3.1.2 椭圆的简单几何性质 12 题型分类
一、椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
顶点
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (± a2－b2，0) (0，± a2－b2)
焦距 |F1F2|＝2 a2－b2
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点
c
离心率 e＝ ∈(0,1)
a
二、直线与椭圆的位置关系
x2 y2
直线 y＝kx＋m 与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：
a2 b2
{y＝kx＋m，联立 x2 y2 消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程．2＋ 2＝1.a b
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 Δ 的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
（一）
椭圆的简单几何性质
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出 a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
题型 1：研究椭圆的简单几何性质
1-1 2024 · · x
2 y2
．（ 高二上 全国 课后作业）椭圆 + =1的焦距为 4，则 m 的值为 ．
m 6
【答案】10 或 2
【分析】讨论椭圆中的 a2 ,b2的取值，结合 a,b,c之间的关系，即可求得答案.
x2 y2
【详解】椭圆 + =1的焦距为 4，即 2c = 4,c = 2
m 6
当 a2 = m,b2 = 6时，m - 6 = 4,\m =10；
当 a2 = 6,b2 = m时，6 - m = 4,\m = 2 ；
故 m 的值为 10 或 2，
故答案为：10 或 2
1-2．（2024 高二上·浙江湖州·期末）椭圆 4x2 + 49y2 =196的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A 7,2, 3 5 B 14,4, 5 C 7,2, 5． ． ． D．14,4, 3 5
7 7 7 7
【答案】D
【分析】把方程化为标准方程后得 a,b,c，从而可得长轴长、短轴长、离心率．
x2 y2
【详解】由已知，可得椭圆标准方程为 + =1，
49 4
则 a = 7，b = 2 ， c = 49 - 4 = 3 5 ，
所以长轴长为 2a =14 c 3 5、短轴长为 2b = 4、离心率为 e = = .
a 7
故选：D.
2 2 2 2
1-3．（2024 高二下· · x y x y上海杨浦 期中）椭圆 + =1与椭圆 + =1 m < 9 的（ ）
9 25 9 - m 25 - m
A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等
【答案】C
【分析】分别求出两个椭圆的长轴长、短轴长和焦距即可判断．
x2 y2 y2 x2
【详解】椭圆 + =1即 + =1，则此椭圆的长轴长为 10，短轴长为 6，焦距为 2 25 - 9 = 8；
9 25 25 9
x2 y2 2 2
椭圆 + =1 m y x< 9 即 + =1，因为 25 - m > 9 - m > 0 ，
9 - m 25 - m 25 - m 9 - m
则此椭圆的长轴长为 2 25 - m ，短轴长为 2 9 - m ，焦距为 2 25 - m - 9 - m = 8 ,
故两个椭圆的焦距相等．
故选：C．
题型 2：由几何性质求标准方程
1
2-1．（2024 高二上·全国·课后作业）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为 12，则椭圆方程为
3
（ ）
x2 y2 x2 y 2A． + = 1 B． + = 1
4 6 6 4
x2 y2 x2 y2 x2 2C y． + =1或 + =1 D． + =1
36 32 32 36 36 32
【答案】C
【分析】根据长轴长以及离心率，可求出 a = 6， c = 2，再由b2 = a2 - c2 ，进而可求出结果.
c 1
【详解】由题意知， 2a =12， = ，所以 a = 6， c = 2a 3 ，
∴ b2 = a2 - c2 = 32，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在 x 或 y 轴上.
x2 y2 2 2∴椭圆方程： + =1 x y或 + =1
36 32 32 36
故选：C
2-2．（2024 高三·全国·课后作业）过点 3,2 且与椭圆3x2 + 8y2 = 24 有相同焦点的椭圆方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A． + =1 B． + =1 C． + =1 D x y． + = 1
5 10 10 15 15 10 10 5
【答案】C
ì 9 4
x2 y2 + =1
【分析】根据椭圆3x2 + 8y2 = 24 化为标准方程 + =1，故焦点为 (± 5,0) ，由题意可得 ía2 b2 ，解
8 3 a
2 - b2 = 5
方程即可得解.
3x2 + 8y2 = 24 x
2 y2
【详解】由 化简可得 + =1，
8 3
焦点为 (± 5,0) 在 x 轴上，
2 2
同时又过 3,2 x y点，设 2 + 2 =1，a b
ì 9 4
2 + 2 =1有 ía b ，解得 a2 =15,b2 =10 ，
a
2 - b2 = 5
故选：C
2-3．（2024 高二·全国·课后作业）过点 (3, -2)且与椭圆 4x2 + 9y2 = 36有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
2 2 2 2
A x y x y． + =1 B．
15 10 152
+
102
=1
x2 y2 x2C y
2
． + =1 D． 2 + 2 =110 15 10 15
【答案】A
x2 y2
【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为 + =1(m > n > 0) ，由焦点的
m n
坐标和点 (3, -2)在椭圆上建立关于m 、 n 的方程组，解之即可得到m 、 n 的值，从而得到所求椭圆的方程．
2 2
【详解】解：因为椭圆 4x2 + 9y2 = 36 x y，即 + =1，
9 4
\a2 = 9，b2 = 4 ，可得 c = 9 - 4 = 5 ，椭圆的焦点为 ± 5,0 ，
ìm - n = 5
x2 y2 ìm =15
设椭圆方程是 + =1(m > n > 0) ，则 í32 (-2)2 ，解得 í
m n + =1 n =10 m n
\ x
2 y2
所求椭圆的方程为 + =1.
15 10
故选：A．
2 2
2-4 x y．（2024 高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在 x 轴，它与椭圆 + =1有相同离心率且经过点
4 3
2, - 3 ，则椭圆标准方程为 .
x2 y2
【答案】 + = 1
8 6
x2 y2 x2 y2
【分析】设所求椭圆方程为 2 + 2 =1 m > n > 0 ，根据椭圆 + =1
n 3
的离心率得到 = ，又 2, - 3
m n 4 3 m 2
4 3
在椭圆上得到 + =1，求出m, n2 可得答案.m n2
x2 y2 2
+ =1 e c a - b
2 2
1 b 1 3 1【详解】椭圆 的离心率为 = = = - 2 = - = ，4 3 a a a 4 2
x2 y2
设所求椭圆方程为 2 + 2 =1 m > n > 0 ，m n
n 2 21- 1 n 3 n 3则 ÷ = ，从而m 4 m ÷
= ， = ，
è è 4 m 2
4 3
又 2 + =1，∴ m
2 = 8,n2 = 6，
m n2
x2∴ y
2
所求椭圆的标准方程为 + = 1 .
8 6
2 2
故答案为： x y+ = 1 .
8 6
题型 3：点和椭圆的位置关系
2 2
3-1．（2024 x y高二上·全国·课后作业）若点 3,2 在椭圆 2 + 2 =1上，则下列说法正确的是（ ）a b
A．点 -3, -2 不在椭圆上 B．点 3, -2 不在椭圆上
C．点 -3,2 在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
【答案】C
【分析】根据椭圆的对称性可判断.
【详解】点 -3, -2 与点 3,2 关于原点对称，
点 3, -2 与 3,2 关于 x 轴对称，
点 -3,2 与 3,2 关于 y 轴对称，
3,2 x
2 y2
若点 在椭圆 + =1上，根据椭圆的对称性， -3, -2 ， 3, -2 ， -3,2 2 2 三点都在椭圆上，a b
故选：C
2 2
3-2．【多选】（2024 高二上· · x y全国 课后作业）已知点(3,2)在椭圆
a2
+ 2 =1上，则下列各点一定在该椭圆上的b
是（ ）
A． -3, -2 B． 3, -2 C． -3,2 D． 2,3
【答案】ABC
【分析】根据椭圆的对称性求得结果.
【详解】由椭圆关于 x 轴， y 轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．
故选：ABC.
2 2
3-3．（2024 高二上·四川广安·阶段练习）点 A a,1 x y在椭圆 + =1的外部，则 a 的取值范围是（ ）
4 2
A． - 2, 2 B． - , - 2 2,+
C． -2,2 D． -1,1
【答案】B
【分析】根据点在椭圆外部得不等式，解不等式得结果.
2 2
【详解】因为点 A a,1 x y在椭圆 + =1的外部，
4 2
a2 1
所以 + > 1 ,解得 a (- ，- 2) U ( 2，+ ) ,
4 2
故选：B.
2 2
3-4．【多选】（2024 高二上·全国·课后作业）点 A a,1 x y在椭圆 + =1的内部，则 a的值可以是（ ）
4 2
A．- 2 B．-1 C．1 D． 2
【答案】BC
【分析】由点与椭圆的位置关系得出 a的值.
a2 1
【详解】由题意知 + <1，解得- 2 < a < 2 ．
4 2
故选：BC
（二）
求椭圆的离心率
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
c
(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝ 求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2求出
a
c
c 或 a，再代入公式 e＝ 求解．
a
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2＝b2＋c2，
转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关
于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或取值范围．
题型 4：求椭圆的离心率
2 2
4-1．（2024 x y高二下·浙江温州·期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左顶点为A ，上顶点为 B ，O为坐a b
标原点，椭圆上的两点M xM, y M ，N xN , y N 分别在第一，第二象限内，若VOAN 与VOBM 的面积相等，
2 2 2
且 xM + xN = 3b ，则椭圆C 的离心率为 .
6 1
【答案】 / 6
3 3
x2 22 2 2 y
【分析】由三角形面积相等得到 ayN = bx N N 2M ，结合 xM + xN = 3b ， 2 + 2 =1得到 a = 3b
2，从而求出离心率.
a b
1
【详解】由题意得 SVOAN = OA
1
× yN = ay , S
1 1
N VOBM = OB × x = bx ，2 2 2 M 2 M
1 1
故 ay = bx ， ay = bx
2 N 2 M N M
a 22
又 x + x2 = 3b2 ，将 x = y a代入可得 y2M N M N + x2 = 3b2
2 2 2 2 4
，即 a y + b x = 3b ，
b b2 N N N N
x2 2 2
又 N
y
+ N =1 b 2 62 2 ，故 a
2 = 3b2，离心率 e = 1- 2 = = .a b a 3 3
6
故答案为：
3
2 2
4-2 x y．（2024·河南新乡·模拟预测）已知椭圆C : M , N y
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的左顶点为A ，点 是椭圆C 上关于
2
轴对称的两点.若直线 AM , AN 的斜率之积为 ，则C 的离心率为（ ）
3
1
A 3 2 3． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】D
y2 20 2 b 2
【分析】设M (x0 , y0 )，则 N (-x0 , y0 )，得到 kAM kAN = a2 - x2
= ，由椭圆的方程，得到 ，结合
0 3
=
a2 3
c 2e = = 1 b- ，即可求解.
a a2
【详解】由题意，椭圆C 的左顶点为 A(-a,0) ，
因为点M , N 是椭圆C 上关于 y 轴对称的两点，可设M (x0 , y0 )，则 N (-x0 , y0 )，
2
所以 k
y
= 0 ,k y= 0 k k y0 y y 2AM = × 0 = 0 =x + a AN a - x ，可得 AM AN 2 2 ，0 0 x0 + a a - x0 a - x0 3
x20 y
2 b2 (a2 - x2
又因为 0 2 0
)
a2
+ =1，即 y
b2 0
= 2 ，a
b2 2 2
= c b 2 3代入可得 2 ，所以离心率为 e = = 1- .a 3 a a2
= 1- =
3 3
故选：D.
x2 y24-3．（2024·海南海口·模拟预测）已知F1，F2分别是椭圆C ： 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左，右焦点，P 是Ca b
上的一点，若3 PF1 = 2 F1F2 ，且 PF1F2 = 60°，则C 的离心率为（ ）
A 3- 5． B． 2 - 3 C． 7 - 2 D．3- 2 2
2
【答案】C
【分析】应用余弦定理结合椭圆的定义求离心率即可.
【详解】在VPF2F1中， PF1F2 = 60°，
设 F1 -c,0 PF
4c
，由题意知 1 = , F3 1
F2 = 2c ，
PF 2 4c2 16 2 4 1 28 2 2 7由余弦定理得 2 = + c - 2 2c c = c ,9 3 2 9 \ PF2 = c
，
3
3
由椭圆定义知 2a = PF1 + PF
4 + 2 7
2 = c ，则离心率 e = = 7 - 2 .3 2 + 7
故选:C.
2 2
4-4．（2024 高二下· x y广东深圳·期末）已知椭圆C :
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的右焦点为F ，过原点的直线 l与C 交
于 A, B两点，若 AF ^ BF ，且 AF = 3 BF ，则C 的离心率为（ ）
A 10
2 1
． B 10． C． D．
4 5 5 3
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为F1，由椭圆的对称性可得四边形 AFBF1为矩形，再根据椭圆的定义求出
AF1 , AF ，再利用勾股定理构造齐次式即可得解.
【详解】如图，设椭圆的左焦点为F1，
由椭圆的对称性可得 AF1 = BF , BF1 = AF ，
所以四边形 AFBF1为平行四边形，
又 AF ^ BF ，所以四边形 AFBF1为矩形，所以 AF1 ^ AF ，
由 AF = 3 BF ，得 AF = 3 AF1 ，
AF + AF = 2a AF a 3a又 1 ，所以 1 = , AF = ，2 2
在RtVAFF1 中，由 AF
2
1 + AF
2 = FF 21 ，
a2 9a2 4c2 5a
2
+ = = 4c2 c 10得 ，即 ，所以 = ，
4 4 2 a 4
10
即C 的离心率为 .
4
故选：A.
2
4-5 x y
2
．（2024·辽宁辽阳·二模）已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点为F ，过坐标原点O的直线 l与椭圆Ca b
uuur uuur
交于P,Q
2 3
两点，点 P 位于第一象限，直线PF 与椭圆C 另交于点A ，且PF = FA，若 cos AFQ = ，
3 5
FQ = 2 FA ，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 3． B 10． C 3． D 5．
4 5 3 4
【答案】B
3 a
【分析】设椭圆C 的左焦点为F ，由椭圆的定义结合题意可得出 PF = a, PF = ，再由余弦定理求解即
2 2
可得出答案.
【详解】如图，设椭圆C 的左焦点为F ，连接PF ,QF ，所以四边形PFQF 为平行四边形．
设 PF = m ，则 PF = 2a - m = QF ．
uuur 2 uuur 3
因为PF = FA，所以 FA = m ，
3 2
又因为 QF = 2 FA
a
，所以 2a - m = 3m，所以m = ．
2
3 a 3
在VPFF 中， PF = a, PF = , FF = 2c, cos FPF = cos AFQ = ，
2 2 5
2
由余弦定理得 FF = PF 2 + PF 2 - 2 PF PF cos F PF ，
4c2 9 a2 1 a2 3a a 3所以 = + - 2 10，所以 e = ．4 4 2 2 5 5
故选：B.
题型 5：求椭圆的离心率的取值范围
x2 y25-1．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)上一点A ，它关于原点的对称点为 B ，点F 为a b
π π
椭圆右焦点，且满足 AF ^ BF ，设 ABF = a ，且a , ÷，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
è 6 3
é 2
【答案】 ê , 3 -1÷÷
2
【分析】通过几何性质表达出该椭圆的离心率的函数，即可得出该椭圆的离心率的取值范围.
【详解】由题意，
x2 y2
在 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)中，设左焦点为F1，A ，它关于原点的对称点为 B ，点F 为椭圆右焦点，a b
∵ AF ^ BF ，
∴四边形 AF1BF 为矩形，
∴ AB = F1F = 2c .
∵ ABF = a ，
∴ AF = 2csina , BF = 2ccosa ，
由椭圆的定义得 2a = 2csina + 2ccosa ，
e c 1 1= = =
∴ a sina + cosa 2sin a π+ . ÷
è 4
π π
∵a ,
è 6 3 ÷
a π 5π , 7π+ ∴ ÷，4 è 12 12
ù
∴ sin
a
π
+
2 + 6
4 ÷
,1ú，è è 4
é
∴ e
2
ê , 3 -1÷÷ .
2
é 2
故答案为： ê , 3 -12 ÷÷
.
