3.3.1 抛物线及其标准方程 5 题型分类
一、抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点 F.
3．准线：定直线 l.
二、抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) (p，02 ) px＝－2
y2
p
＝－2px(p>0) ( p－ ，0) x＝2 2
p
x2＝2py(p>0) ( p0，2) y＝－2
x2
p
＝－2py(p>0) ( p0，－2) y＝2
（一）
抛物线定义的理解
抛物线的定义
1．抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．集合
表示：P = M MF = d , d为点M到准线l的距离 .其中定点 F 为焦点，定直线 l 为准线.
2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互
转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
题型 1：抛物线定义的理解
1-1．（2024·上海浦东新·模拟预测）若抛物线 x2 = 28y上一点 (x0 , y0 )到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，
则 y0 = .
7
【答案】 /3.5
2
【分析】由题意列出方程，求出 y
7
0 = .2
p =14 y p 7【详解】由题知： ，故由焦半径公式得： 0 = 3y0 y0 = .2 2
7
故答案为： .
2
1-2．（2024 高二下·四川泸州·期末）已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点Q 6,3 ，则△PQF
周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】由抛物线的定义结合三点共线取得最小值.
【详解】 y2 = 2 4x ，故F 2,0 ,
记抛物线C 的准线为 l，则 l： x = -2，
记点 P 到 l的距离为 d ，点Q 6,3 到 l的距离为d ，
则 PQ PF QF = PQ d 6 - 2 2 3- 0 2 d 5 = 8 5 =13 .
故选：A.
1-3．（2024·海南·模拟预测）已知直线 l1 : 4x - 3y 6 = 0和直线 l2 : x = -2，抛物线 y2 = 4x上一动点 P 到直线
l1和 l2距离之和的最小值是（ ）
A 3 5
16
． 1 B．2 C． D．3
5 5
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义可得动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值为焦点F 到直线
l1 : 4x - 3y 6 = 0的距离加 1，由点到直线的距离公式计算可得选项.
【详解】由题可知 x = -1是抛物线 y2 = 4x的准线，设抛物线的焦点为F ，则F 1,0 ，
所以动点 P 到 l2的距离等于 P 到 x = -1的距离加 1，即动点 P 到 l2的距离等于 PF 1.
所以动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值为焦点F 到直线 l1 : 4x - 3y 6 = 0的距离加 1，
4 - 0 6
即其最小值是 1 = 3 .
5
故选：D
1-4．（2024 高二上·陕西西安·期末）若抛物线 y2 = 4x上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3 ，则点 P 到抛物线的焦
点F 的距离为 ．
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义计算焦半径即可.
2
【详解】由题意可得， p = 2 ，P 纵坐标为 y = 2 3 P x yP ，由其解析式可得 横坐标为 PP = = 3，4
p
由抛物线定义知 PF = xP = 4 .2
故答案为：4
1-5．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，点M 在C 上，若M 到直线 x = -3
的距离为 7，则 MF = .
【答案】5
【分析】根据题意转化为点M 到准线 x = -1的距离为5，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为 x = -1，
因为点M 在C 上，且M 到直线 x = -3的距离为7 ，
可得M 到直线 x = -1的距离为7 - 2=5，即点M 到准线的距离为5，
根据抛物线的定义，可得点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离，
所以 MF = 5 .
故答案为：5 .
1-6．（2024 高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 到其准线的距离为 4, M 是抛物
线C 上一点，若 A 2,3 ，则 MF MA 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点坐标求得 p ，设M , A在准线 l上的射影为M1, A1，利用抛物线的定义进行转化后易
得最小值．
【详解】由焦点F 到其准线的距离为 4, 得 p = 4 ；
设M , A在准线 l : x = -2上的射影为M1, A1如图,
则 MA MF = MA MM1 AA1 = 2+2=4，
当且仅当 A1, M , A共线时取得等号．所以所求最小值是 4．
故选：D．
1-7．（2024·西藏日喀则·一模）已知点 P 为抛物线 y2 = 2 p（x p > 0）上一动点，点 Q 为圆C : (x 2)2 (y - 4)2 =1
上一动点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 到 y 轴的距离为 d，若 PQ d 的最小值为 3，则 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由抛物线的定义，数形结合可知当C,Q, P, F 共线，且P,Q 在线段CF 上时， PQ PF 最短，此时
PQ d 有最小值，列方程即可求解.
