题
1．两个平面的夹角：
平面 α 与平面 β 的夹角：平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面
角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
2．空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
设两异面直线 l1，l2所成的角为 θ，
其方向向量分别为 u，v， π
线线角 (0，|u·v| 2 ]
则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
|u||v|
设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ，直线 AB 的
方向向量为 u，平面 α的法向量为 n，则 sinθ＝|cos π
线面角 [0，|u·n| 2 ]
〈u，n〉|＝
|u||n|
设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，
平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2， π
面面角 [0，|n ]1·n2| 2
则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1||n2|
（一）
点到直线的距离
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
题型 1：利用空间向量求点到直线的距离
1-1．（2024 高二上·北京大兴·期中）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，O为正方形 ADD1A1的
中心，若 P 为平面OD1B内的一个动点，则 P 到直线 A1B1 的距离的最小值为（ ）
A 2
1
． B C 6 3． ． D．
2 2 4 3
1-2．（2024 高二上·河南新乡·期末）已知空间三点 A 2,1,0 , B 2,1,-1 ,C 1,0,1 ，则点C 到直线 AB 的距离
为 ．
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 B 到直线 AC1的距离
为（ ）
A 6 B 6 C 6 D 2 6． ． ． ．
3 6 5 3
1-4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是
a，且 AB ^ AD ， A1AB = A1AD = 60°，E 为CC1的中点，则点 E 到直线 AC1的距离为（ ）
A 5． a B 5． a C 5． a D 5． a
10 5 4 3
（二）
点到平面的距离与直线到平面的距离
1、用向量法求点面距的步骤：
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
→
(3)求向量：求出相关向量的坐标(A P，α 内两不共线向量，平面 α 的法向量 n)．
→
|A P·n|(4)求距离 d＝ .
|n|
2、求点到平面的距离的主要方法：
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3)向量法:d=| · || | (n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点 A 的斜线段).
题型 2：利用空间向量求点到平面的距离
2-1．（2024 高二上·陕西西安·期末）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC, BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90°，
O 为BD中点，如图（1）．把△ABD 沿BD翻折，使得平面 ABD ^平面BCD，如图（2）．
(1)求证：OA ^ CD；
(2)若 M 为线段BC 的中点，求点 M 到平面 ACD的距离．
2-2．（2024 高三下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C 中，CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，
BC = AC = CC1 = 4，D 为 AB1的中点，CB1 交BC1于点 E．
(1)证明：CB1 ^ C1D ；
(2)求点 E 到平面B1C1D 的距离．
2-3．（2024 高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PD ^底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，
uuur uuur
AB = 2AD = 4, PD 4 5= , E 是PA的中点，FB = 2PF ，则点C 到平面DEF 的距离为（ ）
5
A 3 10 B 2 10 C 10 D 10． ． ． ．
5 5 5 10
2-4．（2024 高二下·云南楚雄·期中）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，E 是线段BC1上靠近点 B 的一个三
等分点，D是 AC1的中点．
(1)证明： A1D / / 平面 AB1E ；
(2)若 AA1 = AB = 6 ，求点 A1到平面 AB1E 的距离．
（三）
两条异面直线所成的角
1、求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
→ →
(2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A，B 和 C，D，则A B与C D可分别为 a，b 的方向向量，则 cosθ
→ →
|AB·CD|
＝ .
→ →
|AB||CD|
注：用空间向量求两条直线 1， 2夹角 的步骤与方法：
(1)化为向量问题：转化为求两直线l1，l2的方向向量u,v的夹角；
(2)进行向量运算：计算cos , = | | | |的值；
(3)回到图形问题：两条直线 1, 2夹角 的余弦值cos = |cos , |.
题型 3：利用空间向量求异面直线的夹角
3-1．（2024 高二下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, AB =1, BC = CC1 = 2 ，建
uuur uuur
立适当的空间直角坐标系，并求 A1B 与B1C 的夹角余弦值.
3-2．（2024 高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 = 1, A1AB = A1AD = BAD = 60°．
(1)证明： AC1 ^ BD ；
(2)求 AC1的长；
(3)求直线BD1与 AC 所成角的余弦值．
3-3．（2024 高一下·浙江宁波·期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为棱CD的中点， N 为直线BB1上的
异于点 B 的动点，则异面直线 A1B 与MN 所成的角的最小值为q ，则 sinq = （ ）
A 10 B 10 C 3 10 D 2 10． ． ． ．
10 5 10 5
3-4．（2024 高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知PA ^平面 ABCD，且四边形
π
ABCD为直角梯形， ABC = BAD = ，PA = AD = 3 ， AB = BC =1 .点Q是线段BP上的动点，当直线CQ2
与DP所成的角最小时，则线段BQ的长为
（四）
直线与平面所成的角
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量 u；
(3)求平面的法向量 n；
|u·n|
(4)设线面角为 θ，则 sinθ＝ .
|u||n|
题型 4：利用空间向量求直线与平面所成的角
4-1．（江苏省苏锡常镇四市 2023 届高三下学期 3 月教学情况调研（一）数学试题）在三棱柱 ABC - A1B1C1
π
中，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，侧面 A1B1BA为菱形， ABB1 = ， A1B ^ AC ， AB = AC = 2，E 是 AC 的中3
点.
(1)求证： A1B ^ 平面 AB1C ；
(2)点 P 在线段 A E
π EP
1 上（异于点 A1，E ）， AP 与平面 A1BE 所成角为 ，求 EA 的值.4 1
4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱锥P - ABCD 的底面为平行四边形， AD = 2，DC = 4 ， BAD = 60o，
PD ^平面 ABCD，直线 PD 与平面 PAC 所成角为30o ，则PD = （ ）
A B 4 7 C 6 7． 2 2 ． ． D． 7
5 7
4-3．（2024 高二下·甘肃金昌·期中）如图，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AD ^ AB，
AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，则 BF 与平面BDE 所成角的余弦值为 .
4-4．（2024 高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ^平面 ABCD，
M 为 PC 中点．
(1)求证：PA//平面 MBD；
(2)若 AB = AD = PA = 2 ，求直线 BM 与平面 AMD 所成角的正弦值．
4-5．（2024 高二下·四川成都·期中）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 4， AA1 = 3，B1C
交BC1于点 E.
(1)证明：直线D1E // 平面 A1BD ；
(2)求 AD 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
4-6．（2024·陕西商洛·二模）在四棱锥P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD，底面 ABCD是边长为1的正方形，
AP = 2 ，则直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为（ ）
2 5 2A． B 2 3． C． D．
5 5 3 3
4-7．（2024 高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆O1 的直径为 AB ，圆台的上底面圆O2 的直径为
PQ，C 是弧 AB 上一点，且PA = AC = PC = BC = 2，PB = 2 2 .
(1)求证：PQ ^ AC ；
(2)若点M 是线段O1 Q 上一动点，求直线 AP 与平面BCM 所成角的取值范围.
（五）
两个平面的夹角
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可
转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
π
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量 n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉 ∈ [0， 时2 ] )
或 π－〈n1，n2〉
注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向
量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角
是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
题型 5：利用空间向量求二面角
5-1．（山东省滨州市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC ^底面
ABCD，四边形 ABCD是直角梯形， AD ^ DC ， AB / /DC ，PC = AB = 2AD = 2CD = 2，点 E 在棱 PB 上．
(1)证明：平面EAC ^平面 PBC；
uuur uuur
(2)当BE = 2EP时，求二面角P - AC - E 的余弦值．
5-2．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形 ABCD为菱形， ED ^ 平面 ABCD，FB P ED，
BD = 2ED = 2 2FB .
(1)证明：平面EAC ^平面FAC ；
(2)若 BAD = 60°，求二面角F - AE - C 的大小.
5-3．（2024 高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB，
AB P DC ，PA ^底面 ABCD，点 E 为棱 PC 的中点， AD = DC = AP = 2AB = 2．
(1)证明：BE / /平面 PAD；
PF
(2)在棱 PC 上是否存在点 F，使得二面角F - AD - C 10的余弦值为 ，若存在，求出 的值，若不存在，
10 PC
请说明理由．
5-4．（2024 高三下·河南·阶段练习）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD为平行四边形，平面
D1BC ^平面D1BD .
(1)求证：BC ^ BD；
(2)若 AA1 = 2BD = 2BC = 4，探索在棱 AA1上是否存在一点E ，使得二面角E - BD - D1的大小为30o？若存在，
AE
求出 AA 的值；若不存在，请说明理由.1
5-5．（2024 高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥 S - ABCD中，四边形 ABCD为正方形， AB = 2 ，DS =1，
平面 ASD ^ 平面 ABCD， SD ^ AD，点E 为DC 上的动点，平面BSE与平面 ASD 所成的二面角为q (q 为锐
角 ) ， 则当q 取最小值时，DE = ．
题型 6：利用空间向量求两个平面的夹角
6-1．（2024 高二上·湖南郴州·期末）如图 2，在YABCD 中， AB = 2 ，BC = 3 ， ABC = 30°．将△DAC 沿
AC 翻折，使点 D 到达点 P 位置（如图 3），且平面PAC ^平面PBC ．
(1)求证：平面PAC ^平面 ABC ；
uuur uuur
(2)设 Q 是线段 PB上一点，满足PQ = mPB ，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB的夹
2
角的余弦值为 ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
4
6-2．（2024 高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 ACC1A1 为正方形，
CAB = 90°， AC = AB = 2，M，N 分别为 AB 和BB1的中点，D为棱 AC 上的点.
(1)证明： A1M ^ DN ；
(2) 5是否存在点 D，使得平面C1DN 与平面 ABB1A1夹角的余弦值为 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，
3
求线段 AD 的长.
6-3．（2024 高二下·福建福州·期中）如图，圆O是VABC 的外接圆，CE ^平面 ABC ， AB 是圆O的直径，
uuur uuur
CAB = 30°，CE = 2BD，且CE = AB = 2 .
(1)求证：平面 ACE ^ 平面BCED ；
(2)若ME = 2DM ，求平面 ACM 与平面 ACE 夹角的余弦值.
6-4．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，BD ^ PC ，四边形 ABCD是菱形，
ABC = 60°， AB = PA = 1，PB = 2 ，E 是棱PD上的中点.
(1)求三棱锥C - BDE 的体积；
(2)求平面PAB与平面 ACE 夹角的余弦值.
6-5．（2024 高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形 ABCD中，AD =1，AB = 2 ，点M 是边CD的中点，
将△ADM 沿 AM 翻折到△PAM ，连接 PB，PC ，得到图②的四棱锥P - ABCM ．
(1)求四棱锥P - ABCM 的体积的最大值；
π ù
(2)设P - AM - D 的大小为q ，若q 0, ú ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．è 2
6-6．（2024 高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
uuur uuur
ADC 2π= ，PD = DC = 2BC = 4，点 E 是线段 AD 的中点，点 F 在线段 AP 上且满足
3 AF = l AP
，PD ^
面 ABCD.
(1)当l
1
= 时，证明：PC //平面 BFE ；
3
(2)当l 为何值时，平面 BFE 与平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小？
一、单选题
uuuuv uuuuv
1．（2024 高二下·四川成都·期中）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB = BC =1, AA1 = 3 ，则 AD1 与DB1 夹角
的余弦值为（ ）
A 5
1
B 2 5 C D 5． ． ． ．-
5 5 5 5
2．（2024 高二上·贵州铜仁·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 2 ，AA1 = 4，点E ，F 分别是 B1C1
和BB1的中点，M 是线段D1F 的中点，则直线 AM 和CE所成角的余弦值为（ ）
A 3 B 11 C 17 187． ． ． D．
6 17 6 17
3．（2024 高二上·广东惠州·阶段练习）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，分别取棱 AA1， A1D1的中
点 E，F，点 G 为 EF 上一个动点，则点 G 到平面 ACD1的距离为（ ）
A 3． B 3． 3 C．1 D．
2 3
4．（2024 高二上·河北邯郸·期末）在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB ^底面 ABCD，
AB = 5 ，BD = PB = 2，则△PCD的重心到平面 PAD 的距离为（ ）
2 1 4 5
A． B． C． D．
9 3 9 18
5．（2024 高二下·福建福州·期中）如图在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1, AB = 3 ，E，F，G 分
别是 AB, BC,CC1棱的中点，P 是底面 ABCD内一个动点，若直线D1P / / 平面EFG 平行，则线段BP的最小
值为（ ）
A 3
1
． B．1 C 3． D．
4 2 2
ur r
6．（2024 高二下·江苏南京·期中）已知两平面的法向量分别为m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，则两平面所成的二面
角的正弦值为（ ）
1
A 6． B 3． C D 2 2． ．
3 3 3 3
r
6.3.4 空间距离的计算（1））已知平面 α 的一个法向量 n = (-2,-2,1)，点 A(-1,3,0) 在 α 内，则P(-2,1,4) 到 α
的距离为（ ）
A．10 B．3
8 10
C． D．
3 3
8．（2024 高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥 SO 中， AB 是底面圆O的直径， SO = AB = 4， AC = BC ，
D为 SO 的中点， N 为 AD 的中点，则点 N 到平面 SBC的距离为（ ）
4 5
A． B． C．1 D． 2
3 3
9．（2024 高二下·江西景德镇·期中）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，
M 为线段 EF 上的一动点，则直线 A1D与B1M 所成角的余弦值的取值范围是（ ）
é1 , 3 10
ù é 3 , 3 10
ù é 2 3 10 ù é3 3 10 ù
A． ê ú B． ê ú C． , D． ,
2 10
ê
2 10 2 10
ú ê ú
5 10
10．（2024 高二下·浙江·阶段练习）如图，已知四棱台的底面 ABCD是直角梯形， BAD = 90o ， AD//BC ，
AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1，DD1 ^平面 ABCD，E 是侧棱BB1所在直线上的动点，AE 与CA1所成角的
余弦值的最大值为（ ）
A 2 6 B 7 2． ． C 3 10 D 2 5． ．
5 10 10 5
11．（2024 高二下·全国·单元测试）三棱锥O - ABC 中，OA,OB,OC 两两垂直且相等，点P,Q 分别是线段BC
1 1
和OA上移动，且满足BP BC ， AQ AO ，则 PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是（ ）
2 2
A [ 3 , 2 5 ] B [ 3 2． ． , ]
3 5 3 2
é 6 2 ù
C．[ 6 , 2 5 ] D． ê ,6 2 ú6 5
12．（2024 高二下·河南周口·阶段练习）在正四棱锥P - ABCD 中，PA = AB = 2，M 为棱 PC 的中点，则异
面直线 AC，BM 所成角的余弦值为（ ）
A 2． B 3． C 6 6． D．
2 3 5 6
13．（2024 高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方
形， D1D = 3，M，N 分别是 B1C1 ，AB 的中点，设点 P 是线段 DN 上的动点，则 MP 的最小值为（ ）
A 30． B 2 30 C 30． ． D 3 30．
4 5 2 5
14．（2024 高二下·浙江·期中）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB = 2, AA1 = 3，点 D 为棱 BC 的中点，点 E 为
uuur uuur
AC π线段 1 （不与C 点重合）上的点，且满足 A1E = mEC(m > 0)，当二面角E - AD - C 的平面角为 时，实数4
m 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 高二上·浙江金华·期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于 1970 年正式通车，在和襄阳城长达 53
年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架 上下水平纵向联结系 桥门架和中间横撑
架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中 AB=BH，那么直
线 AH 与直线 IG 所成角的余弦值为（ ）
3 3 1 1A．- B． C．- D．
2 2 2 2
16．（2024 高二下·浙江·学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥P - ABC 中，点D是棱PC 上的动点（不含
端点），设CD = x ，二面角 A - BD - C 的大小为q .当 x 增大时，（ ）
A．q 增大 B．q 先增大后减小
C．q 减小 D．q 先减小后增大
17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱锥P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各条棱长均为 1，则直线PA与直
线BC 所成角的余弦值为（ ）
1
A B 2 2 6． ． C． D．
3 3 6 3
18．（2024 高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
PA = AB = BC 1= AD = 1，BC / / AD ，已知 Q 是棱PD上靠近点 P 的四等分点，则CQ与平面PAB所成角的
2
正弦值为（ ）．
1
A 5． B 2 5 C 2 29． ． D．
5 5 29 6
19．（2024 高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， P 为体对角线B1D上一点，且
DP = 2PB1 ，则异面直线 AD1 和CP所成角的余弦值为（ ）
A．0
3 4
B C 3． ． D．
5 5 2
二、多选题
20．（江苏省淮安市淮海中学 2023-2024 学年高二上学期收心考试数学试题）如图，在棱长为 1 的正方体
ABCD - A1B1C1D1中（ ）
A． AC 与BD1的夹角为60° B．二面角D - AC - D1的平面角的正切值为 2
C． AB1与平面 ACD
3
1所成角的正切值 2 D．点D到平面 ACD1的距离为
3
21．（2024 高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别为 AD，
AB， B1C1 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥C - EFG 的体积为 1 B． A1C ^平面 EFG
C． A1D1 // 平面 EFG D
3
．平面 EGF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为
6
r
22．（2024 高二下·江西宜春·开学考试）点M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s = 1, -1,1 的直线 l
的距离为 6 ，则点M 的坐标是（ ）
A． 0,0, -3 B． 0,0,3
C． 0,0, 3 D． 0,0, - 3
23．（2024 高二上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三棱锥 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面BCD，VABC 与△BCD
均为等腰直角三角形，且 BAC = BCD = 90°，BC = 2，P 是线段 AB 上的动点（不包括端点），若线段CD
上存在点Q，使得异面直线 PQ与 AC 成30o 的角，则线段PA的长度可能为（ ）
A 3． B 2 6 3． C． D．
3 2 3 2
24．（2024 高二上·河南·期中）在三棱锥 A - BCD中，平面 ABD ^平面 BCD，BD ^ CD，BD = CD = 2，△ABD
为等边三角形，E 是棱 AC 的中点，F 是棱 AD 上一点，若异面直线 DE 与 BF 14所成角的余弦值为 ，则
28
AF 的值可能为（ ）
2 4 5
A． B．1 C． D．
3 3 3
25．（2024 高二下·江苏淮安·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具
有视觉效果的正方体图案，如图 1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图 2 的组合，这个组合再转换成图 3 所
示的空间几何体.若图 3 中每个正方体的棱长为 1，则下列结论正确的是（ ）
A．点C1到直线CQ
6
的距离是
3
uuur uuur uuur uuur
B．CQ = -2AB- AD+2AA1
1
C．平面ECG 与平面BC1D的夹角余弦值为 3
D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为 17
26．（海南省海口市龙华区海南华侨中学 2023 届高三一模数学试题）如图，在棱长为 1 的正方体
ABCD - A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得C1Q//A1C
B．存在点Q，使得C1Q ^ A1C
é 2 6 ù
C．对于任意点Q，Q到 A1C 的距离的取值范围为 ê ,
2 3
ú
D．对于任意点Q，△A1CQ都是钝角三角形
三、填空题
27．（2024 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB = AD = 2 ，DD1 = 4 ，则 A1B1
与平面 A1C1D 所成的角的正弦值为 ．
28．（2024 高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F，G 分别为 DD1，
BD，BB1的中点，则C1E 与 FG 所成的角的余弦值为 .
