3.2.2 双曲线的简单几何性质 10 题型分类
一、双曲线的性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 x≥a 或 x≤－a y≤－a 或 y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性质 b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
c
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
a
a，b，c 间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
二、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y＝±x，离心率为 2.
三、直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
a
b
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠± 时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有 0 个公共点．
四、弦长公式
若 斜 率 为 k(k≠0) 的 直 线 与 双 曲 线 相 交 于 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 两 点 ， 则 |AB| ＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
（一）
双曲线的标准方程与几何性质
1．由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．
(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质．
2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注
意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
题型 1：由双曲线的方程研究几何性质
1-1．【多选】（2024 高二下·山东临沂·期末）已知双曲线C : x2 - y2 = 1，则（ ）
A．实轴长为 1 B．虚轴长为 2
C．离心率 e = 2 D．渐近线方程为 x ± y = 0
【答案】BCD
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由C : x2 - y2 = 1可知， a = b =1,c = 2 ，故实轴长为 2a = 2，虚轴长为 2b = 2，
c b
离心率 e = = 2 ，渐近线方程为 y = ± x = ±x，即 x ± y = 0 .
a a
故选：BCD
2
1-2．【多选】（2024 x高二上·福建福州·期末）已知双曲线 - y2 = m2 m 0 ，则不因m 的值改变而改变的是
3
（ ）
A．焦距 B．顶点坐标
C．离心率 D．渐近线方程
【答案】CD
【分析】根据双曲线的标准方程，表示出 a,b,c，求得焦距、顶点坐标、离心率以及渐近线方程，可得答案.
x2 y2 m2 x
2 y2
【详解】由方程 - = ，则该双曲线的标准方程为 2 2 2 2
3 3m2
- 2 =1，即 a = 3m ,b = m ，m
c2 = a2 + b2 = 4m2，
则焦距为 4 m ，顶点坐标为 ± 3 m ,0 ，离心率 e c 3 3= = ，渐近线方程为 y = ± x .
a 2 3
故选：CD.
y2 x21-3．【多选】（2024 高二上·江苏盐城·期末）下列关于双曲线 - =1说法正确的是（ ）
9 4
A．实轴长为 6 B．与双曲线 4y2 - 9x2 =1有相同的渐近线
2 2
C y x．焦点到渐近线距离为 4 D．与椭圆 + =1有同样的焦点
15 2
【答案】ABD
【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.
y2 x2
【详解】由题意，双曲线 - =1满足 a2 = 9,b2 = 4，即 a = 3,b = 2，于是 2a = 6，故 A 选项正确；
9 4
y y a x 3双曲线的焦点在 轴上，故渐近线方程为： = ± = ± x，而双曲线 4y2 - 9x2 =1焦点也在 y 轴，
b 2
1
3
故渐近线为 y = ± 21 x = ± x ，即它们渐近线方程相同，B 选项正确；2
3
y2 x2
- =1焦点为 0, ± 13 3，不妨取其中一个焦点 0, 13 和一条渐近线 y = x，
9 4 2
2 13
根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为： = 2 ，C 选项错误；
32 + (-2)2
y2 x2
椭圆 + =1的焦点为 0, ± 13 ，根据 C 选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D 选项正确.
15 2
故选：ABD
题型 2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程
2 2 5
2-1．（2024 x y高二下·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线 2 - =1的离心率 e = ，实半轴长为 4，则双曲线a b2 4
的方程为 .
x2 y2
【答案】 - =1
16 9
【分析】由离心率求出 c，再由 c2 = a2 + b2 求出b 可得双曲线方程．
ì c 5
=
a 4 2 2
【详解】由已知可得 ía = 4 ,即得b = 3 ,
x y
所以双曲线方程为: - ＝1.
c2 = a
2 + b2 16 9
x2 y2
故答案为: - =1 .
16 9
2 2
2-2．（2024 高二· · x y全国 课后作业）与双曲线 - = 1有公共焦点，且过点 3 2,2 的双曲线方程为 ．
16 4
x2 y2
【答案】 - =1
12 8
x2 y2
【分析】设双曲线方程为 - =1，将点 3 2,2 代入，解得 k ，即可求解．
16 - k 4 + k
x2 y2
【详解】解：设双曲线方程为 - =1 -4 < k <16 ，将点 3 2,2 代入，
16 - k 4 + k
18 4
即 - =1，解得 k = 4或 k = -14（舍去），
16 - k 4 + k
x2 y2
故所求双曲线方程为 - =1．
12 8
x2 y2
故答案为： - =1
12 8
2 2
2-3．（2024 · y x高二下 广东佛山·阶段练习）一双曲线的虚轴长为 4，离心率与椭圆 + =1的离心率互为倒
4 3
数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
2 2 2 2
A 3x y 3y x． - =1 B． - =1
16 16 16 16
3y2 2 2 2C x 3x y． - =1 D． - =1
4 4 4 4
【答案】C
1
【分析】由椭圆方程可确定焦点在 y 轴上且离心率 e = ，从而得双曲线的焦点也在 y 轴上，离心率 e = 2，
2
再结合离心率公式及所求双曲线的虚轴长为 4，即可求得双曲线的方程.
y2 x2 1
【详解】解：因为椭圆 + =1的焦点在 y 轴上，离心率 e = ，
4 3 2
所以所求双曲线的焦点也在 y 轴上，离心率 e = 2，
c
即 = 2，所以 c2a = 4a
2 ，
又因为双曲线的虚轴长为 4，
即 2b = 4，所以b = 2 ，
即 c2 - a2 = 3a2 = 4，
a2 4所以 = ，
3
3y2 x2
所以所求双曲线的方程为： - =1.
4 4
故选：C.
2-4．（2024 高二上·辽宁营口·期末）过点 2,3 且与椭圆5x2 + 9y2 = 45有相同焦点的双曲线的标准方程为
（ ）
2
A x2 y 1 B x
2 2
y2 1 C x y
2 2 2
． - = ． - = ． - =1 D x y． - = 1
3 9 2 9 9 5
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为 ±2,0 ，根据焦点坐标及点 2,3 可求双曲线的方程.
x2 y2
【详解】椭圆的标准方程为 + =1，故 c = 9 - 5 = 2，可得焦点坐标为 ±2,0 .
9 5
x2 y2
设双曲线的方程为 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
ì 4 9
2 - =1故 ía b2 ，解得 a2 =1,b2 = 3，
a2 + b2 = 4
y2
故双曲线的标准方程为 x2 - =1.
3
故选:A.
（二）
求双曲线的渐近线与离心率
双曲线的渐近线、离心率：
x2 y2 y2 x2
双曲线的方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
a,b,c 的关系 c2＝a2＋b2
c
性 离心率 e＝ ∈(1，＋∞)
a
质
b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
求双曲线离心率的方法
c
(1)直接法：若可求得 a，c，则直接利用 e＝ 得解．
a
(2)解方程法：若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且
p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
题型 3：双曲线的渐近线问题
x2 y23-1．（2024 高二上·河北保定·期中）双曲线 - = -3的渐近线方程为（ ）
2 4
1
A． y = ± 2x B． y = ±2x C 2． y = ± x D． y = ± x
2 2
【答案】A
x2 y2
【详解】由题可知：该双曲线的方程为 - = 0 y = ± 2x
2 4
故选：A
2 2
3-2．（2024
x y
高二下·河南平顶山·期末）双曲线C : - = 1的右焦点到 C 的一条渐近线的距离为（ ）
9 4
A．2 B． 5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.
【详解】依题意得 a2 = 9，b2 = 4 ， c2 = a2 + b2 =13，
所以 a = 3，b = 2 ， c = 13 ，
2
所以渐近线方程为 y = ± x，右焦点为 ( 13,0)，
3
所以点 ( 13,0)到渐近线 2x - 3y = 0
2 13
的距离为 = 2 .
4 + 9
故选：A
2
3-3 2024 · · x y
2
．（ 高二下 四川达州 期末）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的离心率为 2，则它的渐近线方程为a b
（ ）
A． y = ± 3x B． y = ± 2x C． y = ±x D y 2． = ± x
2
【答案】A
b
【分析】由离心率为 2，利用双曲线的性质可得 = 3，由此可得渐近线的方程．
a
x2 y2 b
【详解】由 2 - 2 =1得双曲线的渐近线方程为 y = ± x．a b a
∵双曲线的离心率为 2，
c a2 + b2 b2 b∴ = = 1+ 2 = 2，解得 = 3，a a a a
∴双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x ．
故选：A．
2
3-4．（2024 高三下·湖南· y阶段练习）已知F 21, F2 为双曲线 x - =1(b > 0)的左、右焦点，过F1作直线 y = -bxb2
的垂线分别交双曲线的左、右两支于B,C 两点（如图）.若VCBF2 构成以 BCF2 为顶角的等腰三角形，则双
曲线的渐近线方程为 .
【答案】 y = ± 3 +1 x
【分析】由题意可得 CB = CF2 ，再结合双曲线的定义可求得 BF1 = 2a = 2， BF2 = 4a = 4，由余弦定理可
4c2 -12 1 1
得 cos BF1F2 = ，由F1C 与渐近线 y = -bx 垂直，于是 kF = ，即 tan BF F = ，从而得8c 1C b 1 2 b
2
cos BF F b= b 4c -121 2 ，进而可得 = ，从而可解.c c 8c
【详解】由题意可得 CB = CF2 ，由双曲线的定义及点C 在右支上，
CF1 - CF2 = CB + BF1 - CF2 = BF1 = 2a = 2，
又点 B 在左支上，则 BF2 - BF1 = 2a = 2，则 BF2 = 4a = 4，
BF F cos BF F (2a)
2 + (2c)2 - (4a)2 c2 - 3
在△ 1 2 中，由余弦定理可得 1 2 = = ，8ac 2c
而F
1 1 b
1C 与渐近线 y = -bx 垂直，于是 kF C = ，即 tan BF1F2 = ，从而得 cos BF1F2 = ，1 b b c
b c2 - 3 b a2 + b2 - 3
所以 = ，即 = ，化简得b2 - 2b - 2 = 0，解得b =1+ 3，
c 2c c 2c
所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 3 +1 x .
故答案为： y = ± 3 +1 x
2
3-5．（2024· y江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 - 2 =1(b > 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近b
线方程是 .
【答案】 y = ± 2x .
【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
2
【详解】由已知得32 4- 2 =1，b
解得b = 2 或b = - 2 ，
因为b > 0，所以b = 2 .
因为 a =1，
所以双曲线的渐近线方程为 y = ± 2x .
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲
线渐近线与双曲线标准方程中的 a,b密切相关，事实上，标准方程中化 1 为 0，即得渐近线方程.
2 2
3-6．（2024 高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点F1, F2 是双曲线C :
x y
2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦a b
点，双曲线C 的右支上存在一点 B 满足BF1 ^ BF2 , BF1与双曲线C 的左支的交点A 平分线段BF1，则双曲线C
的渐近线斜率为（ ）
A．±3 B．±2 3 C．± 13 D．± 15
【答案】B
【分析】设 AB = AF1 = x ，则 BF1 = 2x ，由双曲线的定义得 BF2 = 2x - 2a ， AF2 = x + 2a，
根据BF1 ^ BF2，列出方程求得 BF1 = 6a, BF2 = 4a，在直角△BF1F2 中，利用勾股定理求得 c2 =13a2 ，进而
求得双曲线C 的渐近线．
【详解】设 AB = AF1 = x(x > 0)，则 BF1 = 2x ，
由双曲线的定义得 BF2 = 2x - 2a ， AF2 = x + 2a，
又由BF1 ^ BF2得 AF
2 =| AB |2 + BF 2，即 (x + 2a)2 = x22 2 + (2x - 2a)
2 ，解得 x = 3a ，所以 BF1 = 6a, BF2 = 4a，
2 2 2
在直角△BF1F2 中，由勾股定理得 F1F2 = BF1 + BF
2 2 2
2 ，即 (2c) = (6a) + (4a) ，
2
整理得 c2 =13a2 ，则b2 = c2 - a2 =12a2，双曲线C b的渐近线斜率为±
a2
= ±2 3 ．
故选：B．
题型 4：双曲线的离心率问题
x2 24-1．（2024 高二上· · y江苏 期末）设 k 为实数，已知双曲线 - = 1的离心率 e (2,3)，则 k 的取值范围为
4 k
【答案】 (12,32)
【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可
x2 y2
【详解】因为 - = 1表示双曲线的方程，
4 k
所以有 k > 0 ，因此 a = 2,b = k ,c = a2 + b2 = 4 + k ，
c 4 + k
因为 e = = ，
a 2
e 2,3 2 4 + k所以由 < < 3 4 < 4 + k < 6
2
16 < 4 + k < 36 12 < k < 32，
即 k 的取值范围为 (12,32) ，
故答案为： (12,32) .
4-2．（2024 高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，
即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在
2
. C : x y
2
一个圆上时等号成立 已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线 C 上关于a b
π
原点对称的两点A ，B 满足 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 ，若 AF1F2 = ，则双曲线C 的离心率 .6
【答案】 3 +1 /1+ 3
【分析】由题意可得四边形 AF1BF2 为平行四边形，根据 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 及托勒密定理可
得四边形 AF1BF2 为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．
x2 y2
【详解】由双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F2及双曲线上关于原点对称的两点A ，a b
B ，
则 OA = OB ， OF1 = OF2 ，可得四边形 AF1BF2 为平行四边形，
又 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 及托勒密定理，可得四边形 AF1BF2 为矩形．
设 | AF1 |= m， BF1 = n(m > n)，
在RtVAF1F
π
2 中， AF1F2 = ，6
则m - n = 2a ， n = m × tan
π
6 ，
\n = c ，m = 3c ，m = c + 2a ，
\ c3c = c + 2a ，解得 = 3 +1．a
\双曲线的离心率为 3 +1．
故答案为： 3 +1．
x2 24-3 y 3 2．（2024 高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为a b 4
（ ）
1 1
A． y 2= ± x B． y 2= ± x C． y = ± x D． y = ± x
2 4 4 2
【答案】B
3 2 b 2
【解析】由双曲线的离心率为 ，结合离心率的定义，求得 = ，即可求得渐近线的方程.
4 a 4
x2 y2 3 2
【详解】由题意，双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的离心率为 ，a b 4
c 3 2 c2 b 9 b 2
可得 = ，即 2 =1+ ( )
2 = ，解得 = ，
a 4 a a 8 a 4
2
即双曲线的渐近线的方程为 y = ± x .
4
故选：B.
2 2 π
4-4．（2024
x y
高二上·全国·课后作业）已知双曲线 2 - 2 = 1 a > b > 0 两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的a b 3
离心率为（ ）
A．2 B 4 3 C 2 3 D 4 3． ． ．
3 3 3
【答案】C
b π b2
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得 = tan ，再根据
a 6 e = 1+
即可求解.
a2
x2 y2
【详解】∵双曲线 2 - 2 = 1 a > b > 0
b
的渐近线方程为 y = ± x，
a b a
2 2 π
∴ x y由双曲线 2 - 2 = 1 a > b > 0
b π 3
两条渐近线的夹角为 ，可得 .
a b 3
= tan =
a 6 3
c b2∴ e 1 2 3双曲线的离心率为 = = + = .
a a2 3
故选：C.