5-2．（2024 高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点 P ，使得 P 到椭圆两个焦点的距离之比为 2 :1，则称该
椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 e的取值范围是（ ）
é 3 ù
A． ê ,1
3 é1 1ù
3 ÷
B． 0, 3 ú
C． ê ,1÷ D．3
0, ú
è è 3
【答案】C
【分析】根据条件设出 P 到椭圆两个焦点的距离，再利用椭圆的定义及椭圆上的点到焦点距离的最值即可求
出结果.
【详解】由题可设点 P 到椭圆两个焦点的距离之分别 2m, m，
2
所以 2m + m = 2a ，得到m = a，
3
m 2 1 1又 a - c ，所以 a a - c ，得到 c a ，故 e <1.
3 3 3
故选：C.
q q é π , 5π ù
2 2
5-3．（2024· x y甘肃定西·模拟预测）过原点作一条倾斜角为 ê 的直线与椭圆6 6 ú ÷ 2 + =1 a > b > 0 è a b2
交于 A，B 两点，F 为椭圆的左焦点，若 AF ^ BF ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围为 ．
é 2 6 ù
【答案】 ê , ú
2 3
【分析】分别讨论直线 AB 的斜率是否存在，利用坐标运算即可求解椭圆的离心率 e 的取值范围.
π
【详解】当倾斜角q = 时，直线 AB 的斜率不存在，如图则 A 0,b , B 0,-b ，又椭圆左焦点F -c,0
2
uuur uuur
若 AF ^ BF ，则 AF × BF = -c,-b × -c,b = c2 - b2 = 0 ，即b = c，
所以 a2 = b2 + c2 = 2c2 ，即 a = 2c
e c c 2所以椭圆的离心率 = = = ；
a 2c 2
é π π π 5π ù 3 ù é 3
当倾斜角为q ê , ÷ , 6 2 è 2 6 ú
，直线 AB 的斜率存在设为 k ，则 k - , - ú ê , + 3 3 ÷÷，è
2 2
设 A x0 , y0 ，则B -x0 , -y x，所以 0 y0 2 + 02 =1①，a b
uuur uuur
若 AF ^ BF ，则 AF × BF = -c - x0 ,-y0 × -c + x0 , y0 = c2 - x20 - y20 = 0 ②，
b4 c4 - b4
联立①②，结合 a2 = b2 + c2可得 y20 = 2 , x
2
0 =c c2
，
b4
k y= 0
3 ù ék , 3
2 2 4
- - , + ÷ k 2
y
ú ê = 0 c
b 1
由 = = 2x ， ÷，所以 ，且 k ，0 è 3 3 x
2 c4 - b4 c4 - b40 3
c2
b4 1
所以 ，则 4b4 c44 4 > b
4 ，故 2b2 c2 > b2 ，
c - b 3
2
所以 2 a2 - c2 c2 > a2 - c2 1 c 2 2 c 6，即 < 2 ，故 < e = 2 a 3 2 a 3
é 2 6 ù
综上，椭圆的离心率 e 的取值范围为 ê , .
2 3
ú
é 2 ù
故答案为： ê ,
6
.
2 3
ú
2 2
5-4．（2024 高二下·上海青浦·期末）点A 为椭圆C : x y2 + 2 =1(a > b >1)的右顶点， P 为椭圆C 上一点（不与a b
uuur uuur
A 重合），若PO × PA = 0（O是坐标原点），则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）
1 2 3 2 A． ,12 ÷ B． ,1÷÷ C． ,1÷÷ D． 0,è è 2 è 2 è 2
÷÷
【答案】B
uuur uuur
【分析】设P x, y 0 < x < a ，由PO × PA = 0，得到 x2 + y2 - ax = 0 ，再与椭圆方程联立得到
c2x - ab2 x - a = 0，再由点 P 的位置求解.
【详解】解：设P x, y 0 < x < a ，
uuur uuur又O 0,0 , A a,0 ，且PO × PA = 0，
则 x2 + y2 - ax = 0 ，与椭圆方程联立 c2x2 - a3x + a2b2 = 0，
2
即 c2x - ab2 x - a = 0 ab，解得 x = a或 x = 2 ，c
ab2
则0 < < a ，即b22 < c
2 ，
c
c 2 2
即 > ，则 < e <1，
a 2 2
故选：B
题型 6：由椭圆的离心率求参数
2 2 1
6-1．（2024 高二上·重庆沙坪坝· x y期末）已知椭圆 + =1的离心率 e = ，则 k 的值可能是（ ）
k + 5 9 3
41 7
A．3 B．7 C．3 或 D．7 或
8 4
【答案】C
【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.
x2 y2 1
【详解】椭圆 + =1的离心率 e = ，
k + 5 9 3
e2 (k + 5) - 9 1 k 41当椭圆焦点在 x 轴上时， k + 5 > 9，即 k > 4， = = ，解得 = ，
k + 5 9 8
2 9 - (k + 5) 1
当椭圆焦点在 y 轴上时，0 < k + 5 < 9，即-5 < k < 4， e = = ，解得 k = 3，
9 9
41
所以 k 的值可能是 3 或 .
8
故选：C
x2 x26-2．（2024·全国）设椭圆C1 : + y
2
2 = 1(a > 1),C
2
2 : + y = 1的离心率分别为 e1,e2 ．若 e a =a 4 2
= 3e1，则
（ ）
A 2 3． B． 2 C． 3 D． 6
3
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
4 -1 a22 2 -1 2 3
【详解】由 e2 = 3e1，得 e2 = 3e1 ，因此 = 3 ，而 a >1，所以 a = .4 a2 3
故选：A
2 2 2 2
6-3．（2024 高三下·上海松江· x y x y阶段练习）设 a > b > 0，椭圆 2 + 2 =1的离心率为 ea b 1
，双曲线 2 - =1b a2 - 2b2
a
的离心率为 e2，若 e1e2 <1，则 的取值范围是 .b
1+ 5
【答案】 2, 2 ÷÷è
【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由 e1e2 <1结合 a2 - 2b2 > 0 求解可得.
【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为 c1,c2，
2
由题意知椭圆的 c1 = a
2 - b2 c2 = b2 + a2 2，双曲线的 2 - 2b = a
2 - b2 ，则椭圆与双曲线共焦点，
2
设 c1 = c = c
c c c
2 ，则 e1 = ,e = ,\e e = ，a 2 b 1 2 ab
Qe1e2 <1
c2 a2 - b2 a b a 1
\ = = - <1 1+ 5 a 1+ 5，设 = t > 0 ，则 t - <1，解得 ，即 ，
ab ab b a b
0 < t <
t 0 < <2 b 2
2 2 a b 0, a a
1+ 5
又Qa - 2b > 0，且 > > \ > 2 ，故 的取值范围是 2, ÷ .b b ÷è 2
故答案为： 2,
1+ 5
è 2
÷÷
2 2
6-4．（2024 高二上·全国·专题练习）椭圆C : x y+ =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是F1, F
1
2 2 2 ，斜率为 的直a b 2
é1 3l ù线 过左焦点F1且交C 于 A，B 两点，且△ABF2 的内切圆的周长是 2π，若椭圆的离心率为 e ê , ，则线 2 4 ú
段 AB 的长度的取值范围是
é8 5 ù
【答案】 ê , 4 5
3
ú
【分析】设 A(x1, y1), B( x2, y2)
1 1
,利用三角形内切圆面积计算可得 4a r = 2c y1 - y2 2 2
，化简得
2a 2 y y é8y - y = = - 4ù1 2 ，由离心率范围求得c e 1 2
，
ê3 ú
，再利用弦长公式即可求得答案.
【详解】如图示，由椭圆定义可得 | AF1|+|AF2 |=2a,| BF1|+|BF2 |=2a ,
则△ABF2 的周长为 4a,设 A(x1, y1), B( x2, y2)，
设△ABF2 内切圆半径为 r ，△ABF2 的内切圆的周长是 2π，
故 2π=2πr,\r =1 ，
1
由题意得 4a
1
r = 2c y1 - y2 ，2 2
y y 2a 2
1 3 8
得 1 - 2 = = ，由于 e
é , ù é ùê 2 4 ú ，故
y1 - y2 ê , 4 ，c e 3 ú
1 1 é8 5 ù
所以由 AB = 1+ y - y ,k = 可得 AB = 5 y1 - y2 ê , 4 5k 2 1 2 3
ú ，
2
é8 5 ù
故答案为： ê , 4 53 ú
（三）
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
直线 y = kx + m 与椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0)的位置关系：a b
ìy = kx + m,
联立 í x2 y2 消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程．
2 + =1, a b2
位置关系 解的个数 D的取值
相交 两解 D >0
相切 一解 D =0
相离 无解 D <0
注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是
否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
题型 7：判断直线与椭圆的位置关系
2 2 x x y y
7-1．（2024 高二上·江西吉安· x y期末）已知过圆锥曲线 + = 1上一点P x , y 的切线方程为 0 + 0
m n o o
=1.
m n
x2 y2
过椭圆 + =1上的点 A 3, -1 作椭圆的切线 l，则过A 点且与直线 l垂直的直线方程为（ ）
12 4
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 2 = 0
C． 2x + 3y - 3 = 0 D．3x - y -10 = 0
【答案】B
【解析】根据题中所给的结论，求出过 A 3, - 1 的切线方程，进而可以求出切线的斜率，利用互相垂直的直
线之间斜率的关系求出过A 点且与直线 l垂直的直线的斜率，最后求出直线方程.
x2 y2
【详解】过椭圆 + =1上的点 A 3, - 1 3x -y 的切线 l的方程为 + =1，即 x - y - 4 = 0 ，切线 l的斜率为
12 4 12 4
1.与直线 l垂直的直线的斜率为 -1，过A 点且与直线 l垂直的直线方程为 y +1 = - x - 3 ，即 x + y - 2 = 0 .
故选：B
【点睛】本题考查了求过点与已知直线垂直的直线方程，考查了数学阅读能力，属于基础题.
2 2
7-2 x y．（2024·四川南充·一模）已知直线 kx - y + 2 = 0与椭圆 + =1恒有公共点，则实数 m 的取值范围
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
【答案】C
2 2
【分析】根据直线 kx - y + 2 = 0 x y所过定点以及方程 + =1表示椭圆来求得m 的取值范围.
9 m
【详解】直线 kx - y + 2 = 0过定点 0,2 ，
0 22
所以 + 1，解得m 4 ①.
9 m
x2 y2
由于方程 + =1表示椭圆，所以m > 0且m 9 ②.
9 m
由①②得m 的取值范围是 4,9 9,+ .
故选：C
2 2
7-3．（2024 高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆C : x y+ = 1，直线
25 9
l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0(m R)，则直线 l 与椭圆 C 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据直线方程可得直线 l过定点 A 3,2 ，判断点 A 3,2 与椭圆 C 的位置关系即可得结果.
【详解】对于直线 l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0，整理得m x - y -1 + 2 x - 2y +1 = 0，
ìx - y -1 = 0 ìx = 3
令 í
x - 2y +1
，解得 ，
= 0 í y = 2
故直线 l过定点 A 3,2 .
32 22∵ 181+ = <1，则点 A 3,2 在椭圆 C 的内部，
25 9 225
所以直线 l 与椭圆 C 相交.
故选：A.
7-4．（2024 高三·全国·对口高考）若直线 y = x -1与椭圆 x2 + 3y2 = a 有且只有一公共点，那么 a的值为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．1
2 3 4
【答案】C
【分析】分析可知 a > 0，将直线方程与椭圆方程联立，由D = 0可求得实数 a的值.
【详解】因为方程 x2 + 3y2 = a 表示的曲线为椭圆，则 a > 0，
ìy = x -1
将直线 y = x -1的方程与椭圆的方程联立， íx2 3y2 a ，可得 4x
2 - 6x + 3- a = 0 ，
+ =
则D = 36 - 4 4 3- a =16a -12 = 0 3，解得 a = .
4
故选：C.
（四）
求相交弦长问题
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离
公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为 k，被椭圆截得弦 AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，
(x2，y2)，则弦长公式为： AB = 1+k 2 x + x 21 2 - 4x1x2 = 1+
1
2 y1 + y
2
2 - 4y1 y2 ．k
题型 8：求直线与椭圆的相交弦长
2 2
8-1．（2024 x y 2高二上·青海西宁·期末）已知点 A 0, -2 ，椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的离心率为 ，F 是椭a b 2
圆E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O为坐标原点．
(1)求椭圆 E 的方程：
(2)设过椭圆E 的左焦点且斜率为 k =1的直线 l与椭圆E 交于不同的两M 、 N ，求 MN 的长．
2
【答案】(1) x + y2 =1
2
(2) 4 2
3
【分析】（1）由离心率得到 a = 2c ，再由直线 AF 的斜率求出 c，即可求出 a、b ，从而得解；
（2）首先求出直线 l的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由距离公式计算可得.
【详解】（1）解：由离心率 e c 2= = ，则 a = 2c ，右焦点F c,0 ，
a 2
0 - (-2)
直线 AF 的斜率 = 2，解得 c =1，
c - 0 a = 2
，
所以b2 = a2 - c2 =1，
2
\椭圆E x的方程为 + y2 =1；
2
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点F1 -1,0 ，则直线 l的方程为 y = x +1，
4
ì x2 ì
+ y2 x = 0
x = -
=1 ì 3
由 í 2 ，解得 í 或 í ，不妨令M 0,1 N
4
- , 1- 、 ，
y x 1 y =1 y 1 è 3 3
÷
= + = -
3
4 2 2
所以 MN = - - 0
1 4 2
÷ +
- -1÷ = .
è 3 è 3 3
2 2 8
8-2．（2024 高三·全国· x y专题练习）已知椭圆E : + =1，设直线 y = kx - 2 被椭圆 C 截得的弦长为 ，
4 2 3
求 k 的值．
【答案】±1
【分析】利用韦达定理结合弦长公式即可求解.
【详解】设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1), B( x2, y2)，
ì x2 y2
+ =14 2 y 2 2联立 í 消去 整理得 2k +1 x - 4 2kx = 0，
y = kx - 2
x 0, x 4 2k解得 1 = 2 = ，2k 2 +1
4 2k
所以弦长 AB = 1+ k 2 × x 2 81 - x2 = 1+ k × = ，2k 2 +1 3
k
整理得 ( )2 (1+ k 22 )
2
= 即 k 4 + k 2 - 2 = 0解得 k 2 =1， k = ±1 .1+ 2k 9
2 π
8-3．（2024 高三·全国·
x
对口高考）已知椭圆 + y2 = 1，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A 、B 两点，
9 6
则弦 AB 的长为 ．
【答案】 2
【分析】
设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，将直线 AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得 AB
的值.
x2
【详解】在椭圆 + y2 = 1中， a = 3，b =1，则 c = a2 - b2 = 2 2 ，故点F -2 2,0 ，9
设点 A x , y 31 1 、B x2 , y2 ，由题意可知，直线 AB 的方程为 y = x + 2 2 ，即 x = 3y - 2 2 ，3
ìx = 3y - 2 2
联立 í 可得12y22 2 - 4 6y -1 = 0，D =16 6 + 4 12 =144 > 0 ，
x + 9y = 9
1
由韦达定理可得 y1 + y
6
= ， y1 y2 = -2 ，3 12
2
2 6 1
所以， AB = 1+ 3 × y1 + y2 - 4y1 y2 = 2 ÷÷ - 4
- = 2 .
è 3
÷
è 12
故答案为： 2 .
2 2
8-4．（2024
x y
高三·全国·专题练习）已知椭圆 + =1 a > b > 0 ，过左焦点F1的斜率为 1 的直线与椭圆分别
3 2
交于 A，B 两点，求 AB ．
8
【答案】 3
5
【分析】根据题意，联立直线与椭圆方程，再结合弦长公式，代入计算，即可得到结果.
x2 y2
【详解】因为椭圆方程为 + =1，则左焦点F
3 2 1
-1,0 ，
因为直线过椭圆左焦点F1且斜率为 1，所以直线方程为 y - 0 = x +1 ，即 y = x +1，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ì x2 y2
+ =1
联立直线与椭圆方程可得 í 3 2 ，化简可得5x2 + 6x - 3 = 0，
y = x +1
且D = 36 - 4 5 -3 = 96 > 0 ，
6 3
由韦达定理可得 x1 + x2 = - , x1x2 = - ，5 5
由弦长公式可得 AB = 1+ k 2 x1 + x
2
2 - 4x1x2
2
2 6 4 3 8= - ÷ + = 3 .