29．（2024·浙江绍兴·一模）如图，在棱长为 4 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 是棱 A1A上的动点，N 是棱BC
的中点.当平面D1MN 与底面 ABCD所成的锐二面角最小时， A1M = .
30．（2024 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E 为线段 A1B1 的中点，
F 为线段 AB 的中点，则直线 FC 到平面 AEC1的距离为 ．
31．（2024 高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，BC = 1，E
F H 分别是 AB CD A1B1 的中点，则直线 EC 到平面 AFH 的距离为 .
32．（2024 高二上·山东枣庄·期末）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，O为平面 A1ABB1的中心，E
为BC 的中点，则点O到直线 A1E 的距离为 .
33．（2024 高一·全国·课后作业）正方体 ABCD - A1B1C1D1中，二面角 A - CC1 - B1的大小为 .
34．（2024 高三·全国·课后作业）已知PA ^平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，PA = AD 为定长，当 AB 的
长度变化时，异面直线PC 与 AD 所成角的取值范围是 ．
35．（2024 高一下·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面
围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截
去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN 与平面 ABCD所成
角的正弦值为 .
四、解答题
36．（2024 高二上·天津·期中）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，
AB = 2 ， BAD = 60o .
(1)求证：BD ^平面PAC ；
(2)若PA = AB，求 PB与 AC 所成角的余弦值.
37．（2024 高二下·广东广州·阶段练习）如图，四棱锥 P - ABCD 中，CD ^平面 PAD ， AB / /CD ， AB =1，
CD = 2，M 为棱PC 上一点.
(1)若 M 为PC 的中点，证明：BM / /平面PAD ；
(2)若PA = PD = AD = 2，且PA / / 平面BMD，求直线PC 与平面BMD所成角的正弦值.
38．（2024 高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，点E 为BB1的中点．
(1)求点D到平面 AD1E的距离为 d ；
(2)求BC1到平面 AD1E的距离．
39．（2024 高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，点D为 A1B 的中点，
AA1 = 3AB = 2 3 ．
(1)证明：BC∥平面 AC1D；
(2)求直线BC 到平面 AC1D的距离．
40．（2024 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在三棱锥 P - ABC 中， PA ^底面 ABC， BAC = 90o ，点 D、
E 分别为棱 PA，PC 的中点，M 是线段 AD 的中点，N 是线段 BC 的中点，PA = AC = 4， AB = 2 .
(1)求证：MN // 平面 BDE；
(2)求直线 MN 到平面 BDE 的距离.
41．（2024 高二下·全国·课后作业）如图，矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝
∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
(1)求证：BE∥平面 DCF；
(2)求点 B 到平面 DCF 的距离．
42．（2024 高二上·浙江杭州·期中）如图，C 是以 AB 为直径的圆 O 上异于 A，B 的点，平面PAC ^平面
PE PF
ABC ，VPAC 为正三角形，E，F 分别是棱PC, PB 上的点，且满足 = = l(0 < l < 1)．
PC PB
(1)求证：BC ^ AE ；
(2) 21是否存在l ，使得直线 AP 与平面 AEF 所成角的正弦值为 ？若存在，求出l 的值；若不存在，请说
14
明理由．
43．（2024·新疆·模拟预测）如图所示，四棱锥 P - ABCD 中， PA ^菱形 ABCD所在的平面， ABC = 60°，
点E F 分别是BC PC 的中点，M 是线段PD上的点.
（1）求证：平面 AEM ^平面PAD ；
2 AB = AP M EM ABF 21
PM
（ ）当 时，是否存在点 ，使直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出
7 PD
的值，若不存在，请说明理由.
44．（2024 高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，
AB⊥AD，PA⊥平面 ABCD，AD＝5，BC＝2AB＝4，M 为 PC 的中点．
(1)求证：平面 PAC⊥平面 PCD；
(2)若 AM⊥PC，求直线 PB 与面 PCD 所成角的正弦值．
45．（2024 高二下·江苏常州·期中）如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABP 所在的平面互相垂直，且
AB / /CD ， AB ^ BC ， AP ^ PB ， AB = 2 ，BC = CD =1．
(1)求证： AB ^ PD ；
(2)求直线 PC 与平面 ABP 所成角的余弦值；
AE
(3)线段 PA 上是否存在点 E，使得PC / /平面 EBD？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
AP
46．（2024 高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥P - ABC 中，已知PA ^平面 ABC ，平面PAB ^平
面PBC ．
(1)证明：BC ^平面PAB；
(2)若PA = AB = 6，BC = 3，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D，使得二面角B - AD - C 的余弦值为
10
，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
5
47．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形 ACC1A1与四边形 BCC1B1是全等的矩形，
AB 2AC 2= = AA1 ．2
(1)若 P 是 AA1的中点，求证:平面 PB1C1⊥平面 PB1C;
(2)若 P 是棱 AA1上的点，直线 BP 与平面 ACC
3 13
1A1所成角的正切值为 ，求二面角 B1﹣PC﹣C1的余弦值．
13
2π
48．（2024·福建福州·二模）如图 1，在VABC 中， AB = AC = 2, BAC = , E 为BC 的中点，F 为 AB 上一
3
点，且EF ^ AB .将△BEF 沿EF 翻折到VB EF 的位置，如图 2.
(1)当 AB = 2 时，证明：平面B AE ^平面 ABC ；
π
(2)已知二面角B - EF - A的大小为 ，棱 AC 上是否存在点M ，使得直线B E与平面B MF 所成角的正弦值4
10
为 ？若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.
10
49．（2024·江苏·二模）如图，在三棱台 ABC - A1B1C1中，BA ^ BC ，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，二面角B1 - BC - A
的大小为 45°， AB = 2 ，BC = A1B1 = AA1 =1 .
(1)求证： AA1 ^ 平面 ABC；
(2)求异面直线BA1与B1C 所成角的余弦值.
50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 AA1B1B为正方形， AB = BC ，E，F 分
别为 AC 和CC1的中点，D 为棱 A1B1 上的动点. BF ^ A1B1 .
(1)证明：BF ^ DE；
(2)求平面BB1C1C 与平面 DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点 D 的位置.
51．（2024·河南郑州·模拟预测）在底面 ABCD 为梯形的多面体中. AB∥CD ，BC⊥CD， AB = 2CD = 2 2 ，
∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形 BDEN 为矩形．
(1)求证：BD⊥AE；
(2)线段 EN 上是否存在点 Q，使得直线 BE 与平面 QAD 所成的角为 60°？若不存在，请说明理由．若存在，
确定点 Q 的位置并加以证明．
52．（2024 高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥 SO，S 为顶点，O是底面的圆心， AE 为底面直径，
AE = AS ，圆锥高 SO=6，点 P 在高 SO 上，VABC 是圆锥 SO 底面的内接正三角形.
(1)若 PO= 6 ，判断PA和平面PBC 是否垂直，并证明；
(2)点 P 在高 SO 上的动点，当PE和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥 P-ABC 的体积.
53．（2024 高二下·江苏盐城·期中）如图，在RtVAOB 中， AOB π= ，AO = 4，BO = 22 ，RtVAOC 可以通过
RtVAOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且二面角B - AO - C 是直二面角．动点D在线段 AB 上．
(1)当D为 AB 的中点时，求异面直线 AO 与CD所成角的余弦值；
(2)求CD与平面 AOB所成角的正弦值的最大值．
54．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ^平面 ABCD，PA = PD，底面 ABCD
是边长为 2 的正方形，点E 在棱PC 上，CE = 2PE .
(1)证明：平面BDE ^ 平面 ABCD；
(2)当直线 DE 与平面PBD 所成角最大时，求四棱锥P - ABCD 的体积.
55．（2024 高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥Q - ABCD中，底面 ABCD是矩形，若 AD = QD = QA = 2，
CD =1，QC = 5 ．
(1)证明：平面QAD ^平面 ABCD；
(2)若 E，F 分别是QC，QD的中点，动点 P 在线段 EF 上移动，设q 为直线 BP 与平面 ABCD 所成角，求sinq
的取值范围．1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 6 题型分类
一、空间向量研究距离问题
1．点 P 到直线 l 的距离:
→
已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点，设向量A P在直线 l 上的投影向量
→
为A Q＝a，则点 P 到直线 l 的距离为 a
2－ a·u 2 (如图)．
2．点 P 到平面 α 的距离:
→
|AP·n|
设平面 α 的法向量为 n，A 是平面 α 内的定点，P 是平面 α 外一点，则点 P 到平面 α 的距离为 (如图)．
|n|
3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.
4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.
5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．
二、空间向量研究夹角问题
1．两个平面的夹角：
平面 α 与平面 β 的夹角：平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面
角称为平面 α 与平面 β 的夹角．
2．空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
设两异面直线 l1，l2所成的角为 θ，
其方向向量分别为 u，v， π
线线角 (0，|u·v| 2 ]
则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
|u||v|
设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ，直线 AB 的
方向向量为 u，平面 α的法向量为 n，则 sinθ＝|cos π
线面角 [0，|u·n| 2 ]
〈u，n〉|＝
|u||n|
设平面 α 与平面 β 的夹角为 θ，
平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2， π
面面角 [0，|n ]1·n2| 2
则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1||n2|
（一）
点到直线的距离
1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：
(1)求直线的方向向量．
(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．
2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
题型 1：利用空间向量求点到直线的距离
1-1．（2024 高二上·北京大兴·期中）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 1，O为正方形 ADD1A1的
中心，若 P 为平面OD1B内的一个动点，则 P 到直线 A1B1 的距离的最小值为（ ）
2 1A． B． C 6． D 3．
2 2 4 3
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解.
【详解】
uuur uuur uuuur
如图，以 DA, DC, DD 为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，则有
B(1,1,0), D1(0,0,1), A1(1,0,1), B1(1,1,1)，因为O为正方形 ADD1A1的中心，得O(
1 ,0, 1)
2 2 ，
uuuur uuur 1 1 uuuur uuur
A1B1 = (0,1,0) , OB = ( ,1, - ) ，D1B = (1,1, -1)， BB2 2 1
= (0,0,1)
uuur
r ì OB nr× = 0 ì1 x + y 1- z = 0
设平面OBD1的法向量为n = (x, y,z)
，利用 íuuuur
r ，则 í2 2 ，
D1B × n = 0 x + y - z = 0
r uuuur r
取 x =1，解得 n = (1,0,1)，有 A1B1 ×n = 0，且 A1B1 平面OD1B，则直线 A1B1 //平面OD1B，
uuur
设直线 A1B1 的到平面OD1B距离为 d ，取直线上一点B1，与平面OD1B上一点 B ，则 BB1 = (0,0,1)，
uuur r
BB1 ×n 2
利用空间中点面距离公式有： d = r = .
n 2
故选：A
1-2．（2024 高二上·河南新乡·期末）已知空间三点 A 2,1,0 , B 2,1,-1 ,C 1,0,1 ，则点C 到直线 AB 的距离
为 ．
【答案】 2
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
uuur uuur
【详解】易知 AC = -1,-1,1 , AB = 0,0,-1 ，
uuur uuur uuur uuur
cos AC, AB uAuCur ×uA
uuur uuur
则 = u
Bur 3= 6， ，
AC AB 3
sin AC, AB =
3
uuur uuur uuur
故点C 到直线 AB 的距离为 AC ×sin AC, AB = 3 6 = 2 ．
3
故答案为： 2 .
