3.3.2 抛物线的简单几何性质 8 题型分类
一、抛物线的简单几何性质
y2＝
类型 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
2px(p>0)
图象
p p p p
焦点 F( ，0 ) F(－ ，0) F(0， F 0，－2 2 2 ) ( 2)
p p p p
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
性质
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
二、焦半径公式
设抛物线上一点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) ，焦点为 F .
1．抛物线 y2 = 2 px( p > 0) ， PF = x p0 + = x
p
2 0
+ .
2
2．抛物线 y2 = -2 px( p > 0) ， PF x p p= 0 - = -x0 + .2 2
3．抛物线 x2 = 2 py( p > 0) ， PF y p p= 0 + = y0 + .2 2
4．抛物线 x2 = -2 py( p > 0) ， PF = y p p0 - = -y0 + .2 2
三、直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x {y＝kx＋b，的方程组 y2＝2px 解的
个数，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数．
当 k≠0 时，
若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；
若 Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若 Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当 k＝0 时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有 1 个公共点．
四、直线与抛物线相交弦长问题
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦：过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
（一）
抛物线的简单几何性质
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正
还是负．
2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
3．定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒
等于 1.
题型 1：研究抛物线的几何性质
2 2
1-1 x y．（2024·江苏·一模）若抛物线 y2 = 2 px的焦点与双曲线 - =1的右焦点重合，则 p 的值 ．
6 3
1-2．（2024 高二上·湖北孝感·期中）对抛物线 y = 4x2 ，下列描述正确的是
1
A．开口向上，焦点为( 0, 1) B．开口向上，焦点为 (0, )
16
1
C．开口向右，焦点为 (1,0) D．开口向右，焦点为 (0, )
16
1
1-3．（2024 2高二上·江苏扬州·期中）对抛物线 y = x ，下列描述正确的是（ ）
8
A．开口向上，焦点为 0，2 1B ．开口向上，焦点为 0， ÷
è 32
1
C．开口向右，焦点为 2，0 D．开口向右，焦点为 ，0÷
è 32
1-4．（2024 高二下·四川广安·阶段练习）抛物线 C 与抛物线 x2 = 4y关于 x 轴对称，则抛物线 C 的准线方程
是（ ）
A． y = -1 B． y=- 2 C． y =1 D． y = 2
题型 2：求抛物线的标准方程
2-1．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足
| MF |= 2， OFM = 60°，则 p =（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2-2．（2024 高二·全国·专题练习）抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在 x 轴上，直线 l：x =1交C 于 P ，Q
两点，且OP ^ OQ．求C 的方程．
2-3．（2024 高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线C ： y2 = 2 px（ p > 0）的顶点O，且倾斜角为 60°的直
线与抛物线的另一个交点为A ，若 OA = 8，则抛物线的方程为 ．
1
2-4．（24-25 2高三上·河南焦作·开学考试）已知点 A 2 p +1,3p + ÷在抛物线C : x = 2 py p > 0 上，则 C 的
è 4
焦点与点 1,2 之间的距离为（ ）
A．4 B． 5 C．2 D． 2
（二）
直线与抛物线位置关系的判断
直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b与抛物线 y2＝2px(p>0) y＝kx＋b，的交点个数决定于关于 x的方程组{y2 2px 解的个数，＝
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数．
当 k≠0 时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点．
当 k＝0 时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有 1 个公共点．
注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，
求解交点时不要忽略二次项系数为 0 的情况．
题型 3：直线与抛物线位置关系的判断及应用
3-1．（2024·全国·模拟预测）已知拋物线C : x2 = 2 py( p > 0),C 的一条切线方程为 x - y -1 = 0，则C 的准线方
程为 ．
3-2．（2024 高一下·陕西渭南·期末）已知抛物线 y2 =16x 与直线 y = kx +1有且仅有一个交点，则 k = （ ）
A．4 B．2 C．0 或 4 D．8
3-3．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l : y = k(x +1) ，抛物线C : y2 = 4x ，l 与C 有一个公共点的直线
有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．1 条、2 条或 3 条
（三）
直线与抛物线的相交问题
直线与抛物线相交弦长问题
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦：过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
注：直线与抛物线的位置关系
1
(1)一般弦长：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋ |y2 1－y2|.k
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p.
题型 4：直线与抛物线的相交弦长问题
4-1．（2024 高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆C 过定点F 1，0 ，且与直线 l1： x = -1相切，圆心C 的轨
迹为E ．
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点 2 0 π， 作倾斜角为 的直线 l2交轨迹E 于A ， B 两点，求 AB ．3
4-2．（2024 高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线C：y2 = 6x ，过点 P(2，1)的直线 l交抛物线于 A、B两点，且
弦 AB 被点 P 平分.
(1)求直线 l的方程；
(2)求弦 AB 的长度.
4-3．（2024 高二上·广东清远·期末）已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的准线方程为 x=-1 .
(1)求 p 的值；
(2)直线 y = x - 2交抛物线于A 、 B 两点，求弦长 AB .
题型 5：抛物线的焦点弦
5-1．（2024 高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线 C 位于 y 轴右侧，且曲线 C 上任意一点 P 与定点F 1,0
的距离比它到 y 轴的距离大 1．
(1)求曲线 C 的轨迹方程；
(2)若直线 l 经过点 F，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 | AB |= 8，求直线 l 的方程．
5-2．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）过抛物线C ： y2 = 2 px焦点F 的直线与C 交于A ， B 两点，过点 B 向抛物
线C 的准线作垂线，垂足为D -1, -1 ，则 AB =（ ）
17 25
A． B． C．18 D．20
4 4
5-3．（2024·全国·模拟预测）已知点P a,b a > 0,b > 0 2在抛物线C : y = 2 px p > 0 上，记O为坐标原点，
OP 3= ，以 P 为圆心， OP 为半径的圆与抛物线C 的准线相切．
2
(1)求抛物线C 的方程；
(2)记抛物线C 的焦点为F ，过点F 作直线 l与直线PF 垂直，交抛物线C 于A ， B 两点，求弦 AB 的长．
（四）
抛物线的中点弦
1、抛物线的中点弦结论：
若直线 l与抛物线 2 = 2 ( > 0)相交于两点 A 、 B ， AB中点为 P(x0，y0 ) ，则有 = .0
2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，
构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 6：求抛物线的中点弦
6-1．（2024 高二上·吉林辽源·期中）已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线过点P 2,1 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点Q 1,1 作直线交抛物线于 A、B 两点，使得 Q 恰好平分线段 AB，求直线 AB 的方程．
6-2．（2024 高二上·陕西·期末）已知抛物线C : y2 = -2 px( p > 0), A -6, y0 是抛物线C 上的点，且 AF =10 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线 l交抛物线C 于M , N 两点，且MN 的中点为 -4,2 ，求直线 l的方程.
6-3．（2024 高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线 y2 = 8x，过点P 3,2 引抛物线的一条弦，使它恰在点 P 处
被平分，则这条弦所在的直线 l的方程为（ ）
A． 2x - y - 4 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． 2x - y + 4 = 0 D． 2x + y + 4 = 0
（五）
抛物线的综合问题
1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，
经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距
离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结
合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．
题型 7：抛物线的定值、定点问题
7-1．（2024· 2陕西咸阳·模拟预测）已知点F 是抛物线C ：y = 2 px p > 0 的焦点，纵坐标为 2 的点 N 在C 上，
以F 为圆心、 NF 为半径的圆交 y 轴于D，E ， DE = 2 3 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过 -1,0 作直线 l与抛物线C 交于A ， B ，求 kNA + kNB 的值.
7-2．（2024 高二下·河北·期末）已知 B 为抛物线 2 = 2 2上一点， A 2,0 ， B 为 AC 的中点，设C 的轨迹
为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)过点F 1,0 作直线交曲线 E 于点 M、N，点 P 为直线 l： x=-1上一动点．问是否存在点 P 使△MNP为正
三角形？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
7-3．（2024· 2河南信阳·三模）已知抛物线C1 : y = 2 px p > 0 上一点Q 1, a 到焦点的距离为 3.
(1)求 a， p 的值；
(2)设 P 为直线 x=-1上除 -1, - 3 ， -1, 3 2两点外的任意一点，过 P 作圆C2 : x - 2 + y2 = 3的两条切线，
分别与曲线C1相交于点A ， B 和C ，D，试判断A ， B ，C ，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该
定值；若不是，请说明理由.
7-4．（2024 高二下·四川资阳·期末）过点K (0, -1) 作抛物线G : x2 = 2 py( p > 0)在第一象限部分的切线，切点
为 A，F 为G 的焦点，O为坐标原点，△OAF 的面积为 1．
(1)求G 的方程；
(2)过点P(0, 2)作两条互相垂直的直线 l1和 l2， l1交G 于 C，D 两点， l2交G 于 P，Q 两点，且 M，N 分别为
线段 CD 和 PQ 的中点．直线 MN 是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
题型 8：抛物线的向量问题
8-1．（2024 高二下·四川内江·期中）已知点F 0,2 ，直线 l : y = -2交 y 轴于点 H，点 M 是 l 上的动点，过
点 M 且垂直于 l 的直线与线段 MF 的垂直平分线交于点 P．
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程：
uuur uuur
(2)若 A、B 为轨迹 C 上的两个动点，且OA ×OB = -16，证明直线 AB 必过定点，并求出该定点．
3 1
8-2．（2024·甘肃定西·模拟预测）已知点 M 到点F 0, 2 ÷的距离比它到直线 l：
y = -2的距离小 ，记动点 M
è 2
的轨迹为 E.
(1)求 E 的方程；
(2)若过点 F 的直线交 E 于 A x1, y1 ，B x2 , y2 两点，则在 x 轴的正半轴上是否存在点 P，使得 PA，PB 分
uuur uuur
别交 E 于另外两点 C，D，且 AB = 3CD ？若存在，请求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由.
一、单选题
1．（2024·河南安阳·模拟预测）已知抛物线C : y2 = 4x 与圆E : (x -1)2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，则 | AB |=
（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2
2 x
2 y2
．（2024 高二上·江苏南通·期末）已知 P 为双曲线C : - =1与抛物线 y2 = 2x的交点，则 P 点的横坐标
3 3
为（ ）
A．3 B．2 C． 6 D．-1
3．（2024 高二·全国·课后作业）直线 y = k x -1 + 2与抛物线 x2 = 4y的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线C : y2 = 4x ，经过点 P 的任意一条直线与 C 均有公共点，则点 P 的坐
标可以为（ ）
A．( 0, 1) B． (1, -3) C． (3, 4) D． (2,-2)
5．（2024 2高二上·贵州铜仁·期末）过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 作直线，交抛物线于 A x0 , y1 ，
B 5 - x0 , y2 两点，若 AB = 8，则 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024 高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 (-5, m)到焦点的距
离是 6，则抛物线的方程为（ ）
A． y2 = -2x B． y2 = -4x
C． y2 = 2x D． y2 = -4x 或 y2 = -36x
7．（2024 高二下·河南焦作·期末）已知抛物线 C： y2 = 4x的焦点为 F，A 是 C 上一点，O 为坐标原点，若
AF = OF + 3，则VAOF 的面积为（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．6
8．（2024 高二上·陕西渭南·期末）设F 为抛物线C : y2 = 4x 的焦点，过点F 的直线 l交C 于 A x1, y1 , B x2 , y2
两点，若 AB = 8 2 2，则 y1 + y2 =（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
9．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发
展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线
y2 = 4x，过焦点的弦 AB 的两个端点的切线相交于点M ，则下列说法正确的是（ ）
A．M 点必在直线 x = -2上，且以 AB 为直径的圆过M 点
B．M 点必在直线 x=-1上，但以 AB 为直径的圆不过M 点
C．M 点必在直线 x = -2上，但以 AB 为直径的圆不过M 点
D．M 点必在直线 x=-1上，且以 AB 为直径的圆过M 点
10．（2024 高二上·广西河池·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行
于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
y2 =16x 的焦点为F ，一条平行于 x 轴的光线从点P 4,4 2 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物
线上的另一点 B 射出，则VPAB 的面积为（ ）
A．4 B． 6 2 C．12 2 D． 24 2
1
11．（2024 2高二下·福建泉州·期末）已知抛物线 Γ：y = x4 的焦点为F ，过F 的直线 l交G于点
A, B，分别在
1 1
点 A, B处作G的两条切线，两条切线交于点 P ，则 +PA 2 PB 2 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B ． 0,
1 ù 1 1 1 ù
ú C
ù
2 ．
0, D． ,
è è 4ú è 4 2ú
12．（2024 高二下·浙江·期末）过点G 2,2 作两条直线分别交抛物线 y2 = 2x于A ，B 两点，记直线GA，GB
的斜率分为 k1， k2 ，若 k1 + k2 = 5， k1 × k2 = -2，则直线 AB 的方程为（ ）
A．2x + 9 y +12 = 0 B．2x - 9 y -12 = 0
C．4x +18y +13 = 0 D．4x -18y -13 = 0
二、多选题
13．（2024 高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线 y2 = 8x的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与
抛物线有公共点，则直线 l 的斜率可以是（ ）
A． - 2 B． -1
C．1 D．2
14．（2024 2高二下·安徽·期末）已知O为坐标原点，抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点F 到其准线的距离为
4，过点F 作直线 l交C 于M ， N 两点，则（ ）
π
A．C 的准线为 x = -2 B． MON 的大小可能为
2
C． MN 的最小值为 8 D． MF NF = 2 MF + NF
15．（2024 高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线C : x2 = 4 y的焦点为 F，点 P 为 C 上任意一点，若点
M 1,3 ，下列结论错误的是（ ）
A． PF 的最小值为 2
B．抛物线 C 关于 x 轴对称
C．过点 M 与抛物线 C 有一个公共点的直线有且只有一条
D．点 P 到点 M 的距离与到焦点 F 距离之和的最小值为 4
16．（2024 高二上·安徽阜阳·期末）若直线 y = k x +1 与抛物线 x2 = 2 y 只有一个交点，则 k 的可能取值为
（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．0
17．（2024 2高三下·安徽·开学考试）若经过点P 1,3 的直线与抛物线C : y = 2 px p > 0 恒有公共点，则 C 的
准线可能是（ ）．
A． x = -2 B． x = -3
C． x = - 2 D． x = -2 2
18．（2024 高二· 2全国·课后作业）经过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 的直线交抛物线于A ， B 两点，设
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则下列说法中正确的是（ ）
1 1 2
A．当 AB 与 x 轴垂直时， AB 最小 B． + =AF BF p
p
C 2．以弦 AB 为直径的圆与直线 x = - 相离 D． y1 y2 2
= - p
三、填空题
19．（2024 高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线 l 过抛物线 C： y2 = 4x的的焦点且与 C 交于 A，B 两点，
线段 AB 中点的横坐标 3，则 AB = ．
20．（2024 高二上·全国· 2课后作业）过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点作一直线交抛物线于 A x1, y1 、B x2 , y2
两点，则 kOAkOB 的值是 ．
3π
21．（2024高三下·上海宝山·期中）过抛物线 x2 = 4y的焦点且倾斜角为 的直线被抛物线截得的弦长为 .