2 2
4-5．（2024 高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线C : x y2 - 2 =1 a > b > 0 的一条渐近线被圆a b
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 4 15截得的弦长为 ，则双曲线C 的离心率为 .
5
10 1
【答案】 / 10
3 3
【分析】先求渐近线方程，再根据弦长可求 a,b的关系，故可求双曲线的离心率.
x2 y2
【详解】双曲线C : 2 - 2 =1 a > b > 0 的渐近线的方程为 ay ± bx = 0 .a b
圆 x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 x - 2 2的标准方程为： + y - 2 2 = 4，
故该圆的圆心为 2,2 ，半径为 2，
2a ± 2b
而圆心到渐近线的距离为 ，
a2 + b2
2
2a ± 2b 4 15
故渐近线被该圆截得的弦长为 2 4 - 2 ÷ = ，è a + b2 5
整理得到：3a2 -10ab +3b2 = 0或3a2 +10ab + 3b2 = 0，
2
a > b > 0 a = 3b c = 1+ b 10而 ，故 ，故离心率为 ÷ = .a è a 3
10
故答案为： .
3
4-6 2024 · · C : x
2 y2
．（ 高二下 四川凉山 期末）已知双曲线 - =1，（ a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为F1，
a2 b2
F2，过点P -a,0 3作一条斜率为 的直线与双曲线在第一象限交于点 M，且 PF2 = F2M ，则双曲线 C 的
3
离心率为 .
4
【答案】 /113 3
【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可.
【详解】
2
M x x0 y
2
如图所示，设 00 , y0 , F2 c,0 ，则 a2 - 2 =1，b
b2
所以 MF2 = x0 - c
2 + y20 = 1+ x
2
2 ÷ 0 - 2cx0 + c
2 - b2 = ex - a 20 = ex0 - a ，
è a
又 M 在第一象限，即 x0 > a ，故 MF2 = ex0 - a ，
因为 MPF2 = 30° ，过 M 作MD ^ x轴于 D， PF2 = F2M MF2D = 60°，
故 PF2 = a + c = MF2 = 2 F2D D
3 a
c + ,0
÷，
è 2 2
x 3c + a 3c + a c= × - a = a + c 3c2 - ac - 4a2即 0 ，故 = 0 3e
2 - e - 4 = 0 ，
2 2 a
4
解之得 e = （负值舍去）.
3
4
故答案为：
3
4-7．（2024 高三下·湖南长沙·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C 的两个焦点， P 为C 上一点，且
F1PF2 = 60°
7
， PF1 = l PF2 l > 1 ，若C 的离心率为 ，则l 的值为（ ）
2
A．3 B． 3 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 PF1 , PF2 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 PF1 = l PF2 ，由双曲线的定义可得 PF1 - PF2 = l -1 PF2 = 2a ，
PF 2a 2al所以 2 = ， PF1 = ；l -1 l -1
4a24c2 + 4l
2a2 - 2 2a ×2la ×cos 60°
因为 F1PF2 = 60° ,由余弦定理可得 = ，l -1 2
4c2 4a
2 + 4l 2a2 - 4la2 2 c2 1+ l 2 - l 7
整理可得 = 2 ，所以
e = 2 = 2 =l -1 a ，l -1 4
1
即3l 2 -10l + 3 = 0 ,解得l = 3或l = ,又因为l > 1 ,即l = 3 .
3
故选：A
2 2
4-8．（2024· · x y河北 三模）已知双曲线C : - = l （其中m > 0,l 0），若l < 0 ，则双曲线C 离心率的取
m m +1
值范围为（ ）
A． 1, 2 B． 2,+ C． 1,2 D． 2, +
【答案】A
【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m 表示出离心率，进而可得其取值范围.
x2C : y
2
【详解】由双曲线 - = l （其中m > 0,l < 0 ），
m m +1
y2 x2
得 - =1
-l m +1 ，-lm
-l
e m +1 - lm 2m +1 2 m +1 -1 1则双曲线C 离心率 = = = = 2 -
-l ，m +1 m +1 m +1 m +1
1
因为m > 0，所以m +1 >1，则0 < <1，
m +1
所以1< 2
1
- < 2，
m +1
所以1 < e < 2 ，即双曲线C 离心率的取值范围为 1, 2 .
故选：A.
2 2
4-9．（2024·安徽合肥· x y模拟预测）双曲线 2 - 2 =1（ a > 2，b > 0）的焦距为 2c c > 0 ，已知点 A a,0 ，a b
B 0,b ，点 2,0 4到直线 AB 的距离为 d1 ，点 -2,0 到直线 AB 的距离为 d2 ，且 d1 + d2 c ，则双曲线离心5
率的取值范围为（ ）
é 2 ù é 5 ù é, 2 10
ù
A． ê ú B． ê , 5ú C． , 102 2 ê 2 ú
D． é 3,2 3ù
【答案】B
2ab 4
【分析】首先表示出直线 AB 的方程，利用距离公式表示出 d1 ，d2 ，依题意可得 c ，再根据 a、b 、cc 5
的关系得到关于 e的不等式，解得即可.
x y
【详解】依题意直线 AB ： + =1，即bx + ay - ab = 0，又 a > 2，
a b
2b - ab b a - 2 -2b - ab b a + 2
所以 d1 = = ， d2 = =
a2 + b2 a2 + b2 a2
，
+ b2 a2 + b2
b a - 2 b a + 2d d 2ab 4所以 1 + 2 = + = c 22 2 2 2 c 5 ，所以5 c - a
2 ×a 2c2 ，
a + b a + b
25 c2 - a2即 ×a2 4c4，即 4e4 5- 25e2 + 25 0 e2，解得 5，4
é
e 5
ù
又 e >1，所以 ê , 5ú .
2
故选：B
2 2
4-10．（2024 高三下·河南洛阳· y x开学考试）已知双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的上下焦点分别为Fa b 1
, F2 ，点
M 在C 的下支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D，若 MD > F1F2 - MF1 恒成立，则C 的离
心率的取值范围为（ ）
A． 1,
5 5
÷ B． , 2
÷ C． 1,2
5 ,+ D．
3 3 ÷è è è 3
【答案】A
【分析】过点F2作渐近线的垂线，垂足为E ，则 EF2 = b，再根据双曲线的定义得
MD + MF1 = MD + MF2 + 2a EF2 + 2a ，进而转化为 2a + b > 2c 恒成立，再根据齐次式求解即可.
【详解】如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E ，
| F F |= 2c F y a
bc
设 1 2 ，则点 2到渐近线 = ± x的距离 EF2 = = b .b a2 + b2
由双曲线的定义可得 MF1 - MF2 = 2a ，故 MF1 = MF2 + 2a ，
所以 MD + MF1 =| MD | + MF2 + 2a EF2 + 2a = b + 2a ，即 MD + MF1 的最小值为 2a + b ，
因为 MD > F1F2 - MF1 恒成立，
所以 | MD | + MF1 > F1F2 恒成立，即 2a + b > 2c 恒成立，
所以，b > 2c - 2a，即b2 > 4c2 + 4a2 - 8ac，即 c2 - a2 > 4c2 + 4a2 - 8ac ，
5
所以，3c2 + 5a2 - 8ac < 0，即3e2 - 8e + 5 < 0，解得1 < e < .
3
故选：A.
（三）
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
a
b
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠± 时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有 0 个公共点．
题型 5：直线与双曲线的位置关系
5-1．（2024 高二上·全国·单元测试）讨论直线 l : y = kx +1与双曲线C : x2 - y2 = 1的公共点的个数．
【答案】答案见解析
【分析】联立方程组得到 (1- k 2 )x2 - 2kx - 2 = 0，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解.
ìy = kx +1
【详解】联立方程组 í (1- k 22 )x
2 - 2kx - 2 = 0
x - y
2 1，整理得 ，=
当1- k 2 = 0时，即 k = ±1时，具体为：当 k =1时， x = -1；当 k = -1时， x =1；此时直线与双曲线有一个交
点；
当1- k 2 0时，即 k ±1时，可得D = 4k 2 + 8(1- k 2 ) = 8 - 4k 2，
由D > 0，即8 - 4k 2 > 0，可得- 2 < k < 2 且 k ±1，此时直线与双曲线有两个交点；
由D = 0，即8 - 4k 2 = 0，可得 k = ± 2 ，此时直线与双曲线只有一个交点；
由D > 0，即8 - 4k 2 < 0，可得 k < - 2 或 k > 2 ，此时直线与双曲线没有交点；
综上可得：
当 k (- 2,-1) U (-1,1) U (1, 2)时，直线 l与双曲线C 有两个公共点；
当 k = ± 2 或 k = ±1时，直线 l与双曲线C 有一个公共点；
当 k (- ,- 2) U ( 2,+ )时，直线 l与双曲线C 没有公共点.
2 2
5-2．（2024·上海崇明·
x y
模拟预测）双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 与直线 y = 2x无公共点，则双曲线 C 的离a b
心率的取值范围为 ．
【答案】 1, 5ù
【分析】根据直线与双曲线的位置关系求得 a,b的关系，结合离心率公式，即可容易求得离心率范围.
x2 y2 b
【详解】双曲线C : - =1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = ± x
a2 2
，
b a
x2 y2Q若双曲线 - =1(a > 0,b > 0) 与直线 y = 2x无公共点，
a2 b2
\ b b等价为双曲线的渐近线 y = x 的斜率 2，即b 2a ，
a a
即b2 4a2，即 c2 - a2 4a2 ，即 c2 5a2 ，则 c 5a ，则 e 5 ，
Q e >1，\离心率满足1< e 5 ，
即双曲线离心率的取值范围是 1, 5ù .
故答案为： 1, 5ù .
5-3．（2024 高二上·湖北武汉·阶段练习）直线 y = kx -1与双曲线 x2 - y2 =1的左支交于不同两点，则实数 k 的
取值范围为 ．
【答案】 - 2, -1
【分析】联立直线与双曲线方程，消元得 (1- k 2 )x2 +2kx - 2 = 0，依题意可得该方程有两个不等且小于-1的
根，即可得到不等式组，解得即可.
ìy = kx -1
【详解】由 í y2 2 ，消去 整理得 (1- k 2 )x2 +2kx - 2 = 0x y 1 ， - =
ì1- k 2 0
Δ = 4k 2 + 8 1- k 2 > 0
因为该方程有两个不等且小于-1的根，所以 íx x -2k1 + 2 = 2 < 0
，
1- k
x x -21 2 = 2 > 0 1- k
解得- 2 < k < -1，
所以实数 k 的取值范围为 - 2, -1 .
故答案为： - 2, -1
5-4．（2024 高三·全国·专题练习）设双曲线C ：x2 - 2y2 =1上点P( 3,1) ．求双曲线C 在点 P 处的切线 l的方
程．
【答案】 3x - 2y -1 = 0 .
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进
一步求出切线的方程.
2
【详解】由C : x2 - 2 y2 = 1 x -1可得 y = ± ，
2
2
根据题目条件，可知求曲线 y x -1= 在点 P ( 3,1)处的切线 l的方程，
2
1
-
1 x2 -1 2y x x= ÷ =2 è 2 2 x2 -1
2
∴ y x -1曲线 = 在点 P ( 3,1)处的切线斜率为 k = 3
2 2
2
∴ y x -1曲线 = 在点 P ( 3,1) 3处的切线方程为 y = (x - 3) +1
2 2
化简得 3x - 2y -1 = 0
∴双曲线 C 在点 P 处的切线 l的方程为 3x - 2y -1 = 0．
题型 6：求相交弦长
2 2
6-1．（2024
x y
高二上·四川凉山·期末）已知双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的实轴长为 2，右焦点为 5,0 .a b
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知直线 y = x + 2 与双曲线C 交于不同的两点A ， B ，求 AB .
y2
【答案】(1) x2 - =1
4
(2) 4 14
3
【分析】（1）根据实轴长可求 a，根据焦点坐标可求 c，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知 2a = 2， a =1，
又 c = 5 ，则b = c2 - a2 = 2，
y2
所以双曲线方程为 x2 - =1.
4
ì y = x + 2
（2）由 í 22 y ，得3x
2 - 4x -8 = 0，
x - =1 4
Δ = -4 2则 - 4 3 -8 =112 > 0，
设 A x1, y1 ，B x2 , y x x
4 x 82 ，则 1 + 2 = ，3 1
x2 = - ，3
AB 1 12 x x 2 112 4 14所以 = + 1 - 2 = = .3 3
2 2
6-2．（2024 高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线C : y x2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
2 3
的一条渐近线方程为 y = x，
a b 3
焦距为 2 7 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)若 O 为坐标原点，过P(0, 4)的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且△OAB的面积为 24 5 ，求直线 l 的方
程.
y2 x2
【答案】(1) - =1
4 3
(2) y = ±x + 4 y 2 855或 = ± x + 4
45
【分析】（1 a 2 3）根据 = ，2c = 2 7 ，以及 a2 + b2 = c2，求解即可；
b 3
（2）设直线 AB 的方程为 y = kx + 4与椭圆联立，利用弦长公式表示 | AB |，根据点到直线的距离公式求解高，
即可根据三角形面积公式进行求解.
【详解】（1 a 2 3）由题意得： = ，2c = 2 7 ， a2 + b2 = c2，
b 3
解得： c = 7 ， a = 2，b = 3 ，
y2 x2\双曲线C 的标准方程为 - =1．
4 3
（2）由题意可知，直线 AB 的斜率一定存在，
设直线 AB 的方程为 y = kx + 4， A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
ìy = kx + 4
联立方程组 í y2 x2 ，消去 y 整理得 (3k 2 - 4)x2 + 24kx + 36 = 0，
- =1 4 3
ì
2
Δ = 24k - 4 36(3k 2 - 4) > 0
则 íx x
-24k
1 + 2 = 3k 2
，
- 4
x x 36 1 2 =
3k
2 - 4
3k 2 - 4 0
2 2
| AB |= 1+ k 2 × (x1 + x2 )
2 4x -24k- 1x2 = 1+ k
2 × 2 ÷ - 4
36
× 2 = 12 1
4 + k
+ k 2 ×
è 3k - 4 3k - 4 3k 2 - 4
4
原点到直线 AB 的距离为 d = 2 ，1+ k
1 2 2
所以 SVAOB = AB d
1 4 12 1 k 2 4 + k 24 4 + k= + × = = 24 5
2 2 1+ k 2
，
3k 2 - 4 3k 2 - 4
2 k 2 76解得 k =1或 = ，故 k = ±1, k 2 855或45 = ±
，
45
故直线方程为 y = ±x + 4 y 2 855或 = ± x + 4
45
6-3．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线 C 两条准线之间的距离为 1，离心率为 2，直线 l 经过 C 的右
焦点，且与 C 相交于 A、B 两点.