1-3．（2024 高二·全国·课后作业）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，点 B 到直线 AC1的距离
为（ ）
A 6 B 6 C 6． ． ． D 2 6．
3 6 5 3
【答案】A
uuuuv uuuuv uuuuv r uuur
【分析】以D1为坐标原点，以 D1A1, D1C1, D1D 为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取 a = AB，
uuuuv
uv= uAuCuuv1
AC ，
v v v
利用向量法，根据公式 d = a2 - (a ×u)2 即可求出答案.
1
uuuuv uuuuv uuuuv
【详解】以D1为坐标原点，以 D1A1, D1C1, D1D 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D1 - xyz ，
则 A(1,0,1), B(1,1,1),C1(0,1,0)，
uuuv uuuur
\ AB = (0,1,0)， AC1 = (-1,1,-1)．
uuuuv
r uuur v AC 3 3 3 r r r
取 a = AB = (0,1,0) u= uuuuv1 = - , ,- 2 3，
AC 1 è 3 3 3
÷÷，则 a =1， a × u = ，
3
r 2 r r 1 6
则点 B 到直线 AC1的距离为 a - (a × u)2 = 1- = ． 3 3
故选：A．
1-4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是
a，且 AB ^ AD ， A1AB = A1AD = 60°，E 为CC1的中点，则点 E 到直线 AC1的距离为（ ）
A 5． a B 5． a C 5． a D 5． a
10 5 4 3
【答案】A
【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.
uuur r uuur
【详解】Q在平行六面体 ABCD - A1B C D
uuur ur r
1 1 1中，不妨设 AB = d ， AD = b ， AA1 = c ．
uuuur uuur uuur uuur ur r r uuuurC E 1
r
AC1 = AB + AD + AA1 = d + b + c , 1 =- c，2
ur r r ur r ur
d = b = c = a d b 0,d cr
r
b r 1 1 ， × = × = × c = a a = a22 2 ，
uuuur ur r ur2 r2 r uuuur2 ur r ur r r r 1
所以 AC1 = d + b + c
r = d + b + c + 2d ×b + 2d × c + 2c ×b = 5a， C1E = a，2
uuuur uuuur
C E AC 1
r ur r
1 × 1 = - c × d + b
r 1
+ c =-
2 2
r ur r r r
c × d + c ×b + c r×c = -a2，
uuuur uuuur uuuuur
2
2
E AC
2
d C E C E uAuCuur1 ÷ 1
-a2 5
所以 到直线 1的距离为 = 1 - × = a
2
1 - ÷ = a， AC ÷ 4 10è 1 è 5a
故选：A
（二）
点到平面的距离与直线到平面的距离
1、用向量法求点面距的步骤：
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
→
(3)求向量：求出相关向量的坐标(A P，α 内两不共线向量，平面 α 的法向量 n)．
→
|A P·n|(4)求距离 d＝ .
|n|
2、求点到平面的距离的主要方法：
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.
(2)在三棱锥中用等体积法求解.
(3) :d=| · |向量法 | | (n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点 A 的斜线段).
题型 2：利用空间向量求点到平面的距离
2-1．（2024 高二上·陕西西安·期末）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC, BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90°，
O 为BD中点，如图（1）．把△ABD 沿BD翻折，使得平面 ABD ^平面BCD，如图（2）．
(1)求证：OA ^ CD；
(2)若 M 为线段BC 的中点，求点 M 到平面 ACD的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 ．
2
【分析】（1）先根据面面垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质定理证明线线垂直；
（2）建系，利用空间向量求点到面的距离.
【详解】（1）在△ABD 中， AB = AD ，且 O 为BD中点，则OA ^ BD，
平面 ABD ^平面BCD，平面 ABD 平面BCD = BD,OA 平面 ABD，
所以OA ^ 平面BCD，
且CD 平面BCD，
所以OA ^ CD .
（2）在直角梯形 ABCD中，BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90° ，
所以BD = CD = 2, BC = 2 2 ，则BD2 + CD2 = BC 2，
∴ CD ^ BD ，
又∵O、M 分别为BD、BC 的中点
∴ OM∥CD ，∴ OM ^ BD
以 O 为原点，以OB、OM、OA所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，
则O(0,0,0), A(0,0,1), D(-1,0,0), M (0,1,0),C(-1,2,0)，
uuuur uuur uuur
可得MC = (-1,1,0), DC = (0,2,0), DA = (1,0,1) ，
r
平面 ACD的一个法向量为 n = (x, y, z)，
r uuur
ìn × DC = 2y = 0 r
由 í r uuur ，令 x =1，则 y = 0, z = -1，可得n = (1,0,-1)，
n × DA = x + z = 0
uuuur r
M ACD d | MC × n | 1 2则点 到平面 的距离 = r = = ．| n | 2 2
2-2．（2024 高三下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C 中，CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，
BC = AC = CC1 = 4，D 为 AB1的中点，CB1 交BC1于点 E．
(1)证明：CB1 ^ C1D ；
(2)求点 E 到平面B1C1D 的距离．
【答案】(1)见解析
(2) 2
【分析】（1）利用空间直角坐标系，利用向量垂直即可求证线线垂直，
（2）利用空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）由于CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，所以 A1C1, B1C1,CC1两两垂直，故建立如图所示的空间直角
坐标系，
则C 0,0,4 ,C1 0,0,0 , B1 0,4,0 , A1 4,0,0 , A 4,0,4 , B 0,4,4 , D 2,2, 2 ,
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
CB1 = 0,4,-4 ,C1D= 2,2,2 ，所以CB1 ×C1D=0 + 8 -8 = 0,\CB1 ^ C1D,故CB1 ^ C1D
（2）由题意可知E 是CB1 ，BC1的中点，所以E 0,2,2 ,
ur
设平面B1C1D 的法向量为m = x, y, z ，则
uuuur uuuur uuuur
C1B1 = 0,4,0 ,C1D= 2,2,2 , C1E= 0,2,2
uuuur
ìC1B1 × m
r
= 4y = 0, ur
故 íuuuur r ，取 x =1 ，则m = 1,0, -1
C1D ×m = 2x + 2y + 2z = 0
ur uuuur
m ×C1E 2
所以点 E 到平面B1C1D 的距离为 d = ur = = 2m 2
2-3．（2024 高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PD ^底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，
4 5 uuur uuurAB = 2AD = 4, PD = , E 是PA的中点，FB = 2PF ，则点C 到平面DEF 的距离为（ ）
5
A 3 10 2 10 10 10． B． C． D．
5 5 5 10
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】如图，以D为坐标原点，DA, DC, DP 的方向分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利
用空间向量求解即可.
uuur uuur uuur
【详解】如图，以D为坐标原点，DA, DC, DP 的方向分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ,C 0,4,0 , A 2,0,0 , B 2,4,0 , P 4 5 0,0, ，
è 5
÷÷
uuur uuur
因为E 是PA的中点，FB = 2PF ，
2 5 2
所以E 1,0, ÷÷ , F ,
4 , 8 5 ，
è 5 è 3 3 15
÷÷
uuur uuur uuur
所以DE = 1,0,
2 5 2 4 8 5
5 ÷÷
，DF = , , ÷ , DC = 0,4,0 ．
è è 3 3 15
r
设 n = x, y, z 是平面DEF 的法向量，
ì r uuur 2 5
n × DE = x + z = 0 5 r
则 í uuur ，令 z = 5 ，得
n = -2,-1, 5 ．
r 2 4 8 5
n × DF = x + y + z = 0 3 3 15
uuur r
DC × n 2 10
故点C 到平面DEF 的距离为 r = ．
n 5
故选：B
2-4．（2024 高二下·云南楚雄·期中）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，E 是线段BC1上靠近点 B 的一个三
等分点，D是 AC1的中点．
(1)证明： A1D / / 平面 AB1E ；
(2)若 AA1 = AB = 6 ，求点 A1到平面 AB1E 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6 5
5
【分析】（1）取线段C1E 的中点G ，连接 A1G, DG, A1B ，记 A1B AB1 = F ，连接EF ，证明 DG//AE ，
EF //A1G ，从而可证得平面 A1DG / / 平面 AB1E ，再根据面面平行的性质即可得证；
uuur uuur
（2）取棱BC 的中点O，以O为原点，分别以OB，AO 的方向为 x ， y 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
利用向量法求解即可.
【详解】（1）取线段C1E 的中点G ，连接 A1G, DG, A1B ，记 A1B AB1 = F ，连接EF ，
因为D，G 分别是 AC1，EC1的中点，所以 DG//AE ，
因为 AE 平面 AB1E ，DG / 平面 AB1E ，所以DG / / 平面 AB1E ，
由题意可知四边形 ABB1A1是矩形，则F 是 A1B 的中点，
因为E 是BG 的中点，所以EF //A1G ，
因为EF 平面 AB1E ， A1G / 平面 AB1E ，所以 A1G / / 平面 AB1E ，
因为DG, A1G 平面 A1DG ，且DG A1G = G，所以平面 A1DG / / 平面 AB1E ，
因为 A1D 平面 A1DG ，所以 A1D / / 平面 AB1E ；
uuur uuur
（2）取棱BC 的中点O，以O为原点，分别以OB， AO 的方向为 x ， y 轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系，
因为 AA1 = AB = 6 ，所以 A1(0, -3 3,6)， A(0, -3 3,0)，B1(3,0,6) ，E(1,0, 2) ，
uuur uuur uuur
则 A1A = (0,0,-6)， AB1 = (3,3 3,6)，B1E = (-2,0, -4)，
r
设平面 AB1E 的法向量为n = (x, y,z)，
ìnr
uuur
× AB1 = 3x + 3 3y + 6z = 0 r
则 í r uuur ，令 x = 2，则 y = 0, z = -1，所以 n = (2,0, -1)，
n × B1E = -2x - 4z = 0
uuur
A A r×n
故点 A1到平面 AB1E
1 6 6 5
的距离 d = r = = ．n 5 5
（三）
两条异面直线所成的角
1、求异面直线夹角的方法
(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．
→ →
(2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A，B 和 C，D，则A B与C D可分别为 a，b 的方向向量，则 cosθ
→ →
|AB·CD|
＝ .
→ →
|AB||CD|
注：用空间向量求两条直线 1， 2夹角 的步骤与方法：
(1)化为向量问题：转化为求两直线l1，l2的方向向量u,v的夹角；
(2)进行向量运算：计算cos , = | | | |的值；
(3)回到图形问题：两条直线 1, 2夹角 的余弦值cos = |cos , |.
题型 3：利用空间向量求异面直线的夹角
3-1．（2024 高二下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, AB =1, BC = CC1 = 2 ，建
uuur uuur
立适当的空间直角坐标系，并求 A1B 与B1C 的夹角余弦值.
10
【答案】建系见解析，
5
【分析】根据题设条件建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得.
【详解】
因为BC, BA, BB1两两垂直，以 B 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示.
依题意 A1 0,1,2 , B 0,0,0 , B1 0,0,2 ,C 2,0,0 ，
uuur uuur
则 A1B = 0, -1, -2 , B1C = 2,0, -2 ，
uuur uuur
uuur uuur A1B × B1C
则 cosA1B, B1C = uuur uuur
4 10
= = ，
A B B 51 1C 5 ×2 2
uuur uuur
即 A1B B C
10
与 1 的夹角余弦值为 .5
3-2．（2024 高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 = 1, A1AB = A1AD = BAD = 60°．
(1)证明： AC1 ^ BD ；
(2)求 AC1的长；
(3)求直线BD1与 AC 所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
(3) 6
6
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）以 AB ， AD ， AA1 为基底表示出 AC1 ，BD，再利用向量的数量积即可证明；
uuur uuur uuur uuur
（2）以 AB ， AD ， AA1 为基底表示出 AC1 ，再利用向量的模即可求解；
（3）利用向量的数量积即可求解.
uuur uuur uuur
【详解】（1）如图所示：以 AB ， AD ， AA1 为基底，
uuur uuur uuur
则由题意得： AB = AD = AA1 =1，
又Q A1AB = A1AD = BAD = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\ AB × AD = AB × AA = AD × AA =1 1 cos 60o 11 1 = ，2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC1 = AB + AD + AA1 ，BD = AD - AB，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur\ AC1 × BD = AB + AD + AA1 × AD - AB
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
= AB × AD - AB + AD - AD × AB + AA1 × AD - AA1 × AD
1
= -1 1 1 1 1+ - + -
2 2 2 2
= 0，
uuuur uuur
即 AC1 ^ BD
故 AC1 ^ BD ；
uuuur uuur uuur uuur
（2）由(1)知 AC1 = AB + AD + AA1 ，
uuuur uuur uuur uuur 2即 AC1 = AB + AD + AA1
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD + AA1 + 2AB × AD + 2AB × AA1 + 2AD × AA1
= 1+1 1 1 1 1+ + + +
2 2 2
= 6 ，
故 AC1的长为 6 ；
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
（3）BD1 = BC + CC1 + C1D1 = AD + AA1 - AB ，
uuur uuur uuur
AC = AB + AD ，
uuuur uuur uuur uuur 2BD1 = AD + AA1 - AB
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AD + AA1 + AB + 2AD × AA1 - 2AA1 × AB - 2AD × AB
1 1 1 2 1 1 1= + + + - 2 - 2
2 2 2
= 2 ；
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2AC = AB 1+ AD = AB + 2AB × AD + AD = 1+ 2 +1 = 3 ；2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BD1 × AC = AD + AA1 - AB × AB + AD
uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur
= AD × AB + AD + AA1 × AB + AA1 × AD - AB - AB × AD
1 1 1 1 1= + + + -1-
2 2 2 2
=1；
uuuur uuur uuuur uuur
即 cos BD1, AC u
BuuDur1 × AuuCur 1 6= = =
BD1 × AC 2 3 6 ，
由题意可知直线BD1与 AC 所成角为锐角，
故直线BD1与 AC
6
所成角的余弦值为 .
6
3-3．（2024 高一下·浙江宁波·期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1中，M 为棱CD的中点， N 为直线BB1上的
异于点 B 的动点，则异面直线 A1B 与MN 所成的角的最小值为q ，则 sinq = （ ）
A 10 B 10 C 3 10 D 2 10． ． ． ．
10 5 10 5
【答案】B
【分析】以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.
【详解】以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体边长为 2，可得 A1 0,0,2 , B 2,0,0 , M 1,2,0 ,设 N 2,0, m , m 0
uuur uuuur
所以 A1B = 2,0, -2 ，MN = 1,-2, m ,
设异面直线MN 与 A1B 所成的角为a ，
uuuur uuur
uuuur uuur MN × A1B 2 - 2m
则 cosa = cosMN , A1B = uuuur uuur =
MN × A1B 8 m2 + 5
1 2 + m
= - .
2 m2 + 5
y 1 2 + m 1 t设 t = 2 + m 2， = - 2 = - ，2 m + 5 2 t 2 - 4t + 9
当 t = 0, y 1 2= , cosq = ；
2 2
y 1 2 + m 1 t 1 1t 0, = - 2 = - 2 = -当 2 m + 5 2 t - 4t + 9 2 t 9+ - 4 ，
t
t 9 4 2 t 9 4 10 y 1 1 3因为 + - 或 + - - ，所以
t t max
= + = ，
2 10 5
cosa 3 10的最大值为 ，则此时 sinq =
5 5
故选：B
3-4．（2024 高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知PA ^平面 ABCD，且四边形
π
ABCD为直角梯形， ABC = BAD = ，PA = AD = 3 ， AB = BC =1 .点Q是线段BP上的动点，当直线CQ2
与DP所成的角最小时，则线段BQ的长为
3
【答案】
2
uuur uuur
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用向量的夹角公式求出 | cosáCQ, DP |的最大值，从而
确定 Q 点在BP上的位置，即可求得答案.