è 5 5 5
（五）
椭圆的中点弦问题
1、椭圆的中点弦结论：
2 2
若直线 l (不平行于 y 轴) x y过椭圆 2 + 2 =1( a > b > 0 )上两点 A 、B ，其中 AB中点为 P(x ，y ) ，则a b 0 0
b2
有 kAB × kOP = - 2 .a
2、椭圆的中点弦问题
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方
程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 9：求解椭圆的中点弦问题
2
9-1 x y
2
．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆 C： + =1 ，过点P 1, -1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两
4 3
点，若点 P 恰为弦 AB 的中点，则直线 l 的斜率是（ ）
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
3 4 4 3
【答案】C
【分析】设出 A, B的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.
【详解】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，则 x1 + x2 = 2， y1 + y2 = -2，
x2 y2 2 2
且 1 + 1 =1 x， 2 y+ 2 =1，
4 3 4 3
x2 - x2 y2 - y2 y1 - y2 3 x1 + x2 3
作差得 1 2 = - 1 2 ，所以 = - =
4 3 x1 - x
，
2 4 y1 + y2 4
3
即直线 l 的斜率是 ．
4
故选：C．
9-2．（2024 高二·全国·课后作业）中心在原点，一个焦点为F1 0,5 2 的椭圆被直线 y = 3x - 2截得弦的中点
1
的横坐标为 ，则椭圆的方程为 ．
2
y2 x2
【答案】 + =1
75 25
【分析】求出 c2 及其表达式，求出弦的中点坐标和 a,b的值，即可求出椭圆的方程.
【详解】由题意，
在椭圆中，一个焦点为F1 0,5 2 ，
C : y
2 x2
设椭圆的方程为 2 + = 1(a > b > 0) ,a b2
∴ c2 = a2 - b2 = 50，
设直线 y = 3x - 2与椭圆的交点为 A x1, y1 , B x2 , y2 ,弦 AB 中点为C x0 , y0
1
∵直线 y = 3x - 2截得弦的中点的横坐标为 x0 = ，2
ì y2 21 x+ 1 =1
y 3 1
2 2
∴ 0 = - 2 = -
a b
，
2 2 í y2 x2
，
2 2
a2
+
b2
=1
y2 - y2 x2 - x2 y - y a2 x∴ 1 22 = -
1 2 即 k 1 2 1
a b2 AB
= = - × = 3
x1 - x b
2
2 y2
∴ a2 = 3b2 .
ìc2 = a2 - b2 = 50 ìa2 = 75
∴ í 2 ，解得：
a = 3b
2 íb2 = 25
∴ y
2 x2
椭圆的方程为： + =1，
75 25
y2 x2
故答案为： + =1 .
75 25
y2 x2
故答案为： + =1 .
75 25
x2 y29-3．（2024 高二下·新疆塔城·开学考试）已知过点M (1,1)的直线，与椭圆 + =1相交于 A，B 两点，且
4 2
线段 AB 以点 M 为中点，则直线 AB 的方程是 .
【答案】 x + 2y - 3 = 0
【分析】用点差法即可求出直线 AB 的斜率，再用点斜式即可求出直线 AB 的方程.
【详解】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，根据中点坐标公式， x1 + x2 = 2， y1 + y2 = 2，
x2 y2 x2 y2 y1 - y2 y1 + y2 1
且 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，两式相减，化简可得 = -
4 2 4 2 x1 - x2 x
，
1 + x2 2
y1 - y2 1 1
所以 = -x - x 2 ，即直线 AB 的斜率为
- ，
1 2 2
1
根据点斜式，得到直线 AB 的方程为 y -1 = - (x -1)，即 x + 2y - 3 = 0 .
2
故答案为： x + 2y - 3 = 0
（六）
与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的
范围．
题型 10：与椭圆有关的最值问题
2 2
10-1．（2024 高三·全国·对口高考）若点 O x y和点 F 分别是椭圆 + =1的中心和左焦点，点 P 为该椭圆上
4 3
uuur uuur
的任意一点，则OP × FP 的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】A
uuur uuur
【分析】设P x, y ，由数量积的运算及点 P 在椭圆上，可把OP × FP 表示成为 x 的二次函数，根据二次函数
性质可求出其最大值.
【详解】设P x, y ，F -1,0 ,O 0,0 ，
uuur uuur
则OP = x, y , FP = x+1, y ，
uuur uuur
则OP × FP = x2 + x + y2 ，
x2 y2 2 3 2
因为点 P 为椭圆上，所以有： + =1，即 y = 3- x ，
4 3 4
uuur uuur
2 2 2 3 2 1 2
所以OP × FP = x + x + y = x + x + 3- x = x + 2 + 2，
4 4
又因为-2 x 2，
uuur uuur
所以当 x = 2时，OP × FP 的最大值为 6.
故选：A.
2 2
10-2．（2024· x y陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点 P 在椭圆C : + =1上运动，则点 P 到直线
16 9
x - y - 5 = 0的距离的最大值为 ．
【答案】5 2
x2 y2
【解析】求出与已知直线平行且与椭圆 + =1相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知
16 9
直线距离较远的那条直线上的点 P 到直线 x - y - 5 = 0的最大值．
2 2
【详解】解：设直线 x - y + m = 0 x y与椭圆 + =1相切
16 9
联解消去 y ，得 25x2 + 32mx +16m2 -144 = 0
\ D = 32m 2 - 4 25 16m2 -144 = 0 ，解得m = 5或-5
\与直线 x - y - 5 = 0平行且与椭圆相切的直线方程为 x - y ± 5 = 0
-5 - 5 10
其中与直线 x - y - 5 = 0距离较远的是 x - y + 5 = 0，且距离为 d = = = 5 22 2 2 ，1 + -1
\P到直线 x - y - 5 = 0的最大距离为5 2 ，
故答案为：5 2 ．
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中
档题．
10-3 2．（2024 高三上·四川内江·期末）已知点A 是圆E : x -1 + y2 =16上的任意一点，点F -1,0 ，线段 AF
的垂直平分线交 AE 于点 P .
(1)求动点 P 的轨迹G的方程；
(2)若过点F 的直线交轨迹G于M 、N 两点，B 是FM 的中点，点O是坐标原点，记VMEB与△ONF 的面积
之和为S ，求S 的最大值.
2 2
【答案】(1) x y+ =1
4 3
3
(2)
2
【分析】（1）由题意可知 PE + PF = PE + PA = EA = 4 > EF = 2，所以动点 P 的轨迹是椭圆，即可求解；
3
（2）分析出 S = SVMOF + SVOFN = SVMON ，直线MN 的斜率不存在时， SVMON = ，直线MN 的斜率存在时，可2
2 2
通过设而不求的方法求得 S = 6
k (1+ k ) 3 3 2
2 2 ，令m = 3+ 4k
2 后可得 S = - 2 - +1，根据m 的范围即可求(3 + 4k ) 2 m m
出S 的范围，进而可求其最大值.
【详解】（1）由题意可知 PE + PF = PE + PA = EA = 4 > EF = 2，
所以动点 P 的轨迹G是以E, F 为焦点且长轴长为 4 的椭圆，
则 2a = 4,2c = 2，所以 a = 2,b = 3 ，
x2 y2
因此动点 P 的轨迹G的方程是 + =1.
4 3
（2）如图：
不妨设点M 在 x 轴上方，连接OM ，
因为O, B 分别为EF , FM 有中点，所以 SVMEB = SVMOF ，
所以 S = SVMOF + SVOFN = SVMON ，
3 3
当直线MN 的斜率不存在时，其方程为 x = -1，则M (-1, )， N (-1, - )，
2 2
1 1 3 3 3
此时 SVMON = MN × OF = 1 [ - (- )] = ；2 2 2 2 2
当直线MN 的斜率存在时，设其方程为 y = k(x +1)，
设M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，显然直线MN 不与 x 轴重合，即 k 0，
ìy = k(x +1)
联立 í x2 y2 ，得 (3 + 4k 2 )x2 + 8k 2x + 4k 2 -12 = 0，
+ =1 4 3
x x 8k
2 4k 2 -12
则 1 + 2 = - 3+ 4k 2
， x1x2 = 3+ 4k 2
，
2
所以 MN = 1+ k 2 x1 - x
2
2 = 1+ k × (x1 + x2 )
2 - 4x x 12(1+ k )1 2 = 3+ 4k 2
，
k
又点O到直线MN 的距离 d = ，
1+ k 2
1 k 2 (1+ k 2 )
所以 S = MN d = 6 ，令m = 3+ 4k 2 (3,+ ) ，
2 (3 + 4k 2 )2
S 6 (m - 3)(m +1) 3 3 2则 = 2 = - 2 - +1，16m 2 m m
因为m (3,+ )
1
，所以 (0,
1)，
m 3
3 2 1 1 4 3
所以- 2 - +1 = -3( + )
2 + (0,1) ，所以 S (0, ) .
m m m 3 3 2
综上， S (0,
3] 3，即S 的最大值为 .
2 2
2
10-4．（2024 高二下·河南周口·阶段练习）已知椭圆C : x + y2 =1的右顶点为 A，上顶点为 B，则椭圆上的一
4
动点 M 到直线 AB 距离的最大值为 ．
2 10 + 2 5
【答案】
5
x x
【分析】求出直线 AB 的方程为 + y =1，设与 AB 平行且与椭圆相切的直线为 y = - + t ，联立椭圆方程，
2 2
利用判别式Δ = 0可求得 t 的值，再根据平行线间的距离公式即可求得答案.
2
【详解】由椭圆C : x + y2 =1，可得 A(2,0), B(0,1)，
4
x x
故直线 AB 的方程为 + y =1，与 AB 平行且与椭圆相切的直线可设为 y = - + t ，
2 2
代入椭圆方程整理，得 x2 - 2tx + 2t2 - 2 = 0，
则D = 4t 2 - 4 2t 2 - 2 = 0，解得 t = ± 2 ，
- 2 +1
x x d 2 10 - 2 5= =
当 t = 2 时， y = - + 2 与 + y =1之间的距离为2 2 1 5
；
1+
4
2 +1
x x d 2 10 + 2 5当 t = - 2 时， y = - - 2 与 + y =1间的距离为 = = ，2 2 51 1+
4
2 10 + 2 5
故椭圆上的一动点 M 到直线 AB 距离的最大值为 ，
5
2 10 + 2 5
故答案为：
5
2 2
10-5．（2024 · x y高二上 江苏苏州·期末）椭圆 + =1上的点 P 到直线 x+ 2y- 9= 0 的最短距离为（ ）
4 3
A 7 5 9 5． 5 B． C． D 13 5．
5 5 5
【答案】A
【分析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直
线的常数项，再计算平行线间的距离即可.
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 x + 2y + b = 0 ，则
ìx + 2y + b = 0
ì-2y = x + b
í x2 y2 í 2 2 4x
2 + 2bx + b2 -12 = 0
+ =1 3x + 4y =12 4 3
2
所以D = 2b - 4 4 b2 -12 = 0 b = ±4
-9 - -4
所以椭圆上点 P 到直线 x + 2y - 9 = 0 的最短距离为 d = = 5
12 + 22
故选：A
（七）
1.求解直线或曲线过定点问题的策略
2.求定值问题的策略
题型 11：椭圆的定点、定值问题
2 2
11-1．（2024·广西·模拟预测）已知M , N x y分别为椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左，右顶点，F 为其右焦点，a b
FM = 3 FN ，且点P 1,
3
2 ÷在椭圆E 上．è
(1)求椭圆E 的标准方程；
CD 2
(2)若过F 的直线 l与椭圆E 交于 A, B两点，且 l与以MN 为直径的圆交于C, D
12
两点，证明： + 为定
AB 4
值．
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)证明见解析
【分析】
（1）由 a + c = 3 a - c 以及 a2 = b2 + c2即可求解 a,b,c的值，
（2）联立直线与椭圆的方程，由弦长公式以及点到直线的距离公式即可化简求解.
【详解】（1）
由 FM = 3 FN ，可得 a + c = 3 a - c ，解得 a = 2c ，
又因为 a2 = b2 + c2，所以b = 3c ，
P 1, 3
9
因为点 2 ÷在椭圆E 上，所以
1 4
è 2 + 2 =1
，
a b
2 2
解得 a = 2 x y，b = 3 ， c =1，所以椭圆E 的标准方程为 + =1．
4 3
（2）
2
证明：当 l与 x
12 | CD |
轴重合时， AB = CD = 4，所以 + = 7,AB 4
当 l不与 x 轴重合时，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，直线 l的方程为 x = my +1，
ì x2 y2
+ =1,
由 í 4 3 整理得 3m2 + 4 y2 + 6my - 9 = 0 ，
x = my +1,
y -6m -9则 1 + y2 = 2 , y1y2 = ，3m + 4 3m2 + 4
2 é -6m
2
36 ù m2
故 AB = 1+ m2 é y ù1 + y2 - 4y1y2 = 1+ m
2 +1ê 3m2 + 4 ÷ +è 3m2 ú =12 ê + 4 ú 3m2 + 4
1 2
圆心O到直线 l | CD | 1的距离为 2 ，则 = 4 - ，m +1 4 m2 +1
12 | CD |2 3m2 + 4 4 1 7 12 | CD |
2
所以 + = 2 + - 2 = ，即 +AB 4 m 1 m 1 AB 4 为定值．+ +
2 2
11-2．（2024 x y 3高二下·河南平顶山·期末）已知椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 经过点 A 0,1 ，且离心率为 .a b 2
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若经过点 -2, -1 ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与
AQ 的斜率之和为定值.
x2
【答案】(1) + y2 =1
4
(2)见解析
【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解.
【详解】（1）由题意可知：b =1,e c 3= = ，又 a2 = b2 + c2，解得 a = 2,b =1,c = 3 ，
a 2
x2
所以椭圆方程为 + y2 =1
4
1- -1
（2）证明：由题意可知直线 PQ有斜率，由于 (-2,-1)与点 A(0,1)的连线的斜率为 =1，且 -2, -10 2 的- -
横纵坐标恰好与 a = 2,b =1相反，因此直线 PQ有斜率 k 满足 k > 0 且 k 1，
直线 PQ的方程为： y = k x + 2 -1，
ìy = k x + 2 -1
2 (1+ 4k 2 )x2 2 2联立直线与椭圆方程： í x + 8 2k - k x +16 k - k = 0
+ y2
，
=1 4
设P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
8 2k 2 - k 16 k 2 - k
则 x1 + x2 = - 2 , x1x ，1+ 4k 2
=
1+ 4k 2
y1 -1 y2 -1 y1 -1 x2 + y2 -1 x1 kx1 + 2k - 2 x2 + kx2 + 2k - 2 xk 1AQ + kAP = + = =x1 x2 x1x2 x1x2
kx1 + 2k - 2 x2 + kx2 + 2k - 2 x= 1 2kx1x2 + 2k - 2 x + x = 1 2 ，
x1x2 x1x2
8 2k 2 - k 16 k 2 - k
将 x1 + x2 = - 2 , x x = 代入可得1+ 4k 1 2 1+ 4k 2
16 k 2 - k 8 2k 2 - k
2k 2 - 2k - 2
1+ 4k 1+ 4k 2 32k k 2 - k -8 2k - 2 2k 2 - k 16 k 2 - k kAQ + kAP = = = =1 故直线 AP 与16 k 2 - k 16 k 2 - k 16 k 2 - k
1+ 4k 2
AQ 的斜率之和为 1，即为定值，得证.
2 2
11-3．（2024 x y高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C : F 1,0
a2
+
b2
=1 a > b > 0 的右焦点为 ，A、B 分别
是椭圆C 的左、右顶点， P 为椭圆C 的上顶点，VPAB 的面积为 2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线 l : y = kx + m 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，点Q 2,0 ，若直线MQ 的斜率与直线 NQ 的斜率互
为相反数，求证：直线 l过定点.
x2
【答案】(1) + y2 =1
2
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得 a2 = b2 + 1, ab = 2 ，据此可求得椭圆方程；
（2）将直线方程与椭圆方程联立，后由韦达定理结合 kMQ + kNQ = 0，可得 m 与 k 的关系即可得直线恒过的
定点.