(1)求 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与该双曲线的渐近线垂直，求 AB 的长度.
y2
【答案】(1) x2 - =1
3
(2)3
【分析】
（1）根据双曲线的准线方程公式，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
（2）根据题意设出直线 l 的方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、双曲线弦长公式进
行求解即可.
【详解】（1）因为直线 l 经过 C 的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线 C 两条准线之间的距离为 1，
a2 a2 2
所以有 - - ÷ =1
a 1
= ，
c è c c 2
又因为离心率为 2，
c
= 2 a 1 = a
2 1
所以有 代入 = 中，可得 a =1,c = 2 b2 = c2 - a2 = 4 -1 = 3，
a c 2 c 2
2
∴C 的标准方程为： x2 y- =1；
3
（2）
由上可知：该双曲线的渐近线方程为 y = ± 3x ，
3
所以直线 l 的斜率为± ，由于双曲线和两条直线都关于 y 轴对称，
3
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
3
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线 l 的斜率为 ，
3
方程为 y
3
= x - 2 与双曲线方程联立为：
3
ì 2
x2 y - =1 3
í 8x2 + 4x -13 = 0，
y 3 = x - 2 3
设 A x1, y1 , B x2 , y
1 13
2 ，则有 x1 + x2 = - , x1x2 = - ，2 8
2
3 AB 1 x x 2 3 x x 2 2 3 x x 2 4x x 2 3 1 4 13= + - = - = + - = - 3 ÷÷ 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 4 - ÷ = 3.è è 8
6-4．（2024 高二上·辽宁·期末）已知双曲线 C 的渐近线为 y = ± 3x ，且过点M 1, 2 ．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 y = ax +1与双曲线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA 与 OB 垂直，求 a 的值以及弦长
AB ．
【答案】(1) 3x2 - y2 =1
(2) a = ±1， AB = 10
【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为 3 x 2 - y 2 = l ，代入M 1, 2 可求得l ，整理可得结果；
2a -2 uuur uuur（2）联立直线与双曲线的方程，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，故可得 x1 + x2 = 2 ，x1x2 = ，利用3- a 3- a2 OA ^ OB
列等式可求得 a = ±1，然后利用弦长公式求 AB 即可
【详解】（1）由双曲线渐近线方程为 y = ± 3x ，可设双曲线方程为： 3 x 2 - y 2 = l ，
又双曲线过点M 1, 2 ，\l = 3- 2 =1
\双曲线的方程为：3x2 - y2 =1
ìy = ax +1
（2）设 A x1, y1 B x , y 2 2 2， 2 2 ，联立 í 2 2 ，化为 3-a x -2ax-2 = 0 3- a 0 ．
3x - y =1
∵直线 y = ax +1 2与双曲线 C 相交于 A，B 两点，∴ D = 4a + 8 3 - a2 > 0 ，化为 a2 < 6．
x x 2a -2∴ 1 + 2 = 2 ， x3 - a 1
x2 = （*）3- a2
uuur uuur uuur uuur
∵ OA ^ OB，∴ OA ×OB = 0 ．∴ x1x2 + y1 y2 = 0，
又 y1 = ax1 +1， y2 = ax2 +1，∴ 1 + a2 x1x2 + a x1 + x2 + 1 = 0，
-2
* 1+ a
2
把（ ）代入上式得 2a
2
+ +1 = 0，化为 a2 =1．满足D > 0．∴ a = ±1．
3 - a2 3 - a2
由弦长公式可得 AB = 1+ a2 (x 21 + x2 ) - 4x1x2 = 2 5 = 10
（四）
双曲线的中点弦与点差法
1、双曲线的中点弦结论：
x2 y2
若直线 l (不平行于 y 轴)过双曲线上 － ＝1(a>b>0)两点 A 、 B ，其中 AB中点为 P(x0，y ) ，则a2 b2 0
2
有 = 0 2 .0
2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，
构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 7：双曲线的中点弦问题
2
7-1．（2024 高二下·湖北孝感·期中）过点P 2,1 y的直线 l与双曲线 x2 - =1相交于 A, B两点，若 P 是线段 AB
3
的中点，则直线 l的方程是（ ）
A．6x - y -11 = 0 B．6x + y -13 = 0
C． 2x - 3y -1 = 0 D．3x - 2y - 4 = 0
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
ì 2
x 2 y1 1
- =1
【详解】解：设 A x1, y , B x , y 31 1 1 ，则 í ，
x 2 y
2
- 2 =1 2 3
k y1 - y2
3 x1 + x2 3 2
两式相减得直线的斜率为 = = = = 6 ，
x1 - x2 y1 + y2 1
又直线 l过点P 2,1 ，
所以直线 l的方程为6x - y -11 = 0，
经检验此时 l与双曲线有两个交点.
故选：A
2 2
7-2．（2024·河南·三模）已知直线 l : 4x - 2y - 7 = 0 x y与双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的两条渐近线分别交于a b
点A ， B （不重合）， AB 的垂直平分线过点 3,0 ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 2 3 B 5 -1 C D 6． ． ． 3 ．
3 2 2
【答案】D
【分析】首先求出 AB 的垂直平分线的方程，即可求出 AB 的中点坐标，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，利用点差法
b2 1
得到 2 = ，最后利用离心率公式计算可得.a 2
【详解】因为直线 l : 4x - 2y - 7 = 0，所以 kl = 2，
1
由题可知 AB 的垂直平分线的方程为 y = - x - 3 ，
2
ìx = 2
1 1
将 y = - x - 3 与 4x - 2y - 7 = 0 联立可得 ，即 AB 的中点坐标为 2, ．
2 íy 1= è 2
÷
2
ì x2 21 y1
2
- 2 = 0
设 ( 1, 1)， ( 2,
a b
2)，则 í 2 2 ，且 x1 + x2 = 4， y + y =1，
x2 y
1 2
- 2
= 0
a2 b2
x1 + x2 x1 - x2 y + y y - y 两式作差可得 - 1 2 1 2 = 0 ，
a2 b2
y1 + y2 y1 - y2 b
2 2
即 × =
b 1 1
2 ，所以x x x = 2 =
，
1 + 2 1 - x2 a a2 4 2
b2
则双曲线C 的离心率为 1 6+ 2 = ．a 2
故选：D
2
7-3．（2024 高二下·陕西榆林· y期末）已知 A, B为双曲线 x2 - =1上两点，且线段 AB 的中点坐标为 -1, -4 ，
9
则直线 AB 的斜率为（ ）
3 9 9 3
A． B． C．- D．-
2 4 4 2
【答案】B
【分析】设出 A(x1, y1), B( x2, y2)，利用点差法即可求出结果.
2 2
【详解】设 A(x , y ), B( x , y )，则有 x2 y1 y1 1 2 2 1 - = 1， x2 22 - = 1，9 9
1
两式相减得到 (x1 - x2 )(x1 + x2 ) - (y1 - y2 )(y1 + y2 ) = 0，9
又线段 AB 的中点坐标为 -1, -4 ，
1 y2 - y1 9
所以 (x1 - x2 )(-2) - (y1 - y2 )(-8) = 0，得到 =x - x 4 ，9 2 1
9
所以 AB 的斜率为 .
4
故选：B.
（五）
双曲线的综合问题
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与
双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常
用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
题型 8：双曲线的定点、定值问题
8-1 2024 · · x
2 y2
．（ 高三下 上海闵行 阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左右顶点分别为a b
A, B, A -2,0 .直线 l : x =1和两条渐近线交于点E, F ,点E 在第一象限且EF = 2 3 , P 是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点 P 使得DOEP 为直角三角形？若存在,求出点 P 的个数；
(3)直线PA, PB与直线 l分别交于点M , N ,证明：以MN 为直径的圆必过定点.
x2 y2
【答案】(1) - =1 ；(2)4 个；(3)证明过程见解析.
4 12
【分析】(1)根据 A -2,0 ,可知 a ,根据题意求出点E, F 的坐标,根据EF = 2 3 ,求出b ,这样可求出双曲线的标
准方程；
(2)分类讨论以O, E, P三点为直角顶点时能否构成直角三角形,最后确定点 P 的个数；
(3)设出点 P 的坐标,根据三点共线,结合斜率公式可以求出点M , N 的坐标,进而可求出以MN 为直径的圆,最后
根据圆的标准方程,可以判断出该圆所过的定点.
【详解】(1)因为 A -2,0 ,所以 a = 2 b,双曲线的渐近线方程为： y = ± x ,由题意可知：
2
E 1, b , F 1, b- , x
2 y2
÷ ÷ 而2 EF = 2 3 所以b = 2 3
,因此双曲线的标准方程为： - =1；
è è 2 4 12
(2) 3因为直线OE 的斜率为 3 ,所以与直线OE 垂直的直线的斜率为- ,设 P 点的坐标为： (x0 , y0 ) ,则有
3
x 20 y
2
- 0 =1 .
4 12
ì 3 ì 3
x0 = - 3 x0 = 3y 2 2
当OE ^ OP时,所以 0
3 x0 y0 2 2= - 且 - =1 ,解得
x 3 í
或 í 此时存在 2 个 P 点；
0 4 12
y
6 6
0
= y0 = -2 2
y - 3 3 2 2
当OE ^ EP 时, 0 = - x y所以 且 0 - 0 =1 , 2y 20 - 6 3y0 + 9 = 0 ,
3 3 + 3 3 3 - 3
解得 或
x -1 3 x = x4 12 0 2 0
= ,此时
0 2
存在 2 个 P 点；
2
1
2
3
当PE ^ OP 时,此时 P 点是以线段OE 为直径圆上,圆的方程为： x - ÷ + y - ÷÷ =1 ,与双曲线方程联立,无è 2 è 2
实数解,
综上所述：点 P 的个数为 4 个；
(3)设 P 点的坐标为 (m, n) , 3m2 - n2 =12 .
因为P, A, M
n y 3n
三点共线,所以直线PA, PM 的斜率相等,即 = M yM =m + 2 3 m + 2
因为 P, B, N
n y n
三点共线,所以直线PB, BN 的斜率相等,即 = M yN = , 所以MN 的中点坐标为：m - 2 -1 2 - m
1,
4n - nm
è 4 - m2 ÷
| MN | 4n - 4nm
2 2
= 2 ,所以以MN
4n - nm 2n - 2nm
为直径的圆的方程为：
4 (x -1)
2 + y - = ,即
- m 4 - m2 ÷ 4 - m2 ÷è è
(x -1)2 y2 6(4 - m)+ + y - 9 = 0
n
令 y = 0 x = 4 或 x = -2 ,因此该圆恒过 (-2,0), (4,0)两点.
【点睛】本题考查了求双曲线方程,考查了关于圆过定点问题,考查了数学运算能力.
x2 y28-2．（2024 高二上·全国·期中）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 过点 A -3,2 ，且离心率 e = 5a b
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果 B ，C 为双曲线上的动点，直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并
求出该定值.
x2 y2
【答案】(1) - =1
8 32
(2)证明见解析，6
【分析】（1）根据双曲线的离心率及双曲线过点A 可得方程；
（2）设点 B 与点C 的坐标，根据直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数，可得直线BC 的斜率.
ì 9 4
- =1 a2 b2
【详解】（1）由题意 í 2 ，解得 a
2 = 8，b2 = 32，
c
= 1
b
+ 2 = 5 a a
x2 y2
故双曲线方程为 - =1
8 32
（2）设点B x1, y1 ，C x2 , y2 ，
设直线 AB 的方程为 y - 2 = k x + 3 ，
2 2
代入双曲线方程，得 4 - k x - 2k 3k + 2 x - 3k + 2 2 - 32 = 0，
6k 23 x + 4k 3k
2 + 4k +12 2k 2 + 24k + 8
\- + 1 = 2 ， x = ， y = ，4 - k 1 4 - k 2 1 4 - k 2
B 3k
2 + 4k +12 2, 2k + 24k + 8
\
è 4 - k
2 4 - k 2 ÷
C 3k
2 - 4k +12 2
同理 2 ,
2k - 24k + 8
4 - k 4 - k 2 ÷
，
è
k 48k\ BC = = 6 .8k
2 2
8-3．（2024 高三上·浙江绍兴· x y期末）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率为 2，右焦点F 到其中一a b
条渐近线的距离为 3 .
(1)求双曲线C 的标准方程；
1
(2)过右焦点F 作直线 AB 交双曲线于 A, B两点，过点A 作直线 l : x = 的垂线，垂足为M ，求证直线MB过
2
定点.
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得b = 3 ，进而根据 a,b,c的关系即可求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，根据两点坐标求解直线MB的方程，即可求解过定点.
【详解】（1）由题意，设右焦点F 的坐标为 c,0 ，
双曲线C 的渐近线方程为：bx ± ay = 0 ，
bc bc
右焦点F 到其中一条渐近线的距离为 = = b2 2 c ，可得b = 3 ，a + b
c 2 2 2
又因为 e = = 2,a + b = c ，解得 a = 1,c = 2 ，
a
2
故双曲线C 的标准方程为 x2 y- =1.
3
1
（2）当直线 AB 的斜率不为 0 时，设 A x1, y1 , B x2 , y2 , lAB : x = my + 2，则M , y2 1 ÷è
ìx = my + 2
联立方程组 í y22 ，得3(my + 2)
2 - y2 = 3
x - =1 3
3m2整理得： -1 y2 +12my + 9 = 0 .
ì Δ = 12m 2 - 4 \ 3m
2 -1 9 > 0 12m 9
í ，且 y1 + y2 = - 2 , y1 × y2 = 2
3m2 -1 0 3m -1 3m -1
y1 + y2 12m 4 m y y 3\ = - = - 1 2， == -y ,1y2 9 3 y1 + y2 4m
Ql : y y y2 - yMB - = 1
1 1 x
1 y - y 1
- ÷ y = 0 -y =
2 1 x -
x - è 2 ，令 得，
1 1 ÷
2 x2 - è
2
2 2
x 1 my 31 2 - 2 + -my
3
1y2 - y1
\ x - = -y1 × 2 = -y × 2 = 22 y2 - y
1
1 y2 - y1 y2 - y1
3
-m -
÷ y1 + y2
3
- y 3 3
4m 2 1 y2 - y1 3 5= è = 4 4 = \ x = ，
y2 - y1 y2 - y1 4 4
5
\ 直线MB过定点D ,04 ÷
.
è
5
当直线 AB 的斜率为 0 时，此时直线 AB : y = 0 ，此时M , B x
均在 轴上，故直线MB过定点D ,04 ÷
.
è
D 5 ,0 综上：直线MB过定点 4 ÷
.