π
【详解】因为PA ^平面 ABCD年 ABC = BAD = ，所以 AB, AD, AP两两垂直,
2
uuur uuur uuur
以{AB, AD, AP}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标分别为B(1,0,0),C(1,1,0), D(0, 3,0), P(0,0, 3) ,
uuur uuur uuur
因为BP = (-1,0, 3) ,设BQ = lBP = (-l,0, 3l), 0 l 1 ，
uuur uuur uuur uuur
又CB = (0, -1,0)，则CQ = CB + BQ = (-l,-1, 3l) ，
uuur uuur uuur
uuur uuur
又DP = (0, - 3, 3) ，从 cos CQ, DP u
CuuQr × DuuPur 1+ 3lá = = ,
| CQ || DP | 8l 2 + 2
设1+ 3l = t, t [1,1+ 3] ，
uuur uuur 2
cos2 áCQ, DP 3t 3 7 = =
则 8t 2 -16t +14 14 16- + 8 8
,
t 2 t
7 3 uuur uuur 14
当且仅当 t = ，即l= 时， | cosáCQ, DP |的最大值为 ,4 4 4
即直线CQ与DP 14所成角的余弦值的最大值为 ，
4
π
而直线CQ与DP所成角的范围为[0, ]，
2
因为 y = cosx在[0,
π]上是减函数，故此时直线CQ与DP所成角最小，
2
又因为BP = 1+ 3 3 3= 2，所以BQ = BP = ，
4 2
3
故答案为：
2
uuur uuur
【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，利用向量的坐标求得CQ, DP的夹角的余弦的最大值，即可确定 Q
点的位置，进而求得答案，因此在解决类似问题时，可以尝试建立空间坐标系，利用向量解决问题，可以
简化题目的难度.
（四）
直线与平面所成的角
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量 u；
(3)求平面的法向量 n；
|u·n|
(4)设线面角为 θ，则 sinθ＝ .
|u||n|
题型 4：利用空间向量求直线与平面所成的角
4-1．（江苏省苏锡常镇四市 2023 届高三下学期 3 月教学情况调研（一）数学试题）在三棱柱 ABC - A1B1C1
π
中，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，侧面 A1B1BA为菱形， ABB1 = ， A1B ^ AC ， AB = AC = 2，E 是 AC 的中3
点.
(1)求证： A1B ^ 平面 AB1C ；
π EP
(2)点 P 在线段 A1E 上（异于点 A1，E ）， AP 与平面 A1BE 所成角为 ，求 EA 的值.4 1
【答案】(1)证明见解析
EP 2
(2) =EA1 5
【分析】(1)根据线面垂直的判定定理证明；
(2)利用空间向量的坐标运算表示线面夹角即可求解.
【详解】（1）因为四边形 A1B1BA为菱形，所以 A1B ^ AB1，
又因为 A1B ^ AC ， AB1， AC 平面 AB1C ， AB1 I AC = A，
所以 A1B ^ 平面 AB1C .
π
（2）取 AB 的中点 O，连接B1O，四边形 A1B1BA为菱形，且 ABB1 = ，3
所以B1O ^ AB .
因为平面 A1B1BA ^平面 ABC ，平面 A1B1BA 平面 ABC = AB，
B1O 平面 A1B1BA，
所以B1O ^平面 ABC ，所以B1O ^ AC ，又因为 A1B ^ AC ，B1O与 A1B 相交，
所以 AC ^平面 A1B1BA .取BC 中点 D，连结OD ，
以 O 为原点，OB ，OD ，OB1为空间基底建立直角坐标系.
则B 1,0,0 ， A -1,0,0 ， A1 -2,0, 3 ，E -1,1,0 ，
uuur uuur
所以 BA1 = -3,0, 3 ，BE = -2,1,0 .
设平面 A1BE 的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ì n
r
× BA1 = -3x + 3z = 0
所以 í r uuur ，令 x =1，则 z = 3 ， y = 2 ，
n × BE = -2x + y = 0
r
所以 n = 1,2, 3 .
uuur uuur uuur
设 EP = lEA1 ，可得点 P -1- l,1- l, 3l ， AP = -l,1- l, 3l .
uuur r
π uuur r AP × n -l + 2 - 2l + 3l
由题意 sin = cos AP,n = uuuur r =4 AP n l 2 + 1- l 2 + 3l 2 8
l= 2
EP 2
解得 或l = 0（舍），即 = .
5 EA1 5
4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱锥P - ABCD 的底面为平行四边形，AD = 2，DC = 4 ， BAD = 60o，PD ^
平面 ABCD，直线 PD 与平面 PAC 所成角为30o ，则PD = （ ）
A B 4 7 C 6 7． 2 2 ． ． D． 7
5 7
【答案】C
【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合 PD 与平面 PAC 的线面角，可求出 PD.
【详解】 AD = 2，DC = AB = 4， BAD = 60o，
由余弦定理得DB2 = DA2 + AB2 - 2DA × AB cos BAD = 4 +16 -8 =12，即 AB = 2 3 ，
则有DB2 + DA2 = AB2，所以DB ^ DA，
uuur uuur uuur
又PD ^平面 ABCD，以 D 为原点，DA, DB, DP 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角
坐标系，
设PD = a ，由 AD = 2， AB = 2 3 ，
得D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，B 0,2 3,0 ，C -2,2 3,0 ，P 0,0, a ，
uuur uuur uuur
PA = 2,0, -a ， AC = (-4,2 3,0) ，PD = (0,0,-a) ，
uuur
r ìn
r
× PA = 2x - az = 0
设平面 PAC 的法向量为 n = (x, y, z)， 则 í r uuur ，
n × AC = -4x + 2 3y = 0
z 6 nr令 y = 2 3 ，则 x = 3， = =
，所以 3,2 3,
6
÷ ，a è a
r uuur r
uuur
cos n, PD | n × PD | 6 1= = =
直线 PD 与平面 PAC 所成角为30o ，所以 r
uuur
n × PD 9 12 36
2 ，
+ +
a2
×a
36 1
= 6 7 6 7则有 2 ，解得 a = ， 则 .21a + 36 4 PD =7 7
故选：C.
4-3．（2024 高二下·甘肃金昌·期中）如图，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AD ^ AB，
AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，则 BF 与平面BDE 所成角的余弦值为 .
2
【答案】
3
uuur
【分析】以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出BF 的坐标以及平面BDE 的法向量，
根据向量法，即可得出答案.
【详解】
uuur uuur uuur
依题意，以A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ，AE为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
由已知可得 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，D 0,1,0 ，C 1, 2,0 ，E 0,0,2 ，F 1,2,1 ，
uuur uuur uuur
则BD = -1,1,0 ， BE = -1,0,2 ，BF = 0,2,1 .
ur
设m = x, y, z 是平面BDE 的法向量，
uuur r
ìBD × m = 0 ì-x + y = 0
则 íuuur r ，即 í ，
BE × m = 0 -x + 2z = 0
令 x = 2，则 y = 2 ， z =1，
ur
所以m = 2,2,1 是平面BDE 的一个法向量.
π
设 BF 与平面BDE 所成的角为q ，0 q .
2
uuur ur uuur ur
因为 BF = 5 ， m = 3，BF × m = 5，
uuur ur uuur urBF ×
则 cos BF , m = uuur u
mr 5 5= =
BF m 5 3 3 ，
uuur ur
所以 sinq = cos BF , m 5= .
3
因为0
π
q ，
2
cosq 1 sin2 q 2所以 = - = ，
3
2
所以 BF 与平面BDE 所成角的余弦值为 .
3
2
故答案为： .
3
4-4．（2024 高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA ^平面 ABCD，M
为 PC 中点．
(1)求证：PA//平面 MBD；
(2)若 AB = AD = PA = 2 ，求直线 BM 与平面 AMD 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 6
3
【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；
uuuur
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得BM 和平面 AMD 的法向量，由向量夹角
的计算公式，可得答案.
【详解】（1）连接 AC 交 BD 于点 O，连接 OM，
由四边形 ABCD 为矩形，
可知 O 为 AC 中点，M 为 PC 中点，
所以OM //PA，
又OM 平面MBD，PA 平面MBD，
所以PA//平面 MBD.
（2）以A 为原点， AB, AD, AP所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 , M 1,1,1 , D 0,2,0 ，
uuuur uuuur uuur
所以BM = -1,1,1 , AM = 1,1,1 , AD = 0,2,0 ，
r
设平面 AMD 的法向量为n = (x, y,z)，
uuuur
ì n
r
× AM = x + y + z = 0
则 í r uuur ，
n × AD = y = 0
r
令 x =1，则 n = 1,0, -1 ，
设直线 BM 与平面 AMD 所成角为q ，则
uuuur r uuuur r
sinq = cosáBM , n BM = uuuur × nr 2 6= = ，
BM × n 3 2 3
所以直线 BM 与平面 AMD 6所成角的正弦值为 ．
3
4-5．（2024 高二下·四川成都·期中）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 4， AA1 = 3，B1C
交BC1于点 E.
(1)证明：直线D1E // 平面 A1BD ；
(2)求 AD 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 61
61
【分析】（1）利用长方体的结构特征，证明平面CD1B1 // 平面 A1BD ，可得直线D1E // 平面 A1BD ；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 A1BD 的法向量，利用向量法求 AD 与平面 A1BD 所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：如图，连接 B1D1，D1C ，
长方体中，BC //A1D1 且 BC = A1D1，四边形 BCD1A1 为平行四边形，
则有BA1 //CD1，又BA1 平面 A1BD ，CD1 平面 A1BD ，
\CD1 //平面 A1BD ，
同理可证BD//B1D1， B1D1 // 平面 A1BD ，
又CD1 I B1D1 = D1 ，CD1, B1D1 平面CD1B1，\平面CD1B1 // 平面 A1BD ，
又D1E 平面CD1B1，\直线D1E // 平面 A1BD ；
（2）以 A 为原点， AB, AD, AA1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建系如图：
得 A(0,0,0) ，D(0,4,0) ， A1(0,0,3) ，B(2,0,0)
uuur uuuur uuur
DB = (2, -4,0)，DA1 = (0, -4,3)， AD = (0, 4,0)，
r
设平面 A1BD 的一个法向量为n = (x, y,z)，
r uuur
ìn × DB = 2x - 4y = 0
由 í r uuuur ，令 x = 6，得 y = 3, z = 4，
n × DA1 = -4y + 3z = 0
r
可得平面 A1BD 的一个法向量为 n = (6,3,4)，
设 AD 与平面 A1BD 所成角大小为q ，
uuur r uuur r
则 sinq = cos AD, n u
A
= uuDr × nr 12 3 61= = ，
| AD || n | 4 61 61
\ AD A BD 3 61与平面 1 所成角的正弦值为 .
61
4-6．（2024·陕西商洛·二模）在四棱锥P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD，底面 ABCD是边长为1的正方形，
AP = 2 ，则直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为（ ）
2
A 2 5 B C 2 D 3． ． ． ．
5 5 3 3
【答案】B
【分析】以 AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角.
【详解】如图所示，
以 AB ， AD ， AP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
则B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，D 0,1,0 ，P 0,0,2 ，
uuur uuur uuur
所以PD = 0,1, -2 ，DC = 1,0,0 ，PB = 1,0, -2 ，
r
设平面 PCD的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ì PD × n
r
= y - 2z = 0 r
则 íuuur r ，令 z =1，则 n = 0,2,1 ，
DC × n = x = 0
uuur uuur r
设直线 PB与平面 PCD所成的角为q ，所以 sinq cos PB,n
r
uPuuBr ×n -2 2= = r = = ，PB × n 5 × 5 5
故选：B.
4-7．（2024 高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆O1 的直径为 AB ，圆台的上底面圆O2 的直径为
PQ，C 是弧 AB 上一点，且PA = AC = PC = BC = 2，PB = 2 2 .
(1)求证：PQ ^ AC ；
(2)若点M 是线段O1 Q 上一动点，求直线 AP 与平面BCM 所成角的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
é π , π ù(2) ê 3 2 ú
【分析】（1）取 AC 的中点为E ，则可证明O1E ^ AC ， PQ//O1E ，从而可证得PQ ^ AC ；
uuur uuuur uuur
（2）以 EA, EO1, EP 为正交基底建立空间直角坐标系，用向量的方法求出直线 AP 与平面BCM 所成角的正弦
的函数表达式，再利用函数的知识即可求解.
【详解】（1）取 AC 的中点为E ，连结PE,O1E,O1O2，
QPC = BC = 2, PB = 2 2 ，\ PC 2 +BC 2 =PB2 ，\PC ^ BC ，
又QC 是以 AB 为直径的圆O1 上一点，\ BC ^ AC ，
Q AC PC = C ，PC 平面PAC ， AC 平面PAC ，，
\BC ^平面PAC ，Q PE 平面PAC ，\PE ^ BC ，
又Q PA = AC ，E 为 AC 的中点，\PE ^ AC ，
Q AC I BC = C ， AC 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
\PE ^ 平面 ABC ，
在圆台O1O2 中，O1O2 ^ 平面 ABC ，
\ PE //O1O2 ，又因为在圆台O1O2 中，圆O1 // 圆O2，
\ PE=O1O2 ，所以四边形O1O2PE 为平行四边形，
\ PO2 //O1E 且 PO2 =O1E ，
在Rt△ACB 中，O1为 AB 的中点，E 为 AC 中点，
\O1E //BC ，又QBC ^ AC ，\O1E ^ AC ，又QPO2 //O1E ，
\PQ ^ AC .
uuur uuuur uuur
（2）如图以 EA, EO1, EP 为正交基底建立空间直角坐标系，
A(1,0,0),C(-1,0,0), B(-1,2,0),O1(0,1,0), P(0,0, 3),O2 (0,1, 3) ，
uuuur uuuur
QO2Q = PO2 ，\Q(0,2, 3)，
uuuuur uuuur
设O1M = lO1Q(0≤l ≤1)，则M (0,l+1, 3l) ，
uuur uuuur
BC = (0,-2,0),CM = (1,l +1, 3l) ，
r
设平面BCM 的法向量为n = (x, y,z)，
r uuurì n × BC = -2y = 0 r uuur
í r uuuur ，取 n = (- 3l,0,1)， AP = -1,0, 3 ，
n ×CM = x + (l +1)y + 3lz = 0
设直线 AP 与平面BCM 所成角为q ，则
r uuur 3l + 3 2
sinq cos n, AP 3 l + 2l +1 3 1 2 3l +1= < > = = 2 = +
2 3l 2 +1 2 3l +1 2 3 3 3l
2 +1
3 1 2 3l +1
= +
2 3 2 ，3l +1 - 2 3l +1 + 4
令 t = 3l +1，Q0 l 1，\1 t 4，，
f (t) 3 1 2= +
令 2 3 t 1,4t 4 + - 2 ， ，
t
4
因为函数 y = t + 在 1,2 上单调递减，在 2,4 上单调递增，
t
4 4 2 2\ 1 1 1 2 2 3\4≤ t + ≤5 \2 t + - 2 3 4 + 4
t ， t ， 3 t + - 2 ，则 3 t + - 2 3 ，t t
f (t) 3 1 2= + é 3 ù
所以 2 3 4 的取值范围为 ê ,1t + - 2 2 ú
，
t
é ù
即 sinq
3
ê ,1ú ，又q
é0, π ù é πê ú，所以q ê ,
π ù
2 2 3 2 ú
，
é π , πBCM ù所以直线 AP 与平面 所成角的取值范围
ê
.