4
22．（2024 高二下·安徽·期末）已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的焦点为F ，过F 的动直线 l与抛物线交于 A, B
两点，满足 AB = 4的直线 l有且仅有一条，则 p = ．
23．（2024 高二上·甘肃庆阳·期末）已知点P 2,1 ，若抛物线 y2 = 4x的一条弦 AB 恰好是以 P 为中点，则弦
AB 所在直线方程是 ．
24．（2024 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知 M 是抛物线 y2 = 6x 上一点，则点 M 到直线3x - 4y +12 = 0的最
短距离为 ．
25．（2024 2高二下·山东青岛·期中）在坐标平面 xOy 内，抛物线C : x = 2 py p > 0 的准线为 l : y = -1，点
P x0 , y0 0 < y0 <1 是C 上一点，且PP ^ l ，垂足为P ，连接OP 交C 于点Q，则直线 PQ在 y 轴上的截距
O PQ 3
PQ
为 ；若点 到 的距离为 ，则 =
2 PP
.
26．（2024·全国·模拟预测）已知在四面体 ABCD中，AB 2 3= AC = BC = BD = CD = AD = 2，点 E 在VABC
3
内运动（含边界位置），记平面 ABC 与平面BCD所成的角为a ，若 4S△ADE ×sina = 3S△BCE ×sin DAE ，则 SVBCE
的最大值为 .
四、解答题
27．（2024 高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F 3,0 ；
（2）准线方程是 x
1
= - ；
4
（3）焦点到准线的距离是 2．
28．（2024 高二上· 2陕西延安·期末）已知抛物线C ： y = 2 px p > 0 的准线方程为 x=-1．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线 l： y = x -1交抛物线C 于A 、 B 两点，求弦长 AB ．
29．（2024 高二上·全国·课前预习）设直线 l : y = kx +1，抛物线C : y2 = 4x ，当 k 为何值时，l与C 相切 ？相
交？相离？
30．（2024 高二下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2 = 2 px( p > 0)上一点 P 的横坐标为
4，且点 P 到焦点 F 的距离为 5．
(1)求抛物线的方程；
uuur uuur
(2) 9若直线 l : x = my + t交抛物线于 A，B 两点（位于对称轴异侧），且OA ×OB = ，求证：直线 l 必过定点．
4
31．（2024· 2河北唐山·二模）已知抛物线C ：y = 2 px p > 0 的焦点为F ，A 为C 上一点，B 为准线 l上一点，
uuur uuur
BF = 2FA ， AB = 9
(1)求C 的方程；
(2) M ， N ，E x0 ,-2 是C 上的三点，若 kEM + kEN =1，求点E 到直线MN 距离的最大值．
32．（2024 高二下·广东汕尾·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 过点 a, 2 a （ a > 0）．
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率为 3的直线过 C 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
33 2024 · · x
2
．（ 高三 全国 专题练习）已知椭圆 + y2 =1，设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2 = 4x各恰有一个公
2
共交点，求直线 l 的方程．
34．（2024 2高二下·上海浦东新·期中）已知抛物线 y = 2 px p > 0 ，其焦点 F 到准线的距离为 2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若 O 为坐标原点，斜率为 2 且过焦点 F 的直线 l 交此抛物线于 A、B 两点，求VAOB 的面积.
35．（2024 高二上·广西北海·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) ，其准线方程为 x = -2．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)不过原点O的直线 l : y = x + m与抛物线交于不同的两点P,Q ，且OP ^ OQ，求m 的值．
36．（2024 高二上·山东滨州·期中）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，点 P x0，y0 在抛物线 C 上，
且 | PF |= x0 +1.
(1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)若直线 l : x - y - 2 = 0与抛物线C 交于 A, B两点，求△ABF 的面积.
37．（2024 2高二上·河南·阶段练习）已知抛物线C : y = 2 px p > 0 ，其焦点 F 到其准线的距离为 2，过焦点
F 且倾斜角为 45°的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，
(1)求抛物线 C 的方程及其焦点坐标；
(2)求 AB ．
38．（2024 高三上·四川内江·期末）已知直线 l与抛物线C : y2 = 8x 相交于A 、 B 两点.
(1)若直线 l过点Q 4,1 ，且倾斜角为 45o ，求 AB 的值；
(2)若直线 l过点Q 4,1 ，且弦 AB 恰被Q平分，求 AB 所在直线的方程.
39 2．（2024 高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线C : y = 2 px 0 < p < 8 的焦点为F ，点M 4,0 ，点E
在C 上，且△EFM 是以E 为顶点的等腰三角形，其周长为 10.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若过点M 的直线与C 交于 A， B 两点，点 N 4,4 与 A， B 不共线，判断是否存在实数 t，使得直线 AN ，
BN 与直线 x = t 交于点 P ，Q，且以线段 PQ为直径的圆过原点，若存在，求出 t的值；若不存在，请说明
理由.
40．（2024 高二上·云南大理·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线C ： y2 = 2 px经过点 A 1,2 ，直
线 l： y = kx + b与抛物线 C 交于 M，N 两点.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)当 AM ^ AN 时，若对任意满足条件的实数 k ，都有b = mk + n（m，n 为常数），求m + n的值.
41．（2024 高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 关于抛物线C 的准线的对
称点为P(-9,0)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作斜率为 4 直线 l，交抛物线C 于A ， B 两点，求 AB ．
42．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l : y = 2x +1与抛物线 y2 =12x交于 A x1, y1 , B x2 , y2 两点，求线段
AB 的长．
43．（2024 2高二下·四川达州·期末）已知抛物线E : y = 2 px p > 0 上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y
轴的距离大 1．
(1)求 E 的标准方程；
(2) l1 I l2 = F ， l1 ^ l2， l1交 E 于 A，C 两点， l2交 E 于 B，D 两点．求四边形 ABCD 的面积的最小值．
44．（2024 高二下·浙江杭州·期末）设抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点
A x1, y1 ，B x2 , y2 .当直线 AB 垂直于 x 轴时， AB = 2 .
(1)求抛物线C 的标准方程.
(2)已知点P 1,0 ，直线 AP ，BP分别与抛物线C 交于点C ，D .
①求证：直线CD过定点；
②求VPAB 与△PCD面积之和的最小值.
45．（2024·河北衡水·模拟预测）已知点M (1,-2) 在抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 上，过点 N (0, -1)的直线 l与C 相
交于 A, B两点，直线MA, MB分别与 y 轴相交于点D, E .
(1)当弦 AB 的中点横坐标为 3 时，求 l的一般方程;
uuur uuur uuur uuur mn
(2)设O为原点，若DN = mON , EN = nON ，求证: 为定值.
m + n
46．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : x = -2与 x 轴交于点A ，过 l右侧
的点 P 作PM ^ l，垂足为M ，且 PA = PM + OA ．
(1)求点 P 的轨迹C 的方程；
uuur uuur
(2)过点B 1,0 的动直线 l 交轨迹C 于 S ,T ，设Q -3,0 ，证明：QS ×QT 为定值．
47．（2024·福建福州·二模）已知抛物线 E： y2 = 2 px（p>0），过点 -2,0 的两条直线 l1，l2分别交 E 于 AB
2
两点和 C，D 两点．当 l1的斜率为 时， AB = 13.3
(1)求 E 的标准方程：
(2)设 G 为直线 AD 与 BC 的交点，证明：点 G 必在定直线上．
48．（2024·
2
陕西西安·一模）已知抛物线C1：x2 = 2 py( p > 0)和圆C 22： x +1 + y = 2，倾斜角为 45°的直线 l1过C1
的焦点且与C2 相切．
(1)求 p 的值：
uuuur uuur uuur
(2)点 M 在C1的准线上，动点 A 在C1上，C1在 A 点处的切线 l2交 y 轴于点 B，设MN = MA + MB ，求证：
点 N 在定直线上，并求该定直线的方程．3.3.2 抛物线的简单几何性质 8 题型分类
一、抛物线的简单几何性质
y2＝
类型 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
2px(p>0)
图象
p p p p
焦点 F( ，0 ) F(－ ，0) F(0， F 0，－2 2 2 ) ( 2)
p p p p
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
性质
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
二、焦半径公式
设抛物线上一点 P 的坐标为 (x0 , y0 ) ，焦点为 F .
1．抛物线 y2 = 2 px( p > 0) ， PF = x p0 + = x
p
2 0
+ .
2
2．抛物线 y2 = -2 px( p > 0) ， PF x p p= 0 - = -x0 + .2 2
3．抛物线 x2 = 2 py( p > 0) ， PF y p p= 0 + = y0 + .2 2
4．抛物线 x2 = -2 py( p > 0) ， PF = y p p0 - = -y0 + .2 2
三、直线与抛物线的位置关系
直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x {y＝kx＋b，的方程组 y2＝2px 解的
个数，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数．
当 k≠0 时，
若 Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；
若 Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；
若 Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当 k＝0 时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有 1 个公共点．
四、直线与抛物线相交弦长问题
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦：过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
（一）
抛物线的简单几何性质
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正
还是负．
2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
3．定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒
等于 1.
题型 1：研究抛物线的几何性质
2 2
1-1．（2024·江苏·一模）若抛物线 y2 = 2 px x y的焦点与双曲线 - =1的右焦点重合，则 p 的值 ．
6 3
【答案】6
x2 y2
【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线 - =1的 a2 = 6,b2 = 3,c2 = a2 +b2 = 9\c = 3右焦点坐标为
6 3
p p
（3,0），因此可知抛物线 y2 = 2 px的焦点（ ,0）= ( 3,0)\ = 3\ p = 6 ,故答案为 6
2 2
考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.
点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数 p 的值，属于
基础题．
1-2．（2024 高二上·湖北孝感·期中）对抛物线 y = 4x2 ，下列描述正确的是
1
A．开口向上，焦点为( 0, 1) B．开口向上，焦点为 (0, )
16
1
C．开口向右，焦点为 (1,0) D．开口向右，焦点为 (0, )
16
【答案】B
y 2
【详解】解：因为抛物线 y = 4x2 ，可知化为标准式为抛物线 = x ，2p=1/4，故焦点在 y 轴上，开口向上，
4
1
焦点坐标为 (0, ) ，选 B
16
1
1-3．（2024 2高二上·江苏扬州·期中）对抛物线 y = x ，下列描述正确的是（ ）
8
A
1
．开口向上，焦点为 0，2 B．开口向上，焦点为 0，32 ÷è
1
C．开口向右，焦点为 2，0 D．开口向右，焦点为 ，0
è 32 ÷
【答案】A
【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式 x2 = 8y，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为 x2 = 8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为 0,2 .
故选：A.
1-4．（2024 高二下·四川广安·阶段练习）抛物线 C 与抛物线 x2 = 4y关于 x 轴对称，则抛物线 C 的准线方程
是（ ）
A． y = -1 B． y=- 2 C． y =1 D． y = 2
【答案】C
【分析】由题意求得抛物线 C 的方程，即可得出抛物线 C 的准线方程.
【详解】∵抛物线 C 与抛物线 x2 = 4y关于 x 轴对称，
∴抛物线 C 的方程为 x2 = -4y，
∴抛物线 C 的准线方程是 y =1.
故选：C.
题型 2：求抛物线的标准方程
2-1．（24-25 高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足
| MF |= 2， OFM = 60°，则 p =（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.
【详解】
过M 分别向 x 轴和准线做垂线,垂足分别为 A, N ，
根据抛物线定义，有 MF = MN = 2，
所以 p =| MN | + | MF | ×cos 60° = 3 .
故选：A
2-2．（2024 高二·全国·专题练习）抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在 x 轴上，直线 l： x =1交C 于 P ，Q
两点，且OP ^ OQ．求C 的方程．
【答案】 y2 = x
【分析】设出抛物线方程，根据题目条件求出参数，即可得出方程.
【详解】设抛物线C 的方程为 y2 = 2 px（ p > 0）．
由题意知P 1, 2 p ，Q 1, - 2 p ，
因为OP ^ OQ，
uuur uuur
则OP ×OQ = 0 ，
uuur uuur
即OP ×OQ =1- 2 p = 0，
1
解得 p = ．
2
所以抛物线C 的方程为 y2 = x ．
2-3．（2024 高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线C ： y2 = 2 px（ p > 0）的顶点O，且倾斜角为 60°的直
线与抛物线的另一个交点为A ，若 OA = 8，则抛物线的方程为 ．
【答案】 y2 =12x
【分析】过点A 向 x 轴作垂线，求得A 坐标，即可求解.
【详解】过点A 向 x 轴作垂线，垂足记为 B ,
由题意可知 OB = 4, AB = 4 3 ，所以点A 坐标为 4,4 3 ，
代入抛物线方程得 48 = 8p ，所以 p = 6
故答案为： y2 =12x
1
2-4 2．（24-25 高三上·河南焦作·开学考试）已知点 A 2 p +1,3p + ÷在抛物线C : x = 2 py p > 0 上，则 C 的
è 4
焦点与点 1,2 之间的距离为（ ）
A．4 B． 5 C．2 D． 2
【答案】D
【分析】根据A 在抛物线上可求 p 的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.
2
【详解】因为A 在抛物线上，故 2 p +1 = 2 p 3p 1+ 4 ÷，è
2 2 p 2 7 p
整理得到： 4 p + 4 p +1 = 6 p + 即 2 p - -1 = 0 ，
2 2
解得 p = 2 p 1或 = - （舍），故焦点坐标为( 0, 1)4 ，
故所求距离为 12 + 2 -1 2 = 2 ，
故选：D.
（二）
直线与抛物线位置关系的判断
直线与抛物线的位置关系
y＝kx＋b，
直线 y＝kx＋b与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x的方程组{y2 2px 解的个数，＝
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的个数．
当 k≠0 时，Δ>0，两个交点；Δ＝0，一个交点；Δ<0，无交点．
当 k＝0 时，直线与抛物线的轴平行或重合，直线与抛物线有 1 个公共点．
注：判断直线与抛物线位置关系时：设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，
求解交点时不要忽略二次项系数为 0 的情况．
题型 3：直线与抛物线位置关系的判断及应用
3-1．（2024·全国·模拟预测）已知拋物线C : x2 = 2 py( p > 0),C 的一条切线方程为 x - y -1 = 0，则C 的准线方
程为 ．
【答案】 y +1 = 0
ìx2 =2py
【分析】由 í ，消去 y 得 x2 - 2 px + 2 p = 0，由D = 0求出 ，从而求得准线方程．
x- y- 1=0
ìx2 =2py
【详解】由 í ，消去 y 得 x2 - 2 px + 2 p = 0，
x- y- 1=0
2
由题意D = -2 p - 4 2 p = 0，解得 p=2，
则抛物线方程为： x2 = 4y，
所以抛物线的准线方程为： y = -1，即 y +1 = 0．
故答案为： y +1 = 0．
3-2．（2024 高一下·陕西渭南·期末）已知抛物线 y2 =16x 与直线 y = kx +1有且仅有一个交点，则 k = （ ）
A．4 B．2 C．0 或 4 D．8
【答案】C
ì y2 =16x
k 2 2【分析】联立 í 得： x + 2k -16 x +1 = 0，再分 k = 0与 k 0讨论即可求解
y = kx +1
ì y2 =16x 2
【详解】联立 í 得： k x2 + 2k -16 x +1 = 0，
y = kx +1
1
当 k = 0
时，交点为 ,1÷，满足题意；
è16
当 k 0时，由D = 2k -16 2 - 4k 2 = 0，解得 k = 4，
综上可知： k = 0或 k = 4，
故选：C
3-3．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 l : y = k(x +1) ，抛物线C : y2 = 4x ，l 与C 有一个公共点的直线
有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．1 条、2 条或 3 条
【答案】C
【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的 k 的取值个数即可.