【详解】圆C : (x 2)2 (y - 4)2 =1的圆心C(-2,4)，半径 r =1，
p
抛物线 y2 = 2 p（x p 0 > ）的焦点为 ,0
÷，准线为 x
p
= - ，
è 2 2
p
则由抛的线的定义可知点 P 到 y 轴的距离为 d = PF - ，
2
所以 PQ
p
d = PQ PF - ，
2
由图可知，当C,Q, P, F 共线，且P,Q 在线段CF 上时， PQ PF 最短，
p 2
而 CF = 22 ÷
16 ，
è
因为 PQ PF
p p
- = CF - r - = 3，
2 2
p 2 p
所以 22 ÷
16 -1- = 3，解得 p = 2 ，
è 2
故选：B
1-8．（2024 高三下· 2河南开封·期末）已知抛物线E : x2 = 4y ，圆C : x2 y - 3 =1，P 为E 上一点，Q为C
上一点，则 PQ 的最小值为（ ）
A．5 B． 2 2 -1 C．2 2 D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得 P 到圆心C 的最小距离，从而求得 P 到Q的最小距离.
【详解】由题意知C(0,3)， r =1，设P x0 , y0 ，则x 20 = 4y 0，
所以 PC = x2 2 20 y0 - 3 = y0 - 2y0 9 = y0 -1
2 8 ，
故当 y0 =1时， PC = 2 2min ，
所以 PQ = PC - r = 2 2 -1min min .
故选：B.
（二）
求抛物线的标准方程
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨
论情况的个数．
题型 2：求抛物线的标准方程
2-1．（2024 高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点 -1,2 ，则它的方程是
（ ）
A． y = 2x2 或 y2 = -4x B． y2 = -4x 或 x2 = 2 y
C． x2
1
= - y D． y2 = -4x
2
【答案】A
【分析】分焦点在 x 轴和 y 轴上讨论，并利用待定系数法即可得到答案.
【详解】当抛物线的焦点在 x 轴上时，
设抛物线的方程为 y2 = -2 px( p > 0) ．
因为抛物线过点 -1,2 ，
22所以 = -2 p -1 ，所以 p = 2 ．
所以抛物线的方程为 y2 = -4x ；
当抛物线的焦点在 y 轴上时，
因为抛物线过点 -1,2 ，
设抛物线的方程为 x2 = 2 py( p > 0) ，
因为抛物线过点 -1,2 ，
1
所以 (-1)2 = 2 p 2，所以 p = ，
4
x2 1所以抛物线的方程为 = y，即 y = 2x2 ，
2
综上抛物线的方程为 y = 2x2 或 y2 = -4x .
故选：A.
2-2．（2024 高二下·陕西榆林·阶段练习）以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P 1,m 到焦点的
距离为 3，则抛物线的方程是（ ）
A． y = 8x2 B． y =12x2 C． y2 = 8x D． y2 =12x
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义求解．
【详解】根据题意，可设抛物线的方程为 y2 = 2 px( p > 0)，
p
由抛物线的定义知1 = 32 ，即
p = 4 ，
所以抛物线方程为 y2 = 8x．
故选：C．
2-3．（2024·河南新乡·三模）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F，C 上一点M x0 , x0 x0 0 满足
| MF |= 5，则抛物线 C 的方程为（ ）
A． y2 = 2x B． y2 = x C． y2 = 8x D． y2 = 4x
【答案】D
【分析】根据点M x0 , x0 x0 0 为抛物线上一点，代入抛物线方程，再由 | MF |= 5，利用抛物线的定义求
解.
2
【详解】解：依题意得 x0 = 2 px0 ，
因为 x0 0，所以 x0 = 2 p .
又 | MF |
p
= x0 = 5，解得 p = 2 ，2
所以抛物线C 的方程为 y2 = 4x .
故选：D
2-4．（2024 高二下·云南保山·期末）过点 1, -4 ，且焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程是 .
【答案】 x2
1
= - y
4
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设方程为 x2 = ny(n 0)，则有12 = n(-4) ，
n 1= - x2 1解得 ，即有 = - y .
4 4
2 1
故答案为： x = - y .