3 2 ú
（五）
两个平面的夹角
求两平面夹角的两种方法
(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可
转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．
π
(2)法向量法：分别求出两平面的法向量 n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉(当〈n1，n2〉 ∈ [0， ]时2 )
或 π－〈n1，n2〉
注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向
量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角
是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.
题型 5：利用空间向量求二面角
5-1．（山东省滨州市 2023-2024 学年高二上学期期末数学试题）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC ^底面
ABCD，四边形 ABCD是直角梯形， AD ^ DC ， AB / /DC ，PC = AB = 2AD = 2CD = 2，点 E 在棱 PB 上．
(1)证明：平面EAC ^平面 PBC；
uuur uuur
(2)当BE = 2EP时，求二面角P - AC - E 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 2
3
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到 AC ^ BC ，从而证明出线面
垂直，面面垂直；
（2）解法一：以 C 为原点，CB，CA，CP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建系，写出点的坐标及平面
的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取 AB 的中点 G，连接 CG，以点 C 为原点，CG，CD，CP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建
系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【详解】（1）因为PC ^底面 ABCD， AC 平面 ABCD，
所以PC ^ AC ．
因为 AB = 2 ， AD = CD =1，所以 AC = BC = 2 ．
所以 AC 2 + BC 2 = AB2 ，所以 AC ^ BC ．
又因为PC BC = C ，PC 平面 PBC，BC 平面 PBC，
所以 AC ^平面 PBC．
又 AC 平面 EAC，
所以平面EAC ^平面 PBC．
（2）解法一：
以点 C 为原点，CB，CA，CP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
C 0,0,0 ，B 2,0,0 ， A 0, 2,0 ，P 0,0,2 ．
设点 E 的坐标为 x, y, z uuur uuur，因为BE = 2EP，所以 x - 2, y, z = 2 -x,-y, 2 - z ，
2 4 2 4
即 x = ， y = 0 ， z = ，所以E ,0, ÷．
3 3 ֏ 3 3
uuur uuur 2 4 所以CA = 0, 2,0 ，CE = ,0, ÷÷．
è 3 3
r uuurr ì n ×CA = 0
设平面 ACE 的一个法向量为 n = x, y, z ，则 í r uuur ．
n ×CE = 0
ì 2y = 0
所以 í 2 4 ，取 x = 2 2 ，则 y = 0 ， z = -1．
x + z = 0
3 3
r
所以平面 ACE 的一个法向量为 n = 2 2,0,-1 ．
uuur
又因为BC ^平面 PAC，所以平面 PAC 的一个法向量为CB = 2,0,0 ．
设平面 PAC 与平面 ACE 的夹角为q ，
r uuur 2 2 2
则 cosq = cos n,CB
2 2
= =
2 22 2 + -1 2 2 3
．
所以，平面 PAC ACE 2 2与平面 夹角的余弦值为 ．
3
解法二：
取 AB 的中点 G，连接 CG，以点 C 为原点，CG，CD，CP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所
示
的空间直角坐标系，则C 0,0,0 ，B 1, -1,0 ， A 1,1,0 ，P 0,0,2 ．
设点 E 的坐标为 x, y, z uuur uuur，因为BE = 2EP，所以 x -1, y +1, z = 2 -x,-y, 2 - z ，
1 1 4 1 1 4
即 x = ， y = - ， z = ，所以E ,- , ．
3 3 3 ֏ 3 3 3
uuur uuur 1 1 4
所以CA = 1,1,0 CE = ,- , ， ．
è 3 3 3 ÷
r uuurr ìn ×CA = 0
设平面 ACE 的一个法向量为 n = x, y, z ，则 í r uuur ．
n ×CE = 0
ìx + y = 0
3
所以 í1 ，取 x = 3，则 y=- 3， z = - ．
x
1 4
- y + z = 0 2
3 3 3
r 3
所以，平面 ACE 的一个法向量为 n = 3, -3, - 2 ÷
．
è
uuur
又因为BC ^平面 PAC，所以平面 PAC 的一个法向量为CB = 1,-1,0 ．
设平面 PAC 与平面 ACE 的夹角为q ，
r uuur 3 1+ -3 -1
cosq = cos n,CB 2 2= =
则 3 232 + -3 2 + -
3 ．
÷ 1
2 + -1 2
è 2
所以，平面 PAC 与平面 ACE 2 2夹角的余弦值为
3
5-2．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形 ABCD为菱形， ED ^ 平面 ABCD，FB P ED，
BD = 2ED = 2 2FB .
(1)证明：平面EAC ^平面FAC ；
(2)若 BAD = 60°，求二面角F - AE - C 的大小.
【答案】(1)证明见解析
π
(2)
4
【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，进而由线段的长度得勾股定理，证明线线垂直，即可得线面垂直
证明面面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解二面角大小.
【详解】（1）设 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，FO，
因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC ^ BD .
因为 ED ^平面 ABCD,AC 平面 ABCD，所以 AC ^ ED .
又ED I BD = D，ED, BD 平面 BDEF，所以 AC ^平面 BDEF；
又EO 平面 BDEF，所以 AC ^ EO .
设 FB=1，由题意得 ED=2，BD = 2 2, DO = BO = 2 .
因为 FB//ED，且 ED ^ 面 ABCD，则 FB ^平面 ABCD，
而OB,OD 平面 ABCD，故OB ^ FB，OD ^ ED ，
所以OF = OB2 + BF 2 = 3 ，EO = ED2 + DO2 = 6 ，
EF = BD2 + ED - BF 2 = 8 +1 = 3.
因为EF 2 = OE2 + OF 2 ，所以EO ^ FO .
因为OF AC = O，OF , AC 平面 ACF，所以 EO ^平面 ACF.
又 EO 平面 EAC，所以平面 EAC ^平面 FAC.
（2）取 EF 中点 G，连接 OG，所以 OG//ED，OG ^底面 ABCD.
uuur uuur uuur
以 O 为原点，以OA,OB,OG 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 BAD = 60°，由（1）中所设知， AB = AD = 2 2 ，
所以，OA = OC = 6 ,
所以 A( 6,0,0), F (0, 2,1), E(0,- 2,2),C(- 6,0,0).
uuur uuur uuur
所以FA = ( 6,- 2, -1)，EA = ( 6, 2, -2)，EC = (- 6, 2, -2) ，
ur
设平面 FAE 的一个法向量为m = (x, y, z)，
r uuurì m × FA = 0 ì 6x - 2y - z = 0 ì x = 3y
则 í r uuur í í ，
m × EA = 0 6x + 2y - 2z = 0 z = 2 2y
r
所以m = ( 3,1, 2 2)；
r
平面 AEC 的一个法向量为 n = (a,b,c) ，
uuur
ìn × EC = 0 ì- 6a + 2b - 2c = 0 ì a = 0
则 í
nr
uuur í í ，
× EA = 0 6a + 2b - 2c = 0 b = 2c
r
所以 n = (0, 2,1)；
r
所以 cos m, n
r 3 2 2
= = ，
3 3+1+ (2 2)2 2
由图形可知二面角F - AE - C 的平面角为锐角，
π
所以二面角F - AE - C 的大小为 .
4
5-3．（2024 高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB，
AB P DC ，PA ^底面 ABCD，点 E 为棱 PC 的中点， AD = DC = AP = 2AB = 2．
(1)证明：BE / /平面 PAD；
PF
(2)在棱 PC 10上是否存在点 F，使得二面角F - AD - C 的余弦值为 ，若存在，求出 的值，若不存在，
10 PC
请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
PF 1
(2)存在， =
PC 4
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形 ABEG 为平行四边形，从而证明 AG / / BE ，线面平行；
uuur uuur
（2）建立空间直角坐标系，设PF = lPC = 2l, 2l,-2l ,0 l 1 1，利用二面角大小列出方程，求出l = ，
4
得到答案.
【详解】（1）在 PD 上找中点 G，连接 AG，EG，如图：
∵G 和 E 分别为 PD 和 PC 的中点，
∴ EG / /CD，且EG
1
= CD ，
2
又∵底面 ABCD 是直角梯形，CD = 2AB ， AB / /CD ，
∴ AB / /GE 且 AB = GE ．即四边形 ABEG 为平行四边形，
∴ AG / /BE ，
∵ AG 平面 PAD，BE 平面 PAD，
∴ BE / /平面 PAD；
（2）因为PA ^平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，
所以 PA ^ AB, PA ^ AD ，又 AB ^ AD ，
以 A 为原点，以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系，
uuur
可得B 1,0,0 ，C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，PC = 2,2,-2 ，
uuur uuur
由 F 为棱 PC 上一点，设PF = lPC = 2l, 2l,-2l ,0 l 1，
uuur uuur uuur uuur
AF = AP + PF = 2l, 2l, 2 - 2l ， AD = 0,2,0
r
设平面 FAD 的法向量为 n = a,b,c ，
r uuur
ìn × AF = 0 ì2la + 2lb + 2 - 2l c = 0
由 í r uuur 可得 í ，解得：b = 0，
n × AD = 0 2b = 0
r
令 c = l ，则 a = l -1，则 n = l -1,0,l ，
r
取平面 ADC 的法向量为m = 0,0,1 ，
ur r
m × n l
则二面角F - AD - C 的平面角a 满足： cosa ur r
10
= = = ,
m × n l -1 2 + l 2 10
1 1
解得：8l 2 + 2l -1 = 0，解得：l = 或l = - （舍去），4 2
PF 1
故存在满足条件的点 F，此时 = ．
PC 4
5-4．（2024 高三下·河南·阶段练习）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四边形 ABCD为平行四边形，平面
D1BC ^平面D1BD .
(1)求证：BC ^ BD；
(2)若 AA1 = 2BD = 2BC = 4，探索在棱 AA1上是否存在一点E ，使得二面角E - BD - D1的大小为30o？若存在，
AE
求出 AA 的值；若不存在，请说明理由.1
【答案】(1)证明见解析
(2) 3
2
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，证明出结论；
（2）建立空间直角坐标系，设出 AE = l 0 l 4 ，求出两平面的法向量，根据二面角列出方程，求出l
的值，得到答案.
【详解】（1）证明：由题意知DD1 ^平面 ABCD, BC 平面 ABCD，所以DD1 ^ BC .
过D在平面D1BD 内作直线DG ^ D1B 交D1B于点G ，
因为平面D1BC ^平面D1BD ，平面D1BC 平面D1BD = D1B, DG 平面D1BD ，
所以DG ^ 平面D1BC .
又BC 平面D1BC ，所以DG ^ BC .
因为D1D DG = D, D1D, DG 平面D1BD ，所以BC ^平面D1BD ，
又BD 平面D1BD ，所以BC ^ BD .
（2）由（1）知BC ^ BD，因为DA / /BC ，所以 AD ^ DB ，
又DD1 ^平面 ABCD，且DA, DB 平面 ABCD，所以DD1 ^ DA, DD1 ^ DB，
故以D为坐标原点，直线DA, DB, DD1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系D - xyz ，
uuur uuur
设 AE = l 0 l 4 ，则E 2,0,l , B 0,2,0 ，故DE = 2,0,l , DB = 0,2,0 .
ur
平面BDD1的一个法向量为m = 1,0,0 ，
uuur
r ìnr × DB = 2y = 0
设平面BDE 的一个法向量 n = x, y, z ，则 í
nr
uuur ，
× DE = 2x + lz = 0
r
令 z = 2 ，则 y = 0, x = -l ，所以 n = -l,0, 2 ，
ur r
ur r m × n -l
所以 cos m,n = ur r
3
= = ，解得l = 2 3 （负根舍），
m × n l 2 + 4 2
所以在棱 AA
AE 2 3 3
1存在点E ，使得二面角E - BD - D1的大小为30o，且 = = .AA1 4 2
5-5．（2024 高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥 S - ABCD中，四边形 ABCD为正方形， AB = 2 ，DS =1，
平面 ASD ^ 平面 ABCD， SD ^ AD，点E 为DC 上的动点，平面BSE与平面 ASD 所成的二面角为q (q 为锐
角 ) ， 则当q 取最小值时，DE = ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】首先以D - xyz 建立如图空间直角坐标系，设DE = a，其中0 a 2 ，求出平面 ASD 和平面BSE的
uuur r uuur
一个法向量DC 和m ，由条件得出 cosq = cosr , DC> ，化简求出最大值即可得出q 取最小值时DE 的长．
【详解】解：因为平面 ASD ^ 平面 ABCD，平面 ASD I平面 ABCD = AD ，且 SD ^ AD， SD 平面 ASD ，
所以 SD ^ 平面 ABCD，
又因为CD 平面 ABCD，
所以 SD ^ CD ，
又CD ^ AD ，
故以D - xyz 建立如图空间直角坐标系，
设DE = a，其中0 a 2 ，
所以D 0,0,0 , S 1,0,0 , A 0,2,0 , B 0,2,2 , E 0,0,a ,C 0,0,2 ，
因为 SD ^ CD ，CD ^ AD ，又 SD I AD = D，且 SD 、 AD 均在平面 ASD 内，
所以CD ^平面 ASD ，
uuur
所以易得DC = 0,0,2 是平面 ASD 的一个法向量，
uur uur
而 SB = -1,2,2 , SE = -1,0, a ，
r
设平面BSE的法向量为m = x, y, z ，
r uurì m·SB = 0 ì-x + 2y + 2z = 0 mr a, a - 2 所以 í r uur í x az 0, ，取 z =1，则
= ,1 ，
m·SE = 0 - + =
è 2 ÷
uuur
cosq r= cos 2 1 1= = =
2
所以 5 2 5 2 2 9 ，
2 × a2 a - 2+1+ ÷ a - a + 2 (a - ) +
è 2 4 4 5 5
当q 取最小值时， cosq 5 2 9取最大，即分母 (a - )2 + 取最小值，
4 5 5
2
又0 a 2 ，当 a = 时，分母最小，
5
a 2故 = 时， cosq 最大，
5
2
故答案为： ．
5
题型 6：利用空间向量求两个平面的夹角
6-1．（2024 高二上·湖南郴州·期末）如图 2，在YABCD 中， AB = 2 ，BC = 3 ， ABC = 30°．将△DAC 沿
AC 翻折，使点 D 到达点 P 位置（如图 3），且平面PAC ^平面PBC ．
(1)求证：平面PAC ^平面 ABC ；
uuur uuur
(2)设 Q 是线段 PB上一点，满足PQ = mPB ，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB的夹
2
角的余弦值为 ，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)证明见解析
1
(2)存在，m =
2
【分析】（1）利用余弦定理求出 AC 的长，由勾股定理得CB ^ CA，过点A 作 AM ^ PC ，然后利用面面垂
直的性质定理及判定定理证明即可，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量建立关系式分析即可.