è
2 2
8-4．（2024 · x y高二下 全国·开学考试）已知O为坐标原点，双曲线C ： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的左、右a b
焦点分别为F1，F
AB
2，点 P 在双曲线C 上，A ， B 分别是线段PF1，PF2 的中点，且 = 2 ，a
OA - OB = 3．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知点M -3,0 ，N 3,0 ，当 P 与M ，N 不重合时，设直线PM ，PN 的斜率分别为 k1，k2 ，证明：k1k2
为定值．
x2(1) y
2
【答案】 - =1
9 27
(2)证明见解析
【分析】（1）由 OA - OB = 3可得 PF2 - PF1 = 6，即可求出 a
AB
，然后由 = 2 可求出 c，即可得到答案；
a
y y
（2）设P x0 , y0 0 0，然后可得 k1k2 = ×x + 3 x - 3 ，结合双曲线的方程可证明.0 0
【详解】（1）因为A ， B ，O分别是线段PF1，PF2 ，F1F2 的中点，
1 1
所以 OA = PF2 ， OB = PF2 2 1
．
因为 OA - OB = 3，所以 PF2 - PF1 = 6，
所以由双曲线的定义知 2a = 6，解得 a = 3．
设双曲线C 的半焦距为 c（ c > 0）．
AB c
因为 = 2 ，所以 = 2，
a a
所以 c = 6，所以b2 = c2 - a2 = 27．
x2 y2
所以双曲线C 的标准方程为 - =1．
9 27
2 2
（2）设P x0 , y0 （ x0 ±3 x y），则 0 - 0 =1，9 27
2
3x2所以 0 - y
2 = 27 3x2 2 y0 ，所以 2 00 - 27 = y0 ，所以 x0 - 9 = ．3
y y
因为M -3,0 ， N 3,0 0 0，所以 k1 = , k2 =x0 + 3 x - 3
，
0
y y y2
所以 k1k2 = 0 × 0 = 0 = 3，为定值．x0 + 3 x
2
0 - 3 x0 - 9
题型 9：双曲线的向量问题
x2 y29-1．（2024 高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线C ： - =1（ a > 0，b > 0）的左顶点为 A -1,0 2 2 ，A 到a b
C 3的一条渐近线的距离为 ．
2
(1)求C 的方程；
uuuur uuur
(2)过点P 2,0 的直线 l与C 交于M ， N 两点，求 AM × AN 的值．
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
(2)0
【分析】（1）由题意知 a =1，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到 a与b 关系式，
从而求得b ，进而可求得C 的方程；
uuuur uuur
（2）当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x = 2，则可得到M ， N 的坐标，进而可直接求解 AM × AN
的值；当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y = k x - 2 ，M x1, y1 ，N x2 , y2 ，联立直线 l的方程和C
uuuur uuur
的方程可得到关于 x 的一元二次方程，从而可得到 x1 + x2 ， x1x2 ，代入即可求解 AM × AN 的值，综上，即可
uuuur uuur
得到 AM × AN 的值．
【详解】（1）由题意知 a =1，C 的一条渐近线方程为 y
b
= x ，即bx - ay = 0 ，
a
b b 3
所以A 到C 的一条渐近线的距离为 ，所以 = ，
a2 + b2 a2 + b2 2
2
又 a =1 y，解得b = 3 ，所以C 的方程为 x2 - =1．
3
（2）当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x = 2，易得M 2,3 ， N 2, -3 或M 2, -3 ， N 2,3 ，
uuuur uuur
所以 AM × AN = 3,3 × 3,-3 = 0；
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y = k x - 2 ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ì 2
x2
y
- =1
3 2 2联立 í ，得 3- k x + 4k 2x - 4k 2 - 3 = 0，
y = k x - 2
ì 3- k
2 0
所以 í 2 2 2 2 ，解得 k ± 3 ， Δ = 4k - 4 3 - k -4k - 3 > 0
4k 2 -4k 2 - 3
所以 x1 + x2 = - 3- k 2
， x1x2 = ，3- k 2
uuuur uuur
所以 AM × AN = x1 +1, y1 × x 22 +1, y2 = x1 +1 x2 +1 + y1 y2 = x1x2 + x1 + x2 +1+ k x1 - 2 x2 - 2
2 2
= 1+ k 2 2 x1x2 + 1- 2k x1 + x2 +1+ 4k 2 1 k 2 -4k - 3= + × 2 + 1- 2k 2 4k× - +1+ 4k 2 = 0．3 - k è 3 - k 2 ÷
uuuur uuur
综上， AM × AN = 0．
2 2
9-2 2024 x y 3．（ 高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线 C： 2 -a b2
=1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = ± x，且
3
过点 6,1 ．
(1)求双曲线 C 的方程；
uuuur uuur r
(2)若 F 是双曲线的右焦点，Q 是双曲线上的一点，过点 F，Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，且MQ + 2QF = 0，
求直线 l 的斜率．
2
【答案】(1) x - y2 =1
3
(2) k 39= ±
6
3
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为 y = ± x和双曲线过点 6,1 ，联立求解；
3
uuuur uuur r
（2）由题意设直线方程为 y = k x - 2 ，令 x = 0，得到 M 的坐标，设Q x, y ，根据MQ + 2QF = 0，用 k 表
示点 Q 的坐标，再根据点 Q 在双曲线上，代入双曲线方程求解.
x2 y2 3
【详解】（1）解：因为双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = ± x，a b 3
b 3
所以 = ，
a 3
x2 y2
又因为双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 过点 6,1 ，a b
6 1
所以 2 - 2 = 1，解得 a2 = 3,b2 =1a b ，
x2
所以双曲线的方程为 - y2 =1；
3
（2）由（1）知： c2 = a2 + b2 = 4，则F 2,0 ，
由题意设直线方程为 y = k x - 2 ，令 x = 0，得 y = -2k ，则M 0, -2k ，
uuuur uuur
设Q x, y ，则MQ = x, y + 2k ,QF = 2 - x,-y ，
uuuur uuur r
因为MQ + 2QF = 0，
4 - x = 0
所以 x, y 2k 2 2 x, y 0 ì+ + - - = ，则 í ，
-y + 2k = 0
ìx = 4
解得 í ，因为点 Q 在双曲线上，
y = 2k
16
- 4k 2 =1 k 39所以 ，解得3 = ±
，
6
39
所以直线 l 的斜率为 k = ± .
6
9-3．（2024 高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，存在两定点M -1,0 ，N 1,0 与一动点 A.已
知直线MA与直线 NA的斜率之积为 3.
(1)求 A 的轨迹G；
(2)记G的左、右焦点分别为F1、F2 .过定点 0,1 的直线 l交G于 P 、Q两点.若 P 、Q两点满足
uuur uuuur uuur uuuurPF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216，求 l的方程.
2
【答案】(1) x2 y- =1 x ±1
3
(2) y 163x 1 163= + 或 y = - x + 1 .
51 51
【分析】（1）设 A x, y ，表示出直线MA与直线MB的斜率，由题可得 A 的轨迹G；
y2
（2）设过定点 0,1 的直线 l方程为 y = kx +1，将其与 x2 - =1 x ±1 联立，后由
3
uuur uuuur uuur uuuurPF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216及韦达定理可得答案.
2
【详解】（1）设 A x, y y y，由题意 × = 3，化简可得 x2 y- =1
x +1 x -1 3
2
所以 A y的轨迹为 x2 - =1 x ±1 .
3
2
（2 y）由题设过定点 0,1 的直线 l方程为 y = kx +1，将其与 x2 - =1 x ±1
3
ìy = kx +1
2 2
联立有： í y2 ，消去 y 得： 3 - k x - 2kx - 4 = 0
x
2 - =1 x ±1
3
因 l交G于 P 、Q两点，则
ì3- k 2 0
í k -2, - 3 - 3, 3 3,2 .
4k
2 16 3 + - k 2 > 0
设P x1, y1 ，Q x2 , y 2k -42 ，则由韦达定理有： x1 + x2 = 2 ，x1x2 = .3 - k 3 - k 2
uuur uuur
又F1 -2, 0 ，F2 2, 0 ，则PF1 = -2 - x1, -y1 ，PF2 = 2 - x1, -y1 ，
uuur uuur
QF1 = -2 - x2, -y2 ，QF2 = 2 - x2, -y2 ，
uuur uuuur uuur uuuur则 PF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216 4 x1x2 + y1y2 = 216 .
3 - 3k 2
又 y1 y2 = kx1 + 1 kx 22 + 1 = k x1x2 + k x1 + x2 + 1 = 2 ，3 - k
2
4 x x + y y = 216 -1 - 3k = 54 k 1631 2 1 2 ，解得 = ± ，3 - k 2 51
l y 163则 的方程为： = x 1 y 163+ 或 = - x + 1 .
51 51
2 2
9-4．（2024 高二上· y x广东深圳·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）a b
3
的一条渐近线为 y = x ，且点 P 3, 2 在 C 上．
3
(1)求 C 的方程；
uuur uuur
(2)设 C 的上焦点为 F，过 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 AF = 7BF ，求 l 的斜率．
2
【答案】(1) y2 x- =1
3
(2) 2 5±
5
【分析】（1）利用渐近线方程可得b = 3a，再将点 P 3, 2 代入即可求得结果；（2）设出直线方程并与双
曲线方程联立，利用韦达定理并根据向量定比即可求得 l 的斜率．
a 3 a
【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为 y = ± x，所以
b =
，
3 b
可得b2 = 3a2 ，
2 3
将 P 3, 2 代入可得 2 - 2 =1，解得 a2 =1,b2 = 3；a b
x2
所以双曲线 C 的方程为 y2 - =1.
3
（2）由（1）可知，上焦点F (0, 2)，
设直线 l 的斜率为 k ， A x1, y1 , B x2 , y2 ，则直线 l 的方程为 y = kx + 2，
ì 2
y2
x
- =1
联立 í 3 整理得 3k 2 -1 x2 +12kx + 9 = 0；
y = kx + 2
所以 x
12k
1 + x2 = - 2 , x1x
9
=
3k -1 2 3k 2 -1
uuur uuur
又 AF = 7BF ，即 -x1, 2 - y1 = 7 -x2 , 2 - y2 ，可得 x1 = 7x2 ，
ìx 12k 2
1
+ x2 = 8x2 = - 3k 2 -1 é 3k ù 9
ê- ú = k 2 5所以 í ，即 ，解得 = ± ；
x x = 7x 2 9= ê 2 3k 2 -1 ú 7 3k 2 -1 5
1 2 2 3k 2 -1
2 5
所以直线 l 的斜率为±
5
题型 10：双曲线的实际应用
10-1．（2024 高三上·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位
效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源 P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声
源 P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源 P 对于测听者的方向偏角a ，就近似地由双曲线的渐近线与
虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为 20cm ，声源 P 的声波传及甲的左、右
两耳的时间差为3 10-5 s，声速为334m/s，则声源 P 对于甲的方向偏角a 的正弦值约为（ ）
A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05
【答案】D
cosa b sina 1=
【解析】由已知求出 2a、焦距 2c，利用 = 可得 2 可得答案.
sina a 1 b+
a2
【详解】设两耳所在双曲线的实轴长为 2a，焦距为 2c，虚轴长为 2b，
则 2a = 3 10-5
π b
334 = 0.01002 m ， 2c = 0.2 m ，由题意 tan -a ÷ = ，
è 2 a
cosa b 1 a 2a 0.01002
= sina = = = = = 0.0501 0.05所以 ，所以 2 ．
sina a 1 b+ c 2c 0.2
a2
故选：D．
10-2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两
个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 2s，已知各观测点到该中心的距
离是 680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一
平面上)
A．西偏北 45°方向，距离 340 3 m B．东偏南 45°方向，距离 340 3 m
C．西偏北 45°方向，距离 170 3 m D．东偏南 45°方向，距离 170 3 m
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【详解】如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为 x 轴、 y 轴正向，建立直角坐标系．设 A、B、C 分别是西、东、
北观测点，则 A（- 680，0），B（680，0），C（0，680）.
设P（x，y）为巨响为生点，由 A、C 同时听到巨响声，得 PA = PC ，故 P 在 AC 的垂直平分线PO上，PO
的方程为 y = -x ，因 B 点比A 点晚 2s听到爆炸声，故， PB - PA = 340 2 = 680
x2 y2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B为焦点的双曲线左支 2 - 2 ＝1(x < 0)上，a b
依题意得 a = 340，c = 680，\b2 = c2 - a2 = 6802 - 3402 = 3 3402 ,
x2 y2
故双曲线方程为 y = -x2 - ＝1，将 代入上式，得 x=±170 6，Q x < 0，\ x=-170 6，y=170 6 ，340 3 3402
即P(-170 6，170 6)，
故PO＝340 3 .
故巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心340 3m 处．
故选：A.
10-3．（2024 高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从
双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已
知双曲线的方程为 x2 - y2 =1，则当入射光线F2P 和反射光线PE互相垂直时（其中 P 为入射点）， F1F2P 的
大小为（ ）
p p p 5p
A． B． C． D12 ．6 3 12
【答案】D
【分析】设 PF2 = m m > 0 ，则 PF1 = 2 + m ，勾股定理求 m，应用和角余弦公式求 F1F2P 的大小.
【详解】由 x2 - y2 =1得： a =1，b =1， c = 2 ．
设 PF2 = m m > 0 ，则 PF1 = 2 + m ．
2
所以m2 + m + 2 2 = 2 2 ，解得m = 3 -1（m = - 3 -1舍去），
PF
所以 cos
3 -1 6 - 2
F1F2P =
2 = = ， F
F F 2 2 4 1
F2P (0,p )，
1 2
cos 5π = cos(π π+ ) = cos π cos π - sin π sin π 6 - 2= ，
12 4 6 4 6 4 6 4
5p
所以 F1F2P = ．12
故选：D．
2 2
10-4．（2024 高三上·河南· y x阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 - =1的图象的一部分，
16 m
当拱顶 M 到水面的距离为 4 米时，水面宽 AB 为 4 3 米，则当水面宽度为 4 6 米时，拱顶 M 到水面的距离
为（ ）
A．4 米 B． 8 2 - 4 米 C． 2 6 - 4 米 D． 4 7 - 4 米
【答案】D
【分析】将 A -2 3, -8 代入双曲线得到m = 4 ，当 x = -2 6 得到 y = -4 7 ，得到答案.
64 12 y2 x2
【详解】根据题意：M 0,-4 ， A -2 3, -8 ，故 - =1，解得m = 4 ，即 - =1，16 m 16 4
当水面宽度为 4 6 米时，即 x = -2 6 时， y = -4 7 ，
拱顶 M 到水面的距离为 4 7 - 4 .
故选：D
一、单选题
2 2
1 x y．（2024 高三下·江西·阶段练习）已知双曲线C : - =1 a > 0 ，下列结论正确的是（ ）
2a a
1
A．C 的实轴长为 2a B．C 的渐近线方程为 y = ± x2
C C 6． 的离心率为 D．C 的一个焦点的坐标为 5a ,0
2
【答案】C
【分析】求出实半轴、虚半轴、半焦距，即可按定义逐个判断.