【详解】联立直线 l : y = k(x +1) 和抛物线C : y2 = 4x 方程可得 k 2(x +1)2 = 4x，
2 2 2
整理可得 k x + 2k - 4 x + k 2 = 0，
直线 l 与C 有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当 k = 0时，方程为-4x = 0仅有一解，符合题意；
k 0 k 2x2 2 2当 时，一元二次方程 + 2k - 4 x + k = 0仅有一解，
即D = 2k 2 2- 4 - 4k 2 × k 2 = 0，解得 k = ±1，
所以满足题意得直线有三条，即 y = 0 ， y = x +1和 y=- x- 1.
故选：C
（三）
直线与抛物线的相交问题
直线与抛物线相交弦长问题
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为 2p.
2．抛物线的焦点弦：过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与它交于两点 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
注：直线与抛物线的位置关系
1
(1)一般弦长：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋ |y1－y2|.
k2
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p.
题型 4：直线与抛物线的相交弦长问题
4-1．（2024 高二下·安徽滁州·开学考试）已知动圆C 过定点F 1，0 ，且与直线 l1： x = -1相切，圆心C 的轨
迹为E ．
(1)求动点C 的轨迹方程；
π
(2)过点 2，0 作倾斜角为 的直线 l2交轨迹E 于A ， B 两点，求 AB ．3
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 8 7
3
【分析】（1）设C x, y ，利用题中条件建立等式，可求动点C 的轨迹方程；
（2）直线与曲线联立方程组，利用韦达定理和弦长公式计算弦长.
【详解】（1）设C x，y ，由动圆C 过定点F 1，0 ，且与直线 l1： x = -1相切，
\ (x -1)2 + y2 = x +1 ，整理得 y2 = 4x，
故动点C 的轨迹方程为 y2 = 4x．
（2）设 A x1，y1 ，B x2，y2 ，直线 l2的方程为 y = 3 x - 2 ，
ì y = 3 x - 2 ì x1 + x
16
2 =
则由 í 2 ，整理得3x
2 -16x +12 = 0 ,\í 3 ，
y = 4x x1x2 = 4
AB (x x )2 (y y )2
2
1 3 (x x )2 4x x 8 7\ = 1 + 2 + 1 + 2 = + 1 + 2 - 1 2 = ．3
4-2．（2024 高二上·浙江宁波·期末）已知抛物线C：y2 = 6x ，过点 P(2，1)的直线 l交抛物线于 A、B两点，且
弦 AB 被点 P 平分.
(1)求直线 l的方程；
(2)求弦 AB 的长度.
【答案】(1) y = 3x - 5
2
(2) 110.
3
【分析】（1）由点差法得出斜率，再写出方程；
（2）联立直线和抛物线方程，由韦达定理以及弦长公式求出弦 AB 的长度.
【详解】（1）设 A x1, y1 , B x2 , y2 则 y1 + y2 = 2，
ìy21 = 6x
由 í 12 ，可得 y1 - y2 y1 + y2 = 6 x1 - x2
y2 = 6x2
k y1 - y 6所以 l = 2 = = 3，得直线 l的方程为 y = 3x - 5x .1 - x2 y1 + y2
ì y2 = 6x
（2）联立方程 í ，得 y2 - 2y -10 = 0，
y = 3x - 5
得 y1 + y2 = 2, y1 y2 = -10，所以
AB 1 1= + 2 y
1
k 1
- y2 = 1+ y + y 2 - 4y y 2= 110.
AB 9 1 2 1 2 3
4-3．（2024 高二上·广东清远·期末）已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的准线方程为 x=-1 .
(1)求 p 的值；
(2)直线 y = x - 2交抛物线于A 、 B 两点，求弦长 AB .
【答案】(1)2；
(2) 4 6 .
【分析】（1）根据给定抛物线方程，求出其准线方程即可计算作答；
（2）联立直线 y = x - 2与抛物线方程，结合韦达定理求出弦长作答.
【详解】（1）抛物线 y2
p p
= 2 px( p > 0)的准线方程为 x = - ，依题意，- = -1，解得 p = 2 ，
2 2
所以 p 的值为 2.
（2）由（1）知，抛物线 y2 = 4x，设点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ìy = x - 2
由 íy2 消去 y 得：
2
= 4x x -8x + 4 = 0，D = 8
2 - 4 4 = 48 > 0，则 x1 + x2 = 8， x1x2 = 4，
2 2
所以 AB = x1 - x2 + y1 - y2
= x1 - x
2
2 + x1 - x2
2
= 2 × (x + x 21 2 ) - 4x1x2
= 2 × 82 - 4 4
= 4 6 .
题型 5：抛物线的焦点弦
5-1．（2024 高二下·湖北孝感·开学考试）已知曲线 C 位于 y 轴右侧，且曲线 C 上任意一点 P 与定点F 1,0
的距离比它到 y 轴的距离大 1．
(1)求曲线 C 的轨迹方程；
(2)若直线 l 经过点 F，与曲线 C 交于 A，B 两点，且 | AB |= 8，求直线 l 的方程．
【答案】(1) y2 = 4x(x > 0) ；
(2) x + y -1 = 0 或 x - y -1 = 0．
【分析】(1)根据题意可知曲线 C 的轨迹为抛物线，进而可知 p = 2 ，即可得轨迹方程；
(2)设直线方程为 y = k(x -1)，联立直线与抛物线方程借助韦达定理求得弦长的表达式，解出 k = ±1，进而得
直线方程.
【详解】（1）由题意动点P(x, y)(x > 0)与定点F (1,0)的距离和它到直线 x=-1的距离相等，
p
所以，曲线 C 是以 F 为焦点，直线 x=-1为准线的抛物线（去掉顶点）， =1, p = 2，
2
所以曲线 C 的轨迹方程是 y2 = 4x(x > 0) ；
（2）若直线 AB 斜率不存在，则 | AB |= 4不合题意，因此直线 AB 斜率存在，
设直线 AB 方程为 y = k(x -1) 2 2 2 2，代入曲线 C 方程整理得 k x - 2k + 4 x + k = 0，
2
设 A x1, y1 , B x , y 2k + 4 42 2 ，则 x1 + x2 = 2 = 2 + 2 ，k k
| AB |=| AF | + | BF |= x1 + x
4
2 + p = 2 + 2 + 2 = 8,k = ±1，k
所以直线 AB 方程为 y = ±(x -1)，即 x + y -1 = 0 或 x - y -1 = 0．
5-2．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）过抛物线C ： y2 = 2 px焦点F 的直线与C 交于A ， B 两点，过点 B 向抛物
线C 的准线作垂线，垂足为D -1, -1 ，则 AB =（ ）
17 25
A． B． C．18 D．20
4 4
【答案】B
【分析】依题意抛物线的准线为 x = -1，即可求出 p ，从而求出抛物线方程，再由 yB = -1，求出 xB ，从而
求出直线 AB 的方程，联立直线与抛物线方程，求出 xA，再根据焦半径公式计算可得.
p
【详解】依题意抛物线的准线为 x = -1，即- = -1，解得 p = 2 ，
2
所以抛物线方程为 y2 = 4x，则焦点为F 1,0 ，又 yB = -1 2
1
，所以 -1 = 4xB，解得 xB = ，4
1
所以B , -1
÷，
è 4
k -1 4BF = 1 = - 4所以 1 3 ，所以直线 AB 的方程为 y = - x -1- ，
4 3
ìy2 = 4x
1
由 í 4 ，消去 y 整理得 4x
2 -17x + 4 = 0，解得 x1 = 、 x2 = 4 ，
y = - x -1 4 3
即 xA = 4，
所以 AB = x
1 25
A + xB + p = + 4 + 2 = .4 4
故选：B
5-3．（2024·全国·模拟预测）已知点P a,b a > 0,b > 0 2在抛物线C : y = 2 px p > 0 上，记O为坐标原点，
OP 3= ，以 P 为圆心， OP 为半径的圆与抛物线C 的准线相切．
2
(1)求抛物线C 的方程；
(2)记抛物线C 的焦点为F ，过点F 作直线 l与直线PF 垂直，交抛物线C 于A ， B 两点，求弦 AB 的长．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)36
ì a2 b2 3 + =
22
【分析】（1）首先得到抛物线的准线方程，依题意可得 íb = 2 pa ，解得 a、b 、 p ，即可得解；
a p 3+ =
2 2
1
（2）由（1）可得 P , 2 ÷，F2 1,0 ，即可求直线 l的方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，è
由焦点弦公式计算可得.
p p
【详解】（1）抛物线C : y2 = 2 px p > 0 的焦点为F ,0 ，准线方程为 x = - ，
è 2 ÷ 2
ì a2 3
ì
+ b2 = a
1
= ì
2 a
3
=
2 2
2
依题意可得 íb = 2 pa ，解得 íb = 2 或 íb = 0 ，又 a > 0、b > 0、 p > 0，
a p 3
+ =
p = 2 p = 0
2 2
ì 1
a = 2
所以 íb = 2 ，所以抛物线方程为 y2 = 4x .
p = 2
P 12 1 k
2 - 0
=
（ ）由（ ）可得 , 2 ÷，F 1,0 ， PF2 1
= -2 2
，
è -1
2
-1 2
因为直线 l ^直线PF ，所以 kl = = ，kPF 4
2
所以直线 l的方程为 y = x -1 ，即 x = 2 2y +1，
4
ì x = 2 2y +1
由 í ，消去 x 整理得 y2 -8 2y - 4 = 0，
y
2 = 4x
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，所以 y1 + y2 = 8 2 ，
所以 x1 + x2 = 2 2 y1 + y2 + 2 = 2 2 8 2 + 2 = 34，
所以 AB = x1 + x2 + p = 36 .
（四）
抛物线的中点弦
1、抛物线的中点弦结论：
若直线 l与抛物线 2 = 2 ( > 0)相交于两点 A 、 B ， AB中点为 P(x0，y0 ) ，则有 = .0
2、根与系数关系法：联立直线方程和抛物线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
3、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入抛物线方程，然后作差，
构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 6：求抛物线的中点弦
6-1．（2024 高二上·吉林辽源·期中）已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线过点P 2,1 ．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点Q 1,1 作直线交抛物线于 A、B 两点，使得 Q 恰好平分线段 AB，求直线 AB 的方程．
【答案】(1) x2 = 4y
(2) x - 2y +1 = 0
【分析】（1）设出抛物线的标准方程为 x2 = 2 py ，代入已知点的坐标求得参数 p ，得抛物线方程；
（2）设点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，代入抛物线方程相减求得直线斜率后可得直线方程．
【详解】（1）因为顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线过点P 2,1 ，
所以抛物线的焦点在 y 轴正半轴，设其方程为 x2 = 2 py ，
将点P 2,1 代入可得 4 = 2 p ，所以 p = 2 ，
所以抛物线的标准方程为 x2 = 4y，
1
（2）抛物线 x2 = 4y中， x = 2时， y = <1， P 在抛物线内部，可以为弦的中点．
2
设点 A x1, y1 , B x2 , y2 ，直线 AB 斜率为 k
点 A x1, y1 , B x2 , y 2 22 在抛物线上，所以 x1 = 4y1, x2 = 4y2
2 2
所以 x1 - x2 = 4 y1 - y k
x1 + x2 1
2 ，即 = = ，4 2
所以直线方程为 x - 2y +1 = 0．
经检验，直线 x - 2y +1 = 0符合题意.
6-2．（2024 高二上·陕西·期末）已知抛物线C : y2 = -2 px( p > 0), A -6, y0 是抛物线C 上的点，且 AF =10 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)已知直线 l交抛物线C 于M , N 两点，且MN 的中点为 -4,2 ，求直线 l的方程.
【答案】(1) y2 = -16x
(2) y = -4x -14
【分析】（1）根据 AF 的长，由几何知识即可求出抛物线C 的方程；
（2）设出两点坐标和直线的斜率，将两点代入抛物线方程，由点差法求出斜率，根据MN 的中点即可求出
直线 l的方程.
【详解】（1）由题意，
在抛物线C : y2 = -2 px( p > 0) 中， AF =10，
由几何知识得，
AF 6 p= + =10 ，
2
解得： p = 8，
故抛物线C 的方程为：C : y2 = -16x .
（2）由题意及（1）得，
直线 l的斜率存在，设直线 l的斜率为 k, M x1, y1 , N x2 , y2 ，
ì y21 = -16xí 1则 2 ，
y2 = -16x2
2 2
两式相减得 y1 - y2 = -16 x1 - x2 ，
y1 - y2 16
整理得 = -x ，1 - x2 y1 + y2
因为MN 的中点为 -4,2 ，\ y1 + y2 = 4
k y1 - y2 16∴ = = - = -4x1 - x 4
，
2
∴直线 l的方程为： y - 2 = -4 x + 4 ，
即 y = -4x -14，经检验，满足题意.
6-3．（2024 高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线 y2 = 8x，过点P 3,2 引抛物线的一条弦，使它恰在点 P 处
被平分，则这条弦所在的直线 l的方程为（ ）
A． 2x - y - 4 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． 2x - y + 4 = 0 D． 2x + y + 4 = 0
【答案】A
【分析】设直线与抛物线的交点坐标，代入抛物线方程点差法求解斜率，进一步利用点斜式方程求出直线
方程
【详解】易知直线 l 的斜率存在，设直线的斜率为 k，直线 l 交抛物线于 M，N 两点，
ì 2
设M x1, y1 , N x2 , y2
y1 = 8x1
，则 í 2 ，两式相减得 y
2
1 - y
2
2 = 8 x1 - x2 ，
y2 = 8x2
y1 - y2 8
整理得 =x - x y + y ，因为 MN 的中点为
P 3,2 ，则 y1 + y2 = 4 ，
1 2 1 2
y - y 8
所以 k = 1 2 = = 2x x 4 ，所以直线 l 的方程为
y - 2 = 2 x - 3 即 y - 2 = 2 x - 3
1 -
.
2
故选：A
（五）
抛物线的综合问题
1．解决抛物线综合问题的基本策略：可以从直线、抛物线的方程出发，结合解一元二次方程，
经过逻辑推理和数学运算，从代数法的角度推证结论．
2．求距离的最值，常见的解题思路：一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距
离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；二是利用数形结
合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力．
题型 7：抛物线的定值、定点问题
7-1 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知点F 是抛物线C ：y = 2 px p > 0 的焦点，纵坐标为 2 的点 N 在C 上，
以F 为圆心、 NF 为半径的圆交 y 轴于D，E ， DE = 2 3 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过 -1,0 作直线 l与抛物线C 交于A ， B ，求 kNA + kNB 的值.