2
【详解】（1）在VABC 中，由余弦定理得 AC 2 = 3 3+12 - 2 3 1 =1，
2
2
\ AC 2 + BC 2 =12 + 3 = 4 = AB2 ，
\CB ^ CA，
过点A 作 AM ^ PC 交PC 于点M ，如图所示，
又平面PAC ^平面PBC ，且平面PAC I平面 PBC = PC
由 AM 平面PAC ，
所以 AM ^ 平面PBC ，又BC 平面PBC ，
所以 AM ^ BC ，又BC ^ AC ， AC AM = A
所以BC ^平面PAC ，又BC 平面 ABC ，
所以平面PAC ^平面 ABC ．
（2）由题知DA ^ AC ，即PA ^ AC ，
由（1）知PA ^ BC ，且 AC IBC = C
PA ^平面 ABC ，所以以 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P 0,0, 3 3 1 ， B(0,2,0)，C , ,02 2 ÷÷è
uuur uuur uuur uuur uuur
\ AQ = AP + PQ = AP + mPB = 0,0, 3 + m 0,2, - 3 = 0,2m, 3 1- m
ur
设 n1 = (x, y, z)为平面QAC 的法向量，
ur uuur ur uuur
ìn1 ^ AC ì n1 × AC = 0 ì 3x + y = 0
由 íur uuur íur uuur
í ，
n1 ^ AQ n1 × AQ = 0 2my + 3 1- m z = 0
ur
令 y = 3 得 n1 = -1, 3,
2m
，
è m -1÷
ur 2m 2
且 n1 = 4 + ÷ ，
è m -1
ur
又易得平面PAB的法向量为 n1(1,0,0)，
ur uur -1
cos n 2 21,n2 = = m
1
=
由 4
4 2m
2
+
4 2 ，
è m -1÷
1 2
故存在实数m = 使得平面QAC 与平面PAB的夹角的余弦值为 ．
2 4
6-2．（2024 高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，侧面 ACC1A1 为正方形，
CAB = 90°， AC = AB = 2，M，N 分别为 AB 和BB1的中点，D为棱 AC 上的点.
(1)证明： A1M ^ DN ；
(2)是否存在点 D 5，使得平面C1DN 与平面 ABB1A1夹角的余弦值为 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，
3
求线段 AD 的长.
【答案】(1)证明见解析
6
(2)存在点D， AD = 满足条件
5
【分析】(1)利用空间向量的坐标运算证明求解；
(2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可求解.
【详解】（1）证明：由题意， AB ， AC ， AA1两两垂直，以 A 为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系 A - xyz ，
设 AD = a 0 a 2 ，则D 0, a,0 ， A1 0,0,2 ，M 1,0,0 ， N 2,0,1
uuuur uuur
所以 A1M = 1,0, -2 ，DN = 2,-a,1
uuuur uuur
因为 A1M × DN =1 2 - a 0 - 2 1 = 0，
所以 A1M ^ DN .
ur
（2）由题意， AC ^平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1的一个法向量为m = 0,1,0 ，
uuuur uuur
因为C1 0,2,2 ，所以C1D = 0,a - 2,-2 ，DN = 2,-a,1 ，
r
设平面C1DN 的法向量为 n = x, y, z ，
r uuuur
ìn ×C1D = a - 2 y - 2z = 0
则 í r uuur ，
n × DN = 2x - ay + z = 0
r
令 y = 4 ，则 n = a + 2,4,2a - 4 ，
设平面 ABB1A1与平面C1DN 的夹角为q ，则
ur r
ur r m × n
cosq 4 5= cos m, n = r ur = = ，
n × m 1 a + 2 2 +16 + 2a - 4 2 3
6
整理得， 25a2 - 60a + 36 = 5a - 6 2 = 0，解得 a = ，
5
所以存在点D， AD
6
= 满足条件.
5
6-3．（2024 高二下·福建福州·期中）如图，圆O是VABC 的外接圆，CE ^平面 ABC ， AB 是圆O的直径，
uuur uuur
CAB = 30°，CE = 2BD，且CE = AB = 2 .
(1)求证：平面 ACE ^ 平面BCED ；
(2)若ME = 2DM ，求平面 ACM 与平面 ACE 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 5
5
【分析】（1）利用线面垂直证明BC ^平面 ACE ，再通过面面垂直即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，得出面 ACM 与面 ACE 的法向量，即可求出两个面夹角的余
弦值.
【详解】（1）由题意及图证明如下，
在圆O中， AB 为直径，
∴ ACB = 90°, AC ^ BC ，
∵ CE ^平面 ABC , AC 平面 ABC , BC 平面 ABC ,
∴ EC ^ BC ，AC ^ CE ，
Q AC EC = C, AC 平面 ACE , EC 面 ACE ，
∴ BC ^平面 ACE , 又BC 平面BCDE ,
∴平面 AEC ^平面BCED .
（2）由题意及（1）得，
在 A - BCDE 中， AC ^ BC, AC ^ CE, BC ^ CE
在VABC 中，CE = AB = 2， CAB = 30°，
∴ BC 1= AB 3=1, AC = AB = 3 ，
2 2
uuur uuur
∵ CE = 2BD，
∴ BD
1
= CE =1
2
建立空间直角坐标系如下图所示，
∵ ME = 2DM ，
∴ A 3,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,0 , D 0,1,1 , E 0,0,2 , M 0, 2 , 4 ,O 3 13 3 ÷ , ,0è 2 2 ÷÷，è
uuur uuur uuuur则CB = 0,1,0 ,CA = 3,0,0 ,CM 0, 2= , 4 ÷，
è 3 3
uuur
在面 ACE 中，其一个法向量为CB = 0,1,0 ，
r
在面 ACM 中，设其一个法向量为 n = x, y, z ，
r uuurì n ì×CA = 0 3x = 0 ì x = 0 uuuur 则 í r ，即 í2 4 ，解得： íz 1
，
n ×CM = 0 y + z = 0 3 3
= - y
2
r
∴当 y = 2 时， n = 0,2, -1 ，
设面 ACE 与面 ACM 所成角为q ，
uuur r
CB × n 0 +1 2 + 0
cosq uuur r 2 5= = =
CB × n 0 +12 + 0 0 + 22 + -1 2 5
6-4．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P - ABCD 中，BD ^ PC ，四边形 ABCD是菱形，
ABC = 60°， AB = PA = 1，PB = 2 ，E 是棱PD上的中点.
(1)求三棱锥C - BDE 的体积；
(2)求平面PAB与平面 ACE 夹角的余弦值.
【答案】(1) 3
24
(2) 7
7
【分析】（1）证明PA ^平面 ABCD，由VC-BDE = VE-CBD 计算三棱锥C - BDE 的体积；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.
【详解】（1）因为四边形 ABCD是菱形，所以BD ^ AC .
又BD ^ PC ， AC, PC 平面PAC ，且 AC I PC = C ，所以BD ^平面PAC .
因为PA 平面PAC ，所以BD ^ PA .
因为 AB = PA =1, PB = 2 ，所以PB2 = AB2 + PA2 ，所以 AB ^ PA .
因为 AB, BD 平面 ABCD，且 AB I BD = B，所以PA ^平面 ABCD .
ABCD d 1 PA 1因为E 是棱PD上的中点，所以E 到平面 的距离 E = = ，2 2
四边形 ABCD是菱形， ABC = 60o ， AB = PA = 1，
则△CBD中， BCD =120o ，BC = CD =1 S 1 3， VCBD = BC ×CD ×sin BCD = ，2 4
∵V 1 1 3 1 3 3C-BDE = VE-CBD = S CBD × dE = = ，∴三棱锥C - BDE 的体积为 .3 △ 3 4 2 24 24
（2）取棱CD的中点F ，连接 AF ，则有 AF ^ CD ，因为 AB//CD ，则 AF ^ AB .
uuur uuur uuur
AB, AF , AP两两垂直，故以A 为原点，分别以 AB, AF , AP的方向为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
因 AB =1，则 A 0,0,0 ,C 1 , 3 ,0÷ , D
-1, 3 ,0÷ , P 0,0,1 .
è 2 2 è 2 2
-1 3 1 uuur 1 3 uuur -1 3 1
因E 是棱PD上的中点，则E , , ÷ , AC =4 4 2
, ,0÷ , AE = , , ÷ .
è è 2 2 è 4 4 2
ì r uuur x 3y
r n × AC = + = 0
设平面 ACE 的法向量为 n = x, y, z 2 2，则 í uuur ， nr AE -x 3y z × = + + = 0 4 4 2
r
令 x = 3 ，则 y = -1, z = 3 ，得 n = 3, -1, 3 .
r
平面PAB的一个法向量为m = 0,1,0 .
nr × mr
设平面PAB与平面 ACE 的夹角为q ，则cosq = cos n
r,mr 7=
nr mr
= .
7
7
故平面PAB与平面 ACE 夹角的余弦值为 .
7
6-5．（2024 高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形 ABCD中，AD =1，AB = 2 ，点M 是边CD的中点，
将△ADM 沿 AM 翻折到△PAM ，连接 PB，PC ，得到图②的四棱锥P - ABCM ．
(1)求四棱锥P - ABCM 的体积的最大值；
π ù
(2)设P - AM - D 的大小为q ，若q 0, ú ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．è 2
(1) 2【答案】
4
(2) 11
11
【分析】（1）取 AM 的中点 G，连接 PG，即当平面PAM ^平面 ABCM 时，P 点到平面 ABCM 的距离最大，
即可得到结果；
（2）连接 DG，过点 D 作DZ ^平面 ABCD，以 D 为坐标原点，分别 DA 以 DC，DZ 所在直线为 x 轴，y 轴，
z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结
果.
【详解】（1）取 AM 的中点G ，连接PG ，因为PA = PM ，则PG ^ AM ，
当平面PAM ^平面 ABCM 时，P 点到平面 ABCM 的距离最大，四棱锥P - ABCM 的体积取得最大值，此时
PG ^平面 ABCM 1 2，且PG = AM = ，
2 2
底面 ABCM 为梯形， SABCM = 1+ 2 1
1 3
= ，
2 2
1 3 2 2
则四棱锥P - ABCM 的体积最大值为 = .
3 2 2 4
（2）连接DG ，因为DA = DM ，所以DG ^ AM ，所以 PGD 为P - AM - D 的平面角，即 PGD = q ，
过点D作DZ ^平面 ABCD，以D为坐标原点，
分别以 DA，DC，DZ 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 ，M 0,1,0 ，C 0,2,0 ，
过 P 作PH ^ DG于点 H ，由题意得PH ^平面 ABCM ，
P x , y , z PG 2 PH 2 sinq GH 2设 0 0 0 ，因为 = ，所以 = ， = cosq ，DH 2= 1- cosq ，
2 2 2 2
2
所以 x0 = y0 = 1- cosq
2 1
= 1- cosq ， z 2= sinq ，
2 2 2 0 2
1
所以P 1- cosq ,
1 1 2- cosq , sinq ÷÷ ，
è 2 2 2
uuuur uuur
所以 AM = -1,1,0 ，PA 1+ cosq cosq -1 2= , , - sinq ÷÷ ，
è 2 2 2
ur ì-x1 + y1 = 0
设平面 PAM 的法向量为 n1 = x1, y1, z1
，则 í1+ cosq x cosq -1 y 2 sinq
，
1 + 2 2 1
- z1 = 02
ur
令 z1 = 2 ，则 n1 = tanq , tanq , 2 ，
uur
设平面PBC 的法向量为 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uuur uuur
PC cosq -1, cosq + 3 2
因为CB = 1,0,0 ， = , - sinq ，
è 2 2 2 ÷
÷
ìx2 = 0
则 ícosq -1 ，令 yx cosq + 3 2+ y - z sinq = 0 2
= 2 sinq ，
2 2 2 2 2 2
uur
可得 n2 = 0, 2 sinq ,3 + cosq ，
设两平面夹角为a ，
ur uur sin
2 q
n ×n 2 + 3 2 + 2 cosq
则 1 2 cosq 3cosq +1cosa = ur uur = =
n × n 2 21 2 2 tan q + 2 sin q + 6cosq +10 11- cos2 q + 6cosq
3 cosq 1+
3 3= =
1 2 20 1 80 80 20
- cosq +
+ ÷ cosq +
÷ + 2 + -1
è 3 3 è 3 9 9 cosq 1+
1
÷ 3 cosq +
÷
è 3 è 3
t 1=
令 1 ，q
π
ù
3 ù
cosq +
0, ，所以 t ,3 ，
3 è 2
ú è 4 ú
所以 cosa
9
=
2 ，80t + 60t - 9
3
因为 y = 80t 2 + 60t - 9的对称轴为 t = - ，
8
11
所以当 t = 3时， cosa 有最小值 ，
11
所以平面PAM 和平面PBC 11夹角余弦值的最小值为 ．
11
6-6．（2024 高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，
2π uuur uuur
ADC = ，PD = DC = 2BC = 4，点 E 是线段 AD 的中点，点 F 在线段 AP 上且满足
3 AF = l AP
，PD ^
面 ABCD.
(1)当l
1
= 时，证明：PC //平面 BFE ；
3
(2)当l 为何值时，平面 BFE 与平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见详解
1
(2) l =
2
【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；
（2）建系，利用空间向量求二面角，并结合二次函数分析运算.
【详解】（1）设 AC I BE = M ，
AM AE 1
因为 AE // BC ，则 = = ，
CM CB 2
l 1
uuur 1 uuurAF AP AM AF 1若 = ，即 = ，可得 = = ，
3 3 CM PF 2
所以MF // PC ，
MF 平面 BFE ，PC 平面 BFE ，
故PC //平面 BFE .
（2）连接DB，
由题意可得： AB = 2AD = 4, BAD = 60°，
1
在△ABD 2 2 2中，由余弦定理 DB = AB + AD - 2AB × AD × cos BAD = 16 + 4 - 2 4 2 = 122 ，
即DB = 2 3 ，可得 AB2 = AD2 + DB2，则 AD ^ BD ，
且PD ^面 ABCD，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 A 2,0,0 , B 0,2 3,0 P 0,0,4 , E 1,0,0 ，
uuur uur
可得 AP = -2,0,4 , EB = -1,2 3,0 ，
uuur
设点F a,b,c ，则 AF = a - 2,b,c ，
ìa - 2 = -2l ìa = 2 - 2l
uuur uuur
因为 AF = l AP ，则 íb = 0 ，解得 íb = 0 ，即F 2 - 2l,0, 4l ，
c = 4l c = 4l
uuur
可得EF = 1- 2l,0, 4l ，
r uuurr ìn × EF = 1- 2l x + 4lz = 0
设平面 BFE 的法向量为 n = x, y, z ，则 í r uuur ，
n × EB = -x + 2 3y = 0
r
令 x = 4 3l ，则 z = 3 2l -1 , y = 2l ，即 n = 4 3l, 2l, 3 2l -1 ，
ur
由题意可得：平面PBD 的法向量m = 1,0,0 ，
设平面 BFE 与平面 PBD 所成的二面角为q ，
r ur
r ur n × m
则 cosq = cos n,m
4 3l 4 3l
= r ur = = ，
n × m 1 48l 2 + 4l 2 + 3 2l -1 2 64l 2 -12l + 3
由题意可知：l 0,1 ，则有：
当l = 0时，则 cosq = 0 ；
4 3
当l 0,1 cosq =时，则 3 12 ，
2 - + 64l l
因为l 0,1 1，则 1,+ ，
l
1 3 12 1
关于 的二次函数 y = 2 - + 64开口向上，对称轴 = 2，l l l l
1 2 l 1 3 12当 = ，即 = 时， 2 - + 64
3 12
取到最小值52，即 2 + + 64 52，l 2 l l l l
cosq 0, 2 39
ù
可得 ；
è 13
ú
é 2 39 ù
综上所述： cosq ê0, .