【详解】（1）由题知 c =1， A -a,0 ，B a,0 ，P 0,b ，
由VPAB 的面积为 2 ，得 ab = 2 ，
2
又 a2 = b2 + c2，代入可得a2 2
x
= 2，b = 1，∴椭圆C 的方程为 + y2 =1.
2
ìy = kx + m,
2 2 2（ ）联立 í x2 得 2k +1 x + 4kmx + 2m2 - 2 = 0
+ y2
，
=1, 2
2
设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，可得 x1 + x
-4km
= 2m - 22 2k 2 1， x x = ，+ 1 2 2k 2 +1
由题知 kMQ + kNQ = 0，
y1 y kx+ 2 = 1 + m kx2 + m
2kx1x2 + m - 2k x1 + x2 - 4m
即 + = = 0x1 - 2 x2 - 2 x1 - 2 x 2 x 2 x 2
，
2 - 1 - 2 -
即 2kx1x2 + m - 2k x1 + x2 - 4m = 0，解得 k = -m，
∴直线 l的方程为 y = k x -1 ，故直线 l恒过定点 1,0 .
11-4．（2024 高三上·江西萍乡·期末）已知椭圆 E 的中心在原点，周长为 8 的VABC 的顶点， A - 3,0 为椭
圆 E 的左焦点，顶点 B，C 在 E 上，且边 BC 过 E 的右焦点.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)椭圆 E 的上、下顶点分别为 M，N，点P m,2 m R,m 0 ,若直线PM ，PN 与椭圆 E 的另一个交点
分别为点 S，T，证明：直线 ST 过定点，并求该定点坐标.
(1) x
2
【答案】 + y2 =1
4
1
(2)证明见解析， 0, 2 ÷è
【分析】
（1）根据椭圆定义直接求解即可；
（2）设出直线PS 方程，与椭圆方程联立，求出点 S、T 的坐标，写出直线 ST 方程即可求出定点坐标.
【详解】（1）由题意知，椭圆 E 的焦点在 x 轴上，
x2 y2
所以设椭圆方程为 2 + 2 =1 a > b > 0 ，焦距为 2c c＞0 ，a b
所以VABC 周长为 4a = 8 ，即 a = 2 ， a2 = 4 ，
因为左焦点 A - 3,0 ，所以 c = 3 ， c2 = 3，
所以b2 = a2 - c2 =1 ，
x2
所以椭圆 E 的标准方程为 + y2 =1 .
4
（2）
由题意知，M 0,1 , N 0, -1 ，直线PS , PT , ST 斜率均存在，
所以直线PS : y
x
= +1 2 2，与椭圆方程联立得 m + 4 x + 8mx = 0 ，
m
D = 64m2＞0对m R,m 0恒成立，
x -8m -8m
2
则 S + x = x = y
-8m 1
M 2 ，即 S 2 ，则 S = 2 +1
m - 4
= ，
m + 4 m + 4 m + 4 m m2 + 4
24m 36 - m2
同理 xT = 2 ， y = ，m + 36 T m2 + 36
m2 - 4 36 - m2
y - y m2
- 2 144 - m4+ 4 m + 36 12 - m2 12 + m2S T k 12 - m
2
所以 ST = =x - x -8m 24m
= 3 = =2 ，
S T - 16m +192m 16m 12 + m 16m
m2 + 4 m2 + 36
y 12 - m
2 x -8m m
2 - 4 12 - m2 1
所以直线 ST 方程为： = -
2 ÷ + = x + ，16m è m + 4 m2 + 4 16m 2
1
所以直线 ST 过定点，定点坐标为 0, ÷ .
è 2
（八）
椭圆的实际应用
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系．
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系．
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
题型 12：椭圆的实际应用
12-1．（2024 高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 l处时，在如图所示的截面里，桥洞
与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 2m，水面宽 6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（ ）
A．3 3m B 3 3． m C 4 2． 4 2m D． m
2 3
【答案】A
x2 y2
【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： + =1，求直线 y =1被椭圆所截得的弦
9 4
长，代入椭圆方程即可求解.
【详解】以图中水面所在的直线为 x 轴，水面的垂直平分线所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，根据已
x2 y2
知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为： + =1，
9 4
当水位上升1m时，水面的宽度也即当 y =1时，直线 y =1被椭圆所截的弦长.
把 y =1 3 3代入椭圆方程可得： x = ± ，
2
所以当水位上升1m时，水面的宽度为3 3m ，
故选：A .
12-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、
跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通
桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面
为线段 AB ，且 AB 过椭圆的下焦点， AB = 44 米，桥塔最高点 P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
1 2 2 4
A． B． C． D．
3 5 3 5
【答案】D
ìa + c =110
y2 x2
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为 + =1(a > b > 0)，依题意可得 í2b22 2 ，即a b = 44 a
可求出离心率.
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
y2 x2
设椭圆方程为 2 + 2 =1(a > b > 0)，a b
ìa + c =110
y = -c -c
2
x2 b2
令 ，即 + = 1，解得 x = ± ，依题意可得 í2b2 ，
a2 b2 a = 44 a
ìa + c =110
2 2 a - c 22 c 4所以 ía - c ，所以 =a 110 ，所以 e = = ． = 22 a 5 a
故选：D．
12-3．（2024 高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律 轨道定律，其内容如下：每一行星沿各
自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星 H 看作一个质点， H 绕太阳的运动轨迹
x2 y2
近似成曲线 + =1(m > n > 0) ，行星 H 在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最
m n
远的距离称为远日点距离.若行星 H 的近日点距离和远日点距离之和是 18（距离单位：亿千米），近日点距
离和远日点距离之积是 16，则m + n = （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
【答案】D
【分析】
根据椭圆方程表示近日点距离与远日点距离，再根据条件得到两个方程求解即可.
【详解】
x2 y 2
根据椭圆方程 + = 1，得长半轴 a = m ，半焦距
m n c = m - n ，
近日点距离为 a - c = m - m - n ，远日点距离为 a + c = m + m - n ，
近日点距离和远日点距离之和是 m - m - n + m + m - n =18，
近日点距离和远日点距离之积是 m - m - n m + m - n =16，
解得m = 81, n =16，则m + n = 97 .
故选：D.
12-4．（2024 高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看
成一个点）在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离 F2 A = 2cm，过焦点F2且垂直于轴的弦
BC = 6.4cm，在 x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．13cm
【答案】C
【分析】利用右焦点到右顶点的距离及椭圆的通经，结合椭圆中 a,b,c三者的关系及焦距的定义即可求解.
ìa - c = 2
a = 5
2b2
ì
【详解】由题设知 í = 6.4 ，解得 íb = 4，
a
a2 = b2 + c2 c = 3
所以片门放在光线最强处，片门应离灯丝为2c = 6．
故选：C.
一、单选题
2 2
1．（2024 高三· x y全国·对口高考）通过椭圆 + =1的焦点且垂直于 x 轴的直线 l 被椭圆截得的弦长等于
4 3
（ ）
A． 2 3 B．3 C． 3 D．6
【答案】B
【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于 x 轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.
【详解】由题设，不妨设过焦点 (1,0)且垂直于 x 轴的直线 l : x =1，
1 y2 3
代入椭圆方程得 + =1，可得 y = ± ，故被椭圆截得的弦长等于3 .
4 3 2
故选：B
2
2．（2024 高二上·全国· y课前预习）直线 y = x +1与椭圆 x2 + =1的位置关系是（ ）
2
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
ìy = x +1
2
【详解】联立 í y2 3x + 2x -1 = 0x2
，
+ =1 2
则D = 22 + 4 3 = 16 > 0
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
故选：C.
x2 23 y．（2024 高二上·全国·课后作业）方程 + = 1表示的曲线是（ ）
25 16
A．焦点为点 -3，0 与 3 3，0 ，离心率为 的椭圆
5
B．焦点为点 0，- 3 与 0，3 3，离心率为 的椭圆
5
4
C．焦点为点 -3，0 与 3，0 ，离心率为 的椭圆
5
D．焦点为点 0，- 3 与 0 3 4， ，离心率为 的椭圆
5
【答案】A
【分析】由方程判断曲线为椭圆，再确定椭圆的焦点位置，再确定长半轴和短半轴，半焦距的大小，由此
可得焦点坐标，离心率，并判断结论.
x2 y2
【详解】方程 + = 1表示的曲线为焦点在 x 轴上，中心为原点的椭圆，
25 16
设椭圆的长半轴为 a，短半轴为b ，半焦距为 c，
则 a = 5,b = 4,c = 3
3
，所以其焦点坐标为 -3，0 与 3，0 ，离心率为
5
故选：A.
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以F1 -2,0 , F2 2,0 为焦点的椭圆与直线 x + y + 4 = 0有且仅有一个公共
点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．3 2 B． 2 6 C． 2 10 D．4 2
【答案】C
【分析】先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于 0 求得m 和 n 的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得
半焦距得到m 和 n 的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得m 和 n ，则椭圆的长轴可得．
【详解】设椭圆方程为mx2 + ny2 =1(m n > 0)，
直线 x + y + 4 = 0代入椭圆方程，消 x 得： (m + n)y2 + 8ny +16n -1= 0，
D = 64n2 - 4(16n -1)(m + n) = 0，整理，得m + n = 16mn
又 c = 2，由焦点在 x 轴上，
1 1 1 1 2 2
所以 - = 4 x y，联立解得：m = ， n = ,故椭圆方程为 + = 1，则长轴长为 2 10 ；m n 10 6 10 6
故选：C
2 2 b + c
5．（2024· x y广西·一模）已知 c 是椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是a b a
（ ）
1 2
A B C 2 D 3． ． ． ．
2 3 2 3
【答案】C
b + c b + c b b
【分析】用椭圆的性质直接对原式 进行减少变量处理，得到 = + 1- (
b )2 ，看成以 为变量的函
a a a a a
数的最值问题，可利用换元法求解.
b + c b c b c2 b a2 - b2 b b
【详解】 = + = + = + = + 1- ( )2 ，
a a a a a2 a a2 a a
因为 a > b > 0,
b
∴ 0 < <1．
a
b
设 = cosq ,q (0,
π) b + c，则 = cosq + 1- cos2 q = cosq + sinq = 2 sin(q
π
+ )
a 2 a 4
p b 2 b + c∴ c b 2当q = ，即 = 时， 取最大值，此时离心率 e = = 1- ( )2 = .4 a 2 a a a 2
故选：C
6．（2024 高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有 1000 多年的历史.为宣传和推广这一
传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为 2 3
的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为 2，当光线与地面夹角为30o 时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 e = （ ）
2 1
A 3 6． B． C． D．
3 2 2 3
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答.
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为30o 的等腰三
角形，
腰长为伞面圆的直径 4 3 ，椭圆长轴长 2a为底边长，则 2a = 2 4 3 cos30o =12 ，即 a = 6，
而椭圆的短轴长 2b = 4 3 ，即b = 2 3 ，
a2 - b2 b2 3
所以椭圆的离心率 e = = 1- 2 = 1- ( )
2 6=
a a 3 3
故选：D
2 2
7．（2024 x y高二上·黑龙江绥化·期中）直线 l： ax + y - a +1 = 0与椭圆 + =1的位置关系是（ ）
3 2
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【答案】A
【分析】方法 1：先求含参直线 l 恒过定点 M，研究定点 M 与椭圆的位置关系可判断直线 l 与椭圆的位置关
系；
方法 2：代数法，联立直线 l 与椭圆方程，消参后可由D判断出直线 l 与椭圆的位置关系.
【详解】方法 1：
∵ ax + y - a +1 = 0，即： a(x -1) + y +1 = 0，
∴直线 l 恒过定点M (1, -1) ，
x2 y2
又∵椭圆 + =1
3 2
12∴ (-1)
2
+ =1，
3 2
∴定点 M 在椭圆内，
∴直线 l 与椭圆相交.
方法 2：
ì x2 y2
+ =1
3 2 (3a2 + 2)x2í - 6a(a -1)x + 3(a2 - 2a -1) = 0
ax + y - a +1 = 0
∴ D = 36a2 (a -1)2 -12(3a2 + 2)(a2 - 2a -1)
1
= 48a2 + 48a + 24 = 48(a + )2 +12 > 0恒成立，
2
∴直线 l 与椭圆相交.
故选：A.
2 2
8．（2024 x y高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线 y = x + m 与椭圆 + =1相切，则实数 m 的值等于（ ）
4 2
A．±6 B．± 6 C．± 3 D．±4
【答案】B
x2 y2
【分析】将直线 y = x + m 与椭圆 + =1联立，根据判别式为 0 求解即可.
4 2
ìy = x + m2 2
【详解】将直线 y = x + m x y
与椭圆 + =1联立，得 í x2 y2 3x
2 + 4mx + 2m2 - 4 = 0 ，由题意可知
4 2 + =1 4 2
Δ =16m2 -12 2m2 - 4 = 0 m = ± 6 .
故选：B
2 2
9．（2024 · x y高二下 山东济南·期末）若直线 y = mx + 2 与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1总有公共点，则 n 的
9 n
取值范围是（ ）
A． 0,4 B． 4,9 C． 4,9 D． 4,9 9,+
【答案】C
【分析】由题得直线所过定点 0,2 在椭圆上或椭圆内，代入椭圆得到不等式，再结合椭圆焦点在 x 轴上即
可.
【详解】直线 y = mx + 2 恒过定点 0,2 ，若直线与椭圆总有公共点，
0,2 4则定点 在椭圆上或椭圆内，\ 1，解得n 4或 n < 0，
n
x2 y2
又Q + =1表示焦点在 x 轴上的椭圆，故0 < n < 9，\n 4,9 ，
9 n
故选：C.
2 2
10 2024· · C : x y+ = 1 6．（ 安徽蚌埠 三模）若椭圆 的离心率为 ，则椭圆C 的长轴长为（ ）
m 2 3
A 6 B 2 6． ． 或 2 6 C． 2 6 D． 2 2 或 2 6
3
【答案】D
【分析】根据离心率的计算公式，分焦点的位置，讨论即可求解．
6 2 - m 2
【详解】当焦点在 y 轴时，由 e = = ，解得m = ，符合题意，此时椭圆C 的长轴长为 2 2 ；3 2 3
6 m - 2
当焦点在 x 轴时，由 e = = ，解得m = 6，符合题意，此时椭圆C 的长轴长为 2 m = 2 6 ．
3 m
故选：D．
2
11．（2024 高二· x全国·课后作业）直线 x + 2y = m与椭圆 + y2 =1只有一个交点，则m 的值为（ ）
4
A． 2 2 B．± 2 C．±2 2 D．±2
【答案】C
【分析】联立直线与椭圆的方程，消去 y ，根据Δ = 0即可求解.
ìx + 2y = m
【详解】由 í x2 2 ，消去 y 并整理得 2x
2 - 2mx + m2 - 4 = 0，
+ y =1 4
x2
因为直线 x + 2y = m与椭圆 + y2 =1只有一个交点，
4
2 2
所以Δ = 4m -8 m - 4 = 0，得m2 = 8，\m = ±2 2 ．
故选:C.
2 2
12．（2024 · x y 6高二下 广东茂名·期末）已知椭圆C :
a2
+
b2
=1(a > b > 0) 的离心率为 ，下顶点为 B ，点M 为
3
C 上的任意一点，则 MB 的最大值是（ ）
A 3 2． b B． 2b C． 3b D． 2b
2
【答案】A
2 2 2 2
【分析】设M (x , y ) x0 y+ 0 =1 2 b 9b0 0 ，得到 2 2 ，求得 MB = -2 y0 - ÷ + ，结合二次函数的性质，即可求解.3b b è 2 2
6 x2 y2
【详解】由椭圆C 的离心率 e = ，可得 a = 3b ，所以椭圆的方程为 2 + 2 =1，3 3b b
M (x , y ) x
2 2
0 y+ 0 =1 x2 2 2设 0 0 ，则 2 2 ，可得3b b 0
= 3b - 3y0 ，
又由点B 0, -b ，
2 2
可得 MB 2 = x2 + (y + b)2 = 3b2 - 3y2 (y b)2 b 9b0 0 0 + 0 + = -2
y
0 - + ，
è 2 ÷ 2
2
因为-b y0 b，所以 MB
2 9b= 3 2b，所以
max MB = .2 max 2
故选：A.