【答案】(1) y2 = 4x
(2)2
【分析】（1）根据焦半径公式和圆的弦长公式可解；
（2）设直线方程为 x = my -1，联立抛物线方程，利用韦达定理可得.
2
【详解】（1）由题知， N 点的横坐标为 p ，
NF p 2∴ = +
p
2 p ，
OF = ，
2
2
DE 2 22
∴ NF 2 = DF 2 = OF 2 + ÷ ，∴
p
÷ + 3 p 2 = + ÷ ，解得 p = 2 ，
è 2 è 2 è 2 p
∴抛物线C 的方程为 y2 = 4x .
（2）由（1）知 N 1,2 ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 AB 的方程为 x = my -1，
代入 y2 = 4x，整理得 y2 - 4my + 4 = 0，∴ D = 4m 2 - 4 4 > 0，即m2 >1，
∴ y1 + y2 = 4m ， y1 y2 = 4，
k k y1 - 2 y - 2 y - 2 y - 2∴ NA + NB = + 2 = 1 + 2x1 -1 x2 -1 my1 - 2 my2 - 2
2my1 y2 - 2 1+ m y1 + y2 + 8= 8m - 2 1+ m 4m + 8
m2 y y - 2m y + y + 4 = 2 = 2 .1 2 1 2 4m - 2m 4m + 4
7-2．（2024 高二下·河北·期末）已知 B 为抛物线 2 = 2 2上一点， A 2,0 ， B 为 AC 的中点，设C 的轨迹
为曲线E ．
(1)求曲线E 的方程；
(2)过点F 1,0 作直线交曲线 E 于点 M、N，点 P 为直线 l： x=-1上一动点．问是否存在点 P 使△MNP为正
三角形？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)存在；P(-1, ±8 2)
【分析】
（1）设C x, y x + 2，表达出B ,
y
÷，代入抛物线方程中，求出C 的轨迹方程；
è 2 2
（2）设出直线 MN： x = my +1，联立抛物线方程，根据等边三角形，得到方程，求出 m ，进而得到
P(-1, ±8 2) .
x + 2 y
【详解】（1）设C x, y ，则B ,
è 2 2 ÷
2
y x + 2
因为点 B 在抛物线 2 = 2 2上，即 ÷ = 2 - 2，
è 2 2
化简得 y2 = 4x，所以曲线 E 的方程为 y2 = 4x．
（2）
假设存在点P -1, y0 使△MNP为正三角形．
当 MN 垂直于 y 轴时，不符合题意；
当 MN 不垂直于 y 轴时，
设直线 MN： x = my +1，MN 的中点为K s, t ，
ìy2 = 4x
联立 í 得： y2 - 4my - 4 = 0，
x = my +1
∴ D =16m2 +16 ， y1 + y2 = 4m ， y1y2 = -4，
∴ MN = 1+ m2 y1 + y
2
2 - 4y1 y2 = 4 m2 +1 ，
t y1 + y∴ = 2 = 2m， s = 2m2 +1，
2
∴ PK = 1+ (-m)2 2m2 +1- (-1) = 1+ m2 2m2 + 2 ，
∵△MNP 3为正三角形，∴ MN = PK ，
2
即 4 m2 +1 3 = 1+ m2 2m2 + 2 ，2
∴ m = ± 2 ，
PK： y - 2m = -m x - 2m2 -1 ，令 x=-1，
∴ y0 = m 2m2 + 2 + 2m = m 2m2 + 4 = ±8 2
所以存在点P(-1, ±8 2) 使△MNP为正三角形．
7-3．（2024· 2河南信阳·三模）已知抛物线C1 : y = 2 px p > 0 上一点Q 1, a 到焦点的距离为 3.
(1)求 a， p 的值；
(2)设 P 为直线 x=-1上除 -1, - 3 2， -1, 3 两点外的任意一点，过 P 作圆C2 : x - 2 + y2 = 3的两条切线，
分别与曲线C1相交于点A ， B 和C ，D，试判断A ， B ，C ，D四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该
定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) a = ±2 2 ， p = 4
(2)定值为 64
【分析】（1）根据抛物线的定义求出 p，利用两点距离公式求出 a；
（2）设切线方程，联立方程韦达定理，结合直线与圆相切得到斜率关系，从而求解纵坐标之积为定值.
p
【详解】（1）根据抛物线的定义，Q 1, a 到准线 x = - 的距离为 3，
2
∴1 p+ = 3，∴ p = 42 ；
∴抛物线的焦点坐标为 2,0 ，∴ 1+ a2 = 3，∴ a = ±2 2 ；
（2）设P -1, y0 ，过点 P 的直线方程设为 l : y - y0 = k x +1 ，
ì y2 = 8x
í ky2由
y - y0 = k
得， -8y + 8y0 + 8k = 0x 1 ，+
若直线 AB ，CD的斜率分别为 k1， k2 ，设A ， B ，C ，D的纵坐标分别为 y1 ， y2 ， y3 ， y4 ，
8 y + k 8 y + k
∴ y1 y
0 1
2 = ， y3 y
4 =
0 2
，
k1 k2
3k + y
∵ C 0 22 到 l的距离 d = = 3 ，∴ 6k + 6y0k + y
2
1+ k 2 0
- 3 = 0，
y2∴ k + k = -y k k 0 - 31 2 0 ， 1 2 = ，6
64 é k1k2 + k1 + k2 y0 + y
2 2
0 ù 64 k1k2 - y0 + y2 ∴ y y 01 2 y3 y4 = = = 64，k1k2 k1k2
∴ A ， B ，C ，D四点纵坐标之积为定值，且定值为 64.
7-4．（2024 高二下·四川资阳·期末）过点K (0, -1) 作抛物线G : x2 = 2 py( p > 0)在第一象限部分的切线，切点
为 A，F 为G 的焦点，O为坐标原点，△OAF 的面积为 1．
(1)求G 的方程；
(2)过点P(0, 2)作两条互相垂直的直线 l1和 l2， l1交G 于 C，D 两点， l2交G 于 P，Q 两点，且 M，N 分别为
线段 CD 和 PQ 的中点．直线 MN 是否恒过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】(1) x2 = 4y
(2)直线 MN 恒过定点 (0, 4)．
【分析】（1）利用导数求解切线方程，即可得切点坐标，由面积公式即可求解 p = 2 ，
（2）联立直线与抛物线的方程得韦达定理，结合中点坐标公式可得 M，N 的坐标，即可由点斜式求解直线
的方程，化简即可求解.
x
【详解】（1）由题， y = p ，
x0 2
设切点 A x0 , y0 ，则切线方程为 y - y0 = x - x0 ， x0 = 2 pyp 0 ,
x
K (0, -1) 0的坐标代入，得-1- y0 = -xp 0 ，解得 y0 =1，由于 x0 > 0，所以 x0 = 2 p ，
由△OAF
1 p
的面积 S = × × 2 p =1，解得 p = 2 ，
2 2
所以G 的方程为 x2 = 4y．
（2）由题意可知，直线 l1和 l2斜率都存在且均不为 0，
设直线 l1的方程为 y = kx + 2
1
，则直线 l2的方程为 y = - x + 2 ，k
ìy = kx + 2,
联立方程组 í y 2x2 = 4y
消去 并整理得， x - 4kx -8 = 0，
则D = (-4k)2 + 32 =16k 2 + 32 > 0，
设C x1, y1 ，D x2 , y2 ，则 x1 + x2 = 4k ， x1 × x2 = -8，
所以 y1 + y2 = k x + x 21 2 + 4 = 4k + 4，
因为M 为 CD 中点，所以M 2k, 2k 2 + 2 ，
2
同理可得 N - ,
2
+ 2 ，
è k k 2 ÷
2k 2 + 2 - 2 2 + 2÷
所以，直线 MN 的方程为 y - 2k 2 + 2 = è k 2 × (x - 2k)
1
= k - ÷ × (x - 2k)，
2k + è k
k
y k 1 整理得 = - ÷ x + 4，所以，直线 MN 恒过定点 (0, 4)．
è k
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为 y - y0 = k x - x0 ,则直线过定点 x0 , y0 ;
若直线方程为 y = kx + b (b 为定值),则直线过定点 0,b .
题型 8：抛物线的向量问题
8-1．（2024 高二下·四川内江·期中）已知点F 0,2 ，直线 l : y = -2交 y 轴于点 H，点 M 是 l 上的动点，过
点 M 且垂直于 l 的直线与线段 MF 的垂直平分线交于点 P．
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程：
uuur uuur
(2)若 A、B 为轨迹 C 上的两个动点，且OA ×OB = -16，证明直线 AB 必过定点，并求出该定点．
【答案】(1) x2 = 8y
(2)证明见解析，定点 (0, 4)
【分析】（1）根据抛物线定义写出点 P 轨迹 C 的方程；
（2）设 AB : y = kx + b, A(x1, y1), B(x2 , y2 )，联立抛物线应用韦达定理，根据向量数量积的坐标表示列方程求
参数 b，即可证直线过定点及其坐标.
【详解】（1）由题意 | PF |=| PM |，则点 P 的轨迹是以F (0, 2)为焦点， l为准线的抛物线，
所以轨迹方程C : x2 = 8y .
（2）设直线 AB : y = kx + b, A(x1, y1), B(x2 , y2 )，
ìy = kx + b
联立 í 2 x
2 -8kx -8b = 0
x ，而
2
= 8y D > 0 2k + b > 0 ①，
x 2 2∴ x x = -8b，则 y y = 1 x× 2 = b21 2 1 2 ，8 8
uuur uuur
由OA ×OB = -16 x1x2 + y1 y2 = -16，即b2 -8b +16 = 0 b = 4满足①式，
∴直线 AB ： y = kx + 4必过点 (0, 4) .
3 1
8-2．（2024·
甘肃定西·模拟预测）已知点 M 到点F 0, ÷的距离比它到直线 l：y = -22 的距离小 ，记动点 Mè 2
的轨迹为 E.
(1)求 E 的方程；
(2)若过点 F 的直线交 E 于 A x1, y1 ，B x2 , y2 两点，则在 x 轴的正半轴上是否存在点 P，使得 PA，PB 分
uuur uuur
别交 E 于另外两点 C，D，且 AB = 3CD ？若存在，请求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) x2 = 6y
P 3 2
(2) ,02 ÷÷è
3 3
【分析】（1
）根据点 M 到点F 0, l2 ÷的距离等于它到直线 ：
y = - 的距离，结合抛物线的定义得出抛物线
è 2
E 的标准方程；
uuur uuur2 2（ ）设C x3 , y3 , P x0 ,0 ，由PA = 3PC 结合抛物线方程得出 x1, x2 是方程 x - 2x 20x - 2x0 = 0的两根，设直线
y kx 3AB 的方程为 = + ，并与抛物线方程 x2 = 6y 联立结合韦达定理得出点 P 坐标.
2
3 1
【详解】（1）因为点 M 到点F 0, 2 ÷的距离比它到直线 l：
y = -2的距离小 ，
è 2
F 0, 3 3所以点 M 到点 2 ÷的距离等于它到直线 l：
y = - 的距离，
è 2
3 3
则点 M 的轨迹为以F 0, 2 ÷为焦点，以
y = - 为准线的抛物线，
è 2
则曲线 E 的方程为 x2 = 6y .
（2）设C x3 , y3 , P x0 ,0 x0 > 0 ，
uuur uuur uuur uuur
由 AB = 3CD 得： AB//CD ，且 AB = 3 CD ，得PA = 3PC ，
即 x - x , y = 3 x - x , y x，所以 x = 1 + 2x0 y11 0 1 3 0 3 3 , y3 = ，3 3
2 2
代入抛物线方程 x2 = 6y x1 + 2x0 ，得 ÷ = 6y3 = 2y
x
= 11 ，
è 3 3
2
整理得 x1 - 2x0x1 - 2x
2 = 0 2 20 ，同理可得 x2 - 2x0x2 - 2x0 = 0
故 x1, x 22 是方程 x - 2x0x - 2x
2
0 = 0的两根，D =12x
2
0 > 0，
由韦达定理可得 x1 + x2 = 2x0 , x1x2 = -2x
2
0 ①，
3
由题意，直线 AB 的斜率一定存在，故设直线 AB 的方程为 y = kx + ，
2
与抛物线方程 x2 = 6y 联立可得 x2 - 6kx - 9 = 0，
易得D > 0，由韦达定理可得 x1 + x2 = 6k, x1x2 = -9 ②，
①② x 3 2 ,k 2由 可得 0 = = ，2 2
3 2
故在 x 轴的正半轴上存在一点P ,02 ÷÷
满足条件.
è
一、单选题
1．（2024·河南安阳·模拟预测）已知抛物线C : y2 = 4x 与圆E : (x -1)2 + y2 = 4 交于 A，B 两点，则 | AB |=
（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2
【答案】C
【分析】先联立抛物线与圆求出 A，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.
ì y
2 = 4x
【详解】由对称性易得 A，B 横坐标相等且大于 0，联立 í 得 x22 2 + 2x - 3 = 0 ，解得
x -1 + y = 4
x1 = -3, x2 =1，
则 xA = xB =1，将 x =1代入 y2 = 4x可得 y = ±2，则 | AB |= 4 .
故选：C.
2 2
2．（2024 · x y高二上 江苏南通·期末）已知 P 为双曲线C : - =1与抛物线 y2 = 2x的交点，则 P 点的横坐标
3 3
为（ ）
A．3 B．2 C． 6 D．-1
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.
ìy2 = 2x ìx = 3
【详解】依题意， 2x = y2 0
，则由 í 2 2 解得 í ，
x - y = 3 y = ± 6
所以 P 点的横坐标为 3.
故选：A
3．（2024 高二·全国·课后作业）直线 y = k x -1 + 2与抛物线 x2 = 4y的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】直线 y = k x -1 + 2过定点 1,2 ，在抛物线 x2 = 4y内部，即可得出结论．
【详解】直线 y = k x -1 + 2过定点 1,2 ，
∵12 < 4 2，
∴ 1,2 在抛物线 x2 = 4y内部，
∴直线 y = k x -1 + 2与抛物线 x2 = 4y相交，
故选：A．
4．（2024·北京海淀·二模）已知抛物线C : y2 = 4x ，经过点 P 的任意一条直线与 C 均有公共点，则点 P 的坐
标可以为（ ）
A．( 0, 1) B． (1, -3) C． (3, 4) D． (2,-2)
【答案】D
【分析】根据点与抛物线的位置即可求解.
【详解】 0,1 在 y 轴上，所以 0,1 在抛物线外部，
将 x =1代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 < 3，所以 (1, -3)在抛物线外部，
将 x = 3代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 3 < 4，所以 (3, 4) 在抛物线外部，
将 x = 2代入抛物线C : y2 = 4x 中，则 y = 2 2 > 2，所以 (2,-2)在抛物线内部，
将选项中的点分别在直角坐标系中画出来，只有点D 2, -2 在抛物线内部，故当点 P 位于点D 2, -2 处，此
时经过点 P 的任意一条直线与 C 均相交，故均有公共点，
故选：D
5．（2024 2高二上·贵州铜仁·期末）过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 作直线，交抛物线于 A x0 , y1 ，
B 5 - x0 , y2 两点，若 AB = 8，则 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
p
如图所示，由题得F ( ,0)，利用抛物线的定义化简 AB =| AF | + | BF |= 8即得解.