13
ú
l 1= cosq 2 39 sinq 13所以当 时， 取到最大值 ， 取到最小值 .
2 13 13
即当l
1
= 时，平面 BFE 与平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小.
2
一、单选题
uuuuv uuuuv
1．（2024 高二下·四川成都·期中）在长方体 ABCD - A1B1C1D1中，AB = BC =1, AA1 = 3 ，则 AD1 与DB1 夹角
的余弦值为（ ）
1
A 5 2 5 5． B． C． D．
5 5 5
-
5
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可.
【详解】以 A1为坐标原点， A1B1 为 x 轴， A1D1为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A 0,0, 3 ,
D1 0,1,0 , D 0,1, 3 , B1 1,0,0 ,
uuuur uuuur
∴ AD1 = 0,1, - 3 , DB1 = 1,-1,- 3 ,
uuuur uuuur uuuur uuuur
∴ cos AD , DB
A
= uuuDur1 × DuuB1 1 uu1r
0 -1+ 3 5
= =
AD1 × DB1 2 5 5
,
故选：A .
2．（2024 高二上·贵州铜仁·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 2 ，AA1 = 4，点E ，F 分别是 B1C1
和BB1的中点，M 是线段D1F 的中点，则直线 AM 和CE所成角的余弦值为（ ）
A 3． B 11． C 17 D 187． ．
6 17 6 17
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，根据向量法求解即可.
【详解】如图
建立空间直角坐标系，则 A 2,0,0 ，D1 0,0,4 ，C 0,2,0 ，E 1,2,4 ，F 2,2,2 ，
uuuur uuur
则M 1,1,3 ， AM = -1,1,3 ，CE = 1,0,4 ，
uuuur uuur uuuur uuur
cos AM ,CE uAuMuur ×CE则 = uuur
-1+12 187
= =
AM CE 11 17 17 ，
187
所以异面直线 AM 和CE所成角的余弦值为 .
17
故选：D.
3．（2024 高二上·广东惠州·阶段练习）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，分别取棱 AA1， A1D1的中
点 E，F，点 G 为 EF 上一个动点，则点 G 到平面 ACD1的距离为（ ）
A 3 B 3． ． 3 C．1 D．
2 3
【答案】D
【分析】利用等体积法或向量法进行计算即可求解.
【详解】
如图所示，Q点 E，F 分别是 AA1， A1D1的中点，
因为该正方体的棱长为 2，所以， AD1 = AC = CD1 = 2 2 ，
∴ EF / / 平面 ACD1，点 G 到平面 ACD1的距离即为点 E 或 F 到平面 ACD1的距离．
方法 1：等体积法
1
∵ 1 3△ACD1为等边三角形，∴ S S = 1 2 =1△ACD = 2 2 2 2 = 2 3，2 2 △FAD
，
1 1 2
设 F 到平面 ACD1的距离为 d，
V 1 1∵ 3F - ACD = V1 C-FAD ，∴ S d = S1 3 △ACD1 3 △FAD
2，解得 d = ．
1 3
方法 2：向量法
建立如图所示的空间直角坐标系，
uuur uuuur
A(2,0,0)，C(0, 2,0)，D1(0,0,2)， AC = (-2,2,0)， AD1 = (-2,0,2)，
uuur
r ì AC ×nr = 0 ì-2x + 2y = 0
设平面 ACD1的法向量为n = (x, y,z)
，则有 íuuuur ，得 í ，
AD
r
× n = 0 -2x + 2z = 01
r uuur
可求得平面 ACD1的法向量为 n = 1,1,1 ， AF = -1,0,2 ，
r uuur
n × AF
∴ d = r
3
=
n 3
．
故选：D
4．（2024 高二上·河北邯郸·期末）在四棱锥P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB ^底面 ABCD，
AB = 5 ，BD = PB = 2，则△PCD的重心到平面 PAD 的距离为（ ）
2 1 4 5
A． B． C． D．
9 3 9 18
【答案】C
【分析】根据题意，直接建系，利用法向量，可求解.
【详解】设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
uuur uuur
则 A 2,0,0 ，C -2,0,0 ，D 0,1,0 ，P 0, -1,2 ， AD = -2,1,0 ，PA = 2,1,-2 .
ì mr
uuur
r × AD = -2x + y = 0,m x, y, z mr设平面 PAD 的法向量为 = ，则 í r uuur 令 x =1，得 = 1,2,2 .
m × PA = 2x + y - 2z = 0,
-2 + 0 + 0 0 +1-1 0 + 0 + 2 2 2
因为△PCD的重心 G 的坐标为 , , ÷，即 - ,0, ，
è 3 3 3 è 3 3 ÷
uuur
PG 2 4 所以 = - ,1,-3 3 ÷，è
uuur
PG mr× 4
故点 G 到平面 PAD 的距离为 r = .m 9
故答案为：C
5．（2024 高二下·福建福州·期中）如图在长方体 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1, AB = 3 ，E，F，G 分
别是 AB, BC,CC1棱的中点，P 是底面 ABCD内一个动点，若直线D1P / / 平面EFG 平行，则线段BP的最小
值为（ ）
A 3 B 1 C 3
1
． ． ． D．
4 2 2
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设P m,n,0 ，建立方程，表达出BP，求出最小值.
【详解】以D为坐标原点，DA, DC, DD1分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
AD = DD1 =1, AB = 3 ，D1 0,0,1 , E 1,
3 ,0÷÷ , F
1 , 3,0 ,G 0, 3, 1 ÷ ÷ , B 1, 3,02 2 ，è è è 2
r
设P m,n,0 ，平面EFG 的法向量为 a = x, y, z ，
ìuuur
EF ar
1 3 1 3
× = - , ,0÷÷ × x, y, z = - x + y = 0 è 2 2 2 2
则 í ，
uuur
EG ×a
r 3 1 3 1
= -1, , ÷÷ × x, y, z = -x + y + z = 0
è 2 2 2 2
r
令 y =1得 x = 3, z = 3 ，故 a = 3,1, 3 ，
uuuur r
由D1P × a = m,n, -1 × 3,1, 3 = 3m + n - 3 = 0 ，则 n = 3 - 3m，
考虑 xOy 平面内，由两点间距离公式得
2
2 2
BP = m -1 2 + n - 3 = m -1 2 + 3 - 3m - 3 = 4 m 1 3- ÷ + ，
è 4 4
m 1= 3当 时，取得最小值，最小值为 .
4 2
故选：C
ur r
6．（2024 高二下·江苏南京·期中）已知两平面的法向量分别为m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，则两平面所成的二面
角的正弦值为（ ）
A 6 1． B 3． C． D 2 2．
3 3 3 3
【答案】B
ur r 6 3
【分析】根据题意求得 cos m,n = ，设两平面所成的二面角为q ，求得 sinq = ，即可求解.
3 3
ur r
【详解】由两平面的法向量分别为m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，
ur r ur r
可得 cos m, n
m
= ur × nr 0 1+1 1+1 1 6= =
m n 2 3 3 ，
设两平面所成的二面角为q ，其中q [0,p ]，可得 sinq = 1- cos2 q 3= .
3
3
即两平面所成的二面角的正弦值为 .
3
故选：B.
r
7．（6.3.4 空间距离的计算（1））已知平面 α 的一个法向量 n = (-2,-2,1)，点 A(-1,3,0) 在 α 内，则P(-2,1,4)
到 α 的距离为（ ）
A．10 B．3
8 10
C． D．
3 3
【答案】D
uuur r
uuur AP ×n
【分析】由向量的坐标运算得 AP ，再由 P 平面a 的距离 d = r 即可求解.
n
uuur r
【详解】由题意，得 AP = -1, -2,4 ，又知平面a 的一个法向量 n = (-2,-2,1)，
uuur r
AP × n
a 2 + 4 + 4 10则 P 到平面 的距离 d = r = =2 2 2 3 ，n (-2) + (-2) +1
故选：D.
8．（2024 高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥 SO 中， AB 是底面圆O的直径， SO = AB = 4， AC = BC ，
D为 SO 的中点， N 为 AD 的中点，则点 N 到平面 SBC的距离为（ ）
4 5
A． B． C．1 D． 2
3 3
【答案】B
【分析】以点O为坐标原点，OC 、OA、OS 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法可求得点 N 到平面 SBC的距离.
【详解】因为 AC = BC ，O为 AB 的中点，则OC ^ AB，
由圆锥的几何性质可知 SO ^ 平面 ABC ，
以点O为坐标原点，OC 、OA、OS 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 S 0,0,4 、B 0, -2,0 、C 2,0,0 、 A 0,2,0 、D 0,0,2 、 N 0,1,1 ，
r uuur uuur
设平面 SBC的法向量为 n = x, y, z ，BC = 2,2,0 ，BS = 0,2,4 ，
ìnr
uuur
× BC = 2x + 2y = 0 r
则 í r uuur ，取 y = -2，可得 n = 2, -2,1 ，
n × BS = 2y + 4z = 0
uuur r
uuur BN ×n -6 +1 5
又因为BN = 0,3,1 ，所以，点 N 到平面 SBC的距离为 d = r = = .
n 3 3
故选：B.
9．（2024 高二下·江西景德镇·期中）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，
M 为线段 EF 上的一动点，则直线 A1D与B1M 所成角的余弦值的取值范围是（ ）
é1 3 10 ù é 3 3 10 ù é 2 3 10 ù é3 3 10 ù
A． ê , ú B． ê , C． , D． ,
2 10 2 10
ú ê
2 10
ú ê ú
5 10
【答案】C
【分析】构建空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角的余弦值即可.
【详解】构建如下图示的空间直角坐标系D - xyz ，
所以 A1(2,0, 2)，B1(2, 2, 2) ，M (1,m,0)且0 m 2，
uuuur uuuur
则DA1 = (2,0, 2)，MB1 = (1, 2 - m, 2)，
uuuur uuuur uuuur uuuur
所以 | cos DA1, MB
| D
1 |= uuu
Aur1 × MuuBuu1r | 3=
| DA1 || MB1 |
，
2 5 + (2 - m)2
2
当m = 0，夹角余弦值最小为 ，当m = 2 3 10，夹角余弦值最大为 ，
2 10
é ù
所以直线 A D B M
2 3 10
1 与 1 所成角的余弦值的取值范围是 ê , .
2 10
ú
故选：C
10．（2024 高二下·浙江·阶段练习）如图，已知四棱台的底面 ABCD是直角梯形， BAD = 90o ， AD//BC ，
AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1，DD1 ^平面 ABCD，E 是侧棱BB1所在直线上的动点，AE 与CA1所成角的
余弦值的最大值为（ ）
A 2 6． B 7 2． C 3 10 D 2 5． ．
5 10 10 5
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.
【详解】以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 垂直平面 ABCD的直线为 z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，
设 AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1 = 2，
则 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,1,0 , D 0,2,0 A 3 ， 1 0,1,1 , B1 1,1,1 ,C1 1, ,12 ÷ , D1 0,2,1 ，è
uuur
CA1 = -2,0,1 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设BE = lBB1 ， AE = AB + BE = AB + lBB1 = 2,0,0 + l -1,1,1 = 2 - l,l,l ，
uuur uuur
uuur uuur AE ×CA1 -4 + 2l + l 3l - 4
设 AE 与CA1所成角为q ，则 cosq = cos AE,CA1 = uuur uuur = =2 2 ，AE × CA 2 21 2 - l + l + l 5 3l - 4l + 4 5
3l - 4 2 2
设 = k 2 ，则有 9 -15k l + 20k - 24 l +16 - 20k = 0，5 3l - 4l + 4
由l 2存在，则D = 20k - 24 - 4 9 -15k 16 - 20k 0，
9 9
解得0 k ，即 k 的最大值为 ，
10 10
所以 AE 与CA 3 101所成角的余弦值的最大值为 .10
故选：C
11．（2024 高二下·全国·单元测试）三棱锥O - ABC 中，OA,OB,OC 两两垂直且相等，点P,Q 分别是线段BC
BP 1和OA上移动，且满足 BC ， AQ
1
AO ，则 PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是（ ）
2 2
A [ 3 , 2 5． ] B．[ 3 , 2 ]
3 5 3 2
6 2 5 é 6 , 2
ù
C．[ , ] D． ê
6 5 6 2
ú
【答案】C
x, y, z uuur uuur【分析】分别以OA，OB，OC 为 轴建立空间直角坐标系, 设BP = lBC ，得出P 0,2 - 2l, 2l ，设
uuur uuur 2 - 2l
Q m,0,0 ，从而得出 cos PQ,OB = m, t2 2 2 ，设1- l = t ，结合参数 的范围得出答案.m + 4(1- l) + 4l
【详解】由OA，OB，OC 两两垂直且相等,分别以OA，OB，OC 为 x, y, z轴建立空间直角坐标系.
如图所示，不妨取OA = 2．则B 0,2,0 ，C 0,0,2 ．
uuur uuur设P 0, y, z 0 l 1 ，BP = lBC ， ÷．
è 2
则 0, y - 2, z = l 0,-2,2 = 0,-2l, 2l ，
ìy - 2 = -2l
\í 解得 y = 2 - 2l ， z = 2l ．\P 0,2 - 2l, 2l
z
．
= 2l
uuur
设Q m,0,0 ， 1≤m≤ 2 ，则PQ = m, 2l - 2, -2l ，
uuur uuur
uuur uuur uuur PQ ×OB 2 - 2l
又OB = 0,2,0 ， cos PQ,OB = uuur uuuur = ．
PQ | OB | m2 + 4(1- l)2 + 4l 2
1
设1- l = t ，则 t 1，
2
uuur uuur
cos PQ,OB 2t 2= =
2 2 2 2
所以 m + 4(1- t) + 4t m 1 2 ，
÷ + 4( -1) + 4
è t t
1 t 1 1 1 m由 ，则 2，1 m 2，则1 4，
2 t t
2
当 t = 1,m = 1 1时， =1 m m 1， = 1同时达到最小值，此时 ÷ + 4( -1)2 + 4 取得最小值 5 ， t t è t t
uuur uuur 2 5
所以 cos PQ,OB 有最大值 ，此时P 0, 2,0 , Q 1,0,0 ；
5
1 1 m m 2t = ,m = 2 = 2 = 4 1时， ， 同时达到最大值，此时 2 + 4( -1) + 4 取得最大值 2 6 ， 2 t t è t ÷ t
uuur uuur
所以 cos PQ,OB 6有最小值 ，此时P 0,1,1 ，Q 2,0,0 ；
6
é 6 2 5 ù
综上可得： PQ和OB 所成角余弦值的取值范围是 ê , ．
6 5
ú
故选：C.