【详解】对 A，C 的实轴长为 2 2a ，A 错；
对 B，C 的渐近线方程为 y
a 2
= ± x = ± x，B 错；
2a 2
2a + a 6
对 C，C 的离心率为 = ，C 对；
2a 2
对 D，C 的焦点的坐标为 ± 3a ,0 ，D 错.
故选：C
2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5 ，则它的渐近线
方程为（ ）
A． y = ±2x B 5． y = ± x
2
1
C． y = ± x D． y = ± 6x
2
【答案】C
b
【分析】根据离心率求出 ，再根据双曲线的渐近线方程即可得解.
a
y2 x2
【详解】设双曲线的方程为 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
c b2 b2 b
因为 = 1+ 2 = 5 ，所以 2 = 4，则 = 2，a a a a
a 1
所以渐近线方程为 y = ± x = ± x .
b 2
故选：C.
3．（2024 高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线9x2 -16y2 =144的焦点坐标为（ ）
A． (- 7,0), ( 7,0) B． (0,- 7),(0, 7)
C． (-5,0), (5,0) D． (0, -5), (0,5)
【答案】C
【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可.
【详解】因为双曲线方程为9x2 -16y2 =144，
x2 y2
化为标准方程为： - =1，所以 c2 = 16 + 9 = 25，
16 9
由于焦点在 x 轴上，所以焦点坐标为： (-5,0), (5,0) .
故选：C.
2 2
4．（2024· x y河北沧州·模拟预测）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，O为原点， A, B分别为该双曲线的左，a b
右顶点F1, F2 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 P 在双曲线的渐近线上，OP 为 APF2的平分
线，且线段 OP 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】C
π
【分析】根据已知条件求出点 P 的坐标为 -a,b ，得 PAF2 = ，再根据OP 为 APF2的平分线，推出2
POA π= b， - = - 3a ，由此可得离心率.3
【详解】因为OP 为 APF2的平分线，所以 APO = F2PO ，
又因为 OP = OF2 = c，所以 OF2P = F2PO，
P(x , y ) y b设 0 0 ，因为点 P 在渐近线 = - x上，所以 y
b
0 = - x ，a a 0
2
因为 OP = c，所以 x2 20 + y0 = c x
2 b+ x2 = c x2，所以 0 0 ，所以 0 = a
2
2 ，a
又点 P 在第二象限内，所以 x0 = -a ， y0 = b ，所以点 P 的坐标为 -a,b ，
π π π
所以 PAF2 = ，所以 PAF2 + 3 APO = π APO = ，所以 POA = ，2 6 3
b 2π b b2
所以- = tan = - 3 = 3 ，可得
a 3 a e = 1+ = 2
，
a2
故选：C.
5．（2024 高二下·河南·阶段练习）已知双曲线 x2 - y2 = 2 ，点F1, F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若
F1PF2 = 60°，则三角形F1PF2 的面积为（ ）
A．2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3
【答案】D
S b
2 sinq b2
= =
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合双曲线的性质可得 VF1PF2 1- cosq tan q ，即可求面积
.
2
1
【详解】设q = F1PF2 = 60°，则 SVF PF = | PF1 || PF2 | sinq ，1 2 2
PF 2 + PF 21 2 - F F
2
1 2 (| PF1 | - | PF2 |)
2 + 2 | PF || PF | - | F F |2
而cosq = = 1 2 1 2 ，且 || PF1 | - | PF2 ||= 2a,| F F |= 2c，2 PF1 PF2 2 | PF || PF |
1 2
1 2
| PF || PF | 2b
2
所以 1 2 = ，1- cosq
2 2
S b sinq b 2
故 VF PF
= = = = 2 3
1 2 1- cosq tan q tan 30° ，
2
故选：D.
2 2
6．（2024·安徽六安·模拟预测）已知双曲线C : x y- =1的左、右焦点分别为F1、F
16 9 2
，直线 y = kx 与双曲线
C 交于A ， B 两点，若 AB = F1F2 ，则VABF1 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由已知可得四边形 AF1BF2 为矩形，从而可得 AF1 ^ BF1， BF1 = AF2 ，由双曲线的性质可求得 c，
从而可得 AB = F1F2 ，利用勾股定理及双曲线的定义可求得 AF1 BF1 ，由三角形面积公式即可得解．
【详解】直线 y = kx 与双曲线C 交于A ， B 两点，若 AB = F1F2 ，
则四边形 AF1BF2 为矩形，所以 AF1 ^ BF1， BF1 = AF2 ，
x2 y2
由双曲线C : - =1可得 a = 4，b = 3，则 c = a2 + b216 9 = 16 + 9 = 5
，
所以 AB = F1F2 = 2c = 10
2 2 2
，所以 AF1 + BF1 = AB = 100，
又 AF1 - BF1 = AF1 - AF2 = 2a = 8，
2 2
所以 AF1 + BF1 - 2 AF1 BF1 = 64 ，解得 AF1 BF1 = 18，
1
所以 SV ABF = AF BF = 91 2 1 1 ．
故选：C．
二、多选题
7．（2024 高二上·山西太原·期末）直线 l : y = k(x - 2)与双曲线C : x2 - y2 = 2的左、右两支各有一个交点，则
k 的可能取值为（ ）
1
A．0 B．1 C． 2 D．
2
【答案】AD
【分析】联立直线与双曲线的方程，由韦达定理结合方程根的情况列出不等式，求解可得 k 的范围，判断选
项即可.
ìy = k(x - 2)
【详解】联立 í 2 2 ，消去 y 得， (1- k
2 )x2 + 4k 2x - 4k 2 - 2 = 0 .
x - y = 2
因为直线 l与双曲线C 的左、右两支各有一个交点，
所以方程 (1- k 2 )x2 + 4k 2x - 4k 2 - 2 = 0有一正一负根，
ì 1- k 2 0
所以 í-4k 2 - 2 ，整理得1- k 2 > 0，解得-1 < k <1.
< 0 1- k 2
所以 k 的取值范围为-1 < k <1，故 A，D 符合题意.
故选：AD.
三、填空题
y2 x2
8．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 y = -x + 4与双曲线 - =1上支的交点个数为 ．
16 9
【答案】2
【分析】直接解方程组，求得直线和双曲线上支的交点坐标，即可得到答案.
ìy = -x + 4
2 2 2 x 72 72 100【详解】由 í y x ，可得 7x + 72x = 0，解得 = - 或 x = 0．当 x = - 时， y = ；当 x = 0时，
- =1 7 7 7
16 9
y = 4 ，所以直线 y = -x + 4与双曲线上支的交点个数为 2．
故答案为：2
9．（2024 高二上·广西北海·期末）若直线 l 过点 (-1,2)，且与双曲线9x2 - y2 = 9有且只有一个公共点，则满
足条件的直线有 条．
【答案】4
【分析】分情况讨论直线有斜率和无斜率，联立直线与双曲线的方程，根据方程根的个数即可求解直线的
条数.
【详解】当直线 l 的斜率不存在时，直线为 x=-1，与曲线9x2 - y2 = 9有且只有一个公共点．
当直线 l 的斜率存在时，可设直线为 y = k(x +1) + 2，代入曲线方程整理得
9 - k 2 x2 - 2k 2 + 4k x - k 2 + 4k +13 = 0 ，若9 - k 2 = 0，则 k = ±3，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐
近线的直线，与曲线9x2 - y2 = 9有且只有一个公共点；
2 13当9 - k 0时，则由D =144k + 468 = 0，得 k = - ，此时有一条直线与曲线9x2 - y2 = 9相切，有且只有一4
个公共点．综上，这样的直线共有 4 条．
故答案为：4
10．（2024 高二下·上海徐汇·期中）已知直线 l : y = tx + 2 和双曲线C : x2 - y2 = 8，若 l 与 C 的右支交于不同
的两点，则 t 的取值范围是 ．
6
【答案】 (- , -1)
2
【分析】联立直线 l与双曲线C 的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.
ìy = tx + 2
【详解】由 í 22 2 消去 y 得： (t -1)x
2 + 4tx +12 = 0
x y 8 ，由于 l 与 C 的右支交于不同的两点， - =
则直线 l与双曲线C 的两个交点横坐标均为正，且不等，
ì
Δ =16t 2 - 48(t 2 -1) > 0
4t 6
于是 í- 2 > 0 ，解得- < t < -1，
t -1 2
12
2 > 0 t -1
所以 t 6的取值范围是 (- , -1) .
2
6
故答案为： (- , -1)
2
11．（2024 高二下·安徽六安·开学考试）已知直线 y = ax +1与双曲线3x2 - y2 =1相交于 A，B 两点，若 A，B
两点在双曲线的左支上，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 3 < a < 6
【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.
ìy = ax +1, 2 2
【详解】由 í 2 2 得 3-a x -2ax-2 = 0，
3x - y =1,
, 3
ù
方程在 - - ú有两个不相等的负实根，
è 3
ì3 - a2 0
Δ = 4a
2 + 8(3- a2 ) > 0
所以 íx -2 ,解得 .
1
x2 = > 0 3 < a < 63- a2
2a
x1 + x2 = < 0, 3- a2
故答案为： 3 < a < 6 .
2 2
12 x y．（2024·北京平谷·一模）已知双曲线 + =1的离心率为 2，则实数m = ．
m 3
【答案】-9
c 2 b m
【分析】由题知m < 0， a2 = 3,b2 = -m，所以 e = = 1+
a a ÷
= 1- = 2，求解即可得出答案.
è 3
2
m < 0 x y
2
【详解】由题知， ，则方程 + =1表示焦点在 y 轴上的双曲线，
m 3
2
所以 a2 = 3,b2 = -m，则 e c b m= = 1+
a ÷
= 1- = 2，
è a 3
m
所以1- = 4，解得：m = -9 .
3
故答案为：-9 .
2 2
13．（2024 高二下·福建泉州·期末）已知直线 y = x x y是双曲线C : a > 0,b > 0
a2
- 2 =1（ ）的一条渐近线，则b
C 的离心率为 .
【答案】 2
b
【分析】根据渐近线方程得到 =1，然后代入离心率公式求解.
a
x2 y2
【详解】因为直线 y = x 是双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一条渐近线，a b
b 2
=1 C c b 所以 ，所以 的离心率为
a e = = 1+ ÷ = 2
.
a è a
故答案为： 2
2 2
14 x y．（2024 高二上·全国·课后作业）过双曲线 - =1的右焦点作倾斜角为 30°的直线 l，直线 l 与双曲线
3 6
交于不同的两点 A，B，则 AB 的长为 ．
16 3
【答案】
5
【分析】根据直线与双曲线相交，由韦达定理以及弦长公式即可求解.
ì x2 y2
2 2 - =1x y 3 6
【详解】双曲线 - =1 3的右焦点为F2 3,0 ，所以直线 l 的方程为 y = (x - 3) ．由 í ，得3 6 3 y 3 = (x - 3) 3
2 A x , y B x , y x x 6 x x 275x + 6x - 27 = 0．设 1 1 ， 2 2 ，则 1 + 2 = - ， 1 2 = - ，5 5
2
1 2
所以 AB = 1+ ÷ é x1 + x2 - 4x ù1x2 = 1
1 6 4 27 16 3+ - ÷ - - ÷ = ．
è 3 3 è 5 è 5 5
16 3
故答案为：
5
2 2
【点睛】若直线 l : y = kx + m x y与双曲线 - =1（ a > 0，b > 0）交于 A x1, y1 ，B x2 , y2 2 2 两点，则a b
1
AB = 1+ k 2 x1 - x2 或 AB = 1+ 2 y1 - y2 （ k 0）．k
15．（2024 高二下·四川南充·阶段练习）经过点 A 2, -1 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
x2 2【答案】
3 -
y
3 =1
【分析】采用待定系数法，将A 点坐标代入所假设的双曲线方程即可求得结果.
2 2
【详解】设所求双曲线方程为： x - y = l l R,l 0 ，
Q 2, -1 \l = 22 - -1 2双曲线经过点 ， = 3，
2
\ y
2
所求双曲线方程为： x
3 - 3 =1
.
故答案为： x
2 2
3 -
y =1 .3
16．（2024 高二·全国·课后作业）双曲线9x2 -16y2 =144的一条弦的中点为 A 8,3 ，则此弦所在的直线方程
为 .
【答案】3x - 2y -18 = 0
【分析】设弦的两端分别为B x1, y1 ，C x2 , y2 ，代入双曲线方程相减，利用中点坐标可求得弦所在直线的
斜率从而得到直线方程.
【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，
设弦的两端分别为B x1, y1 ，C x2 , y2 ，
ì9x2 -16y21 1 =144
则有 í 2 2 ，两式相减得9 x21 - x22 -16 y21 - y22 = 0，
9x2 -16y2 =144
所以9 x1 + x2 x1 - x2 -16 y1 + y2 y1 - y2 = 0，
ìx + x =16
又因为弦的中点为 A 8,3 1 2，所以 íy ， 1 + y2 = 6
k y= 1 - y2
9 x + x 3
故直线斜率 =
1 2 =
x1 - x2 16 y
，
1 + y2 2
3
则所求直线方程为 y - 3 = x -8 ，整理得3x - 2y -18 = 0，
2
ì3x - 2y -18 = 0
由 í 22 2 得 y - 6y -15 = 0
9x -16y =144
，
D = -6 2 - 4 1 -15 = 96 > 0，故该直线满足题意，
故答案为：3x - 2y -18 = 0
x2 y217．（2024 高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线 C： - =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F ，
a2 b2 2
其中F2与抛物线 y2 = 8x的焦点重合，点 P 在双曲线 C 的右支上，若 PF1 - PF2 = 2，且 F1PF2 = 60°，则VF1PF2
的面积为 .
【答案】3 3
【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出PF1 × PF2 的值，然后代入三角形的面积公式
S 1VF PF = PF1 × PF2 sin F1PF2 ，即可得到本题答案.1 2 2
【详解】由双曲线右焦点F2与抛物线 y2 = 8x的焦点重合，可得F2 (2,0)，所以 F1F2 = 4，
设 PF1 = r1, PF2 = r2 ，则 r1 - r2 = 2 ，
2 2 2 2 2 1
因为 F1F2 | = PF1 | + | PF2 | -2 PF1 × PF2 ×cos F1PF2 ，所以 r1 + r2 - 2r1r2 =16，2
则 (r 21 - r2 ) + r1r2 =16，解得 r1r2 =12，
1
所以， SVF PF = r1r2 sin 60° = 3 3 .1 2 2
故答案为：3 3
2 2
18．（2024· x y河南新乡·模拟预测）已知双曲线C ： - 2 =1（b > 0）的离心率为 3，焦点分别为F1，F2 b 2
，
点 P 在双曲线C 上.若VPF1F2的周长为14 2 ，则VPF1F2的面积是 .