2
p p
【详解】如图所示，由题得F ( ,0)，抛物线的准线方程为 x = - .
2 2
所以 AB = AF BF x
p p
+ = 0 + + 5 - x0 + = 8,\ p = 3 .2 2
故选：C
6．（2024 高二上·全国·课后作业）抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点 (-5, m)到焦点的距
离是 6，则抛物线的方程为（ ）
A． y2 = -2x B． y2 = -4x
C． y2 = 2x D． y2 = -4x 或 y2 = -36x
【答案】B
p
【分析】由已知，抛物线开口向左，设其方程为 y2 = -2 px ，则准线方程为 x = 2 ，由条件结合抛物线的定
义求出 p 的值即可.
p
【详解】由已知，抛物线开口向左，设其方程为 y2 = -2 px , p > 0，则准线方程为 x = 2 ，
p
由抛物线的定义知，点 (-5,m)到焦点的距离是 + 5 = 6，所以 p = 2 ，
2
所以抛物线的方程是： y2 = -4x ，
故选：B.
7．（2024 高二下·河南焦作·期末）已知抛物线 C： y2 = 4x的焦点为 F，A 是 C 上一点，O 为坐标原点，若
AF = OF + 3，则VAOF 的面积为（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．6
【答案】A
【分析】利用题目所给的条件，计算出 A 点的坐标可得答案.
【详解】依题意作下图：
设 A x1, y1 ，F 1,0 ，所以 AF = OF + 3 = 4 = x1 +1，
可得 x1 = 3 2，由 y1 = 4 3 =12，解得 y1 = ±2 3 ，所以 A 3, ±2 3 ，
S 1 1所以 VOFA = × OF × y1 = 1 2 3 = 3 .2 2
故选：A.
8．（2024 高二上·陕西渭南·期末）设F 为抛物线C : y2 = 4x 的焦点，过点F 的直线 l交C 于 A x1, y1 , B x2 , y2
2 2
两点，若 AB = 8，则 y1 + y2 =（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】由抛物线的定义可得 x1 + x2 = 6，结合 A x1, y1 , B x2 , y2 在抛物线C : y2 = 4x 上，即可得解.
【详解】由抛物线C : y2 = 4x 可知 p = 2 ，
由抛物线的定义可得 AB = x1 + x2 + p = x1 + x2 + 2 = 8，即 x1 + x2 = 6，
又 A x 2 21, y1 , B x2 , y2 在抛物线C : y2 = 4x 上，\ y1 = 4x1, y2 = 4x2 ，
\ y2 + y21 2 = 4 x1 + x2 = 24 .
故选：D.
9．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发
展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线
y2 = 4x，过焦点的弦 AB 的两个端点的切线相交于点M ，则下列说法正确的是（ ）
A．M 点必在直线 x = -2上，且以 AB 为直径的圆过M 点
B．M 点必在直线 x=-1上，但以 AB 为直径的圆不过M 点
C．M 点必在直线 x = -2上，但以 AB 为直径的圆不过M 点
D．M 点必在直线 x=-1上，且以 AB 为直径的圆过M 点
【答案】D
【分析】
结合导数几何意义可证得过抛物线 y2 = 4x上一点 x0 , y0 的切线方程为 y0 y = 2 x + x0 ，由此可确定在 A, B
处的切线方程，进而结合M 点坐标得到直线 AB 方程，代入 F 1,0 可知点M 必过直线 x = -1；结合韦达定
理可得 kMA × kMB = -1，知MA ^ MB ，由此可得结论.
【详解】设 x0 , y 为抛物线 y20 = 4x上一点，
1
当 y0 > 0时，由 y = 2 x 得： y
1
= ，在 x \ y - y = x - x
x 0
, y0 处的切线方程为： 0 x 0 ，0
2 y y x y
2
0 y2
即 - 0 = - ÷，\ y0 y = 2x + 0 = 2 x + xy 4 0 ；0 è 2
同理可得：当 y0 < 0 时，在 x0 , y0 处的切线方程切线方程为 y0 y = 2 x + x0 ；
经检验，当 x0 = 0， y0 = 0时，切线方程为 x = 0，满足 y0 y = 2 x + x0 ，
\过抛物线 y2 = 4x上一点 x0 , y0 的切线方程为： y0 y = 2 x + x0 ；
设 A x1, y1 , B x2 , y2 , M x3 , y3 ，
ìy y = 2 x + x
则抛物线在 A, B处的切线方程为 y1y = 2 x + x y y = 2 x + x
1 3 3 1
1 和 2 2 ，\í
y
，
2 y3 = 2 x3 + x2
\点 A, B满足直线方程： yy3 = 2 x + x3 ，又直线 AB 过焦点F 1,0 ，
\2 1+ x3 = 0，解得： x3 = -1，\ M 点必在直线 x = -1上；AC 错误；
由题意知： y1 0 ， y2 0，
Qk 2 2 4MA = ， kMB = ，\ky y MA
× kMB = y y ；1 2 1 2
设直线 AB 方程为： x = ty +1，
ìx = ty +1
由 í 得： y22 - 4ty - 4 = 0 ，\ y yy = 4x 1 2
= -4 ，\kMA × kMB = -1，即MA ^ MB ，
\以 AB 为直径的圆过M 点；B 错误，D 正确.
故选：D.
10．（2024 高二上·广西河池·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行
于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
y2 =16x 的焦点为F ，一条平行于 x 轴的光线从点P 4,4 2 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物
线上的另一点 B 射出，则VPAB 的面积为（ ）
A．4 B． 6 2 C．12 2 D． 24 2
【答案】C
【分析】由题意求出A 点坐标，根据直线 AB 过焦点的直线，联立抛物线方程求出 B 点的横坐标，根据抛物
线的焦点弦的弦长公式求解即可.
2
【详解】因为P 4,4 2 ，所以 yA = yP = 4 2 y，所以 xA = A = 2，16
所以 A 2,4 2 ，又F 4,0 ，所以 lAB : y 0 4 2 - 0- = (x - 4），2 - 4
ì
即 lAB : y = -2 2 x 4
y = -2 2 x - 4 ,- ，又 í ，
y
2 =16x,
所以 x2 -10x +16 = 0，解得 x = 2或 x = 8，所以 xB = 8，
又因为 AB = AF + BF = xA + xB + p = 2 + 8 + 8 =18，
8 2 + 4 2 -8 2点P 4,4 2 4 2到直线 lAB : y = -2 2 x - 4 的距离 d = = ，
(2 2)2 +1 3
VPAB S 1 AB d 1所以 的面积 = × = 18 4 2 =12 2 .
2 2 3
故选：C .
1
11．（2024 高二下·福建泉州· Γ：y = x2期末）已知抛物线 4 的焦点为F ，过F 的直线 l交G于点
A, B，分别在
1 1
点 A, B处作G的两条切线，两条切线交于点 P ，则 +PA 2 PB 2 的取值范围是（ ）
A 0,1 B 0, 1 ù 1 ù 1 1 ù． ． C2ú ． 0, ú D．è 4
,
è è 4 2ú
【答案】C
【分析】
设直线 l的方程为 y = kx +1，A x1, y1 , B x2 , y2 ，与抛物线联立可得 x1 + x2 = 4k, x1x2 = -4，再利用求曲线上
一点的切线方程得过 A, B与G相切的直线方程，再利用两条直线的交点坐标得 P 2k, -1 ，再利用两点间的
距离公式计算得结论.
【详解】显然直线 l的斜率存在，因此设直线 的方程为 y = kx +1， A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ìy = kx +1 2
由 í 2x2 = 4y 得 x - 4kx - 4 = 0，因此
D = -4k +16 =16k 2 +16 > 0，
故 x1 + x2 = 4k, x1x2 = -4 .
y x
2 2
因为 = ，所以过 A, B G x x x x x x与 相切的直线方程分别为： y = 1 - 1 、 y = 2 - 2 ，
2 2 4 2 4
ì
y x x x
2
= 1 - 1 ìx x1 + x= 2 = 2k,
2 4 2
因此由 í 得 í ，即P 2k, -1 ，
y x2x x
2
= - 2 y
x x
= 1 2 = -1
2 4 4
1 1 1 1
所以 PA 2
+ =
PB 2 x - 2k 2
+
1 + kx1 + 2
2 x2 - 2k
2 + kx + 2 22
1 1
= +
k 2 +1 x21 + 4 k 2 +1 x22 + 4
x21 + x
2
2 + 8 x1 + x
2
2 - 2x1x2 + 8=
k 2 +1 x2 + 4 =x2 + 4 k 21 2 +1 é x2 2 2 2 ù1 x2 + 4 x1 + x2 +16
16k 2 +16 1
= 2 = 2 4 k 2 +1 .64 k +1
因为 k R ，所以 4 k 2 +1 1 1 4，因此0 < 4 k 2 +1 4 ，
1 1 1 ù
所以 + 0,PA 2 PB 2 的取值范围是 .è 4ú
故选:C.
12．（2024 高二下·浙江·期末）过点G 2,2 作两条直线分别交抛物线 y2 = 2x于A ，B 两点，记直线GA，GB
的斜率分为 k1， k2 ，若 k1 + k2 = 5， k1 × k2 = -2，则直线 AB 的方程为（ ）
A．2x + 9 y +12 = 0 B．2x - 9 y -12 = 0
C．4x +18y +13 = 0 D．4x -18y -13 = 0
【答案】A
【分析】设直线 AB 的方程为： x = my + n ， A x1, y1 , B x2 , y2 ，与抛物线联立得到 y1 + y2 , y1 × y2，由斜率公
式表示出 k1 + k2 ,k1 × k2 结合韦达定理化简可得8m - 5n + 6 = 0 ，n - 2m - 3 = 0，解方程求出m, n，即可求出直线
AB 的方程.
【详解】因为点G 2,2 作两条直线分别交抛物线 y2 = 2x于A ， B 两点，
G 2,2 在抛物线 y2 = 2x上，所以直线 AB 斜率一定不为0 ，
设直线 AB 的方程为： x = my + n ，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
与 y2 = 2x联立方程可得： y2 = 2my + 2n，即 y2 -2my-2n = 0，
所以 y1 + y2 = 2m, y1 × y2 = -2n，
k k y1 - 2 y2 - 2 y1 - 2 y2 - 2 2 21 + 2 = + = + = +则 x1 - 2 x2 - 2 y
2 y21 - 2 2 - 2 y1 + 2 y2 + 2
2 2
2 y2 + 2 + 2 y1 + 2 2 y1 + y2 + 8= =
y1 + 2 y2 + 2 y1 × y2 + 2 y1 + y2 + 4
2 ×2m + 8 2m + 4
= = = 5，所以8m - 5n + 6 = 0 ①，
-2n + 4m + 4 -n + 2m + 2
k k y× = 1 - 2 y - 2 2 2 41 2 × 2 = × =
4
x 2 x 2 y 2 y 2 y y 2 y y 4 = = -21 - 2 - 1 + ，2 + 1 × 2 + 1 + 2 + -2n + 4m + 4
9
所以 n - 2m - 3 = 0 ②，由①②可得： n = -6, m = - ，
2
x 9所以 = - y - 6，故2x + 9 y +12 = 0 .
2
故选：A.
二、多选题
13．（2024 高二上·全国·课后作业）（多选）设抛物线 y2 = 8x的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与
抛物线有公共点，则直线 l 的斜率可以是（ ）
A． - 2 B． -1
C．1 D．2
【答案】BC
【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.
【详解】Q抛物线 y2 = 8x的准线与 x 轴交于点 Q，
\准线为 x = - 2，Q 点的坐标 -2,0 ，
又直线 l 过点 Q，且斜率必存在，
\可设 l： y = k x + 2 ，
ìy = k x + 2 k 2x2联立 í 2 ，可得 + 4 k 2 - 2 x + 4k 2 = 0，
y = 8x
当 k = 0时，得 x = 0，即交点为 0,0 ，
当 k 0时，由D 0得，即16 k 2 2- 2 -16k 4 0 ，
解得，-1 k < 0或0 < k 1，
综上，k 的取值范围是 -1,1 ．
故选：BC.
14．（2024 高二下·安徽·期末）已知O为坐标原点，抛物线C : y2 = 2 px p > 0 的焦点F 到其准线的距离为
4，过点F 作直线 l交C 于M ， N 两点，则（ ）
π
A．C 的准线为 x = -2 B． MON 的大小可能为
2
C． MN 的最小值为 8 D． MF NF = 2 MF + NF
【答案】ACD
【分析】利用韦达定理以及抛物线的弦长公式、焦半径公式求解.
【详解】由题意得， p = 4 ，则C 的准线为 x = -2，故 A 正确；
F (2,0) ,设 l : x = my + 2, M (x1, y1), N (x2 , y2 ),
ìy2 = 8x
í ，整理得， y2 -8my -16 = 0，
x = my + 2
所以 y1 + y2 = 8m, y1y2 = -16 ，
x1 + x2 = m(y1 + y2 ) + 4 = 8m
2 + 4, x1x2 = m
2 y1 y2 + 2m(y1 + y2 ) + 4 = 4 ，
uuuur uuur
OM ×ON = x1x2 + y1 y2 = 4 -16 = -12 < 0，
所以 MON
π
> ，故 B 错误；
2
MN = 1+ m2 (y 21 + y2 ) - 4y1 y2 = 8(m
2 +1) 8，
当m = 0时， MN 的最小值为 8，故 C 正确；
1 1 1 1 1 1 x + x
+ = + = + = 1 2
+ 4 1
=
∵ MF NF x p x p+ + x1 + 2 x2 + 2 x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4 2 ，1 2 2 2
∴ MF NF = 2 MF + NF ，故 D 正确.
故选：ACD.
15．（2024 高二下·湖北襄阳·阶段练习）已知抛物线C : x2 = 4 y的焦点为 F，点 P 为 C 上任意一点，若点
M 1,3 ，下列结论错误的是（ ）
A． PF 的最小值为 2
B．抛物线 C 关于 x 轴对称
C．过点 M 与抛物线 C 有一个公共点的直线有且只有一条
D．点 P 到点 M 的距离与到焦点 F 距离之和的最小值为 4
【答案】AB
【分析】根据焦半径公式结合条件判断 A，由抛物线的对称性判断 B，由直线与抛物线的位置关系判断 C，
结合抛物线的定义，把 PF 转化为 P 到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断 D．
【详解】设P(x0 , y0 )，则x 20 = 4y ， y0 00 ，又抛物线的焦点为F (0,1)，
对 A，由题可知 PF = y0 +1 1， y0 = 0时，等号成立，所以 PF 的最小值是 1，A 错；
对 B，抛物线的焦点在 y 轴上，抛物线关于 y 轴对称，B 错；
对 C，由题知点M 在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过M 与对称轴平行的直线与抛物线只有一个
公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C 正确；
对 D，记抛物线的准线为 l，准线方程为 y = -1，
过 P 作PH ^ l 于 H ，过M 作MN ^ l 于 N ，则 PF = PH ， PM + PF = MP + PH ，
所以当M , P, H 三点共线，即 H 与 N 重合时， PM + PF 最小，最小值为3+1 = 4．D 正确．
故选：AB．
16．（2024 高二上·安徽阜阳·期末）若直线 y = k x +1 与抛物线 x2 = 2 y 只有一个交点，则 k 的可能取值为
（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．0
【答案】BD
【分析】联立方程，根据题意可得D = 0，由此即可得解.