4
2-5．（2024 高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点 O，且经过点P x0 , 2 ，
若点 P 到该抛物线焦点的距离为 4，则该抛物线的方程为 ．
【答案】 x2 = 8y
【分析】利用待定系数法直接求解.
【详解】因为抛物线的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点 O，且经过点P x0 , 2 ，
所以可设抛物线： x2 = 2 py .
p
由抛物线的定义可得： 2 = 4，解得： p = 4 .
2
所以抛物线的方程为： x2 = 8y .
故答案为： x2 = 8y .
题型 3：根据抛物线方程求焦点和准线
3-1．（2024·青海西宁·二模）已知函数 y = loga 3x - 2 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 A，若抛物线 y2 = 2 px
也过点 A，则抛物线的准线方程为 .
【答案】x=-1
【分析】先求出 A 点的坐标，再求出 p 即可.
【详解】因为函数 y =loga x 经过定点 1,0 ，所以函数 y = loga 3x - 2 2 经过
定点 A 1,2 ，将它代入抛物线方程得 22 = 2 p 1 ，解得 p = 2 ，
所以其准线方程为 x=-1；
故答案为： x = -1 .
3-2．（2024 高二下·上海浦东新·期末）抛物线 y2 = ax a 0 的准线方程是 ．
a
【答案】 x = -
4
【分析】根据抛物线的方程即得.
【详解】因为抛物线的方程为 y2 = ax a 0 ，
2 a所以抛物线 y = ax a 0 的准线方程是 x = - .
4
x a故答案为： = - .
4
3-3．（2024 高三上·四川内江·期末）抛物线 y2 = -4x 的焦点坐标是（ ）
A． 1,0 B． -1,0
C． 0, -1 D． 0,1
【答案】B
【分析】根据抛物线的标准方程即可求解焦点坐标.
【详解】由 y2 = -4x 得 2 p = -4,\ p = -2 ，故焦点为 -1,0 ，
故选：B
（三）
利用抛物线定义解决轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成 x，y 间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转
移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
题型 4：利用抛物线定义解决轨迹问题
4-1．（2024 高三下·江西·阶段练习）设圆O : x2 y2 = 4 与 y 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的上方），过 B 作
圆 O 的切线 l，若动点 P 到 A 的距离等于 P 到 l 的距离，则动点 P 的轨迹方程为（ ）
A． x2 = 8y B． x2 =16y C． y2 = 8x D． y2 =16x
【答案】A
【分析】根据题意分别求得A ， B 的坐标与切线 l，再根据抛物线的定义即可求得动点 P 的轨迹方程．
【详解】因为圆O : x2 y2 = 4 与 y 轴交于A ， B 两点（A 在 B 的上方），
所以 A(0, 2)， B(0,-2)，
又因为过 B 作圆O的切线 l，
所以切线 l的方程为 y = -2，
因为动点 P 到A 的距离等于 P 到 l的距离，
所以动点 P 的轨迹为抛物线，且其焦点为 (0,2)，准线为 y=- 2 ，
所以 P 的轨迹方程为 x2 = 8y．
故选：A.
4-2 2．（2024 高二上·全国·课前预习）已知动点M x, y 的坐标满足 x - 2 y2 = x 2 ，则动点M 的轨迹
方程为 ．
【答案】 y2 = 8x
x - 2 2【分析】将 y2 转化为动点M 到点F 2,0 的距离， x 2 转化为动点M 到直线 l : x = -2的距离，
再根据抛物线的定义，即可求出结果.
2
【详解】设 F 2,0 ，直线 l : x = -2，则动点M 到点F 的距离为 x - 2 y2 ，动点M 到直线 l : x = -2，的距离
为 x 2 ，又因为 x - 2 2 y2 = x 2 ，
所以动点 M 的轨迹是以F 2,0 为焦点， x = -2为准线的抛物线，其轨迹方程为 y2 = 8x．
故答案为： y2 = 8x
4-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知点F 0,2 ，过点P 0, - 2 且与 y 轴垂直的直线为 l1， l2 ^ x轴，交 l1
于点 N，直线 l 垂直平分 FN，交 l2于点 M. 求点 M 的轨迹方程；
【答案】 x2 = 8y
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】
由题意得 FM = MN ，即动点 M 到点F 0,2 的距离和到直线 y=- 2 的距离相等，
所以点 M 的轨迹是以F 0,2 为焦点，直线 y=- 2 为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点 M 的轨迹方程为 x2 = 8y；
4-4．（2024 高三·全国·专题练习）动点M x, y 到 y 轴的距离比它到定点 2,0 的距离小 2，求动点M x, y
的轨迹方程．
【答案】 y = 0 x < 0 或 y2 = 8x．
【分析】由动点 M 到 y 轴的距离比它到定点 2,0 的距离小 2，利用抛物线的定义求解.