【答案】 4 14
【分析】设 PF1 = m, PF2 = n，由VPF1F2的周长为14 2 ，得到m + n + 2c =14 2 ，再由双曲线的定义得到
m - n = 2a = 2 2 ，联立解得 m，n，然后在VPF1F2中，利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】解：设 PF1 = m, PF2 = n，
x2 y2
因为双曲线C ： - 2 =1（b > 0）的离心率为 3，2 b
c
所以 = 3，即
a c = 3a = 3 2
，
又VPF1F2的周长为14 2 ，
所以m + n + 2c =14 2 ，
由双曲线的定义得m - n = 2a = 2 2 ，
解得 m = 5 2,n = 3 2 ，
2 2 2
由余弦定理得 cos F PF m + n - 4c 1 1 2 = = - ，2mn 15
则 sin 4 14 F1PF2 = ，15
所以 S 1VF PF = mnsin F AF
1 5 2 3 2 4 14 = = 4 14 ，
1 2 2 1 2 2 15
故答案为： 4 14
19 2024 · · F F x
2 y2
．（ 高二下 湖北宜昌 阶段练习）已知 1， 2是双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左，右焦点，经过点a b
F1且与 x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第三象限，四边形 F1AF2B为平行四边形，
a 为直线BF1的倾斜角，若a
p p , ÷ ，则该双曲线离心率的取值范围是 .
è 4 3
【答案】 5, 13
【分析】由题意，根据双曲线的对称性得到点 B 也在双曲线的渐近线上，且 B 在第一象限，从而得到
bcB c,
bc p p
÷，再a 为直线BF1的倾斜角，且a , ÷ ，在RtVBF1F2 中，由
è a è 4 3 tana a
b
= = 求解.
2c 2a
【详解】解：因为经过点F1且与 x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第三象限，四边
形F1AF2B为平行四边形，
所以由双曲线的对称性可知点 B 也在双曲线的渐近线上，且 B 在第一象限，
因为 AF1 ^ x
，所以 BF2 ^ x ，则B c,
bc
a ÷，è
因为a
p
为直线BF1的倾斜角，且a ,
p
÷ ，
è 4 3
bc
所以在RtVBF1F2 中， tana a b ，且 tana 1, 3= = ，
2c 2a
1 b b
2 c2 2
则 < < 3 ，即 4 - a<
2a a2
<12，即 4 < <12，
a2
即5 < e2 <13，解得 5 < e < 13，
所以该双曲线离心率的取值范围是 5, 13 ，
故答案为： 5, 13
2 2
20．（2024·安徽合肥· x y模拟预测）设点 F 为双曲线C : - =1的左焦点，经过原点 O 且斜率 k 3 的
m +1 3- m
直线与双曲线 C 交于 A B 两点，AF 的中点为 P，BF 的中点为 Q.若OP ^ OQ，则双曲线 C 的离心率 e 的取
值范围是 .
【答案】 é 3 +1, +
【分析】先根据双曲线的对称性得四边形 AFBF2 为平行四边形，再结合OP ^ OQ得△BFF2为直角三角形，
e 1=
设直线 AB 倾斜角为2q ，从而求得离心率 2sin π -q ，求解函数的值域即可得范围. 4 ÷è
【详解】设双曲线的右焦点为F2，根据双曲线方程知， c2 = (m +1) + (3- m) = 4，则 c = 2 .
因为直线过原点，由对称性，原点O平分线段 AB ，
又原点O平分线段F2，所以四边形 AFBF2 为平行四边形.
在△ABF 和△ABF2 中，分别有中位线，OP∥BF ，OQ P AF ，
因为OP ^ OQ，所以 AF ^ BF ，所以四边形 AFBF2 为矩形，△BFF2为直角三角形.
π π
不妨设 B 在第一象限，设直线 AB 倾斜角为2q ，则 2q
é
ê , ÷，且 OFB = OBF = q ， 3 2
在 Rt△BFF2中可得： 2a = BF - BF2 = 4cosq - 4sinq ，
e c 2 1= = =
所以 a 2cosq - 2sinq 2sin π -q ，
è 4 ÷
2q é π π 因为 ê , ÷，所以q
é π , π ÷，
3 2 ê 6 4
f q 1= é π π
又 2sin π q 在q ê ,- 上为增函数， 4 ÷ 6 4
÷
è
e 1= é 3 +1,+ 所以 2sin π -q . ÷
è 4
故答案为： é 3 +1, +
x2 y221．（2024 高二下·福建福州·期中）已知双曲线C : - = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ，双曲a b2 2
线的左顶点为A，以F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 AQ 3 AP ，
则该双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】 (1, 6 ]
2
b
【分析】以F F 为直径的圆的方程为 x2 + y21 2 = c2 ，不妨设双曲线的这条渐近线方程为 y = x ，a
联立可得 P，Q 两点坐标，再由 AQ 3 AP 可得该双曲线的离心率的取值范围.
【详解】依题意可得，以F F 为直径的圆的方程为 x2 + y21 2 = c2 ，
b
不妨设双曲线的这条渐近线方程为 y = x ，
a
ìy b = x ìx = a ìx = -a
由 í a ，得： í 或 í ，所以Q(a,b), P(-a, -b)，
x2 + y2 = c
2 y = b y = -b
双曲线的左顶点为A ，则 A(-a,0) ，
所以 AQ = (a + a)2 + b2 = 4a2 + b2 ， AP = (-a + a)2 + b2 = b ，
因为 AQ 3 AP ，所以 4a2 + b2 3b，化简得 a2 2b2 ，
2
所以 a2 2(c2 - a2 ) e2 a 3，所以 = ，所以 e 6 ，
c2 2 2
又 e >1，所以 e (1, 6 ] .
2
(1, 6故答案为： ]
2
四、解答题
22．（2024 高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题：
2 2
（1 E x y）双曲线 ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 离心率为 2 ，且点 2, 2 在双曲线E 上，求E 的方程；a b
2 2
（2
x y
）双曲线C 实轴长为 2，且双曲线C 与椭圆 + =1的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．
8 4
x2 y2 y2
【答案】（1） - =1；（2） x2 - =1.
2 2 3
【分析】（1）由 e = 2 可得 c = 2a ，再将点 2, 2 代入方程，联立解出答案，可得答案.
x2 y2
（2）先求出椭圆 + =1的焦点 ±2,0 ，则双曲线C 的焦点在 x 轴上，由条件可得 2a = 2，且
8 4
a2 + b2 = 4，从而得出答案.
c
【详解】（1）由 e = 2 ，得 = 2 ，即a c = 2a
，
2 2 2 2又b = c - a = 2a - a2 = a2 ，即 a = b，
x2 y2 4 2
双曲线E 的方程即为 2 - 2 =1，点 2, 2 坐标代入得 2 - 2 =1，解得a2 = 2．a a a a
x2 y2
所以，双曲线E 的方程为 - =1．
2 2
x2 y2
（2）椭圆 + =1的焦点为 ±2,0 ，
8 4
x2 y2
设双曲线C 的方程为 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
所以 2a = 2，且 a2 + b2 = 4，
所以 a =1，b2 = 3
2
所以，双曲线C 的方程为 x2 y- =1．
3
2 2
23．（2024· · x y湖南 模拟预测）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的其中一个焦点为 5,0 ，一条渐近线方a b
程为 2x - y = 0
（1）求双曲线C 的标准方程；
3p
（2）已知倾斜角为 的直线 l与双曲线C 交于 A, B两点，且线段 AB 的中点的纵坐标为 4，求直线 l的方程.
4
y2
【答案】（1） x2 - =1（2） x + y - 3 = 0
4
【分析】（1）由题意，联立方程求出 c,a,b，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知 c = 5 ，
又一条渐近线方程为 2x - y = 0
b
所以 = 2，
a
由 c2 = a2 + b2 可得5 = a2 + 4a2 ,解得 a2 =1，b2 = 4 ，
y2
故双曲线C 的标准方程为 x2 - =1
4
（2）设 A(x1, y1), B( x2, y2)，AB 中点的坐标为 (x0 , 4)
y 2 2
则 x 2 - 1 =1①， x 2 y21 2 - =1②，4 4
2 2
② - ① y y得： x 2 - x 2 = 2 - 12 1 ，4 4
k 4x= 0 4x= 0即 = x0 ，又 k = tan
3p
= -1
y0 4 4
，
所以 x0 = -1，
所以直线 l的方程为 y - 4 = -(x +1)，即 x + y - 3 = 0
2 2
24．（2024 y x高二下·四川资阳·期末）已知双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的一条渐近线方程为 y = 2x，一个a b
焦点到该渐近线的距离为 1.
(1)求C 的方程；
(2)经过点M 1,4 的直线 l交C 于 A, B两点，且M 为线段 AB 的中点，求 l的方程.
2
【答案】(1) y - x2 =1
4
(2) y = x + 3
a
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到 = 2，再由点到线的距离公式求出 c，最后根据
b
c2 = a2 + b2 计算可得；
（2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 l的斜率为 k ，利用点差法计算可得；
y2 x2 a
【详解】（1）解：双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的渐近线为 y = ± x，即 ax ± by = 0，a b b
a
所以 = 2，
b
-c
又焦点 0,c 到直线 y = 2x的距离 d = =12 2 ，所以 c = 5 ，2 + -1
2
又 c2 = a2
y
+ b2 ，所以 a2 = 4，b2 = 1，所以双曲线方程为 - x2 =1
4
（2）解：设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 l的斜率为 k ，则 x1 + x2 = 2， y1 + y2 = 8，
y 2 y 2
所以 1 - x 2 =1， 2 - x 21 2 =1，4 4
y 2 y 21 2 x 2 x 2 0 y1 + y2 y1 - y2 两式相减得 - - 1 + 2 = ，即 = x + x x - x 4 4 4 1 2 1 2
y1 + y2 y1 - y2
即 = 4 x x x x ，所以 4k = 4，解得 k =1，1 + 2 1 - 2
所以直线 l的方程为 y - 4 = x -1，即 y = x + 3，
经检验直线 l : y = x + 3与双曲线C 有两个交点，满足条件，
所以直线 l的方程为 y = x + 3 .
2 p
25．（2024 y高二·全国·课后作业）过双曲线 x2 - =1的左焦点F ，作倾斜角为 的直线 l .
3 6
(1)求证： l与双曲线有两个不同的交点 A, B；
(2)求线段 AB 的中点M 的坐标和 AB .
【答案】(1)证明见解析
1 3 3
(2) M ,4 4 ÷÷
， AB = 3
è
【分析】（1）由双曲线方程可得F ，进而得到 l方程；将 l与双曲线联立，由D > 0可得结论；
x + x
（2）由（1）可得韦达定理的形式，将 xM = 1 2 代入 l方程即可求得M 点坐标；利用弦长公式可求得2
AB .
3
【详解】（1）由双曲线方程知：F -2,0 ，则 l : y = x + 2 ，
3
ì 3
y = x + 2 3
由 í 22 得：8x - 4x -13 = 0，则D =16 - 32 -13 = 432 > 0，
x
2 y- =1
3
\l 与双曲线有两个不同的交点 A, B .
（2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ì
x1 + x
1
=
2 x + x 1 3 1 3 3
由（1 2）得： í ，\ x 1 2 M = = ，\ yM = + 2÷ = ；
x1x
13
2 = -
2 4 3 è 4 4
8
M 1 , 3 3
\ 4 4 ÷÷
；
è
AB 1 1 x x 2 4x 2 3 1 13= + × 1 + 2 -3 1x2 = + = 3
.
3 4 2
26．（2024 高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为F1(-3,0) ，F2 (3,0)，且该双曲线过点P(2, -2 6)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点F1作斜率为 2 6 的弦 AB，求 AB 的长；
(3)在（2）的基础上，求VF2 AB 的周长．
y2
【答案】(1) x2 - =1
8
(2)25
(3)54
【分析】（1）双曲线的焦点在 x 轴上，设出双曲线方程，把已知条件代入解方程组即可；
（2）写出直线 AB 的方程，与双曲线方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式求得；
（3）由双曲线的定义及弦长 AB 得出VF2 AB 的周长．
x2 y2
【详解】（1）因为双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线方程为 2 - 2 =1，a b
ìa2 + b2 = 9
ìa2 =1 y2
由题意得 í 4 24 ，解得 í 2 ，所以双曲线方程为 x
2 - =1.
a2
-
b2
=1 b = 8 8
（2）依题意得直线 AB 的方程为 y = 2 6(x + 3)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2 ) .
ìy = 2 6(x + 3)
联立 í y2 ，得2 x
2 + 9x +14 = 0，
x - =1
8
x1+x2 = - 9，且 x1x2 =14，
所以 AB = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ 24 × x
2
1 + x2 - 4x1x2 =5 81- 56=25 .
（3）由（2）知 A，B 两点都在双曲线左支上，且 a =1，
由双曲线定义， AF2 - AF1 = BF2 - BF1 = 2a ，
从而 AF2 + BF2 = 4a + AF1 + BF1 = 4a + AB ，
VF2 AB 的周长为 AF2 + BF2 + AB = 4a + 2 AB = 4 + 50 = 54．
27．（2024 高二上·甘肃庆阳·期末）在①C 的渐近线方程为 y = ±x ②C 的离心率为 2 这两个条件中任选一
个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线 C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点P 2, - 2 在 C 上，且______．
(1)求 C 的标准方程；
(2)已知 C 的右焦点为 F，直线 PF 与 C 交于另一点 Q，不与直线 PF 重合且过 F 的动直线 l 与 C 交于 M，N
两点，直线 PM 和 QN 交于点 A，证明：A 在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
x2 y2
【答案】(1) - =1
2 2
(2)证明见解析
【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出 a,b,c之间的关系，再利用P 2, - 2 在双曲线上即
可求得 C 的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得 Q 点坐标，分别别写出直线 PM 和 QN 的直线
方程，求得交点 A 的坐标表示，利用韦达定理即可证明.