ìx2 = 2y
【详解】联立 í y 2y = k x 1 ，消去 可得+ x - 2kx - 2k = 0，
∵直线 y = k x +1 与抛物线 x2 = 2 y 只有一个交点，
\Δ = 4k 2 + 8k = 0,\k = 0或 k = -2 .
故选：BD.
17 2．（2024 高三下·安徽·开学考试）若经过点P 1,3 的直线与抛物线C : y = 2 px p > 0 恒有公共点，则 C 的
准线可能是（ ）．
A． x = -2 B． x = -3
C． x = - 2 D． x = -2 2
【答案】BD
【分析】由题意得，点P 1,3 在抛物线上或其内部，则 2 p 3，求出 p 的范围，即可得出答案.
9
【详解】由题意得，点P 1,3 在抛物线上或其内部，则32 2 p，2 p 3，解得 p ，
2
p 9
∴其准线为 x = - - .
2 4
故选:BD．
18 2．（2024 高二·全国·课后作业）经过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 的直线交抛物线于A ， B 两点，设
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则下列说法中正确的是（ ）
1 1 2
A．当 AB 与 x 轴垂直时， AB 最小 B． + =AF BF p
p
C 2．以弦 AB 为直径的圆与直线 x = - 相离 D． y1 y2 = - p2
【答案】ABD
【分析】先设直线 AB 的方程，联立抛物线，可得 D.
用抛物线焦点弦公式表示 AB ，可得 A.
1 1
利用抛物线定义，可表示 +AF BF ，可证 B.
利用抛物线定义，结合图像位置关系可判断 C.
【详解】
p
如图，设直线 AB 为 x = my + ，
2
联立 y2 = 2 px，
y2 = 2 p p 得 2 my + ÷，即 y - 2 pmy - p2 = 0，
è 2
所以 y1 + y2 = 2 pm， y1 y2 = - p
2
，
故 D 正确，
AB x p p= 1 + x2 + p = my1 + + my2 + + p = m y1 + y2 + 2 p ，2 2
将 y1 + y2 = 2 pm代入得 AB = 2m
2 p + 2 p ，
故当m = 0时， AB 取得最小值 2 p ，此时直线 AB 与 x 轴垂直，故 A 正确，
1 1 1 1 1 1 m y1 + y2 + 2 p+ = + = + =
AF BF x p+ x p+ my1 + p my + p m
2 y y + mp y + y + p2 ，2 1 2 1 2
1 2 2 2
代入 y1 + y2 = 2 pm， y1 y2 = - p
2
，
1 1 2m2 p + 2 p 2
得 + =AF BF m2 p2 + p2
=
p ，故 B 正确，
AB
设 AB 的中点为M ，则以弦 AB 为直径的圆的圆心为M ，半径为
2
分别过 A, B, M 作抛物线的垂线，垂足分别为P,Q, S ,
由抛物线的定义知 AP = AF ， BF = BS ，
MQ 1 AP BS 1则 = + = AF + BF 1= AB ,
2 2 2
p
故以弦 AB 为直径的圆与直线 x = - 相切，C 错误，
2
故选：ABD
三、填空题
19．（2024 高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线 l 过抛物线 C： y2 = 4x的的焦点且与 C 交于 A，B 两点，
线段 AB 中点的横坐标 3，则 AB = ．
【答案】8
【分析】根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算．
【详解】设 A(x1, y1), B( x2, y2)，则 x1 + x2 = 2 3 = 6，抛物线 y2 = 4x中 2 p = 4, p = 2，
所以 AB = x
p p
1 + + x2 + = x1 + x2 + p = 6 + 2 = 8．2 2
故答案为：8．
20．（2024 高二上·全国· 2课后作业）过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点作一直线交抛物线于 A x1, y1 、B x2 , y2
两点，则 kOAkOB 的值是 ．
【答案】-4
【分析】设出直线 AB 方程，与抛物线方程联立得出 y1y2与 x1x2 ，再代入斜率公式即可得出答案.
p
【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为 ,0
÷，从而设直线 AB 的方程为 x = ky
p
+ ，
è 2 2
ì p
x = ky +
联立方程 í 2 ，得 y2 - 2 pky - p2 = 0，D = 4 p2k 2 + 4 p2 > 0，
y2 = 2 px
2 2 2
y y = - p2 ， x x
y
= 1
y2 p
1 2 1 2 × = .2 p 2 p 4
- p2
所以 k k
y1 y2 y1 y= × = 2 = 2 = -4OA OB x x x p .1 2 1x2 4
故答案为：-4 .
3π
21（．2024高三下·上海宝山·期中）过抛物线 x2 = 4y的焦点且倾斜角为 的直线被抛物线截得的弦长为 .
4
【答案】8
【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.
【详解】抛物线 x2 = 4y的焦点为F 0,1 3π，准线方程为 y = -1，直线 l的倾斜角为 ，
4
设直线 l与抛物线交于M , N 两点，
则直线 l的方程为 y = -x +1，代入 x2 = 4y得 y2 - 6y +1 = 0，
则M (x1， y1)， N (x2， y2 )， y1 + y2 = 6 ，
则 MN = MF + NF = y1 + y2 + 2 = 8，
故答案为：8
22．（2024 高二下·安徽·期末）已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的焦点为F ，过F 的动直线 l与抛物线交于 A, B
两点，满足 AB = 4的直线 l有且仅有一条，则 p = ．
【答案】2
【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.
p
【详解】设交点坐标为 A x1, y1 , B x2 , y2 ，过F 的直线为 x = my + ，2
与抛物线联立可得， y2 - 2 pmy - p2 = 0，故 y1 + y2 = 2 pm．
AB AF BF x x p my p my p= + = 1 + 2 + = 1 + + 2 + + p = m y1 + y2 + 2 p = 2 pm2 + 2 p 2 p ，2 2
故当 AB = 2 p 时，动直线有且仅有一条，即 2 p = 4，故 p = 2 ．
故答案为：2.
23．（2024 高二上·甘肃庆阳·期末）已知点P 2,1 ，若抛物线 y2 = 4x的一条弦 AB 恰好是以 P 为中点，则弦
AB 所在直线方程是 ．
【答案】 2x - y - 3 = 0
【分析】设 A(x1, y1), B( x2, y2)，得 y1 + y2 = 2，代入抛物线方程相减可得直线 AB 斜率，从而得到所求直线方
程．
【详解】 x = 2时， y = 2 2 >1， P 在抛物线内部（含焦点的部分），
设 A(x1, y1), B( x2, y2)， y1 + y2 = 2，
ìy21 = 4xí 1由 2 ，相减得 y
2
1 - y
2
2 = 4x1 - 4x ，
y2 = 4x
2
2
y
∴ 1
- y2 4 4= = = 2 k = 2
x ，即 AB ，1 - x2 y1 + y2 2
直线 AB 方程为 y -1 = 2(x - 2)，即 2x - y - 3 = 0，
故答案为： 2x - y - 3 = 0．
24．（2024 高二下·湖北孝感·阶段练习）已知 M 是抛物线 y2 = 6x 上一点，则点 M 到直线3x - 4y +12 = 0的最
短距离为 ．
4
【答案】 /5 0.8
【分析】设出点 M 的坐标，由点到直线距离公式转化为一元二次函数求最小值.
M y
2
0
【详解】设 , y0 ÷，则点 M 到直线3x - 4y +12 = 0的距离
è 6
1 y20 - 4y0 +12
1 y0 - 4
2 + 4
d 2 2 4 ，当
y0 = 4时取等号.= =
5 5 5
4
故答案为：
5
25．（2024 高二下·山东青岛· 2期中）在坐标平面 xOy 内，抛物线C : x = 2 py p > 0 的准线为 l : y = -1，点
P x0 , y0 0 < y0 <1 是C 上一点，且PP ^ l ，垂足为P ，连接OP 交C 于点Q，则直线 PQ在 y 轴上的截距
PQ
为 3；若点O到 PQ的距离为 ，则 =PP .2
【答案】 1 4
【分析】（1）由 P 点坐标，得P 坐标，求出直线OP 方程并与抛物线方程联立，求得点Q坐标和直线 PQ方
程，令 x = 0求出 y 即可；
（2）设直线 PQ的方程为 y = kx +1，由原点到直线 PQ的距离求出直线 PQ方程，再将直线 PQ方程与抛物线
方程联立求解即可.
【详解】
∵ 2抛物线C : x = 2 py p > 0 p的准线为 l : y = -1，∴ =1， p = 2 ，
2
∴抛物线C 的方程为 x2 = 4y，
2
∴由题意，P x0 , y0
0 < y0 <1 即P x0 ,
x0
÷，（0 < x20 < 4）∴ P x4 0 ,-1 ，è
1
又∵ O 0,0 ，∴直线OP 的方程为 y = - xx ，0
ìx2 = 4y
4 4
由 íy 1 x，解得
Q - , 2 ÷，
= - xx è 0
x0
0
2
y x- 0
4 x - x∴ 0直线 PQ的方程为 4 x2
= 4 ，（0 < x
2
0 < 4），
- 0 - - x
x2 4 x 00 0
2 2
y x- 0 y
x
-x -
0
4 x0
令 x = 0 4
0
，则 =4 x2
= 4 ，即 ，
- 0 - - x
2 x0 2 x 2 x
2 x 0 - ÷ +
0 ÷ 2 + 0x 4 x 2 ÷0 0 è 0 è x0 2 è x0 2
x2 x 2 x x2
∴ y - 0 = 0 - 0 ÷ =1- 0 ，∴ y =1，4 2 è x0 2 4
∴直线 PQ与 y 轴交于点 0,1 ，直线 PQ在 y 轴上的截距为1.
∵抛物线C 的方程为 x2 = 4y，∴直线 PQ与 y 轴交点为抛物线C 的焦点F ，
易知直线 PQ斜率存在，设直线 PQ的方程为 y = kx +1，即 kx - y +1 = 0，
0 - 0 +1则O 0,0 3到直线 PQ的距离 d = = 3，解得 k = ± ，
k 2 +1 2 3
k 3 PQ y 3由抛物线的对称性，不妨取 = ，则直线 的方程为 = x +1，
3 3
ìx2 = 4y
由 í ，消去 x ，得3y23 -10y + 3 = 0，
y = x +1
3
设P xP , yP ，（0 < yP <1），Q xQ , y 1Q ，解得 yP = ， yQ = 3，3
1
∴ PP = +1
4 1
= ，且由抛物线焦点弦弦长， PQ = + 3
16
+ 2 = ，
3 3 3 3
PQ
∴ = 4PP .
故答案为：1， 4 .
26．（2024·全国· 2 3模拟预测）已知在四面体 ABCD中，AB = AC = BC = BD = CD = AD = 2，点 E 在VABC
3
内运动（含边界位置），记平面 ABC 与平面BCD所成的角为a ，若 4S△ADE ×sina = 3S△BCE ×sin DAE ，则 SVBCE
的最大值为 .
【答案】 4 3 - 6
π
【分析】根据二面角的几何法可得a = ，进而根据三角形面积关系可得EA = h ，即点 E 的轨迹为以点 A
3
为焦点、BC 为准线的抛物线在VABC 内的一段弧MN ，联立直线与抛物线方程即可利用焦半径求解.
【详解】取BC 的中点为O，由于 AB = AC = BC = BD = CD = 2 ，所以OD ^ BC,OA ^ BC ,
所以 AOD 为平面 ABC 与平面BCD所成的角，由于OD = OA = 3, AD = 3,\ AOD
π π
= ,则a = ，
3 3
1
S × AD × AE ×sin DAE 3sin DAE
设点 E BC h △ADE到 的距离为 ，则 = 2 1 = ，即EA = h ，S△BCE BC ×h 4sina
2
故点 E 的轨迹为以点 A 为焦点、BC 为准线的抛物线在VABC 内的一段弧MN （如图）,
3 3 3
建立如图所示的直角坐标系，则C - ,1÷÷， A ,0÷÷ , BC : x = - ，
è 2 è 2 2
3 3
故抛物线方程为 y2 = 2 3x, 直线 AC : y = - 3
x - ÷÷，
è 2
x 7 3 -12 x 7 3 +12联立两者方程可得 = 或 = （舍去），即当点E 运动到 N , M 的位置时，此时
2 2
1
所以点 E 到BC h 7 3 -12 3的距离 的最大值为 + = 4 3 - 6，故 S
2 2 △BCE
= × BC ×h = 4 3 - 6max max .2
故答案为： 4 3 - 6
四、解答题
27．（2024 高二上·全国·课后作业）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F 3,0 ；
1
（2）准线方程是 x = - ；
4
（3）焦点到准线的距离是 2．
【答案】（1） y2 =12x；（2） y2 = x ；（3） y2 = ±4x 或 x2 = ±4y .
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；
（2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；
（3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为 y2 = 2 px，
p
则 = 3，可得 p = 6，所以，抛物线的标准方程为 y2 =12x；
2
（2）由题意可知抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为 y2 = 2 px，
p 1 1
则- = - ，可得 p = ，因此，抛物线的标准方程为 y2 = x ；
2 4 2
（3）抛物线的焦点到准线的距离为 p = 2 ，
所以，抛物线的标准方程为 y2 = ±4x 或 x2 = ±4y .
28 2．（2024 高二上·陕西延安·期末）已知抛物线C ： y = 2 px p > 0 的准线方程为 x=-1．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线 l： y = x -1交抛物线C 于A 、 B 两点，求弦长 AB ．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)8
【分析】（1）根据抛物线的准线求得 p ，从而求得抛物线C 的方程.
（2）联立直线 l的方程和抛物线的方程，根据根与系数关系求得 AB .
2 p
【详解】（1）由抛物线C ： y = 2 px p > 0 的准线方程为 x=-1，得 =1，\ p = 2．
2
\抛物线C 的方程为 y2 = 4x．
（2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ìy = x -1
由 í yy2 消去 ，得
2
= 4x x - 6x +1 = 0，则
x1 + x2 = 6， x1x2 =1．
又Q直线 l过抛物线C 的焦点，
\ AB = x1 + x2 + 2 = 8．
29．（2024 高二上·全国·课前预习）设直线 l : y = kx +1，抛物线C : y2 = 4x ，当 k 为何值时，l与C 相切 ？相
交？相离？
【答案】当 k =1时， l与C 相切；当 k <1时， l与C 相交； 当 k >1时， l与C 相离.
【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
ìy = kx +1,
【详解】解：联立方程，得 í
y
2 = 4x,
消去 y 并整理，得 k 2x2 + (2k - 4)x +1 = 0 .
当 k 0时，方程 k 2x2 + (2k - 4)x +1 = 0为一元二次方程.
所以D = (2k - 4)2 - 4k 2 = 16(1- k) .
当D = 0，即 k =1时， l与C 相切；
当D > 0，即 k <1且 k 0时， l与C 相交；
当D < 0，即 k >1时， l与C 相离.