【详解】解：∵动点 M 到 y 轴的距离比它到定点 2,0 的距离小 2，
∴动点 M 到定点 2,0 的距离与它到定直线 x = -2的距离相等．
∴动点 M 到轨迹是以 2,0 为焦点， x = -2为准线的抛物线，且 p = 4 ．
∴抛物线的方程为 y2 = 8x，
又∵x 轴上点 0,0 左侧的点到 y 轴的距离比它到 2,0 点的距离小 2，
∴M 点的轨迹方程为 y = 0 x < 0 ②．
综上，得动点 M 的轨迹方程为 y = 0 x < 0 或 y2 = 8x．
（四）
抛物线方程的实际应用
求解抛物线实际应用题的步骤：
题型 5：抛物线方程的实际应用
5-1．（2024 高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛
物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 y = ax2的一部分，其焦点坐标
为 0, -2 ．校门最高点到地面距离约为 18.2 米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18 米 B．21 米 C．24 米 D．27 米
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准式，根据焦点坐标求出 a的值，即可得到抛物线方程，再令 y = -18.2求出 x
的估值，从而得解.
【详解】依题意知，抛物线 y = ax2，即 x2
1
= y ，
a
因为抛物线的焦点坐标为 0, -2 1，所以 = -2 1，所以a = - ，
4a 8
y 1所以抛物线方程为 = - x2 ，
8
令 y = -18.2，则 x2 =145.6 144，解得 x ±12，
所以校门位于地面宽度最大约为 24米.
故选：C.
5-2．（2024 高三下·河北·阶段练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在m 时，拱顶距离水面 2 米，水面宽度
为 8 米，则当水面宽度为 10 米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
25 25 25 25
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2 4 6 8
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为 x2 = -2 py( p > 0)，根据抛物线
过点 4, -2 ，求出 p 的值，即可得到抛物线方程，再令 x = 5，求出 y 的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，
可设拱桥所在抛物线的方程为 x2 = -2 py( p > 0)，
又抛物线过点 4, -2 ，则16 = 4 p，解得 p = 4 ，
25
则抛物线的方程为 x2 = -8y ，当 x = 5时， y = - ，
8
25
故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为 米.
8
故选：D
5-3．（2024 高三下·陕西榆林·阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，
如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为
0.7m，若行车道总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
【答案】3.8
【分析】由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案.
【详解】由题意，如图建系：
则E -4.8, -4.8 ，F 4.8,-4.8 ，D -4.8, -7.2 ，C 4.8,-7.2 ，
2 1 5
如图可设，抛物线方程为 y = ax2，将E 代入，可得-4.8 = a × 4.8 ，求得 a = - = - ，
4.8 24
5 2
故抛物线方程为 y = - x ，
24
5
将 x = 3.6 2代入抛物线方程，可得 y = - 3.6 = -2.7 ，
24
7.2 - 0.7 - 2.7 = 3.8 .
故答案为：3.8.
5-4．（2024·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特
征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径
为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）
（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8.25cm
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为 x2 = 2 py （ p > 0），将点 5,6.25 代入求出 p ，
即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 h cm ，则两抛物线在第一象
限的交点为 4, h - 3 ，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为 y 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为 x2 = 2 py （ p > 0），将点 5,6.25 代入，得52 = 2 p 6.25，
解得 p = 2 ，则 x2 = 4y，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 h cm ，
2
则两抛物线在第一象限的交点为 4, h - 3 ，代入到 x2 = 4y，解得 4 = 4 h - 3 ，解得 h = 7．
故选：C
一、单选题
1．（2024 高二下·湖北·期中）已知VABC 的顶点都在抛物线 y2 = 4x上，且VABC 的重心为抛物线的焦点
uuur uuur uuur
F，则 AF BF CF = （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根据重心坐标公式以及抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由题意得 p = 2 , F 1,0 ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3 , y3 ，
x x x
QF 点是VABC
的重心，\F 1 2 3 ,
y1 y2 y3
÷，\ x1 x2 x3 = 3，
è 3 3
uuur uuur uuur
根据抛物线的定义可得 AF BF CF
p p p 3p
= x1 x2 x3 = x1 x x2 2 2 2 3
= 6 .