【详解】（1）选①
b
因为 C 的渐近线方程为 y = ±x，所以 =1，
a
故可设 C 的方程为 x2 - y2 = l ，
代入点 P 的坐标得 22 - (- 2)2 = l ，可得l = 2，
x2 y2
故 C 的标准方程为 - =1．
2 2
选②．
b 2
因为 C 的离心率为 2 ，所以 1+ ÷ = 2 ，得 a = b，
è a
故可设 C 的方程为 x2 - y2 = l ，
代入点 P 的坐标得 22 - (- 2)2 = l ，可得l = 2，
x2C y
2
故 的标准方程为 - =1．
2 2
（2）由（1）可知 F 的坐标为 2,0 ，由双曲线的对称性，可知点 Q 的坐标为 2, 2 ．
设点 M，N 的坐标分别为M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 )，直线 l 的方程为 y = k x - 2 ，
2 2 2 2
联立直线和双曲线方程得 k -1 x - 4k x + 4k + 2 = 0，
2 2
所以 x1 + x
4k x x 4k + 22 = 2 ， 1 2 = ，k -1 k 2 -1
k x - 2 + 2 2 2 2
直线 PM： y
= 1 (x - 2) - 2 ，即 y = k + ÷÷ x - 2k - - 2 ，x1 - 2 è x1 - 2 x1 - 2
k x - 2 - 2 2 2 2 2直线 QN： y = (x - 2) + 2 ，即 y = k - ÷÷ x - 2k + + 2 ，x2 - 2 è x2 - 2 x2 - 2
1 1 x 2 1 1
消去 y，得 + ÷ = + +1÷ ，
è x1 - 2 x2 - 2 è x1 - 2 x2 - 2
整理得 x1 + x2 - 4 x = 2 x1x2 - x1 - x2 ，
2 x x - x - x
则 x = 1 2 1 2 ．
x1 + x2 - 4
4k 2 + 2 4k 2
x x 2 - 2
因为 1 2
- x1 - x2 k -1 k -1 2 1= = = 1
x1 + x2 - 4 4k
2 ，所以 A 的横坐标为 ．4 2
k 2
- 4
-1
故 A 在定直线 x =1上．
2 2
28．（2024· · x y湖北 二模）已知双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的离心率为 2 ，过点E 1,0 的直线 l 与 C 左a b
右两支分别交于 M，N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 与直线 MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若 A，B 为双曲线的左右顶点，且 AB = 4，试判断直线 AN 与直线 BM 的交点 G 是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直线上，定直线 x = 4
【分析】（1）根据题意列出方程组得到 a = b，设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，P(x0 , y0 )，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出 A -2,0 ，B(2,0)，设直线 l： x =1+ ty， t 0，设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，联立
直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线 AN 与直线 BM 的方程得出 x = 4，进而得证.
ì e c = = 2
【详解】（1）由题意得 í a ，所以 a = b，
c
2 = a2 + b2
设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，P(x0 , y0 )，
ì x 2 21 y1
- =1 a2 b2
则 í ，
x
2
2 y
2
- 2 =1
a2 b2
y - y 2 2
作差得 1 2
b x + x
= × 1 2
b x
2 = 2 ×
0
x ，1 - x2 a y1 + y2 a y0
y 2
又 MN 的斜率 k = 1
- y2 b x y
MN = ×
0 k = 0
x ， OP ，1 - x a
2 y x2 0 0
b2
所以 kMN kOP = 2 = 1 .a
（2）∵ 2a = 4，∴ a = b = 2， A -2,0 ，B(2,0)，
直线 l： x =1+ ty， t 0，
设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ìx =1+ ty t 0 2 2
联立 í 2 2 得 t -1 y + 2ty - 3 = 0，
x - y = 4
ì
V=16t 2 -12 > 0, t 2 -1 0, t 0
y y -2t 3 y + y 所以 í 1 + 2 = ，所以 1 2 ，
t
2 ty y =-1 1 2 2
y1y
-3
=
2 t 2 -1
y
设直线 AN 2： y = x
y
+ 2 ，BM 1： y = x - 2 x2 + 2 x1 - 2
，
9 3
x + 2 y1 x2 + 2 y1 ty2 + 3 ty1y + 3y y1 + y所以 = = = 1 = 2 2
2
= 3
x - 2 x1 - 2 y2 ty1 -1 y2 ty1y2 - y 3 1
，
2 y
2 1
+ y
2 2
所以 x = 4．故存在定直线 x = 4，使直线 AN 与直线 BM 的交点 G 在定直线上．
2 2
29．（2024 ·
x y
高二上 重庆北碚·阶段练习）双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = 2x，一个焦点a b
到该渐近线的距离为 2．
(1)求 C 的方程；
(2)是否存在直线 l，经过点M 1,4 且与双曲线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，若存在，求 l 的方程：
若不存在，说明理由．
y2
【答案】(1) x2 - =1
4
(2)存在； y = x + 3 .
b
【分析】（1）根据双曲线方程得到渐近线方程，即可得到 = 2，再由点到线的距离公式求出 c，最后根据
a
c2 = a2 + b2 计算可得；
（2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 l的斜率为 k ，利用点差法计算可得；
x2 y2 b
【详解】（1）双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的渐近线为 y = ± x，a b a
b
因为双曲线的一条渐近线方程为 y = 2x，所以 = 2，
a
2c
又焦点 c,0 到直线 y = 2x的距离 d = = 22 ，所以 c = 5
，
2 + -1 2
2
又 c2 = a2 + b2 ，所以 a2 =1，b2
y
= 4 ，所以双曲线方程为 x2 - =1
4
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 l的斜率为 k ，则 x1 + x2 = 2，
y1 + y2 = 8，
x 2 y
2 y 2
所以 1 -
1 =1， x 2 22 - =1，4 4
y 2 y 2 y + y y - y
两式相减得 x 2 2 1 2 1 2 1 21 - x2 - + = 0，即 = x + x x - x 4 4 4 1 2 1 2
y1 + y2 y1 - y2
即 = 4 x x x x ，所以 4k = 4，解得 k =1，1 + 2 1 - 2
所以直线 l的方程为 y - 4 = x -1，即 y = x + 3，
3.2.2 双曲线的简单几何性质 10 题型分类
一、双曲线的性质
x2 y2 y2 x2
标准方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
图形
范围 x≥a 或 x≤－a y≤－a 或 y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性质 b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
c
离心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
a
a，b，c 间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
二、等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是 y＝±x，离心率为 2.
三、直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
a
b
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠± 时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有 0 个公共点．
四、弦长公式
若 斜 率 为 k(k≠0) 的 直 线 与 双 曲 线 相 交 于 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 两 点 ， 则 |AB| ＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
（一）
双曲线的标准方程与几何性质
1．由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．
(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质．
2．由双曲线的性质求双曲线的标准方程
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注
意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
(2)巧设双曲线方程的技巧：渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
题型 1：由双曲线的方程研究几何性质
1-1．【多选】（2024 高二下·山东临沂·期末）已知双曲线C : x2 - y2 = 1，则（ ）
A．实轴长为 1 B．虚轴长为 2
C．离心率 e = 2 D．渐近线方程为 x ± y = 0
2
1-2 x．【多选】（2024 高二上·福建福州·期末）已知双曲线 - y2 = m2 m 0 ，则不因m 的值改变而改变的是
3
（ ）
A．焦距 B．顶点坐标
C．离心率 D．渐近线方程
2 2
1-3．【多选】（2024 · y x高二上 江苏盐城·期末）下列关于双曲线 - =1说法正确的是（ ）
9 4
A．实轴长为 6 B．与双曲线 4y2 - 9x2 =1有相同的渐近线
2 2
C．焦点到渐近线距离为 4 D y x．与椭圆 + =1有同样的焦点
15 2
题型 2：由双曲线的性质求双曲线的标准方程
x2 y2 52-1．（2024 高二下·上海浦东新·阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1的离心率 e = ，实半轴长为 4，则双曲线a b 4
的方程为 .
x2 y22-2．（2024 高二·全国·课后作业）与双曲线 - = 1有公共焦点，且过点 3 2,2 的双曲线方程为 ．
16 4
2 2
2-3．（2024 y x高二下·广东佛山·阶段练习）一双曲线的虚轴长为 4，离心率与椭圆 + =1的离心率互为倒
4 3
数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（ ）
A 3x
2 y2 1 B 3y
2 x2
． - = ． - =1
16 16 16 16
C 3y
2 x2 3x2 y2
． - =1 D． - =1
4 4 4 4
2-4．（2024 高二上·辽宁营口·期末）过点 2,3 且与椭圆5x2 + 9y2 = 45有相同焦点的双曲线的标准方程为
（ ）
y2 2 2 2 2 2A． x2 - =1 B x x y x y． - y2 =1 C． - =1 D． - = 1
3 9 2 9 9 5
（二）
求双曲线的渐近线与离心率
双曲线的渐近线、离心率：
x2 y2 y2 x2
双曲线的方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
a,b,c 的关系 c2＝a2＋b2
c
性 离心率 e＝ ∈(1，＋∞)
a
质
b a
渐近线 y＝± x y＝± x
a b
求双曲线离心率的方法
c
(1)直接法：若可求得 a，c，则直接利用 e＝ 得解．
a
(2)解方程法：若得到的是关于 a，c 的齐次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 为常数，且
p≠0)，则转化为关于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
题型 3：双曲线的渐近线问题
2 2
3-1．（2024 x y高二上·河北保定·期中）双曲线 - = -3的渐近线方程为（ ）
2 4
A y = ± 2x B y = ±2x C y 2． ． ． = ± x D． y
1
= ± x
2 2
2 2
3-2．（2024 高二下·河南平顶山·
x y
期末）双曲线C : - = 1的右焦点到 C 的一条渐近线的距离为（ ）
9 4
A．2 B． 5 C．3 D．4
2 2
3-3．（2024 · x y高二下 四川达州·期末）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的离心率为 2，则它的渐近线方程为a b
（ ）
A． y = ± 3x B． y = ± 2x C． y = ±x D． y 2= ± x
2
2
3-4．（2024 高三下·湖南· y阶段练习）已知F1, F2 为双曲线 x2 - 2 =1(b > 0)的左、右焦点，过F1作直线 y = -bxb
的垂线分别交双曲线的左、右两支于B,C 两点（如图）.若VCBF2 构成以 BCF2 为顶角的等腰三角形，则双
曲线的渐近线方程为 .
2
3-5．（2024· y江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2 - 2 =1(b > 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近b
线方程是 .
2 2
3-6 x y．（2024 高二下·江西赣州·阶段练习）如图所示，点F1, F2 是双曲线C : a2
-
b2
= 1(a > 0,b > 0)的左、右焦
点，双曲线C 的右支上存在一点 B 满足BF1 ^ BF2 , BF1与双曲线C 的左支的交点A 平分线段BF1，则双曲线C
的渐近线斜率为（ ）
A．±3 B．±2 3 C．± 13 D．± 15
题型 4：双曲线的离心率问题
2 2
4-1．（2024 高二上·江苏· x y期末）设 k 为实数，已知双曲线 - = 1的离心率 e (2,3)，则 k 的取值范围为
4 k
4-2．（2024 高二下·湖南衡阳·期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，
即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在
x2 y2
一个圆上时等号成立.已知双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线 C 上关于a b
π
原点对称的两点A ，B 满足 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 ，若 AF1F2 = ，则双曲线C 的离心率 .6
2 2
4-3．（2024 高二上· x y陕西宝鸡·期末）已知双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
3 2
的离心率为 ，则其渐近线方程为
a b 4
（ ）
1 1
A． y 2 2= ± x B． y = ± x C． y = ± x D． y = ± x
2 4 4 2
2 2 π
4-4．（2024
x y
高二上·全国·课后作业）已知双曲线 2 - 2 = 1 a > b > 0 两条渐近线的夹角为 ，则此双曲线的a b 3
离心率为（ ）
A．2 B 4 3 C 2 3 D 4 3． ． ．
3 3 3
2
4-5 2024 · · C : x y
2
．（ 高三下 贵州黔东南 阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1 a > b > 0 的一条渐近线被圆a b
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 4 15截得的弦长为 ，则双曲线C 的离心率为 .
5
2 2
4-6．（2024 · x y高二下 四川凉山·期末）已知双曲线C : 2 - 2 =1，（ a > 0，b > 0）的左、右焦点分别为F1，a b
F2，过点P -a,0 3作一条斜率为 的直线与双曲线在第一象限交于点 M，且 PF2 = F2M ，则双曲线 C 的
3
离心率为 .
4-7．（2024 高三下·湖南长沙·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C 的两个焦点， P 为C 上一点，且
F1PF2 = 60°
7
， PF1 = l PF2 l > 1 ，若C 的离心率为 ，则l 的值为（ ）
2
A．3 B． 3 C．2 D． 2
2 2
4-8．（2024· · x y河北 三模）已知双曲线C : - = l （其中m > 0,l 0），若l < 0 ，则双曲线C 离心率的取
m m +1
值范围为（ ）
A． 1, 2 B． 2,+ C． 1,2 D． 2, +
2 2
4-9 x y．（2024·安徽合肥·模拟预测）双曲线 2 - 2 =1（ a > 2，b > 0）的焦距为 2c c > 0 ，已知点 A a,0 ，a b
B 0,b ，点 2,0 4到直线 AB 的距离为 d1 ，点 -2,0 到直线 AB 的距离为 d2 ，且 d1 + d2 c ，则双曲线离心5
率的取值范围为（ ）
é 2 ù é ù é ù
A． ê , 2
5
ú B． ê , 5
10
ú C． ê , 10 ú D． é 3,2 3ù2 2 2
2 2
4-10．（2024 高三下· y x河南洛阳·开学考试）已知双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的上下焦点分别为F1, F2 ，点a b
M 在C 的下支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为D，若 MD > F1F2 - MF1 恒成立，则C 的离
心率的取值范围为（ ）
1, 5 5 5 A． B． , 23 ÷ 3 ÷
C． 1,2 D． ,+ 3 ÷è è è
（三）
直线与双曲线的位置关系
直线与双曲线的位置关系
设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
双曲线 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝± 时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
a
b
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠± 时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有 0 个公共点．
题型 5：直线与双曲线的位置关系
5-1．（2024 高二上·全国·单元测试）讨论直线 l : y = kx +1与双曲线C : x2 - y2 = 1的公共点的个数．
2 2
5-2．（2024·上海崇明·模拟预测）双曲线C : x y- =1 a > 0,b > 0 与直线 y = 2x2 2 无公共点，则双曲线 C 的离a b
心率的取值范围为 ．
5-3．（2024 高二上·湖北武汉·阶段练习）直线 y = kx -1与双曲线 x2 - y2 =1的左支交于不同两点，则实数 k 的
取值范围为 ．
5-4．（2024 高三·全国·专题练习）设双曲线C ：x2 - 2y2 =1上点P( 3,1) ．求双曲线C 在点 P 处的切线 l的方
程．
题型 6：求相交弦长
2 2
6-1．（2024 高二上·
x y
四川凉山·期末）已知双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的实轴长为 2，右焦点为 5,0 .a b
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知直线 y = x + 2 与双曲线C 交于不同的两点A ， B ，求 AB .
2 2
6-2．（2024 高二下·湖南湘潭· y x期末）已知双曲线C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
2 3
的一条渐近线方程为 y = x，
a b 3
焦距为 2 7 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)若 O 为坐标原点，过P(0, 4)的直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且△OAB的面积为 24 5 ，求直线 l 的方
程.
6-3．（2024·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线 C 两条准线之间的距离为 1，离心率为 2，直线 l 经过 C 的右
焦点，且与 C 相交于 A、B 两点.
(1)求 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与该双曲线的渐近线垂直，求 AB 的长度.