1
当 k = 0时，直线 l的方程为 y =1，显然与抛物线C 交于点 ,14 ÷ .è
综上所述，当 k =1时， l与C 相切；当 k <1时， l与C 相交； 当 k >1时， l与C 相离.
30．（2024 高二下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2 = 2 px( p > 0)上一点 P 的横坐标为
4，且点 P 到焦点 F 的距离为 5．
(1)求抛物线的方程；
uuur uuur
(2) 9若直线 l : x = my + t交抛物线于 A，B 两点（位于对称轴异侧），且OA ×OB = ，求证：直线 l 必过定点．
4
【答案】(1) y2 = 4x
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意建立关于 p 的等式，解出即可求得抛物线方程；
uuur uuur
（2 9）设出 A, B坐标，联立直线与抛物线方程，求得 y1 × y2 , x1 × x2 ，根据OA ×OB = ，建立等式求出 t，即可4
得出结果.
【详解】（1）由题可知，点 P 到抛物线准线的距离为 5，
p
因为抛物线的准线方程为 x = - ，点 P 的横坐标为 4，
2
p
所以 4 + = 5，解得 p = 2 ，所以抛物线的方程为 y2 = 4x；
2
y2 y2
（2）证明：设 A 1 , y1 ÷ , B4
2 , y2 ÷，且 y1 y2 < 0，
è è 4
ìx = my + t,
联立 í 2 消去 x 可得 y
2 - 4my - 4t = 0
y = 4x,
，
则Δ =16m2 +16t > 0 ，且 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = -4t < 0，即 t > 0，
2 2 y y 2
所以 x × x y1 y2 = × = 1 2 1 2 = t 2 ，4 4 16
uuur uuur
OA OB 9 x x y y 9× = + = t 2
9
由 ，得 1 2 1 2 ，即 - 4t = ，4 4 4
1 9
解得 t = - < 0（舍）或 t = ，故直线 l 的方程为 x = my
9
+ ，
2 2 2
9
所以直线 l 必过定点 ,0÷．
è 2
31．（2024· 2河北唐山·二模）已知抛物线C ：y = 2 px p > 0 的焦点为F ，A 为C 上一点，B 为准线 l上一点，
uuur uuur
BF = 2FA ， AB = 9
(1)求C 的方程；
(2) M ， N ，E x0 ,-2 是C 上的三点，若 kEM + kEN =1，求点E 到直线MN 距离的最大值．
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 4 5
AF 1【分析】（1）根据已知条件得到 = AB = 3 uuur uuur，根据 BF = 2FA 得到 xA = p，再结合焦半径公式即可得到 p = 2 ，3
从而得到 y2 = 4x .
（2）根据题意得到E 1,-2 ，设直线MN 的方程为 x = ty + n ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，与抛物线联立得到
y y 4 4
4 y + y -16
1 + 2 = 4t ， y1 y2 = -4n
1 2
，根据斜率公式得到 kEM + kEN = + =y 2 y 2 y y 2 y ，从而得到1 - 2 - 1 2 - 1 + y2 + 4
n = -6t + 5，即可得到直线MN 过定点T 5,6 ，再根据当ET ^ MN 时，点E 到直线MN 距离最大求解即可.
【详解】（1）如图所示：
uuur uuur 1
由题意可知，因为 BF = 2FA ， AF = AB = 3，3
uuur uuur p p
由 BF = 2FA ， xB = - ， x2 F
= 可得 x
2 A
= p，
p
由抛物线的定义可知， AF = p + = 3，解得 p = 2 ．
2
则C 的方程为 y2 = 4x .
（2）如图所示：
E x0 ,-2 在抛物线C 上，所以 x0 =1，
设直线MN 的方程为 x = ty + n ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
将 x = ty + n 代入 y2 = 4x，得 y2 - 4ty - 4n = 0
则 y1 + y2 = 4t ， y1 y2 = -4n
k y= 1 + 2 y1 + 2 4EM =x -1 y2
=
y - 2 ，同理 k
4
=
1 1 -1 1 EN y
4 2
- 2
4 y + y -16
k k 4 4 1 2 16t -16EM + EN = + = = =1y1 - 2 y2 - 2 y1 y2 - 2 y1 + y2 + 4 -4n -8t + 4
整理得， n = -6t + 5，
直线MN 的方程为 x = ty - 6t + 5，所以直线MN 过定点T 5,6 .
当ET ^ MN 时，点E 到直线MN 距离最大，
ET = 5 -1 2 + 6 + 2 2且最大距离为 = 4 5 ，
经检验符合题意.
32．（2024 高二下·广东汕尾·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 过点 a, 2 a （ a > 0）．
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率为 3的直线过 C 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的长度．
【答案】(1) y2 = 4x
16
(2)
3
【分析】（1）由抛物线过点 a, 2 a ，代入原式方程可得抛物线方程；
（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线 AB，将直线 AB 与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物
线的定义可得答案.
【详解】（1）∵抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 过点 a, 2 a (a > 0)，
∴ 2 p × a = 4a ．
又∵ a > 0，∴ 2 p = 4，
上故C 的方程为 y2 = 4x．
（2）设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
由（1）知，抛物线C 的焦点为F 1,0 ，
∵直线 AB 的斜率为 3，且过点F ，
∴直线 AB 的方程为 y = 3 x -1 ，
ìy = 3 x -1 , 2 x x 10联立 í 2 得3x -10x + 3 = 0，则 1 + 2 = ．3 y = 4x,
AB x x p 10 2 16∴ = 1 + 2 + = + = ，3 3
16
故线段 AB 的长度为 ．
3
x233．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆 + y2 =1，设直线 l 同时与椭圆和抛物线 y2 = 4x各恰有一个公
2
共交点，求直线 l 的方程．
y 2【答案】 = x + 2 或 y 2= - x - 2
2 2
【分析】根据直线 l 同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，可得判别式分别等于 0，即可求直线 l 的方
程．
【详解】由题，直线 l的斜率存在，并设方程为 y = kx + m ，
ì x2
+ y2 =1
联立 í 2 整理得 (1+ 2k 2 )x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0 ，
y = kx + m
由D = 0可得16k 2m2 - 4(1+ 2k 2 )(2m2 - 2) = 0，
整理得m2 - 2k 2 -1 = 0，
ìy2 = 4x
联立 í 整理得 k 2x2 + (2km - 4)x + m2 = 0，
y = kx + m
由D = 0可得 (2km - 4)2 - 4k 2m2 = 0，
化简得-16km +16 = 0，则有 km =1，
ìm2 - 2k 2 -1 = 0
í 2k 4 + k 2 -1 = 0 k 2
1
由 可得 解得 = ，
km =1 2
ì ì
k
2 2
= k = -
所以 í 2 或 í 2 ，
m = 2
m = - 2
l y 2 2所以直线 的方程为 = x + 2 或 y = - x - 2 .
2 2
34．（2024 高二下· 2上海浦东新·期中）已知抛物线 y = 2 px p > 0 ，其焦点 F 到准线的距离为 2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若 O 为坐标原点，斜率为 2 且过焦点 F 的直线 l 交此抛物线于 A、B 两点，求VAOB 的面积.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 5
【分析】（1）由题设可得 p = 2 ，即可得写出抛物线标准方程；
（2）由已知有直线 l为 y = 2(x -1) ，联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求 | AB |，点线距离公式求 O 到
直线 l的距离，进而求VAOB 的面积.
【详解】（1）由焦点 F 到准线的距离为 2，即 p = 2 ，故抛物线的标准方程为 y2 = 4x；
（2）由（1）知：F (1,0)，则直线 l为 y = 2(x -1) ，即 2x - y - 2 = 0，
联立抛物线可得： x2 - 3x +1 = 0，则 xA + xB = 3， xAxB =1，
所以 | AB |= 1+ k 2 × | x 21 - x2 |= 5 (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 5，
| -2 | 2 5
又 O 到直线 l的距离 d = =
5 5
，
S 1所以 VOAB = | AB | d = 5 .2
35．（2024 高二上·广西北海·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) ，其准线方程为 x = -2．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)不过原点O的直线 l : y = x + m与抛物线交于不同的两点P,Q ，且OP ^ OQ，求m 的值．
【答案】(1) y2 = 8x
(2) -8
【分析】（1）由抛物线的准线方程求出 p ，可得抛物线C 的方程；
（2）设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，联立直线 l和抛物线C 的方程，消元写出韦达定理，将OP ^ OQ用坐标表示，
代入韦达定理化简计算，可得m 的值．
p
【详解】（1）准线为 x = - = -2，\ p = 4，抛物线C 的方程为 y2 = 8x；
2
ìy
2 = 8x
（2）设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，联立 í ，得 x2 + (2m - 8)x + m2 = 0，
y = x + m
D = (2m - 8)2 - 4m2 > 0 ，得m < 2，则 x1 + x2 = 8 - 2m, x1x2 = m
2
，
uuur uuur
因为OP ^ OQ，则OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，
则 x1x2 + y1 y2 = x1x2 + x1 + m x2 + m = 2x1x2 + m x1 + x + m22 = 2m2 + m(8 - 2m) + m2 = 0，即m m + 8 = 0，
\m = -8或m = 0，经检验，当m = 0时，直线过坐标原点，不合题意，又m = -8 < 2，符合题意；
综上，m 的值为-8．
36．（2024 高二上·山东滨州·期中）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，点 P x0，y0 在抛物线 C 上，
且 | PF |= x0 +1.
(1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)若直线 l : x - y - 2 = 0与抛物线C 交于 A, B两点，求△ABF 的面积.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 2 3
【分析】（1）根据抛物线的定义求出 p 可得抛物线 C 的标准方程；
（2）先联立直线与抛物线，求出 | AB |，再求出点F 到直线 l的距离，然后由三角形面积公式可求出结果.
| PF | x p【详解】（1）由抛物线的定义可得 = 0 + ，2
因为 | PF |= x0 +1
p
，所以 x0 + = x0 +1，解得 p = 2 ，2
故抛物线C 的标准方程为 y2 = 4x .
（2）设 A x1，y1 ，B x2，y2 ，由（1）知F 1，0 .
ìx - y - 2 = 0
由 í 2 ，得 y
2 - 4y -8 = 0，D =16 + 32 = 48 > 0y 4x , =
则 y1 + y2 = 4 ， y1 y2 = -8，
所以 | y1 - y2 |= (y
2
1 + y2 ) - 4y1y2 = 16 + 32 = 4 3 ,
所以 | AB |= (x1 - x2 )
2 + ( y - y )21 2 = (y1 + 2 - y2 - 2)
2 + (y1 - y2 )
2
= 2 | y1 - y2 |= 2 4 3 = 4 6 ,
l d |1- 2 | 2因为点F 到直线 的距离 = = ,
1+1 2
△ABF 1 1 2所以 的面积为 | AB | ×d = 4 6 = 2 3 .
2 2 2
37 2．（2024 高二上·河南·阶段练习）已知抛物线C : y = 2 px p > 0 ，其焦点 F 到其准线的距离为 2，过焦点
F 且倾斜角为 45°的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，
(1)求抛物线 C 的方程及其焦点坐标；
(2)求 AB ．
【答案】(1)抛物线 C 的方程为 y2 = 4x．焦点坐标为 1,0 ．
(2)8
【分析】（1）根据焦点 F 到其准线的距离求出 p ，即可求出抛物线 C 的方程及其焦点坐标.
（2）根据直线 l 过焦点 F 且倾斜角为 45°，得出直线 l 的方程，让直线 l 与抛物线方程联立，消去 y，设出
A，B 两点坐标，根据抛物线的定义即可求出 AB .
2
【详解】（1）由题意在抛物线C : y = 2 px p > 0 中，焦点 F 到其准线的距离为 2，
∴ p = 2 ，
∴抛物线 C 的方程为 y2 = 4x，焦点坐标为 1,0 ．
（2）由题意及（1）得
在抛物线C : y2 = 2 px p > 0 中，过焦点 F 且倾斜角为 45°的直线 l 的方程为 y = x -1，
ìy2 = 4x,
∴联立方程组 í 消去 y 可得 x2 - 6x +1 = 0，
y = x -1,
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则 x1 + x2 = 6，
∴根据抛物线的定义， AB = x1 + x2 + p = 8．
38．（2024 高三上·四川内江·期末）已知直线 l与抛物线C : y2 = 8x 相交于A 、 B 两点.
(1)若直线 l过点Q 4,1 ，且倾斜角为 45o ，求 AB 的值；
(2)若直线 l过点Q 4,1 ，且弦 AB 恰被Q平分，求 AB 所在直线的方程.
【答案】(1)8 5
(2) 4x - y -15 = 0
【分析】（1）先求直线 l的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得 AB .
（2）可用点差法解决中点弦问题.
【详解】（1）因直线 l的倾斜角为 45o ，所以直线 l的斜率 k = tan 45o =1，
又因直线 l过点Q 4,1 ，
所以直线 l的方程为： y-1= x-4，即 y = x - 3，
联立 y2 = 8x得 x2 -14x + 9 = 0，
设A xA, y A ，B xB, y B ，
所以 xA + xB =14 ， xA xB = 9 ，
所以 AB = 1+ k 2 é xA + x
2 - 4x x ùB A B = 2 14
2 - 4 9 = 8 5
（2）因A 、 B 在抛物线C : y2 = 8x 上，
所以 y2A = 8x
2
A， yB = 8xB ，
2 2
两式相减得： yA - yB = 8xA -8xB ，
yA - yB 8 8 8
得 = = = = 4xA - x y
，
B A + yB 2yQ 2
故直线 l的斜率为 4，
所以直线 l的方程为： y -1 = 4 x - 4 ，即 4x - y -15 = 0
39 2．（2024 高三下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线C : y = 2 px 0 < p < 8 的焦点为F ，点M 4,0 ，点E
在C 上，且△EFM 是以E 为顶点的等腰三角形，其周长为 10.
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若过点M 的直线与C 交于 A， B 两点，点 N 4,4 与 A， B 不共线，判断是否存在实数 t，使得直线 AN ，
BN 与直线 x = t 交于点 P ，Q，且以线段 PQ为直径的圆过原点，若存在，求出 t的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1) y2 = 4x
(2)存在， t = -4 .
【分析】（1）根据抛物线的标准方程和几何关系即可求解；（2）设点后，根据长度关系和几何关系即可求
解.
【详解】（1）
C : y2 = 2 px 0 < p < 8 p焦点为 ( ,0)，
2
4+ p
三角形 EMF 为等腰三角形，所以 E 点的横坐标为 2 ，
2
而点 E 在抛物线上，
E 4 p+ p
2
所以 点的纵坐标为 ，
2
2 2
所以 2 EF + MF = 2 p 2 - ÷ + 4 p
p
+ + 4 p- =10
è 4 2 2
解得 p = 2 或 -5 (舍去),
所以 y2 = 4x .