12．（2024 高二下·河南周口·阶段练习）在正四棱锥P - ABCD 中，PA = AB = 2，M 为棱 PC 的中点，则异
面直线 AC，BM 所成角的余弦值为（ ）
A 2 B 3． ． C 6． D 6．
2 3 5 6
【答案】D
【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线 AC，BM 的方向向量，利
用向量的夹角公式，结合向量的夹角与异面直线所成角的关系即可求解.
uuur uuur uuur
【详解】设 AC，BD 交于点 O，以 O 为原点，OA，OB，OP 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立
空间直角坐标系O - xyz ，如图所示，
则 A 2,0,0 , C - 2,0,0 P 0,0, 2 M 2， ， - ,0,
2
2 2 ÷÷
，B 0, 2,0 ，
è
uuuur 2 2 uuur
所以BM = - , - 2, ÷÷， AC = -2 2,0,0 ，
è 2 2
设异面直线 AC，BM 所成角为q ，则
uuur uuuur
uuur uuuur AC × BM
cosq = cos AC, BM = uuur uuuur 2 6= = ．
AC BM 2 2 3 6
故选：D．
13．（2024 高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方
形， D1D = 3，M，N 分别是 B1C1 ，AB 的中点，设点 P 是线段 DN 上的动点，则 MP 的最小值为（ ）
A 30 B 2 30 C 30 3 30． ． ． D．
4 5 2 5
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，设出点 P 的坐标，根据两点距离公式表示 MP ，利用二次函数求值域，即
可得到本题答案.
【详解】以点D为坐标原点，分别以DA, DC, DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角
坐标系.
因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， D1D = 3，所以M (1, 2,3)，
∵点 P 在 xOy 平面上，∴设点 P 的坐标为 x, y,0 , y 0,1 ，
x AD
∵ P 在DN 上运动，∴ = = 2y AN ，∴
x = 2y ，∴点 P 的坐标为 (2y, y,0)，
2
∴ MP = 1- 2y 2 + 2 - y 2 + 3 - 0 2 = 5y2 -8y +14 = 5 y 4 54 - 5 ÷ +
，
è 5
∵ y 0,1 4，∴当 y = 时， MP 3 30取得最小值 .
5 5
故选：D
14．（2024 高二下·浙江·期中）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB = 2, AA1 = 3，点 D 为棱 BC 的中点，点 E 为
uuur uuur
线段 A1C
π
（不与C 点重合）上的点，且满足 A1E = mEC(m > 0)，当二面角E - AD - C 的平面角为 时，实数4
m 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出两个平面的法向量，结合二面角的平面角的余弦值建立方
程即可算出.
【详解】过点A 在平面 ABC 内作 Ax ^ AC ，
则以A 为坐标原点，分别以 Ax, AC, AA 为 x, y, z轴，
建立空间直角坐标系 Axyz ，如图所示：
则 A1(0,0,3),C(0,2,0)，B( 3,1,0)
3 3
，根据点 D 为棱 BC 的中点得D( , ,0) ，
2 2
uuur uuur
设E a,b,c ，由 A1E = mEC 得，
a,b,c - 3 = m -a, 2 - b, -c ，即E 0,
2m , 3 ，
è m +1 m +1÷
uuur
AD 3 3
uuur
则 = , ,0 AE
0, 2m 3， = ,
，
è 2 2 ÷
÷
è m +1 m +1
÷
r
设平面 ADE 的法向量为 n = x, y, z ，
r uuuv
ì 3
ìn × x
3
+ y = 0
则 í r u
AuDuv = 0 í 2 2，即 ，
n × AE = 0 2m y 3+ z = 0
m +1 m +1
2m
令 x = 3 ，则 y = -1, z
2m r
= ，所以 n =
3
3，-1, ÷，
è 3
ur
易知平面 ADC 的一个法向量为m = 0,0,1 ，
2m
cosq m
r r
× n 3
所以 = mr nr
=
× 2 ，4m
+ 4
9
π
由二面角E - AD - C 的平面角为 ，
4
所以 cosánr,mr π 2 = cos = ，
4 2
2m 2m
3 3 2
所以 = =2 ，解得m = 3 .4m 4 4m
2 2
+ + 4
9 9
故选：C.
15．（2024 高二上·浙江金华·期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于 1970 年正式通车，在和襄阳城长达 53
年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架 上下水平纵向联结系 桥门架和中间横撑
架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中 AB=BH，那么直
线 AH 与直线 IG 所成角的余弦值为（ ）
3 3 1 1A．- B． C．- D．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.
【详解】以 E 为坐标原点，EB，ED，EI 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
设 AB = BH = a ，则 A a,-a,0 , H a,0,a , I 0,0,a ,G a,a,a ，
uuur uur
AH = 0, a, a , IG = a, a,0 ，设直线 AH 与直线 IG 所成角为q ，
uuur uur
uuur uur AH × IG 0, a, a × a, a,0 2
则 cosq = cos AH , IG = uuur uur
a 1
= = 2 = ，AH × IG 2a × 2a 2a 2
1
故直线 AH 与直线 IG 所成角的余弦值为 .
2
故选：D.
16．（2024 高二下·浙江·学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥P - ABC 中，点D是棱PC 上的动点（不含
端点），设CD = x ，二面角 A - BD - C 的大小为q .当 x 增大时，（ ）
A．q 增大 B．q 先增大后减小
C．q 减小 D．q 先减小后增大
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量数量积求解.
【详解】由题意，三棱锥P - ABC 是正四面体，以△PBC 的重心为原点，BC 边的中线 PG 为 x 轴，
OA 为 z 轴，过 O 点平行于 BC 的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系如图：
设三棱锥 P-ABC 的棱长为 2 3 ，则有：OA2 = AP2 - PO2 =12 - 22 = 8 ，
B -1, - 3,0 , A 0,0,2 2 ,C -1, 3,0 , P 2,0,0 D 3 x 1, 2 3 - x ， - ,0÷÷ ，
è 2 2
uuur uuur 3 2 3 - x AB = -1, - 3, -2 2 , AD = x -1, ,-2 2 ，
è 2 2 ÷
÷
r uuur ì -t - 3y - 2 2z = 0ur ìm·AB = 0
设m = t, y, z 是平面 ABD 的一个法向量，则有 í r uuur ，即 í 3 ，令
m·AD = 0 x -1÷÷ t
2 3 - x
+ ÷÷ y - 2 2z = 0
è 2 è 2
ur
y = - 3x ，解得 t = 4 3 - x, z = 2x - 6,\m = 4 3 - x,- 3x, 2x - 6 ，
r
显然 n = 0,0,1 是平面 PBC 的一个法向量，
ur r
mgn 2x - 6cosq ur r 1 2x
2 - 4 3x + 6
\ = = =
m g n 2 2 24 3 - x + 3x + 2x - 6 6 x
2 - 2 3x + 9
1 12
= 2 -
6 2 ；x - 3 + 6
显然当 x = 3 时（x 的取值范围是0 < x < 2 3 ）， cosq q
π
最小， = ，
2
当 x > 3 时， cosq 变大，二面角为锐角，q 变小，
x < 3 时， cosq 变大，二面角为钝角，即q 变小；
综上q 减小.
故选：C.
17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱锥P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各条棱长均为 1，则直线PA与直
线BC 所成角的余弦值为（ ）
1
A 2 2 6． B． C． D．
3 3 6 3
【答案】C
2 2 2 6
【分析】设四边形 ABCD的半径为 r ，求得 2r = 3 和 sin ADC = ，进而求得 AC = ，在VPAC 中，
3 3
uuur r uuur r uuur r
由余弦定理可得 cos APC
1
= - ，设PA = a, PB = b, PC = c，结合向量的夹角公式，即可求解.3
【详解】如图（1）所示，四棱锥P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各条棱长均为 1，
所以点 P 在底面 ABCD内的射影为底面四边形 ABCD的外接圆的圆心，
即四边形 ABCD为圆内接四边形，如图（2）所示
根据四边形 ABCD的对称性，可得BD为外接圆的直径，所以 BAD = 90o ，
设四边形 ABCD的半径为 r ，
在直角△ABD 中，可得 2r = BD = AD2 + BD2 = 12 + ( 2)2 = 3 ，
2 1
设 ADB = q ，可得 sinq = , cosq = ，
3 3
sin ADC sin 2q 2sinq cosq 2 2所以 = = = ，
3
可得 AC 2 2 2 6= 2r sin ADC = 3 = ，
3 3
2 2 2 6 2
在VPAC 1 +1 - ( )中，由余弦定理可得 2 2 2cos APC PA + PC - AC 3 1 ， = = = -
2PA × PC 2 1 1 3
uuur r uuur r uuur r r r r r r r 1
设PA = a, PB = b, PC = c，且 a,b = b,c = 90o , cos a,c = - ，3
uuur uuur r r r r r r r r r uuur uuur
可得PA × BC = a × (c - b) = a ×c - a ×b =1 1 cos a,c - 0
1
= - ， PA =1, BC = 2 ，
3
1
uuur uuur uuur uuur -
则 cos PA, BC uPuurA × BC= uuur 3 2= = - ，
PA × BC 1 2 6
设异面直线PA与直线BC 所成角的范围为q ，其中0o < q 90o ，所以 cosq 2= ，
6
所以直线PA 2与直线BC 所成角的余弦值为 .
6
故选：C.
18．（2024 高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
PA = AB = BC 1= AD = 1，BC / / AD ，已知 Q 是棱PD上靠近点 P 的四等分点，则CQ与平面PAB所成角的
2
正弦值为（ ）．
A 5 B 2 5 C 2 29
1
． ． ． D．
5 5 29 6
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，写出相应点C 、Q的坐标，求出平面PAB的法向量，最后求出CQ与平面PAB
所成角的正弦值.
【详解】
Q PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
\以A 为坐标原点， AD, AB, AP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
1 3 uuur 1 3
建立空间直角坐标系，则C 1,1,0 ，Q ,0, ÷ .\CQ = - ,-1,2 4 ÷ .è è 2 4
r
易知平面PAB的法向量 n = 1,0,0 .
设CQ与平面PAB所成角为q ，
uuur r 1
uuur r CQ × n -
则 sinq = cos CQ, n = uuur r
2 29
= 2 = .
CQ n 29 29
16
故选：C.
19．（2024 高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， P 为体对角线B1D上一点，且
DP = 2PB1 ，则异面直线 AD1 和CP所成角的余弦值为（ ）
0 3 4A B C D 3． ． ． ．
5 5 2
【答案】A
【分析】以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，设正方
体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为3，利用空间向量法可求得异面直线 AD1 和CP所成角的余弦值.
【详解】以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐
标系，
设正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为3，
则 A 3,0,0 、D1 0,0,3 、C 0,3,0 、D 0,0,0 、B1 3,3,3 ，
uuur uuur uuur uuur uuuur
CP = CD + DP 2 2= CD + DB1 = 0, -3,0 + 3,3,3 = 2,-1,2 ，3 3
uuuur uuuur uuur
uuuur uuur
AD ×CP
AD1 = -3,0,3 ，所以， cos AD1,CP = uuuur
1 uuur = 0
AD1 × CP
，
因此，异面直线 AD1 和CP所成角的余弦值为0 .
故选：A.
二、多选题
20．（江苏省淮安市淮海中学 2023-2024 学年高二上学期收心考试数学试题）如图，在棱长为 1 的正方体
ABCD - A1B1C1D1中（ ）
A． AC 与BD1的夹角为60° B．二面角D - AC - D1的平面角的正切值为 2
C． AB1与平面 ACD
3
1所成角的正切值 2 D．点D到平面 ACD1的距离为
3
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项判断即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 ,C 0,1,0 , B 1,1,0 , D1 0,0,1 , B1 1,1,1 ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
∴ AC = -1,1,0 , BD = -1, -1,1 ， AC × BD = 0，即 AC ^ BD o1 1 1 ， AC 与BD1的夹角为90 ，故 A 错误；
uuur uuuur
设平面 ACD
r
1的法向量为m = x, y, z ， AC = -1,1,0 , AD1 = -1,0,1 ，
r uuur
ìm × AC = -x + y = 0 r
所以 í r uuuur ，令 x =1，则m = 1,1,1 ，
m × AD1 = -x + z = 0
r
平面DAC 的法向量可取 n = 0,0,1 ，二面角D - AC - D1的平面角为q ，
r r 1
则 cosq = cos m, n = ，所以 sinq = cos mr , nr 2= , tanq = 2 ，故 B 正确；
3 3
uuur
因为 AB1 = 0,1,1 ，设 AB1与平面 ACD1所成角为a ，
uuur
则 sina = cos AB mr 2 61 × = = , cosa
3
= , tana = 2 ，故 C 正确；
2 × 3 3 3
uuur
因为DA = 1,0,0 ，设点D到平面 ACD1的距离为 d ，则
uuur r
d DA × m 1 3= r = = ，故 D 正确.m 3 3
故选：BCD.
21．（2024 高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体 ABCD - A1B1C1D1的棱长为 2，E，F，G 分别为 AD，
AB， B1C1 的中点，以下说法正确的是（ ）
A．三棱锥C - EFG 的体积为 1 B． A1C ^平面 EFG
C． A1D1 // 平面 EFG D
3
．平面 EGF 与平面 ABCD 夹角的余弦值为
6
【答案】AB
【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥C - EFG 的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断 BCD 选项的
正确性.
1 1 1 1 3
【详解】A 选项， SVCEF = 2 2 - 1 1- 1 2 - 1 2 = 4 - -1-1 = ，2 2 2 2 2
V 1 3所以 C-EFG = VG-CEF = 2 =1，A 选项正确.3 2
建立如图所示空间直角坐标系，
A1 2,0,2 ,C 0,2,0 , D1 0,0,2 , E 1,0,0 , F 2,1,0 ,G 1,2,2 ，
uuur uuuur uuur uuur
A1C = -2,2, -2 , A1D1 = -2,0,0 , EF = 1,1,0 , EG = 0,2,2 ,
uuur uuur uuur uuur
A1C × EG = 0, A1C × EF = 0 ，所以 A1C ^ EG, A1C ^ EF ，
由于EG EF = E, EG, EF 平面FEG ，所以 A1C ^平面EFG ，B 选项正确.
uuur
平面EFG 的一个法向量为 A1C = -2,2, -2 ，
uuuur uuur
A1D1 × A1C = 4 0，所以 A1D1与平面EFG 不平行，C 选项错误.
r
平面 ABCD的法向量为 n = 0,0,1 ，
设平面EFG 于平面 ABCD的夹角为q ，
uuur r
cosq uAu1uC × n 2 3则 = r r = = ，D 选项错误.
A1C × n 2 3 3
故选：AB
r
22．（2024 高二下·江西宜春·开学考试）点M 在 z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 s = 1, -1,1 的直线 l
的距离为 6 ，则点M 的坐标是（ ）
A． 0,0, -3 B． 0,0,3
C． 0,0, 3 D． 0,0, - 3
【答案】AB
uuuur
【分析】设M 0,0,m ，表示出OM ，再由点到直线的距离公式得到 ，解得即可.
uuuur r
【详解】设M 0,0,m ，则OM = 0,0, m ，又直线 l的方向向量为 s = 1, -1,1 ，
uuuur uuuur r
2
2
M l d OM OM
2
所以点 直线 的距离 = - r × s ÷ m2 m= - = 6 ，
÷ 3
è s
所以m = ±3，则M 0,0,3 或M 0,0, -3 .
故选：AB
23．（2024 高二上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三棱锥 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面BCD，VABC 与△BCD
均为等腰直角三角形，且 BAC = BCD = 90°，BC = 2，P 是线段 AB 上的动点（不包括端点），若线段CD
上存在点Q，使得异面直