13 x
2 y2
．（2024 高二上·全国·课后作业）已知直线 y=kx-1 与焦点在 x 轴上的椭圆 C: + 2 =1 b > 0 总有公共点，4 b
则椭圆 C 的离心率取值范围是（ ）
2 ù ù
A． 0, ÷÷ B． 0,
2 0, 3 3
2 2 ú
C． 2 ÷÷
D． 0, ú
è è è è 2
【答案】D
【分析】根据直线过定点且与椭圆恒有公共点，结合椭圆的性质判定b 的范围即可求离心率.
【详解】
因为椭圆焦点在 x 轴上，所以 b2<4，又因为 b>0，所以 0易知直线 y=kx-1 过定点 0, -1 且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上，
0 （-1）2
即 + 2 1，解之得b
2 1，所以 b≥1，综上 1≤b<2，
4 b
e c 1- b
2 b2 3 ù
故 = = 2 = 1- 0，a a 4 2 úè
故选：D.
2 2 1
14．（2024 高二上·全国· x y课后作业）已知 P 点是椭圆 + =1上的动点，A 点坐标为 ,0 ，则 | PA |的最
4 2 è 2 ÷
小值为（ ）
7 7 3 5A． B． C． D．
4 2 2 2
【答案】B
【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解.
2
P x , y 1 【详解】设 20 0 ，则 | PA |= x0 - ÷ + y2 0 ，è
x2 y2 2 2 2
因为 P 点在椭圆 + =1 x上，则 0 y+ 0 =1，记 y20 = 2
x
- 0 ，
4 2 4 2 2
2
所以 | PA |= x2 1 x0 1 2 90 - x0 + + 2 - = x0 - x0 + ，4 2 2 4
1 2 9
又因为 y = x0 - x0 + 开口向上，对称轴 x =1，2 4 0
且 x -2,2 70 ，所以当 x0 =1时， | PA |取到最小值 .
2
故选：B.
2 2
15．（2024 高二下· ·
x y
云南昆明 期末）已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a > b > 0), F1, F2 分别是C 的左，右焦点， P 为C 上一a b
π
点，若线段PF1的中点在 y 轴上， PF1F2 = ，则C 的离心率为（ ）6
3 2A． B C 6． ． D．
3 2 - 33 3
【答案】A
【分析】根据中点关系可得PF2 ^ x轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.
【详解】由于线段PF y1的中点M 在 轴上, O是F1F2 的中点，所以MO / /PF2 ,\PF2 ^ x轴，
F
π PF = F F tan 2 3c PF F = , PF = 1
F2 2c 4 3c
F 2 1 2 1 2 1 = =1F2 = 2c ， PF1F2 = ，所以6 3 cos PF1F2 3 3
，
2
2 3c 4 3c 2a a 3由椭圆定义可得 + = = 3c e = ，
3 3 3
故选：A
16 2024 · · x
2 y2
．（ 高二 全国 课后作业）若椭圆 + =1的弦 AB 被点P 1,1 平分，则 AB 所在直线的方程为
9 4
（ ）
A． 4x + 9y -13 = 0 B．9x + 4y -13 = 0
C． x + 2y - 3 = 0 D． x + 3y - 4 = 0
【答案】A
4
【分析】利用点差法求解得 kAB = - ，再根据点斜式求解即可得答案.9
ì x21 y
2
+ 1 =1
【详解】设 A x1, y1 , B x
9 4
2 , y2 ，则 í
x
2 2
2 y
+
2 =1
9 4
x2 - x2 y2 - y2 y1 - y2 4 x1 + x2
所以 1 2 + 1 2 = 0，整理得 = -
9 4 x1 - x2 9 y
，
1 + y2
因为P 1,1 为弦 AB 的中点，
所以 x1 + x2 = 2, y1 + y2 = 2，
k y1 - y2
4 x1 + x2 4
所以 AB = = - = -x ，1 - x2 9 y1 + y2 9
所以弦 AB 所在直线的方程为 y -1
4
= - x -1 ，即 4x + 9y -13 = 0 .
9
故选：A.
x2 y217．（2024 高二下·广西河池·期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) ，其上顶点为A ，左 右焦点分别为a b
F1, F2 ，且三角形 AF1F2 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
1
A 2 3
2
． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解.
【详解】如图所示，椭圆C ，其上顶点为A ，左 右焦点分别为F1, F2 ， △AF1F2为等边三角形，
c OF 1
则椭圆C 的离心率为 e = = 1 = cos AF F =a AF 1 2 .1 2
故选：A.
2 2
18 x y．（2024 高二·全国·课后作业）椭圆C : 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为 1 的a b
直线 l 过左焦点F1，交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的内切圆的面积是p ，若椭圆 C 的离心率的取值范围为
é 2 ù
ê ,
2
ú ，则线段 AB 的长度的取值范围是（4 2 ）
é 2 2 ù
A． ê , ú B． 1,2 C． 4,8 D． é ù4 2 4 2,8 2
【答案】C
2c
【分析】由题可求得 SVABF = SVAF F + S = AB ， SVABF = S + S + S = 2a2 1 2 VBF1F2 2 2
VEAB VEBF2 VEAF2 ，即可得出
AB = 2 2 a× ，再根据离心率范围即可求出
c
【详解】解：设△ABF2 的内切圆的圆心为E ，半径为 r ，则p r 2 = p ，解得 r =1，
QS 1 1VABF = SVAF F + SVBF F = × AF1 × F1F2 ×sin AF1F2 + × BF × F2 1 2 1 2 2 2 1 1
F2 ×sin BF1F2
1 AF 2c sin 45o 1= × 1 × × + × BF ×2c sin135
o 2c× = AB ，
2 2 1 2
又 SVABF = SVEAB + S
1
VEBF + SVEAF = × AB r
1 1
× + × BF2 × r + × AF × r2 2 2 2 2 2 2
1
= AB + BF 12 + AF2 = 4a = 2a ,2 2
2c a
\ AB = 2a ，\ AB = 2 2 × ，
2 c
c éQe 2 2
ù
= aê ， ú ，\ é 2, 2 2ù，则 2 2
a
×
a 4 2 4,8 ， c c
即线段 AB 的长度的取值范围是 4,8 ，
故选：C
2 2
19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 C : x y为椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 上的两a b
a
点，点P ,0
÷满足 PM = PN ，则C 的离心率 e的取值范围为（ ）
è 4
1 2
A． ,1÷ B． ,1
1 1
è 4 2
÷÷ C． ,12 ÷ D．è
0,
2 ÷è è
【答案】C
【分析】由 PM = PN
a
可得 x1 + x2 - ÷ x1 - x2 = -y21 + y22 ，因为M ，N 为椭圆上的两点，再有点差法可得
è 2
b2 x21 - x2 32 = -y2 a+ y2 ，两式相减化简可得 x1 + x2 = ，再由 x1 + x2 < 2a2 ，求解即可.a2 1 2 2c
2 2
【详解】因为 PM = PN x a ，则 - + y2 a 2 1 = x -4 ÷ 1 2 4 ÷
+ y2 ，
è è
2
x a x a
2
2 2 a a 所以 1 - ÷ - 2 - ÷ = - y1 - y2 ，即 x1 - + x2 - ÷ x1 - x2 = - y2 - y2 ，
è 4 è 4
1 2
è 4 4
x x a+ - x - x = -y2 2 1 2 2 ÷ 1 2 1 + y2 ，è
x2 y2
又因为点M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 为椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 上的两点，a b
ì x2 y21 + 1 =1
a2 b2 x2 - x2 y2 - y2 b2 x2 - x2
所以 í 2 2 ，两式相减可得：
1 2 = - 1 2 ，即 1 2 2 2 ，
x y a
2 b2 2 = -ya 1
+ y2
2 2
a2
+ 2 =1b
a b
2 x2 - x2 b2
所以 x
1 2
1 + x2 - x - x = = x - x x + x ，
è 2 ÷ 1 2 1 2 1 2 a2 a2
2
因为 x1 x
a b
2 ，所以 x1 + x2 - = 2 x1 + x2 ，2 a
3 3 3
所以 a2 - b2 x a1 + x2 = ，即 c2 x x a a1 + 2 = ，即 x + x2 2 1 2 = 2 ，2c
a a
因为 e 0,1 ，所以 x1 + x2 = > ，2e2 2
又因为M ， N 为椭圆上的两点，所以 x1 + x2 < 2a ，
a a 1 2 1
所以 < 2 < 2a ，解得： < e <1，即 < e <1.2 2e 4 2
故选：C.
2
20．（2024 高三·全国· x专题练习）已知椭圆 + y2 =1与直线 y = x + m 交于 A，B 两点，且| | = 4 2，则实
2 3
数 m 的值为（ ）
1
A．±1 B．±
2
C． 2 D．± 2
【答案】A
【分析】联立方程，写出关于交点坐标的韦达定理，用两点的距离公式
AB = x1 - x
2
2 - y1 - y2
2 = 2 x1 + x
2
2 -8x1x2 解出 m 即可.
ì x2
+ y2 =1
【详解】由 í 2 ，消去 y 并整理，
y = x + m
得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2 )
x 4m
2
则 1 + x2 = - ， x x
2m - 2
1 2 = ．3 3
2 4 4 2
由题意，得 AB = 2 x1 + x2 -8x1x2 = 3 - m2 = ，3 3
解得m = ±1．
故选:A
2 2
21．（2024 x y高二下·贵州遵义·期中）已知F 是椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0
1
的右焦点，直线 y = b与椭圆交于
a b 3
B ，C 两点，若 BFC
π
= ，则该椭圆的离心率是（
2 ）
A 5 B 6 C 14 7． ． ． D．
3 3 4 4
【答案】C
BFC π uuur uuur【分析】先联立直线方程与椭圆方程，求出 B ，C 的坐标，再通过 = 得 FB ^ FC ，从而建立方程，2
再化归转化，即可求解．
【详解】根据对称性不妨设 B 在第二象限，C 在第一象限，
ì b
y =
3 2 2
联立 í 2 2 ，可解得 x = ± a，
x y+ =1 3
a2 b2
2 2a
\ B - ,
b 2 2a b
3 3 ÷÷，
C , ÷÷，又F (c,0) ，
è è 3 3
uuur uuur
\ FB 2 2a c, b FC 2 2a b
= - -3 3 ÷÷，
= - c,3 3 ÷÷，è è
π uuur uuur
又 BFC = ，\ ，
2 FB ^ FC
uuur uuur 2
\ FB 8 b× FC = c2 - a2 + = 0，
9 9
\9c2 - 8a2 + b2 = 0 ，
\9c2 - 8a2 + a2 - c2 = 0，
\8c2 = 7a2，
2
\ e2 c 7= = ，又 e 0,1
a2
，
8
\ 7 14该椭圆的离心率 e = = ．
2 2 4
故选：C．
2 x x
22．（2024 y高二下·上海浦东新·期中）直线3x - 2y + 6 = 0与曲线 - =1的公共点的个数是（ ）．
9 4
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】考虑 x 0 和 x < 0 两种情况，画出曲线和直线图像，根据图像得到答案.
y2 x x y2 x2
【详解】当 x 0 时，曲线 - =1，即 - =1，双曲线右半部分；
9 4 9 4
3
一条渐近线方程为： y = x，直线与渐近线平行；
2
2 x x 2 2
当 x < 0 y y x时，曲线 - =1，即 + =1，椭圆的左半部分；
9 4 9 4
画出曲线和直线的图像，如图所示：
根据图像知有 2个公共点.
故选：B
23．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出
x2 y2
垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆 C： + =1(a > 0)的
a +1 a
1
离心率为 ，则椭圆 C 的蒙日圆的方程为（
3 ）
A． x2 + y2 =19 B． x2 + y2 =17 C． x2 + y2 =15 D． x2 + y2 =14
【答案】B
【分析】根据椭圆C 的离心率求出 a值，再同蒙日圆的定义，利用特殊位置求出蒙日圆上的一点，即可求出
椭圆C 的蒙日圆方程.
x2 y2 1 1 1
【详解】因为椭圆C ： + =1 (a > 0)的离心率为 ，则 = 3 ，解得 a = 8，即椭圆C 的方程为a +1 a 3 a +1
x2 y2
+ =1，
9 8
于是椭圆的上顶点 A(0,2 2)，右顶点B(3,0) ，经过 A, B两点的椭圆切线方程分别为 y = 2 2 ， x = 3，
则两条切线的交点坐标为 (3, 2 2) ，显然这两条切线互相垂直，因此点 (3, 2 2) 在椭圆C 的蒙日圆上，
圆心为椭圆C 的中心 O，椭圆C 的蒙日圆半径 r = 32 + (2 2)2 = 17 ，
所以椭圆C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 =17 .
故选：B
2 2
24．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆C : x y2 + =1 a > b > 0 四个顶点构成的四边形的面积为16 2 ，a b2
直线 l : x - 2y + 6 = 0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 -2,2 ，则椭圆 C 的方程是（ ）
x2 y2A x
2 y2
． + =1 B． + =1
16 8 32 4
2 2 2 2
C x y x y． + =1 D． + =1
32 16 64 2
【答案】A
1
【分析】设 A(x1, y1), B( x2, y2)代入椭圆方程相减，利用 x1 + x2 = -4，y1 + y2 = 4 ，kAB = ，得出 a,b等量关系，2
即可求解.
2 2 2 2
【详解】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 x y x y，则 1 + 1 =1， 2 2a2 b2 a2 + 2 =1，两式作差并化简整理得b
y 21 - y2 b x= - × 1 + x22 ，因为线段 AB 的中点为 -2,2 ，所以 x1 + x2 = -4， y1 + y2 = 4 ，x1 - x2 a y1 + y2
y - y b2 1 b2 1 1
所以 1 2 = 2 ，由 kl = ，得 = ，又因为 2a 2b = 2ab =16 22 ，解得b
2 = 8， a 2 = 16 ，x1 - x2 a 2 a 2 2
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 + =1．
16 8
故选：A．
2 2
25．（2024 高二上·浙江·期中）已知F F x y1、 2是椭圆 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点，以线段F F 为边作正三a2 b2 1 2
角形MF1F2 ，若边MF1 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． 4 - 2 3 B． 3 1 C 3 -1- ． D． 3 +1
2
【答案】B
【分析】由椭圆定义得 3c + c = 2a，计算得离心率.
【详解】设MF1 的中点为Q，由题意得： QF1 = c， QF2 = 3c，
c 2
由椭圆定义得： 3c + c = 2a，所以 e = = = 3 -1a 3 +1 ，
故选：B．
x2 y226．（2024 高二上·全国·课后作业）椭圆 + x2 =1的焦点在 轴上，则它的离心率的取值范围是（ ）5a 4a +1
1 1
A 5．（0， ） B．（ ， ]
5 5 5
5 ù é 5
C． 0, 5 ú
D． ê ,15 ÷÷è
【答案】C
【分析】根据椭圆的焦点在 x 轴上，由5a > 4a2 +1得到 a 的范围，然后利用离心率又
e 5a - 4a
2 -1
= = 1 1- 4a
1
+ ÷ ，结合基本不等式求解.5a 5 è a
【详解】解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，
1
∴ 5a > 4a2 +1，解得： < a <1，
4
e 5a - 4a
2 -1 1 1 1 1 1 5又 = = - 4a +
÷ 1- 2 4a × = ，5a 5 è a 5 a 5
5 ù
∴它的离心率的取值范围为 0, 5 ú ，è
故选：C.
2 2
27．（2024 高二下· · x y云南玉溪 期末）已知椭圆 E： 2 + 2 =1 a > b > 0)的右焦点为F2，左顶点为 A1，若 E 上a b
的点 P 满足PF2 ^ x
1
轴， tan PA1F2 = ，则 E 的离心率为（2 ）
1 2 1 1
A． B． C． D4 ．2 5 5
【答案】A
【分析】
设出点F2的坐标，求出 | PF2 |长，再利用给定的正切值列式计算作答.