（2）
设 P t, m ，Q t, n
m + n
则以 PQ
为直径的圆的圆心为 G t, 2 ÷
，
è
若该圆经过原点, 则原点到 G 的距离为 PQ 长度的一半,
2
t 2 + m + n
m - n
即 ÷ = ,
è 2 2
整理得 t 2 = -mn，
设点 A 坐标 (x1, y1) ，点 B 坐标 (x2 , y2 )，直线 AB 直线方程为 x = ay + 4，
ìx = ay + 4
联立 íy2 ， = 4x
所以 y2 - 4ay -16 = 0，
所以 y1 + y2 = 4a， y1y2 = -16，
AN : y 4 y - 4所以直线 - = 1 (x - 4)x1 - 4
，
y 2又因为 1 = 4x1，
4
所以 y = (x - 4) + 4y1 + 4
，
4(y + t)
令 x = t 得 y = 1y + 4 ，1
m 4(y= 1 + t)即 y + 4 ，1
n 4(y2 + t)同理可得 = y2 + 4
由 t 2 = -mn，
t 2 16(y + t)(y + t)所以 = - 1 2(y1 + 4)(y2 + 4)
，
t 2 y y + 4t 2整理得， 1 2 (y1 + y2 ) +16t
2 = -16 é y1y
2
2 + t(y1 + y2 ) + t ù，
又 y1 + y2 = 4a， y1y2 = -16，
所以整理得 at 2 + 4at =16 - t 2 ，
即 at(t + 4) = (4 + t)(4 - t)，
上式要对任意 a恒成立，
则需要 4 + t = 0，
所以 t = -4 .
40．（2024 高二上·云南大理·期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线C ： y2 = 2 px经过点 A 1,2 ，直
线 l： y = kx + b与抛物线 C 交于 M，N 两点.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)当 AM ^ AN 时，若对任意满足条件的实数 k ，都有b = mk + n（m，n 为常数），求m + n的值.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) m + n = -7 .
【分析】（1）将 A 1,2 代入抛物线中，求出 p = 2 ，得到答案；
uuuur uuur
（2）联立直线 y = kx + b与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由垂直关系得到 AM × AN = 0，代入两
根之和，两根之积，列出方程，求出答案.
【详解】（1）因为抛物线C ： y2 = 2 px经过点 A 1,2 ，
则 4 = 2 p ，解得 p = 2 ，
故抛物线C 的方程为 y2 = 4x .
（2）设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ìy2 = 4x 2 2 2
联立 í ，可得 k x + 2kb - 4 x + b = 0，
y = kx + b
则D = 2kb - 4 2 - 4k 2b2 > 0，得 kb -1< 0，
x 4 - 2kb
2
且 1 + x
b
2 = k 2
， x1x2 = k 2
，
y 4 - 2kb 4所以 1 + y2 = k x1 + x2 + 2b = + 2b = ，k k
y y kx b kx b k 2 x x kb x 4b1 2 = 1 + 2 + = 1 2 + 1 + x2 + b2 = .k
uuuur uuur
因为 AM ^ AN ，所以 AM × AN = 0，可得 x1 -1 x2 -1 + y1 - 2 y2 - 2 = 0，
即 x1x2 - x1 + x2 +1+ y1y2 - 2 y1 + y2 + 4 = 0，
2
所以5k + 6b -8 k + b2 - 4 = 0，
即 k + b - 2 5k + b + 2 = 0，
解得b = 2 - k 或b = -5k - 2，
当b = 2 - k 时，直线 y = kx + 2 - k 过点 A，不合题意；
所以b = -5k - 2，m = -5， n = -2，
即有m + n = -7 .
41．（2024 高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 关于抛物线C 的准线的对
称点为P(-9,0)．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作斜率为 4 直线 l，交抛物线C 于A ， B 两点，求 AB ．
【答案】(1) y2 =12x
51
(2)
4
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
p p
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为 ,0÷，准线方程为 x = - ，
è 2 2
因为F 关于抛物线C 的准线的对称点为P(-9,0)，
p p p
所以有 - - ÷ = - - -9 p = 6 y2 =12x ；2 è 2 2
（2）直线 l的方程为 y = 4 x - 3 ，与抛物线方程联立，得
ìy = 4 x - 3 2
í 2 4x - 27x + 36 = 0，设 A x1, y1 , B xy =12x 2
, y2 ，
27
因此有 x1 + x2 = ，4
则有 AB = AF + BF = x1 - -3 + x2 - -3 = x1 + x2 + 6
27 6 51= + =
4 4
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
42．（2024 高二上·全国·课后作业）直线 l : y = 2x +1与抛物线 y2 =12x交于 A x1, y1 , B x2 , y2 两点，求线段
AB 的长．
【答案】 | AB |= 15 ．
【分析】直线方程 l : y = 2x +1与抛物线方程联解得一个关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲
线的弦长的公式，可以求出线段 AB 的长度．
【详解】解：抛物线 y2 =12x，直线 l : y = 2x +1，
将直线方程代入到抛物线方程中，得： (2x +1)2 =12x，
整理得： 4x2 -8x +1 = 0 ，
设 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
1
由一元二次方程根与系数的关系得： x1 + x2 = 2， x1 × x2 = ，4
所以弦长 AB = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ 4 × 4 -1 = 15 ．
43．（2024 2高二下·四川达州·期末）已知抛物线E : y = 2 px p > 0 上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y
轴的距离大 1．
(1)求 E 的标准方程；
(2) l1 I l2 = F ， l1 ^ l2， l1交 E 于 A，C 两点， l2交 E 于 B，D 两点．求四边形 ABCD 的面积的最小值．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)32
p
【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知 =1，从而可得抛物线 E 的标准方程；
2
（2）设出 l1, l2 的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出 | AC |， | BD |，由
S 1ABCD = | AC | × | BD |结合基本不等式求出最小值．2
E : y2 2 px p 0 F p【详解】（1）抛物线 = > p的焦点 ,02 ÷，准线 x = - ．è 2
∵抛物线上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y 轴的距离大 1．
p
根据抛物线的定义可知， =1，∴ p = 2 ，
2
∴抛物线 E 的标准方程为 y2 = 4x .
（2）由题可知 l1, l2 均有斜率且斜率不为零，且过焦点F 1,0 ，
设 l1 : x = ky +1 l : x
1
， 2 = - y +1， k 0，设 A x1, y1 ,C x2 , y k 2 ，
ìx = ky +1
由 í ，消 x 可得 y2y2 4x -4ky -4 = 0， =
∴ D = -4k 2 - 4 -4 =16k 2 +16 > 0， y1 + y2 = 4k ，
∴ x1 + x
2
2 = k y1 + y2 + 2 = 4k + 2 ，
∴ | AC |= x + x + p = 4k 21 2 + 4 = 4 k 2 +1 ，
同理可得 | BD |= 4
1 +1 ÷，
è k 2
1
∴ SABCD = | AC | × | BD |= 82
2 1 2 1 2 1 k +1 2 +1÷ = 8 2 + k + 2 ÷ 8 2 + 2 k × 2 ÷÷ = 32，è k è k è k
当且仅当 k = ±1时取等号，
∴四边形 ABCD 面积的最小值为 32．
44．（2024 高二下·浙江杭州·期末）设抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) ，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点
A x1, y1 ，B x2 , y2 .当直线 AB 垂直于 x 轴时， AB = 2 .
(1)求抛物线C 的标准方程.
(2)已知点P 1,0 ，直线 AP ，BP分别与抛物线C 交于点C ，D .
①求证：直线CD过定点；
②求VPAB 与△PCD面积之和的最小值.
【答案】(1)C : y2 = 2x
5
(2)①证明见解析；② .
2
【分析】（1）利用弦长求解 p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.
p
【详解】（1）由题意，当直线 AB 垂直于 x 轴时， x1 = ，代入抛物线方程得 y1 = ± p ，则 AB = 2 p ，所以2
2 p = 2，即 p = 1，所以抛物线C : y2 = 2x .
1
（2）（i）设C x3 , y3 ，D x4 , y4 ，直线 AB : x = my + ，2
与抛物线C : y2 = 2x 联立，得 y2 - 2my -1 = 0，因此 y1 + y2 = 2m ， y1 y2 = -1 .
设直线 AC : x = ny +1，与抛物线C : y2 = 2x 联立，得 y2 - 2ny - 2 = 0 ，
-2 -2
因此 y1 + y3 = 2n ， y1y3 = -2 ，则 y3 = y .同理可得
y4 = y .1 2
k y3 - y4 y3 - y4 2 2 y y 1CD = = 2 2 = = = -
1 2 =
所以 x3 - x4 y3 y- 4 y + y
-2 -2
3 4 + y1 + y2 2m .
2 2 y1 y2
因此直线CD : x = 2m y - y3 + x3，由对称性知，定点在 x 轴上，
令 y = 0 得，
2 2
x = -2my y+ x = -2my + 3 -2 1 -2 4m 23 3 3 = -2m + = +2 y ÷1 2 è y1 y1 y
2
1
2 y1 + y2 2 y2 1 y y +1= + 2 = 2 + 2 + 2 ÷ = 2 + 2 × 1 22 = 2，y1 y1 è y1 y1 y1
所以直线CD过定点Q 2,0 .
1 1
（ii）因为 SVPAB = PF × y1 - y2 = y1 - y2 ，2 4
S 1 1 -2 -2 1 1 y - yVPCD = PQ × y3 - y4 = - = - = 1 2 = y1 - y2 ，2 2 y1 y2 y1 y2 y1y2
所以 SVPAB + S
5
VPCD = y1 - y
5
2 = 4m
2 + 4 5 5= m2 +1 ，
4 4 2 2
5
当且仅当m = 0时取到最小值 .
2
45．（2024·河北衡水·模拟预测）已知点M (1,-2) 在抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 上，过点 N (0, -1)的直线 l与C 相
交于 A, B两点，直线MA, MB分别与 y 轴相交于点D, E .
(1)当弦 AB 的中点横坐标为 3 时，求 l的一般方程;
uuur uuur uuur uuur mn
(2)设O为原点，若DN = mON , EN = nON ，求证: 为定值.
m + n
【答案】(1) x - y -1 = 0或 2x + 3y + 3 = 0
(2)证明见解析
【分析】（1）先求抛物线的方程，再利用根与系数的关系可得直线的斜率，然后可得方程；
（2）利用向量相等表示出参数，进而通过根与系数的关系整体代入消掉变量即得结果.
【详解】（1）由点M (1,-2) 在抛物线C : y2 = 2 px上，所以 p = 2 ，
所以抛物线C 的方程为 y2 = 4x .设直线 l的方程为 y = kx -1(k 0), A x1, y1 , B x2 , y2 .
ì y2 = 4x
由 í ，得 k 2x2 - (2k + 4)x +1 = 0 .依题意D = (2k + 4)2 - 4 k 2 1 > 0，
y = kx -1
x x 2k + 4 , x x 1解得 k > -1且 k 0 .且 1 + 2 = = .k 2 1 2 k 2
2k + 4
因为弦 AB 的中点横坐标为 3，所以 x1 + x2 = 6，即 = 6 ，k 2
2
解得 k =1或 k = - ，所以 l的一般方程为 x - y -1 = 0或 2x + 3y + 3 = 0 .
3
y + 2
（2）直线MA 1的方程为 y + 2 = (x -1)x1 -1
，
1- (k + 2)x
又 y1 = kx 1
1 1- (k + 2)x
1 - ，令 x = 0，得点D的纵坐标为 yD = .所以D 0, 1x1 -1
，
è x1 -1
÷
E 0,1- (k + 2)x同理得点E 的坐标为 2
x -1 ÷
.
è 2
uuur uuur uuur uuur
m 1 y (1+ k)x1 n 1 y (1+ k)x由DN = mON , EN = nON ，得 = + D = - = + = - 2x -1 ， E x -1 .1 2
1 1 1- x1 1- x+ = + 2 1 x1 + x所以 = 2
2 1- = (2k + 4 - 2) = 2
m n (k +1)x1 (k +1)x
.
2 k +1
è x1x
÷
2 k +1
mn 1 1
= = mn 1
所以 m + n 1 1+ 2 ，即 为定值 .
m n m + n 2
46．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l : x = -2与 x 轴交于点A ，过 l右侧
的点 P 作PM ^ l，垂足为M ，且 PA = PM + OA ．
(1)求点 P 的轨迹C 的方程；
uuur uuur
(2)过点B 1,0 的动直线 l 交轨迹C 于 S ,T ，设Q -3,0 ，证明：QS ×QT 为定值．
【答案】(1) y2 = 4x +12
(2)证明见解析
【分析】（1）根据提意思，设 P(x, y) ，得到M (-2, y)，结合 PA = PM + OA ，利用距离公式化简，即可求
解曲线C 的方程；
（2）当直线 l 的斜率存在，可设 l : y = k(x -1)，联立方程组，设 S(x1, y1),T (x2 , y2 ) ，求得
2k 2 + 4 k 2 -12 uuur uuur uuur uuurx1 + x2 = 2 , x1x2 = 2 ，化简QS ×QT = (1+ k
2)x1x2 + (3- k
2)(x + x ) +9+ k2，代入求得QS ×QT = 0；
k k 1 2
uuur uuur
当直线 l 的斜率不存在，此时 l : x =1，求得 S(1, 4),T (1,-4)，得到QS ×QT = 0，即可求解.
【详解】（1）由题意，直线 l : x = -2与 x 轴交于点A ，过 l右侧的点 P 作PM ^ l，
可得O(0,0), A(-2,0)，设 P(x, y) ，则M (-2, y)，
因为 PA = PM + OA ，可得 (x + 2)2 + y2 = x - (-2) + 2，
即 (x + 2)2 + y2 = x + 4 ，整理得 y2 = 4x +12 .
（2）当直线 l 的斜率存在，可设直线 l : y = k(x -1)，
ìy = k(x -1)
联立方程组 íy2 4x 12，整理得
k 2x2 - (2k 2 + 4)x + k 2 -12 = 0，
= +
设 S(x1, y1),T (x2 , y2 ) ，
因为直线 l 与曲线C 交于两点，则D = (2k 2 + 4)2 - 4k 2 (k 2 -12) > 0，
x x 2k
2 + 4 k 2, x x -12且 1 + 2 = = ，k 2 1 2 k 2
uuur uuur
因为Q -3,0 ，可得QS = (x1 + 3, y1),QT = (x2 + 3, y2 )，
uuur uuur
所以QS ×QT = (x1 + 3)(x2 + 3) + y1 y2 = (x1 + 3)(x2 + 3) + k
2 (x1 -1)(x2 -1)
2 2
= (1+ k 2 )x1x2 + (3 - k
2 )(x1 + x2 ) + 9 + k
2 = (1+ k 2 ) k -12 2 + (3- k
2 ) 2k + 4 2 + 9 + k
2
k k
k 2 -12 2
= + (k 2 12) 6k +12- + - (2k 2 + 4) + 9 + k 2
k 2 k 2
=1 12- 2 + k
2 -12 12+ 6 + - 2k 22 - 4 + 9 + k
2 = 0 ；
k k
当直线 l 的斜率不存在，此时直线 l : x =1，
ìx =1
联立方程组 í 2 ，解得 x = ±4，不妨设 S(1, 4),T (1,-4)，
y = 4x +12
uuur uuur uuur uuur
此时QS = (4, 4),QT = (4, -4) ，可得QS ×QT = 0，
uuur uuur
综上可得，QS ×QT 为定值0 .
47．（