6-4．（2024 高二上·辽宁·期末）已知双曲线 C 的渐近线为 y = ± 3x ，且过点M 1, 2 ．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若直线 y = ax +1与双曲线 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OA 与 OB 垂直，求 a 的值以及弦长
AB ．
（四）
双曲线的中点弦与点差法
1、双曲线的中点弦结论：
x2 y2
若直线 l (不平行于 y 轴)过双曲线上 － ＝1(a>b>0)两点 A 、 B ，其中 AB中点为 P(x
a2 b2 0
，y0 ) ，则
=
2
有 0 2 .0
2、根与系数关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
3．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，
构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 7：双曲线的中点弦问题
2
7-1．（2024 y高二下·湖北孝感·期中）过点P 2,1 的直线 l与双曲线 x2 - =1相交于 A, B两点，若 P 是线段 AB
3
的中点，则直线 l的方程是（ ）
A．6x - y -11 = 0 B．6x + y -13 = 0
C． 2x - 3y -1 = 0 D．3x - 2y - 4 = 0
2 2
7-2．（2024·河南·三模）已知直线 l : 4x - 2y - 7 = 0与双曲线C : x y2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的两条渐近线分别交于a b
点A ， B （不重合）， AB 的垂直平分线过点 3,0 ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 2 3 B 5 -1 C 6． ． ． 3 D．
3 2 2
2
7-3．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知 A, B为双曲线 x2 y- =1上两点，且线段 AB 的中点坐标为 -1, -4 ，
9
则直线 AB 的斜率为（ ）
3 9 9 3
A． B． C．- D．-
2 4 4 2
（五）
双曲线的综合问题
双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与
双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况.另外，设而不求、韦达定理、消参也是常
用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.
题型 8：双曲线的定点、定值问题
2 2
8-1．（2024 x y高三下·上海闵行·阶段练习）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左右顶点分别为a b
A, B, A -2,0 .直线 l : x =1和两条渐近线交于点E, F ,点E 在第一象限且EF = 2 3 , P 是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)是否存在点 P 使得DOEP 为直角三角形？若存在,求出点 P 的个数；
(3)直线PA, PB与直线 l分别交于点M , N ,证明：以MN 为直径的圆必过定点.
2 2
8-2．（2024 x y高二上·全国·期中）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 过点 A -3,2 ，且离心率 e = 5a b
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果 B ，C 为双曲线上的动点，直线 AB 与直线 AC 的斜率互为相反数，证明直线BC 的斜率为定值，并
求出该定值.
2 2
8-3．（2024 x y高三上·浙江绍兴·期末）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的离心率为 2，右焦点F 到其中一a b
条渐近线的距离为 3 .
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过右焦点F 作直线 AB 交双曲线于 A, B两点，过点A 作直线 l : x
1
= 的垂线，垂足为M ，求证直线MB过
2
定点.
2 2
8-4．（2024 高二下·全国· x y开学考试）已知O为坐标原点，双曲线C ： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的左、右a b
AB
焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线C 上，A ， B 分别是线段PF1，PF2 的中点，且 = 2 ，a
OA - OB = 3．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知点M -3,0 ， N 3,0 ，当 P 与M ， N 不重合时，设直线PM ，PN 的斜率分别为 k1， k2 ，证明： k1k2
为定值．
题型 9：双曲线的向量问题
2 2
9-1．（2024 高二上·安徽滁州· C x y期末）已知双曲线 ： - =1（ a > 0，b > 0）的左顶点为 A -1,0 2 2 ，A 到a b
C 3的一条渐近线的距离为 ．
2
(1)求C 的方程；
(2)过点P 2,0 的直线 l与C 交于M ， N 两点，求 AM × AN 的值．
2 2
9-2．（2024 · x y 3高二上 浙江杭州·期末）已知双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = ± x，且a b 3
过点 6,1 ．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若 F 是双曲线的右焦点，Q 是双曲线上的一点，过点 F，Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，且MQ + 2QF = 0，
求直线 l 的斜率．
9-3．（2024 高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，存在两定点M -1,0 ，N 1,0 与一动点 A.已
知直线MA与直线 NA的斜率之积为 3.
(1)求 A 的轨迹G；
(2)记G的左、右焦点分别为F1、F2 .过定点 0,1 的直线 l交G于 P 、Q两点.若 P 、Q两点满足
PF1 + PF2
× QF1 + QF2 = 216，求 l的方程.
2 2
9-4．（2024 高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系 xOy y x中，已知双曲线 C： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）a b
3
的一条渐近线为 y = x ，且点 P 3, 2 在 C 上．
3
(1)求 C 的方程；
(2)设 C 的上焦点为 F，过 F 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 AF = 7BF ，求 l 的斜率．
题型 10：双曲线的实际应用
10-1．（2024 高三上·河南·阶段练习）人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位
效应（简称双耳效应）．根据双耳的时差，可以确定声源 P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上．又若声
源 P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源 P 对于测听者的方向偏角a ，就近似地由双曲线的渐近线与
虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为 20cm ，声源 P 的声波传及甲的左、右
两耳的时间差为3 10-5 s，声速为334m/s，则声源 P 对于甲的方向偏角a 的正弦值约为（ ）
A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05
10-2．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两
个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 2s，已知各观测点到该中心的距
离是 680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一
平面上)
A．西偏北 45°方向，距离 340 3 m B．东偏南 45°方向，距离 340 3 m
C．西偏北 45°方向，距离 170 3 m D．东偏南 45°方向，距离 170 3 m
10-3．（2024 高二·全国·课后作业）人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从
双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1．已
知双曲线的方程为 x2 - y2 =1，则当入射光线F2P 和反射光线PE互相垂直时（其中 P 为入射点）， F1F2P 的
大小为（ ）
p p p 5p
A． B C12 ． ． D．6 3 12
2 2
10-4 y x．（2024 高三上·河南·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 - =1的图象的一部分，
16 m
当拱顶 M 到水面的距离为 4 米时，水面宽 AB 为 4 3 米，则当水面宽度为 4 6 米时，拱顶 M 到水面的距离
为（ ）
A．4 米 B． 8 2 - 4 米 C． 2 6 - 4 米 D． 4 7 - 4 米
一、单选题
2 2
1．（2024 x y高三下·江西·阶段练习）已知双曲线C : - =1 a > 0 ，下列结论正确的是（ ）
2a a
1
A．C 的实轴长为 2a B．C 的渐近线方程为 y = ± x2
C C 6． 的离心率为 D．C 的一个焦点的坐标为 5a ,0
2
2．（2024 高二上·全国·课后作业）已知中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5 ，则它的渐近线
方程为（ ）
A y = ±2x B y 5． ． = ± x
2
1
C． y = ± x D． y = ± 6x
2
3．（2024 高二下·山东济宁·阶段练习）双曲线9x2 -16y2 =144的焦点坐标为（ ）
A． (- 7,0), ( 7,0) B． (0,- 7),(0, 7)
C． (-5,0), (5,0) D． (0, -5), (0,5)
2 2
4．（2024· x y河北沧州·模拟预测）已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，O为原点， A, B分别为该双曲线的左，a b
右顶点F1, F2 分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点 P 在双曲线的渐近线上，OP 为 APF2的平分
线，且线段 OP 的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 2 3
5．（2024 高二下·河南·阶段练习）已知双曲线 x2 - y2 = 2 ，点F1, F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若
F1PF2 = 60°，则三角形F1PF2 的面积为（ ）
A．2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3
2
6 2024· · C : x y
2
．（ 安徽六安 模拟预测）已知双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1、F2，直线 y = kx 与双曲线16 9
C 交于A ， B 两点，若 AB = F1F2 ，则VABF1 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
二、多选题
7．（2024 高二上·山西太原·期末）直线 l : y = k(x - 2)与双曲线C : x2 - y2 = 2的左、右两支各有一个交点，则
k 的可能取值为（ ）
1
A．0 B．1 C． 2 D．
2
三、填空题
y2 x2
8．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 y = -x + 4与双曲线 - =1上支的交点个数为 ．
16 9
9．（2024 高二上·广西北海·期末）若直线 l 过点 (-1,2)，且与双曲线9x2 - y2 = 9有且只有一个公共点，则满
足条件的直线有 条．
10．（2024 高二下·上海徐汇·期中）已知直线 l : y = tx + 2 和双曲线C : x2 - y2 = 8，若 l 与 C 的右支交于不同
的两点，则 t 的取值范围是 ．
11．（2024 高二下·安徽六安·开学考试）已知直线 y = ax +1与双曲线3x2 - y2 =1相交于 A，B 两点，若 A，B
两点在双曲线的左支上，则实数 a 的取值范围是 ．
2 2
12．（2024·北京平谷· x y一模）已知双曲线 + =1的离心率为 2，则实数m = ．
m 3
2 2
13．（2024 高二下·福建泉州·期末）已知直线 y = x 是双曲线C : x y- =1（ a > 0,b > 02 2 ）的一条渐近线，则a b
C 的离心率为 .
14 x
2 y2
．（2024 高二上·全国·课后作业）过双曲线 - =1的右焦点作倾斜角为 30°的直线 l，直线 l 与双曲线
3 6
交于不同的两点 A，B，则 AB 的长为 ．
15．（2024 高二下·四川南充·阶段练习）经过点 A 2, -1 且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为
16．（2024 高二·全国·课后作业）双曲线9x2 -16y2 =144的一条弦的中点为 A 8,3 ，则此弦所在的直线方程
为 .
2 2
17．（2024 高二上· x y河南平顶山·期末）已知双曲线 C： 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1，F ，a b 2
其中F2与抛物线 y2 = 8x的焦点重合，点 P 在双曲线 C 的右支上，若 PF1 - PF2 = 2，且 F1PF2 = 60°，则VF1PF2
的面积为 .
2 2
18．（2024· x y河南新乡·模拟预测）已知双曲线C ： - 2 =1（b > 0）的离心率为 3，焦点分别为F1，F ，2 b 2
点 P 在双曲线C 上.若VPF1F2的周长为14 2 ，则VPF1F2的面积是 .
2 2
19．（2024 x y高二下·湖北宜昌·阶段练习）已知F1，F2是双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左，右焦点，经过点a b
F1且与 x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且A 在第三象限，四边形 F1AF2B为平行四边形，
a p p 为直线BF1的倾斜角，若a , ÷ ，则该双曲线离心率的取值范围是 .
è 4 3
2 2
20 x y．（2024·安徽合肥·模拟预测）设点 F 为双曲线C : - =1的左焦点，经过原点 O 且斜率 k 3 的
m +1 3- m
直线与双曲线 C 交于 A B 两点，AF 的中点为 P，BF 的中点为 Q.若OP ^ OQ，则双曲线 C 的离心率 e 的取
值范围是 .
2 2
21．（2024 高二下· · x y福建福州 期中）已知双曲线C : - = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F
a2 b2 1
, F2 ，双曲
线的左顶点为A，以F1F2 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若 AQ 3 AP ，
则该双曲线的离心率的取值范围是 .
四、解答题
22．（2024 高二下·四川资阳·期末）解答下列两个小题：
1 x
2 y2
（ ）双曲线E ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 离心率为 2 ，且点 2, 2 在双曲线E 上，求E 的方程；a b
2 2
（2 C x y）双曲线 实轴长为 2，且双曲线C 与椭圆 + =1的焦点相同，求双曲线C 的标准方程．
8 4
2 2
23．（2024·湖南·模拟预测）已知双曲线C : x y- = 1(a > 0,b > 0)的其中一个焦点为 5,0 ，一条渐近线方
a2 b2
程为 2x - y = 0
（1）求双曲线C 的标准方程；
3p
（2）已知倾斜角为 的直线 l与双曲线C 交于 A, B两点，且线段 AB 的中点的纵坐标为 4，求直线 l的方程.
4
24 2024 · · C : y
2 x2
．（ 高二下 四川资阳 期末）已知双曲线 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的一条渐近线方程为 y = 2x，一个a b
焦点到该渐近线的距离为 1.
(1)求C 的方程；
(2)经过点M 1,4 的直线 l交C 于 A, B两点，且M 为线段 AB 的中点，求 l的方程.
2 p
25．（2024 高二·全国· y课后作业）过双曲线 x2 - =1的左焦点F ，作倾斜角为 的直线 l .
3 6
(1)求证： l与双曲线有两个不同的交点 A, B；
(2)求线段 AB 的中点M 的坐标和 AB .
26．（2024 高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的焦点为F1(-3,0) ，F2 (3,0)，且该双曲线过点P(2, -2 6)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点F1作斜率为 2 6 的弦 AB，求 AB 的长；
(3)在（2）的基础上，求VF2 AB 的周长．
27．（2024 高二上·甘肃庆阳·期末）在①C 的渐近线方程为 y = ±x ②C 的离心率为 2 这两个条件中任选一
个，填在题中的横线上，并解答．
已知双曲线 C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点P 2, - 2 在 C 上，且______．
(1)求 C 的标准方程；
(2)已知 C 的右焦点为 F，直线 PF 与 C 交于另一点 Q，不与直线 PF 重合且过 F 的动直线 l 与 C 交于 M，N
两点，直线 PM 和 QN 交于点 A，证明：A 在定直线上．
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
2 2
28．（2024· x y湖北·二模）已知双曲线 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的离心率为 2 ，过点E 1,0 的直线 l 与 C 左a b
右两支分别交于 M，N 两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 与直线 MN 斜率之积（O 为坐标原点）；
(2)若 A，B 为双曲线的左右顶点，且 AB = 4，试判断直线 AN 与直线 BM 的交点 G 是否在定直线上，若是，
求出该定直线，若不是，请说明理由
2 2
29．（2024
x y
高二上·重庆北碚·阶段练习）双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的渐近线方程为 y = 2x，一个焦点a b
到该渐近线的距离为 2．
(1)求 C 的方程；
(2)是否存在直线 l，经过点M 1,4 且与双曲线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，若存在，求 l 的方程：
若不存在，说明理由．
2 2
30．（2024 x y高二下·江西萍乡·阶段练习）已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为 F ( 6,0) ，且 C 的a b
一条渐近线经过点D( 2,1) .
(1)求 C 的标准方程；
(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与 C 交于不同的 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 P.若存在，求出直线 l 的方
程；若不存在，请说明理由.
2
31．（2024· · y浙江 二模）已知F1，F2分别为双曲线C ： x2 - =1的左、右焦点，A 是C 上一点，线段 AF2 与8
C 交于 B 点.
(1)证明： AB BF2 ；
(2)若VABF1 的面积为 8，求直线 AB 的斜率.
32．（2024 高二下·上海宝山·期中）已知双曲线C : x2 - y2 = 1，及直线 l : y = kx -1.
(1)若 l与C 有且只有一个公共点，求实数 k 的值；
(2)若 l与C 的左右两支分别交于 A、B 两点，且△OAB的面积为 2 ，求实数 k 的值.
2 2
33．（2024 高二上·辽宁沈阳· x y期末）已知双曲线C : - =1 a,b > 0 经过点M 2,32 2 ，它的左焦点为F1，且a b
F1到其渐近线的距离是 3．
(1)求C 的方程；
1
(2)过点M 的直线 l交C 左支于一点 N ，且 l的斜率是 ，求 MN 长．
2