2
故选：B.
2．（2024 高二下·广东东莞·阶段练习）一种卫星接收天线（如图 1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物
线的一部分（如图 2），已知该卫星接收天线的口径 AB = 8米，深度MO =1米，信号处理中心F 位于焦点
处，以顶点O为坐标原点，建立如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy ，则该抛物线的方程为（ ）
A． y2 = 8x B． y2 =16x C． y = 8x2 D． y =16x2
【答案】B
【分析】结合图形知抛物线经过 A(1, 4)，设出抛物线方程 y2 = 2 px( p > 0)，求出 p 即可.
【详解】由题意，结合图形可知， A(1, 4)，由于该抛物线开口向右，可设 y2 = 2 px( p > 0)，即 42 = 2 p 1，
解得 p = 8，于是 y2 =16x .
故选：B
3．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）抛物线 C： x2 = 4ay 过点 (-2,1) ，则 C 的准线方程为（ ）
A． y =1 B． y = -1 C． x =1 D． x = -1
【答案】B
【分析】先求得参数 a 的值，进而求得 C 的准线方程.
2
【详解】抛物线 C： x2 = 4ay 过点 (-2,1) ，则 -2 = 4a，解之得 a =1，
则抛物线 C 方程为 x2 = 4y，则 C 的准线方程为 y = -1
故选：B
1
4．（2024 2高二下·江西萍乡·阶段练习）抛物线 y = x的焦点到其准线的距离为（ ）
4
1 1 1
A． B
1
． 4 C． D．2 8 16
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线 y2
1
= x 1，可得 2 p = ，所以 p
1
= ，
4 4 8
1
所以抛物线的焦点坐标为F ( ,0)
1
，准线方程为 x = -
16 16
1
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为 .
8
故选：C.
5．（2024·四川成都·三模）若抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)上的点 P 到焦点的距离为 8，到 x 轴的距离为 6，则
抛物线C 的标准方程是（ ）
A． x2 = 4y B． x2 = 6y C． x2 = 8y D． x2 =16y
【答案】C
【分析】利用抛物线定义即可求得 p，然后可得方程.
6 p【详解】由抛物线定义可得： = 8，解得 p = 4 ，所以抛物线C 的标准方程为 x2 = 8y .
2
故选：C
6．（2024 高二下·四川凉山·期末）已知抛物线 y2 = 4x上一点 P 到 y 轴的距离为 2，焦点为 F，则 PF =
（ ）
A．2 B．3 C． 5 D． 2 2
【答案】B
【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义得解.
【详解】由题得抛物线的准线方程为 x = -1，
所以点 P 到准线的距离为 2 1 = 3，
由抛物线的定义得 PF = 3.
故选：B
7．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）已知F 是抛物线C ：y2 = 2 px的焦点，点P 2, t 在C 上且 PF = 4，则F
的坐标为（ ）
A． 2,0 B． -2,0 C． 4,0 D． -4,0
【答案】A
【分析】由 PF = 4结合抛物线的定义可求出 p 的值，进而可求F 的坐标.
p
【详解】因为F 是抛物线C ： y2
= 2 px的焦点，所以F ,02 ÷，è
又 PF = 4
p
，由抛物线的定义可知 PF = 2 = 4，解得 p = 4 ，所以F 2,0 .
2
故选：A
8．（2024 高二下·宁夏银川·阶段练习）若点 A( 2, -1)在抛物线 y px2 = 0上，则该抛物线的准线方程为
（ ）
y 1 y 1 x 1 1A． = B． = C． = D． x =
2 8 2 8
【答案】A
【分析】将点 A( 2, -1)的坐标代入抛物线方程可求出 p ，从而可得抛物线的方程，进而可求出其准线方
程.