ìx = c
2 2
【详解】设F (c,0)，则直线PF ： x = c ，由 í x2 2
b b
2 2 y ，得 | y |= ，即 | PF |= ，
2 + 2 =1 a
2 a
a b
PF 1 2
而 A1(-a,0)， A1F2 = a + c ，由 tan
1
PA 2 2b1F2 = ，得 = ，即 a + c = ，2 A1F2 2 a
a c 2(a
2 - c2 )
有 + = ，又 a > c ，因此 a = 2c ，
a
c 1
所以 E 的离心率为 e = = .
a 2
故选：A
二、多选题
28．（2024 高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔 蒙日（图 1）是 18～19 世纪法国著名的几何学家,他在研
究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被
x2 y2
称为“蒙日圆”（图 2）．已知长方形 R 的四边均与椭圆C : + = 1相切,则下列说法正确的是（ ）
6 3
A 2．椭圆 C 的离心率为 e = B．椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 = 6
2
C．椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 = 9 D．长方形 R 的面积最大值为 18
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项 A 正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点 a,b ,根据圆心坐
标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角
线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项 D 正误.
: : x
2 y2
【详解】解 由题知椭圆方程为 + = 1 ,
6 3
c2 a2 - b2 2
所以 e = = = ,
a2 a2 2
故选项 A 正确;
x2 y2
因为长方形 R 的四边均与椭圆C : + = 1相切,
6 3
所以点 a,b ,即 6, 3 在蒙日圆上,
故半径为 r2 = ( 6)2 + ( 3)2 = 9 ,
可得椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 = 9 ;
故选项 B 错误,选项 C 正确;
设长方形 R 的边长为 m,n,
m2 + n2 = 2r 2 = 6 2则有 = 36 ,
1
所以长方形 R 的面积等于 S = mn m2 + n2 = 18 ,2
当且仅当m = n = 3 2 时取等,
故选项 D 正确.
故选:ACD
29．（2024 高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国
瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似
看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的
长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为 P ，盘子的中心为O，筷子与大椭圆的两交点为 A, B，点A
关于O的对称点为C .给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等
C． PA = PB D．BC 与小椭圆相切
【答案】BC
【分析】根据题意转化为解析几何模型，设出小椭圆标准方程，表示出大椭圆标准方程，易判断两焦距的
长和离心率，从而判断 A 和 B；通过联立直线与小椭圆的方程，得到 P 点横坐标，通过联立直线与大椭圆方
程，得到 A, B横坐标之和，判断出 P 是线段 AB 的中点，得到 PA = PB ，从而判断 C；通过解出B,C 点坐
标写出方程判断直线与小椭圆的位置关系.
【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为 l l >1 ，
设点P x0 , y0 、 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为 x 、 y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
x2 y2
设小椭圆的方程为 2 + 2 =1 a > b > 0,c = a2 - b2 ，a b
x2 y2
则大椭圆的方程为 2 + 2 = l ，a b
对于 A，大椭圆的焦距长为 2 la2 - lb2 = 2 lc > 2c，两椭圆的焦距不相等，A 错；
la2 2
对于 B，大椭圆的离心率为 e - lb lc c= = = ，则两椭圆的离心率相等，B 对；
la la a
对于 C，当直线 AB 与坐标轴垂直时，则点 A, B关于坐标轴对称，此时点 P 为线段 AB 的中点，合乎题意，
当直线 AB 的斜率存在且不为零时，设直线 AB 的方程为 y = kx + m ，
ì y = kx + m
联立 í 2 2 2 2 2 2 可得 k 2a2 + b2 x2 + 2a2kmx + a2 m2 - b2 = 0
b x + a y = a b
，
D = 4a4k 2m2 - 4a2 m2 - b2 k 2a2 + b2 = 0，可得m2 = k 2a2 + b2，
2 2
x a km a km ka
2
此时， 0 = - = - = - ，k 2a2 + b2 m2 m
ì y = kx + m
联立 íb2x2 + a2 y2 2 2 ， = la b
k 2a2 + b2 x2 + 2a2kmx + a2 m2 2可得 - lb = 0 ，
x x 2a
2km 2a2km 2a2k
由韦达定理可得 1 + 2 = - 2 2 = - = - = 2x ，k a + b2 m2 m 0
即点 P 为线段 AB 的中点，所以， PA = PB ，C 对；
2 2
对于 D，当点 P 的坐标为 0,b 时，将 y = b x y代入 2 + 2 = l 可得 x = ±a l -1，不妨取点 A a l -1,b 、a b
B -a l -1,b ，则C -a l -1,-b ，若l 2，则直线BC 的方程为 x = -a l -1，此时直线BC 与椭圆不相
切，D 错.
故选：BC
三、填空题
2 2
30 x y b．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知M 是椭圆E ： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点，过M 作直线 y = x 的垂a b c
1
线，垂足为 N ， MN = a ，则该椭圆的离心率为 .
2
2
【答案】
2
【分析】通过焦点到直线的距离建立 a,b,c 关系，解方程即可求解.
cb - a 0M c,0 MN cb 1【详解】由题知， ，且 = = = a ，即 a2a 2 = 2cb ，c2 + b2
∴ a4 = 4c2b2 = 4c2 a2 - c2 ，∴ a4 2- 4a2c2 + 4c4 = 0，∴ a2 = 2c2 ，∴ e = .
2
2
故答案为：
2
2 2
31．（2024 高三上·江苏泰州·期末）若椭圆C 的焦点在 y x y2 轴上，且与椭圆C1： + =1的离心率相同，则4 2
椭圆C2 的一个标准方程为 .
y2
【答案】 + x2 =1（答案不唯一）
2
x2 y2
【分析】先求得椭圆C1： + =1的离心率，进而可以得到椭圆C2 的一个标准方程.4 2
2 2
C x y+ =1 e 4 - 2 2【详解】椭圆 1： 的离心率为 = = .4 2 2 2
2
则焦点在 y 2 C
y
轴上离心率为 的椭圆 2 可取： + x2 =1.2 2
y2
故答案为： + x2 =1
2
2
32．（2024 高三· x全国·专题练习）直线 l 与椭圆 + y2 =1交于 A，B 两点，已知直线 l的斜率为 1，则弦 AB
4
中点的轨迹方程是 ．
x 4y 0 4 5 x 4 5
【答案】 + = - < <5 5 ÷÷è
【分析】利用点 A, B的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点 M 在椭圆内即可得出取值范围.
【详解】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，线段 AB 的中点为M x, y ，连接OM （O为坐标原点）．
x2 2 y - y y + y 1 y
由题意知 1 + y2 x=1 = 2 + y2 1 2 × 1 2 = - = k ×k =
4 1 4 2
，则 x1 - x x
AB OM ，
2 1 + x2 4 x
∴点M 的轨迹方程为 x + 4y = 0 ．
又点M 在椭圆内，
x2 2∴ + x- ÷ <1，4 è 4
4 5 4 5
解得：- < x < ，
5 5
4 5 4 5
故答案为： x + 4y = 0 - < x < ÷÷ .
è 5 5
2 2
33．（2024 高三·全国·对口高考）直线 x + y -1 = 0 x y截椭圆 + =1所得弦的中点 M 与椭圆中心连线OM 的
4 3
斜率为 ．
3
【答案】 / 0.75
4
【分析】根据题意利用点差法分析运算即可.
2 2
【详解】设线 x + y -1 = 0 x y与椭圆 + =1的交点坐标为 A x1, y1 , B x2 , y M
x1 + x2 , y + y 2 ，则 1 2 ，4 3 2 2 ÷è
y1 + y2
k y - y可得 = 1 2 = -1, k = 2
y
= 1
+ y2
AB x - x OM x1 + x
，
1 2 2 x1 + x2
2
ì x2 21 y
+
1 =1
A, B 4 3 x
2 - x2 y2 - y2
因为 在椭圆上，则 í 2 2 ，两式相减得
1 2 + 1 2 = 0 ，
x2 y2 4 3
+ =1
4 3
y21 - y
2
2 y1 - y y + y 3整理得 2 2 =
2 × 1 2 = - 3，即-kOM = -x1 - x2 x1 - x2 x1 + x2 4 4
k 3所以 OM = .4
3
故答案为： .
4
2 2
34．（2024 ·
x y 6
高二下 河北石家庄·阶段练习）若椭圆C : + = 1的离心率为 ，则椭圆C 的长轴长
m 2 3
为 .
【答案】 2 6 或 2 2
【分析】根据题意，分类讨论m > 2 和0 < m < 2两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.
x2 y2 6
【详解】因为椭圆 + =1的离心率为 ，易知m > 0，
m 2 3
当m > 2 时，椭圆焦点在 x 轴上， a2 = m，b2 = 2，
c2 m - 2 6
所以 2 = = ，解得m = 6，则 a = 6 ，所以椭圆的长轴长为 2 6 .a m 9
当0 < m < 2时，椭圆焦点在 y 轴上，a2 = 2，b2 = m，
c2 2 - m 6 2
所以 2 = = ，得m = ，满足题意，a 2 9 3
此时 a = 2 ，所以椭圆的长轴长为 2 2 .
故答案为： 2 6 或 2 2 .
2 2
35．（2024· x y辽宁·一模）已知椭圆 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1、F2，点A 、 B 在椭圆 Ca b
uuuur uuuur uuur uuur é 3 2 ù
上，满足 AF2 × F1F2 = 0， AF1 = lF1B ，若椭圆 C 的离心率 e ê , ú ，则实数 λ 取值范围为 .
3 2
【答案】[3,5]
uuur uuur
【分析】先写出点F1、A 的坐标，再利用 AF1 = lF1B 求得点 B 的坐标，将点 B 的坐标代入椭圆 C 方程即可
化简出实数 λ 与离心率 e的关系，从而得到实数 λ 取值范围.
uuuur uuuur
【详解】根据题意知 F1 -c,0 ，由 AF2 × F1F2 = 0得 AF2⊥F1F2，
b2
不妨设点A 在第一象限，则点A 的坐标为 c, ÷ .
è a
uuur uuur b2
由 AF1 = lF1B 知l > 0，且 -2c, - a ÷
= l xB + c, yB ，
è
-2c c, b
2
从而得到点 B 的坐标为 - - ÷ .
è l la
2
-2c
2 2
b -
将点 B 的坐标代入椭圆 C 方程得 - cè l ÷
è la
÷
+
，
a2 2
=1
b
2
整理得 l + 2 e2 +1- e2 = l 2 é e2，即 -1 l + 3e2 +1 ù l +1 = 0，
3e2 +1 4
所以l = 2 = 2 - 3 .1- e 1- e
é 3 2 ù 4
又因为 e ê , ú ，所以3 2 - 3 5，即实数 λ 取值范围为[3,5] .
3 2 1- e
故答案为：[3,5] .
2 2
36 x y．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 P 为圆C : x2 + y2 - 6y = 40 上一点，椭圆M : 2 + 2 =1 a > b > 0 焦a b
距为 6，点 P 关于直线 x - y = 0的对称点在椭圆M 上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
3 3
【答案】[ , ]
10 4
【分析】转化为圆C 关于直线 x - y = 0对称的圆与椭圆有交点，再根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值大
于等于半径，最小值小于等于半径列式可得结果.
【详解】圆C : x2 + (y - 3)2 = 49关于直线 x - y = 0对称的圆为： (x - 3)2 + y2 = 49，
2 2
依题意可得圆 (x - 3)2 + y2 = 49与椭圆M : x y2 + 2 =1 a > b > 0 有交点，a b
又椭圆的右焦点 (3,0)是圆的圆心，
c 3 3
所以 a + c 7，且 a - c 7 ，又 c = 3，所以 4 a 10， e = [ , ] .
a 10 4
3 3
故答案为：[ , ] .
10 4
2 2
37．（2024 x y高二上·浙江嘉兴·期末）已知点F 是椭圆C ： + =1 a > b > 0 的右焦点，点F 关于直线 y = kx
a2 b2
1
的对称点Q在C 上，其中 k
é ,2ùê ú ，则C 的离心率的取值范围为 . 2
é 2 ù
【答案】 ê ,
5
2 3 ú
1 2k
【分析】求出点F 关于直线 y = kx 的对称点Q的坐标，代入椭圆C 的方程中，整理可得 2 -1 = ，求出e 1+ k 2
2k
2 的范围则可求得离心率的取值范围.1+ k
y = kx y 1 x c【详解】过点F 且与直线 垂直的直线 l为 = - + ，
k k
c ck c 1- k 2 2ck
两直线的交点M 2 , 2 ÷ ，从而点Q , ÷ .è1+ k 1+ k è 1+ k
2 1+ k 2 ÷
点Q在椭圆C 上，
2 21- k 2 2c2 4k 2 c2 1- k 1 e2 4k
2 e2
则 2 2 + 2 2 2 = ，即 + 2 a 2 a - c 2 2 2 2 1- e2
=1
1+ k 1+ k 1+ k 1+ k
1 2k
则 2 -1 = 2 .e 1+ k
k é1 ,2ù 2k 4
é 2 5 ù
由于 ê ú ，则 2
é
ê ,1
ù 4 1
， -1 1， e ,
2 1+ k
ê
5 ú 5 e2 2 3
ú
é 2 5 ù
故答案为： ê , ú
2 3
2 2
38 x y．（2024 高二上·全国·课后作业）过椭圆 + =1的左焦点且斜率为1的弦 AB 的长是 ．
25 9
90 5 5【答案】 /
17 17
【分析】设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，写出直线 AB 的方程，将该直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结
合韦达定理可求得 AB 的值.
【详解】设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
x2 y2
在椭圆 + =1中， a = 5，b = 3， c = a2 - b225 9 = 25 - 9 = 4
，
所以，椭圆的左焦点坐标为 -4,0 ，则直线 AB 的方程为 y = x + 4 ，
ìy = x + 4
联立 í x2 y2 ，可得34x2 + 200x +175 = 0，
+ =1 25 9
D = 200 200 - 4 34 175 = 200 81 > 0，
x x 100 x x 175由韦达定理可得 1 + 2 = - ， 1 2 = ，17 34
2
AB = 1+12 x + x 2所以， 1 2 - 4x x
100 4 175 2 81 200 90
1 2 = 2 - ÷ - = = .
è 17 34 34 17
90
故答案为： .
17
39．（2024 高二下·福建厦门·阶段练习）直线 l不与 x 轴重合，经过点 N n,0 n 0 ，椭圆
x2 2C : y2 + 2 =1 a > b > 0 上存在两点A 、 B 关于 l对称， AB 中点M 的横坐标为m .若m = 3n，则椭圆C 的离a b
心率为 .
1
【答案】 3/
3 3 3
2
【分析】由点差法得 kOM kAB = e -1
2 1
，结合 klkAB = -1得 kOM = (1- e )kl ，代入斜率公式化简并利用 xN = x3 M
可求得离心率.
ì x2 y21 + 1 2 2 =1
【详解】设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，M xM, y M a b，则 í ，
x
2
2 y
2
2
a2
+ =1
b2
x21 x
2 y22 1 y
2 y - y y + y b2
两式相减得 2 - 2 = - -
2 1 2 1 2
2 2 ÷，即 =a a è b b x1 - x2 x x a2
，
1 + 2
b2
所以 k 2OM kAB = 2 = e -3.1.2 椭圆的简单几何性质 12 题型分类
一、椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程 ＋ ＝1(a>b>0) ＋ ＝1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)， A1(0，－a)，A2(0，a)，
顶点
B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (± a2－b2，0) (0，± a2－b2)
焦距 |F1F2|＝2 a2－b2
对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点
c
离心率 e＝ ∈(0,1)
a
二、直线与椭圆的位置关系
x2 y2
直线 y＝kx＋m 与椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：
a2 b2
{y＝kx＋m，联立 x2 y2 消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程．＋a2 b2＝1.
直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及 Δ 的关系如表所示．
直线与椭圆 解的个数 Δ
两个不同的公共点 两解 Δ>0
一个公共点 一解 Δ＝0
没有公共点 无解 Δ<0
（一）
椭圆的简单几何性质
用标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式．
(2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出 a，b，c.
(4)写出椭圆的几何性质．
题型 1：研究椭圆的简单几何性质
x2 y21-1．（2024 高二上·全国·课后作业）椭圆 + =1的焦距为 4，则 m 的值为 ．
m 6
1-2．（2024 高二上·浙江湖州·期末）椭圆 4x2 + 49y2 =196的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．7,2, 3 5 B 5 5 3 5．14,4, C．7,2, D．14,4,
7 7 7 7
2 2 2 2
1-3．（2024 · x y x y高二下 上海杨浦·期中）椭圆 + =1与椭圆 + =1 m < 9 的（ ）
9 25 9 - m 25 - m
A．长轴相等 B．短轴相等 C．焦距相等 D．长轴、短轴、焦距均不相等
题型 2：由几何性质求标准方程
1
2-1．（2024 高二上·全国·课后作业）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为 12，则椭圆方程为
3
（ ）
x2 y2 x2A y
2
． + = 1 B． + = 1
4 6 6 4
x2 y2 x2 y2 2 2C． + =1或 + =1 D x y． + =1
36 32 32 36 36 32
2-2．（2024 高三·全国·课后作业）过点 3,2 且与椭圆3x2 + 8y2 = 24 有相同焦点的椭圆方程为（ ）
x2 y2 x2 y2 2A 1 B 1 C x y
2 x2 y2
． + = ． + = ． + =1 D． + = 1
5 10 10 15 15 10 10 5
2-3．（2024 高二·全国·课后作业）过点 (3, -2)且与椭圆 4x2 + 9y2 = 36有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
x2 y2A 1 B x
2 y2
． + = ． 2 + 2 =115 10 15 10
x2 y2C x
2 y2
． + =1 D． + =1
10 15 102 152
2 2
2-4．（2024 高二上· x y广东江门·期中）已知椭圆焦点在 x 轴，它与椭圆 + =1有相同离心率且经过点
4 3
2, - 3 ，则椭圆标准方程为 .
题型 3：点和椭圆的位置关系
2 2
3-1．（2024 高二上· x y全国·课后作业）若点 3,2 在椭圆 2 + 2 =1上，则下列说法正确的是（ ）a b
A．点 -3, -2 不在椭圆上 B．点 3, -2 不在椭圆上
C．点 -3,2 在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系
2 2
3-2．【多选】（2024 高二上·全国· (3,2) x y课后作业）已知点 在椭圆 2 + =1上，则下列各点一定在该椭圆上的a b2
是（ ）
A． -3, -2 B． 3, -2 C． -3,2 D． 2,3
2 2
3-3 x y．（2024 高二上·四川广安·阶段练习）点 A a,1 在椭圆 + =1的外部，则 a 的取值范围是（ ）
4 2
A． - 2, 2 B． - , - 2 2,+
C． -2,2 D． -1,1
2 2
3-4．【多选】（2024 x y高二上·全国·课后作业）点 A a,1 在椭圆 + =1的内部，则 a的值可以是（ ）
4 2
A．- 2 B．-1 C．1 D． 2
（二）
求椭圆的离心率
求椭圆离心率及取值范围的两种方法
c
(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 e＝ 求解．若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2＝b2＋c2求出
a
c
c 或 a，再代入公式 e＝ 求解．
a
(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2＝b2＋c2，
转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关
于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或取值范围．
题型 4：求椭圆的离心率
2 2
4-1．（2024 高二下· · x y浙江温州 期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左顶点为A ，上顶点为 B ，O为坐a b
标原点，椭圆上的两点M xM, y M ，N xN , y N 分别在第一，第二象限内，若VOAN 与VOBM 的面积相等，
x2 + x2 = 3b2且 M N ，则椭圆C 的离心率为 .
2 2
4-2．（2024·河南新乡· x y模拟预测）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左顶点为A ，点M , N 是椭圆C 上关于 ya b
2
轴对称的两点.若直线 AM , AN 的斜率之积为 ，则C 的离心率为（ ）
3
1
A 3． B 2． C D 3． ．
2 2 2 3
2 2
4-3．（2024· x y海南海口·模拟预测）已知F1，F2分别是椭圆C ： 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左，右焦点，P 是Ca b
上的一点，若3 PF1 = 2 F1F2 ，且 PF1F2 = 60°，则C 的离心率为（ ）
A 3- 5． B． 2 - 3 C． 7 - 2 D．3- 2 2
2
4-4 2024 · · C : x
2 y2
．（ 高二下 广东深圳 期末）已知椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0) 的右焦点为F ，过原点的直线 l与C 交a b
于 A, B两点，若 AF ^ BF ，且 AF = 3 BF ，则C 的离心率为（ ）
A 10 B 10
2 1
． ． C． D．
4 5 5 3
2 2
4-5．（2024·辽宁辽阳·二模）已知椭圆C : x y2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点为F ，过坐标原点O的直线 l与椭圆Ca b
uuur uuur
交于P,Q
2 3
两点，点 P 位于第一象限，直线PF 与椭圆C 另交于点A ，且PF = FA，若 cos AFQ = ，
3 5
FQ = 2 FA ，则椭圆C 的离心率为（ ）
A 3 B 10 3． ． C． D 5．
4 5 3 4
题型 5：求椭圆的离心率的取值范围
2 2
5-1．（2024·陕西西安· x y一模）已知椭圆 2 + 2 =1(a > 0,b > 0)上一点A ，它关于原点的对称点为 B ，点F 为a b
π π
椭圆右焦点，且满足 AF ^ BF ，设 ABF = a ，且a , ÷，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
è 6 3
5-2．（2024 高二下·湖南益阳·期末）若椭圆上存在点 P ，使得 P 到椭圆两个焦点的距离之比为 2 :1，则称该
椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率 e的取值范围是（ ）
é 3 ù,1 0, 3 é1 ,1 0, 1ùA． ê ÷ B． C D
3 è 3
ú ． ê ÷ ．3 è 3
ú
é π 2 2
5-3．（2024·甘肃定西·模拟预测）过原点作一条倾斜角为q q ê ,
5π ù x y
ú ÷的直线与椭圆è 6 6 a2
+
b2
=1 a > b > 0
交于 A，B 两点，F 为椭圆的左焦点，若 AF ^ BF ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围为 ．
2 2
5-4．（2024 · x y高二下 上海青浦·期末）点A 为椭圆C : 2 + 2 =1(a > b >1)的右顶点，P 为椭圆C 上一点（不与a b
uuur uuur
A 重合），若PO × PA = 0（O是坐标原点），则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）
1 2 3 2 A． ,1÷ B． ,1 C． ,1 D． 0,è 2 è 2 ÷
÷ 2 ÷÷ ÷÷ è è 2
题型 6：由椭圆的离心率求参数
2 2 1
6-1．（2024 高二上·重庆沙坪坝· x y期末）已知椭圆 + =1的离心率 e = ，则 k 的值可能是（ ）
k + 5 9 3
41 7
A．3 B．7 C．3 或 D．7 或
8 4
2 2
6-2．（2024· x x全国）设椭圆C1 : + y
2
2 = 1(a > 1),C2 : + y
2 = 1的离心率分别为 e
a 4 1
,e2 ．若 e = 3e ，则 a =2 1
（ ）
A 2 3． B． 2 C． 3 D． 6
3
2 2 2 2
6-3．（2024 x y x y高三下·上海松江·阶段练习）设 a > b > 0，椭圆 e
a2
+
b2
=1的离心率为 1 ，双曲线 b2
-
a2 - 2b2
=1
a
的离心率为 e2，若 e1e2 <1，则 的取值范围是 .b
2 2 1
6-4．（2024 高二上·全国·专题练习）椭圆C : x y2 + 2 =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是F1, F2 ，斜率为 的直a b 2
é1 3 ù
线 l过左焦点F1且交C 于 A，B 两点，且△ABF2 的内切圆的周长是 2π，若椭圆的离心率为 e ê ,2 4 ú ，则线
段 AB 的长度的取值范围是
（三）
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
直线 y = kx + m 与椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0)的位置关系：a b
ìy = kx + m,
联立 í x2 y2 消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程．
a2
+
b2
=1,
位置关系 解的个数 D的取值
相交 两解 D >0
相切 一解 D =0
相离 无解 D <0
注：直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是
否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
题型 7：判断直线与椭圆的位置关系
2 2
7-1．（2024 高二上· x y江西吉安·期末）已知过圆锥曲线 + = 1上一点P x , y x x y的切线方程为 0 + 0 y
m n o o
=1.
m n
x2 y2
过椭圆 + =1上的点 A 3, -1 作椭圆的切线 l，则过A 点且与直线 l垂直的直线方程为（ ）
12 4
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 2 = 0
C． 2x + 3y - 3 = 0 D．3x - y -10 = 0
2 2
7-2．（2024·四川南充·一模）已知直线 kx - y + 2 = 0 x y与椭圆 + =1恒有公共点，则实数 m 的取值范围
9 m
（ ）
A． 4,9 B． 4, +
C． 4,9 9,+ D． 9, +
2 2
7-3．（2024 x y高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆C : + = 1，直线
25 9
l : m + 2 x - m + 4 y + 2 - m = 0(m R)，则直线 l 与椭圆 C 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
7-4．（2024 高三·全国·对口高考）若直线 y = x -1与椭圆 x2 + 3y2 = a 有且只有一公共点，那么 a的值为（ ）
1 2 3
A． B． C． D．1
2 3 4
（四）
求相交弦长问题
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离
公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为 k，被椭圆截得弦 AB 两端点坐标分别为(x1，y1)，
(x2，y2)，则弦长公式为： AB = 1+k 2 x1 + x
2 1
2 - 4x
2
1x2 = 1+ 2 y1 + y2 - 4y1 y2 ．k
题型 8：求直线与椭圆的相交弦长
2
8-1 2024 · · A 0, -2 E : x y
2 2
．（ 高二上 青海西宁 期末）已知点 ，椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 的离心率为 ，F 是椭a b 2
圆E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2，O为坐标原点．
(1)求椭圆 E 的方程：
(2)设过椭圆E 的左焦点且斜率为 k =1的直线 l与椭圆E 交于不同的两M 、 N ，求 MN 的长．
2 2 8
8-2．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆E : x y+ =1，设直线 y = kx - 2 被椭圆 C 截得的弦长为 ，
4 2 3
求 k 的值．
2 π
8-3．（2024
x
高三·全国·对口高考）已知椭圆 + y2 = 1，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A 、B 两点，
9 6
则弦 AB 的长为 ．
2 2
8-4．（2024
x y
高三·全国·专题练习）已知椭圆 + =1 a > b > 0 ，过左焦点F1的斜率为 1 的直线与椭圆分别
3 2
交于 A，B 两点，求 AB ．
（五）
椭圆的中点弦问题
1、椭圆的中点弦结论：
x2 y2
若直线 l (不平行于 y 轴)过椭圆 2 + 2 =1( a > b > 0 )上两点 A 、B ，其中 AB中点为 P(x0，y0 ) ，则a b
2
有 kAB × k
b
OP = - 2 .a
2、椭圆的中点弦问题
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二
次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方
程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
题型 9：求解椭圆的中点弦问题
x2 y29-1．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆 C： + =1 ，过点P 1, -1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两
4 3
点，若点 P 恰为弦 AB 的中点，则直线 l 的斜率是（ ）
4 3 3 4
A．- B．- C． D．
3 4 4 3
9-2．（2024 高二·全国·课后作业）中心在原点，一个焦点为F1 0,5 2 的椭圆被直线 y = 3x - 2截得弦的中点
1
的横坐标为 ，则椭圆的方程为 ．
2
2 2
9-3．（2024 高二下·新疆塔城· x y开学考试）已知过点M (1,1)的直线，与椭圆 + =1相交于 A，B 两点，且
4 2
线段 AB 以点 M 为中点，则直线 AB 的方程是 .
（六）
与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的
范围．
题型 10：与椭圆有关的最值问题
2 2
10-1 2024 x y．（ 高三·全国·对口高考）若点 O 和点 F 分别是椭圆 + =1的中心和左焦点，点 P 为该椭圆上
4 3
uuur uuur
的任意一点，则OP × FP 的最大值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
2 2
10-2．（2024· x y陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点 P 在椭圆C : + =1上运动，则点 P 到直线
16 9
x - y - 5 = 0的距离的最大值为 ．
10-3．（2024
2
高三上·四川内江·期末）已知点A 是圆E : x -1 + y2 =16上的任意一点，点F -1,0 ，线段 AF
的垂直平分线交 AE 于点 P .
(1)求动点 P 的轨迹G的方程；
(2)若过点F 的直线交轨迹G于M 、N 两点，B 是FM 的中点，点O是坐标原点，记VMEB与△ONF 的面积
之和为S ，求S 的最大值.
2
10-4．（2024 高二下· x河南周口·阶段练习）已知椭圆C : + y2 =1的右顶点为 A，上顶点为 B，则椭圆上的一
4
动点 M 到直线 AB 距离的最大值为 ．
2 2
10-5．（2024 · x y高二上 江苏苏州·期末）椭圆 + =1上的点 P 到直线 x+ 2y- 9= 0 的最短距离为（ ）
4 3
A B 7 5 C 9 5． 5 ． ． D 13 5．
5 5 5
（七）
1.求解直线或曲线过定点问题的策略
2.求定值问题的策略
题型 11：椭圆的定点、定值问题
2 2
11-1．（2024· x y广西·模拟预测）已知M , N 分别为椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左，右顶点，F 为其右焦点，a b
FM = 3 FN ，且点P 1,
3
2 ÷在椭圆E 上．è
(1)求椭圆E 的标准方程；
CD 2
(2)若过F 的直线 l与椭圆E 交于 A, B两点，且 l与以MN 为直径的圆交于C, D
12
两点，证明： + 为定
AB 4
值．
2 2
11-2．（2024 · x y 3高二下 河南平顶山·期末）已知椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 经过点 A 0,1 ，且离心率为 .a b 2
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若经过点 -2, -1 ，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与
AQ 的斜率之和为定值.
2 2
11-3．（2024 x y高三下·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点为F 1,0 ，A、B 分别a b
是椭圆C 的左、右顶点， P 为椭圆C 的上顶点，VPAB 的面积为 2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线 l : y = kx + m 与椭圆C 交于不同的两点M ， N ，点Q 2,0 ，若直线MQ 的斜率与直线 NQ 的斜率互
为相反数，求证：直线 l过定点.
11-4．（2024 高三上·江西萍乡·期末）已知椭圆 E 的中心在原点，周长为 8 的VABC 的顶点， A - 3,0 为椭
圆 E 的左焦点，顶点 B，C 在 E 上，且边 BC 过 E 的右焦点.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)椭圆 E 的上、下顶点分别为 M，N，点P m,2 m R,m 0 ,若直线PM ，PN 与椭圆 E 的另一个交点
分别为点 S，T，证明：直线 ST 过定点，并求该定点坐标.
（八）
椭圆的实际应用
解决椭圆的实际问题的基本步骤
(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系．
(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系．
(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．
题型 12：椭圆的实际应用
12-1．（2024 高二上·北京西城·期末）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在 l处时，在如图所示的截面里，桥洞
与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面 2m，水面宽 6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（ ）
A．3 3m B 3 3． m C 4 2． 4 2m D． m
2 3
12-2．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、
跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通
桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面
为线段 AB ，且 AB 过椭圆的下焦点， AB = 44 米，桥塔最高点 P 距桥面110米，则此椭圆的离心率为（ ）
1 2 2 4
A． B． C． D．
3 5 3 5
12-3．（2024 高二下·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律 轨道定律，其内容如下：每一行星沿各
自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星 H 看作一个质点， H 绕太阳的运动轨迹
x2 y2
近似成曲线 + =1(m > n > 0) ，行星 H 在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最
m n
远的距离称为远日点距离.若行星 H 的近日点距离和远日点距离之和是 18（距离单位：亿千米），近日点距
离和远日点距离之积是 16，则m + n = （ ）
A．39 B．52 C．86 D．97
12-4．（2024 高二上·河南郑州·期末）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆
反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看
成一个点）在椭圆的右焦点F2处，灯丝与反射镜的顶点A 的距离 F2 A = 2cm，过焦点F2且垂直于轴的弦
BC = 6.4cm，在 x 轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（ ）
A．10cm B．8cm C．6cm D．13cm
一、单选题
2 2
1．（2024 高三·全国· x y对口高考）通过椭圆 + =1的焦点且垂直于 x 轴的直线 l 被椭圆截得的弦长等于
4 3
（ ）
A． 2 3 B．3 C． 3 D．6
2
2．（2024 高二上·全国·课前预习）直线 y = x +1与椭圆 x2 y+ =1的位置关系是（ ）
2
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2 2
3．（2024 高二上·全国· x y课后作业）方程 + = 1表示的曲线是（ ）
25 16
3
A．焦点为点 -3，0 与 3，0 ，离心率为 的椭圆
5
B．焦点为点 0 - 3 0 3 3， 与 ， ，离心率为 的椭圆
5
C．焦点为点 -3，0 与 3 4，0 ，离心率为 的椭圆
5
D．焦点为点 0，- 3 与 0，3 4，离心率为 的椭圆
5
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知以F1 -2,0 , F2 2,0 为焦点的椭圆与直线 x + y + 4 = 0有且仅有一个公共
点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．3 2 B． 2 6 C． 2 10 D．4 2
2 2 b + c
5．（2024· x y广西·一模）已知 c 是椭圆 2 + 2 =1(a > b > 0）的半焦距，则 取最大值时椭圆的离心率是a b a
（ ）
1 2
A B C 2． ． ． D 3．
2 3 2 3
6．（2024 高二上·江西萍乡·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有 1000 多年的历史.为宣传和推广这一
传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为 2 3
的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为 2，当光线与地面夹角为30o 时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率 e = （ ）
2 1
A． B． C 3 D 6． ．
3 2 2 3
7 x
2 y2
．（2024 高二上·黑龙江绥化·期中）直线 l： ax + y - a +1 = 0与椭圆 + =1的位置关系是（ ）
3 2
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
2 2
8．（2024 高二下·宁夏银川· x y阶段练习）若直线 y = x + m 与椭圆 + =1相切，则实数 m 的值等于（ ）
4 2
A．±6 B．± 6 C．± 3 D．±4
x2 y29．（2024 高二下·山东济南·期末）若直线 y = mx + 2 与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1总有公共点，则 n 的
9 n
取值范围是（ ）
A． 0,4 B． 4,9 C． 4,9 D． 4,9 9,+
x2 y210．（2024·安徽蚌埠·三模）若椭圆C : + = 1 6的离心率为 ，则椭圆C 的长轴长为（ ）
m 2 3
A．6 B 2 6． 或 2 6 C． 2 6 D． 2 2 或 2 6
3
2
11 x．（2024 高二·全国·课后作业）直线 x + 2y = m与椭圆 + y2 =1只有一个交点，则m 的值为（ ）
4
A． 2 2 B．± 2 C．±2 2 D．±2
2 2
12．（2024 高二下· · x y广东茂名 期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)
6
的离心率为 ，下顶点为 B ，点M 为
a b 3
C 上的任意一点，则 MB 的最大值是（ ）
A 3 2． b B． 2b C． 3b D． 2b
2
2 2
13．（2024 x y高二上·全国·课后作业）已知直线 y=kx-1 与焦点在 x 轴上的椭圆 C: + 2 =1 b > 0 总有公共点，4 b
则椭圆 C 的离心率取值范围是（ ）
2 2 ù 3 3 ù
A． 0, 2 ÷÷
B． 0, ú C2 ．
0,
2 ÷÷
D． 0, 2 úè è è è
2 2 1
14．（2024 x y高二上·全国·课后作业）已知 P 点是椭圆 + =1上的动点，A 点坐标为 ,0÷，则 | PA |的最4 2 è 2
小值为（ ）
7 7 3 5A． B． C． D．
4 2 2 2
2 2
15．（2024 高二下·云南昆明·期末）已知椭圆C :
x y
2 + 2 = 1(a > b > 0), F1, F2 分别是C 的左，右焦点，P 为C 上一a b
π
点，若线段PF1的中点在 y 轴上， PF1F2 = ，则C 的离心率为（ ）6
2
A 3． B C 6． ． D．
3 2 - 33 3
2 2
16．（2024 x y高二·全国·课后作业）若椭圆 + =1的弦 AB 被点P 1,1 平分，则 AB 所在直线的方程为
9 4
（ ）
A． 4x + 9y -13 = 0 B．9x + 4y -13 = 0
C． x + 2y - 3 = 0 D． x + 3y - 4 = 0
2 2
17 x y．（2024 高二下·广西河池·期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) ，其上顶点为A ，左 右焦点分别为a b
F1, F2 ，且三角形 AF1F2 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
1
A B 2 3
2
． ． C． D．
2 2 2 3
2 2
18．（2024 · · x y高二 全国 课后作业）椭圆C : 2 + 2 =1（ a > b > 0）的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为 1 的a b
直线 l 过左焦点F1，交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的内切圆的面积是p ，若椭圆 C 的离心率的取值范围为
é 2 2 ù
ê , ú ，则线段 AB 的长度的取值范围是（4 2 ）
é 2 2 ù
A． ê , ú B． 1,2 C． 4,8 D． é 4 2,8 2ù
4 2
2 2
19．（2024·重庆万州·模拟预测）已知点M x1, y1 ， N x2 , y2 x1 x2 为椭圆C : x y2 + 2 =1(a > b > 0) 上的两a b
a
点，点P ,0÷满足 PM = PN ，则C 的离心率 e的取值范围为（4 ）è
1 2 ,1 1 1 A． ÷ B
4 ．
,1÷
è 2 ÷
C． ,1÷ D． 0, ÷
è è 2 è 2
2
20．（2024 高三·全国· x专题练习）已知椭圆 + y2 =1与直线 y = x + m 交于 A，B 两点，且| | = 4 2，则实
2 3
数 m 的值为（ ）
1
A．±1 B．±
2
C． 2 D．± 2
x2 y221．（2024 高二下·贵州遵义·期中）已知F 是椭圆 2 + 2 =1
1
a > b > 0 的右焦点，直线 y = b与椭圆交于
a b 3
BFC πB ，C 两点，若 = ，则该椭圆的离心率是（ ）
2
A 5． B 6 C 14． ． D 7．
3 3 4 4
2
22．（2024 高二下·上海浦东新·期中）直线3x - 2y + 6 = 0 y
x x
与曲线 - =1的公共点的个数是（ ）．
9 4
A．1 B．2 C．3 D．4
23．（2024·陕西西安·二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出
x2 y2
垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆 C： + =1(a > 0)的
a +1 a
1
离心率为 ，则椭圆 C 的蒙日圆的方程为（
3 ）
A． x2 + y2 =19 B． x2 + y2 =17 C． x2 + y2 =15 D． x2 + y2 =14
2 2
24 x y．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 四个顶点构成的四边形的面积为16 2 ，a b
直线 l : x - 2y + 6 = 0 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 -2,2 ，则椭圆 C 的方程是（ ）
2
A x y
2 x2 y2
． + =1 B． + =1
16 8 32 4
C x
2 y2 1 D x
2 y2
． + = ． + =1
32 16 64 2
2 2
25．（2024 x y高二上·浙江·期中）已知F1、F2是椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，以线段F1F2 为边作正三a b
角形MF1F2 ，若边MF1 的中点在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． 4 - 2 3 B． 3 -1 C 3 -1． D． 3 +1
2
2 2
26．（2024 x y高二上·全国·课后作业）椭圆 + 2 =1的焦点在 x 轴上，则它的离心率的取值范围是（ ）5a 4a +1
1 1
A 0 5．（ ， ） B．（ ， ]
5 5 5
0, 5
ù é 5
C． 5 ú
D． ê ,15 ÷÷è
2 2
27 2024 x y．（ 高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆 E： F A
a2
+ 2 =1 a > b > 0)的右焦点为 2，左顶点为 ，若 E 上b 1
的点 P 满足PF2 ^ x轴， tan PA
1
1F2 = ，则 E 的离心率为（ ）2
1 2 1 1
A． B． C． D
2 5 4
．
5
二、多选题 28．（2024 高三下·江苏南京·开学考试）加斯帕尔 蒙日（图 1）是 18～19 世纪法国著名的几何
学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中
2 2
心,这个圆被称为“蒙日圆”（图 2 x y）．已知长方形 R 的四边均与椭圆C : + = 1相切,则下列说法正确的是
6 3
（ ）
A．椭圆 C 的离心率为 e 2= B．椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 = 6
2
C．椭圆 C 的蒙日圆方程为 x2 + y2 = 9 D．长方形 R 的面积最大值为 18
29．（2024 高三·全国·专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国
瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似
看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的
长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为 P ，盘子的中心为O，筷子与大椭圆的两交点为 A, B，点A
关于O的对称点为C .给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．两椭圆的焦距长相等 B．两椭圆的离心率相等
C． PA = PB D．BC 与小椭圆相切
三、填空题
2 2
30．（2024· x y b陕西咸阳·模拟预测）已知M 是椭圆E ： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点，过M 作直线 y = x 的垂a b c
1
线，垂足为 N ， MN = a ，则该椭圆的离心率为 .
2
2 2
31．（2024 高三上· · C y C x y江苏泰州 期末）若椭圆 2 的焦点在 轴上，且与椭圆 1： + =1的离心率相同，则4 2
椭圆C2 的一个标准方程为 .
2
32．（2024 高三· · x全国 专题练习）直线 l 与椭圆 + y2 =1交于 A，B 两点，已知直线 l的斜率为 1，则弦 AB
4
中点的轨迹方程是 ．
2 2
33．（2024 高三·全国·对口高考）直线 x + y -1 = 0 x y截椭圆 + =1所得弦的中点 M 与椭圆中心连线OM 的
4 3
斜率为 ．
2 2
34．（2024 高二下·
x y 6
河北石家庄·阶段练习）若椭圆C : + = 1的离心率为 ，则椭圆C 的长轴长
m 2 3
为 .
2 2
35．（2024· · x y辽宁 一模）已知椭圆 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦点分别为F1、F2，点A 、 B 在椭圆 Ca b
uuuur uuuur uuur uuur é 3 2 ù
上，满足 AF2 × F1F2 = 0， AF1 = lF1B ，若椭圆 C 的离心率 e ê , ú ，则实数 λ 取值范围为 .
3 2
2 2
36．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 P 为圆C : x2 + y2 - 6y = 40 M : x y上一点，椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 焦a b
距为 6，点 P 关于直线 x - y = 0的对称点在椭圆M 上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
2 2
37．（2024 高二上·浙江嘉兴· x y期末）已知点F 是椭圆C ： + y = kx
a2 b2
=1 a > b > 0 的右焦点，点F 关于直线
的对称点Q
é1 ù
在C 上，其中 k ê ,2ú ，则C 的离心率的取值范围为 . 2
2 2
38．（2024 高二上·全国· x y课后作业）过椭圆 + =1的左焦点且斜率为1的弦 AB 的长是 ．
25 9
39．（2024 高二下·福建厦门·阶段练习）直线 l不与 x 轴重合，经过点 N n,0 n 0 ，椭圆
2
C : x y
2
2 + 2 =1 a > b > 0 上存在两点A 、 B 关于 l对称， AB 中点M 的横坐标为m .若m = 3n，则椭圆C 的离a b
心率为 .
四、解答题
2 2
40．（2024 高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系 xOy E x y中，椭圆 ： 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左顶点到右a b
1
焦点的距离是 3，离心率为 ．
2
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)斜率为 2 的直线 l经过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于A ， B 两点．已知点P -3,0 ，求 的
值．
2 2
41．（2024 高二上· x y陕西西安·期末）已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的右焦点F 3,0 ，长半轴长与短半轴a b
长的比值为 2．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设 B 为椭圆C 的上顶点，直线 l : y = x + m m 1 与椭圆C 相交于不同的两点M ， N ，若BM ^ BN ，求
直线 l的方程．
2 2
42．（2024 高二下·北京· x y期中）已知椭圆C : 2 + 2 = 1(a > b > 0)
2
的离心率为 ，其左焦点为F1(-1,0) .直线a b 2
l : y 1= (x+2)交椭圆C 于不同的两点 A, B .
2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求VF1AB 的面积.
2 2 π
43．（2024 高二上·全国· x y课后作业）已知经过椭圆 + =1的右焦点F2的直线 AB 的倾斜角为 ，交椭圆于4 3 4
A、B 两点，F1是椭圆的左焦点，求VABF1 的周长和面积．
2 2
44．（2024 · x y高二下 河南洛阳·阶段练习）已知F1、F2是椭圆C: 2 + 2 =1 a > b > 0 的左、右焦点，点a b
3 P - 2, ÷÷在椭圆C 上，且PF3 1
^ F1F2 .
è
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知A ， B 两点的坐标分别是 0,2 ， -1,0 ，若过点A 的直线 l与椭圆C 交于M ， N 两点，且以MN 为
直径的圆过点 B ，求出直线 l的所有方程.
45．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线C : (5 - m)x2 + (m - 2)y2 = 8(m R)．
(1)若曲线 C 是椭圆，求 m 的取值范围．
(2)设m = 4 ，曲线 C 与 y 轴的交点为 A，B（点 A 位于点 B 的上方），直线 l : y = kx + 4与曲线 C 交于不同的
两点 M，N．设直线 AN 与直线 BM 相交于点 G．试问点 G 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不
是，说明理由．
46．（2024 高二下·宁夏银川·阶段练习）已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 -2 2,0 ，F2 2 2,0 ，长轴长为 6，
设直线 y = x + 2 交椭圆 C 于 A，B 两点.
(1)求线段 AB 的中点坐标；
(2)求△OAB 的面积.
47．（2024 高二下·河南洛阳·期末）已知圆 S : x2 + y2 + 4x - 20 = 0，点 P 是圆S 上的动点，T 是抛物线 y2 = 8x
的焦点，Q为PT 的中点，过Q作QG ^ PT 交PS 于G ，记点G 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过 S -2,0 的直线 l交曲线C 于点M 、 N ，若△MON 2 6的面积为 （O为坐标原点），求直线 l的方程．
3
2 2
48 2024· · C : x y+ = 1(a > b > 0) 2．（ 宁夏石嘴山 模拟预测）已知椭圆 2 2 的离心率为 ，且椭圆上任意一点到a b 2
1
椭圆两个焦点的距离之和为 2 2 .直线 l : y = (x+2)交椭圆C 于不同的两点 A, B，2
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆左焦点为F1，求VF1AB 的面积.
2 2
49 x y．（2024 高二下·陕西商洛·期末）已知 A(-2,0)是椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0) 的左顶点，过点D(1,0)的直a b
线 l与椭圆C 交于P，Q两点（异于点A ），当直线 l的斜率不存在时， PQ = 3．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求△APQ 面积的取值范围．
2 2 2
50．（2024·江苏南通· x模拟预测）已知椭圆C 2 x y1： + y =1的左、右顶点是双曲线C2： -2 a2 b2
=（1 a > 0，b > 0）的
uuur uuur
顶点，C1的焦点到C
3
2 的渐近线的距离为 .直线 l：y = kx + t 与C2 相交于 A，B 两点，OA ×OB = -3 .
3
(1)求证：8k 2 + t 2 =1
(2)若直线 l 与C1相交于 P，Q 两点，求 PQ 的取值范围.
51．（2024 高二上·山东滨州·期末）已知椭圆 C 的两个焦点分别是F1 -1,0 ，F2 1,0 ，并且经过点
2 P 1, 2 ÷÷．è
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l : y = x + m与椭圆 C 相交于 A，B 两点，当线段 AB 的长度最大时，求直线 l 的方程．
2 2
52．（2024· x y河南洛阳·模拟预测）已知椭圆C ： 2 + 2 = 1(a > b > 0)
3
的离心率为 ，右焦点为F 3,0 ，
a b 2
A ， B 分别为椭圆C 的左、右顶点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点D 1,0 作斜率不为0 的直线 l，直线 l与椭圆C 交于 P ，Q两点，记直线 AP 的斜率为 k1，直线BQ的
k1
斜率为 k2 ，求证： k 为定值；2
(3)在（2）的条件下，直线 AP 与直线BQ交于点M ，求证：点M 在定直线上.