【详解】因为点 A( 2, -1)在抛物线 y px2 = 0上，
所以-1 2 p = 0
1
，得 p = ，
2
所以抛物线方程为 x2 = -2y ，
1
所以抛物线的准线方程为 y = ，
2
故选：A
9．（2024 高二下·陕西西安·期末）已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为 F，点M 2, t 在 C 上，则 MF =（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线焦半径公式直接计算即可.
【详解】点M 2, t 在 C： y2 = 8x上，设x0 = 2，
而抛物线C : y2 = 8x 的焦点坐标为F 2,0 ，故 p = 2 ，
则 MF = x0 p = 2 2 = 4 .
故选：D
10．（2024 高二下·福建泉州·期中）抛物线 y2 = 2 px绕其顶点逆时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛
物线 y = 2x2 ，则 p =（ ）
1
A．- B
1
． 4 C．1 D．-14
【答案】B
【分析】采用逆向思考：即将抛物线 y = 2x2 将其绕顶点顺时针方向旋转90°，得到抛物线 y2 = 2 px，进而即
可求得 p 的值.
2 x2 1【详解】抛物线 y = 2x 即 = y的开口向上，将其绕顶点顺时针方向旋转90°，得到的抛物线 y2 = 2 px，
2
开口向右，其方程为 y2
x
= ，则 p
1
= ，
2 4
故选：B.
11．（2024 2高二上·湖北·期末）设点 F 是抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上
一点 A 作准线的垂线 AB，垂足为 B，射线 AF 交准线 l 于点 C，若 AB = 2 ， BC = 2 3 ，则抛物线的方程
为（ ）
A． y2 = x B． y2 = 2x
C． y2
1
= 4x D． y2 = x
2
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
【详解】解：由题意得：
BC
AB = 2 ， BC = 2 3 ， AB ^ BC ，所以 tan CAB = = 3AB
可得 CAB = 60°，由抛物线的定义得 AB = AF
1 1
所以△ABF 是等边三角形，所以 p = BF = AB =1，所以抛物线的方程是 y2 = 2x．
2 2
故选：B
12．（2024 高二下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 = x 或 x2 = y B． y2 = -x 或 x2 = 8y
C． x2 = -8y 或 y2 = x D． x2 = -8y 或 y2 = -x
【答案】C
【分析】设抛物线的标准方程，将点的坐标代入，求得参数的值，即得答案.
【详解】设抛物线的方程为 y2 = 2 px, ( p > 0)或 x2 = -2 p y, ( p > 0) ，
将点P(4,-2)代入，可得 4 = 8 p 或16 = 4 p ，
1
解得 p = 或 p = 4，
2
故抛物线的标准方程为 y2 = x 或 x2 = -8y ，
故选：C
13．（2024 高二下·四川南充·期中）准线方程为 y = 4 的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 =16x B． y2 = 8x
C． x2 =16y D． x2 = -16y
【答案】D
p
【分析】根据抛物线的准线方程可得其焦点在 y 轴负半轴上，且- = 4，由抛物线的标准方程可得答案.
2
【详解】根据题意，抛物线的准线方程为 y = 4 ，
即其焦点在 y
p
轴负半轴上，且- = 4，得 p = -8，
2
故其标准方程为： x2 = -16y .
故选：D.
14．（2024·安徽滁州·二模）已知P m, 2 为抛物线C : y2 = -2 px( p > 0) 上一点，点 P 到C 的焦点的距离为
2，则C 的焦点坐标为（ ）
1 1 3A ． - ,0 B．4 ÷
- ,0÷ C． -1,0 D． - ,0÷
è è 2 è 2
【答案】C
2 p
【分析】根据点在抛物线上可得m = - p ，利用抛物线定义可得
- m = 2，即可求得 p 的值，即可求得答案,
2
2
【详解】由题意可知， 4 = -2 pm ，所以m = - ;p
p
又知抛物线C 的准线方程为 x = 2 ，
p p 2
根据抛物线的定义可知， - m = = 22 2 p ，整理得
p2 - 4 p 4 = 0，解得 p = 2 ，
所以C 的焦点坐标为 -1,0 ，
故选：C．
15．（2024 高二下·广东广州·期末）已知抛物线 x = 2y2 上的点M 到其焦点的距离为 2，则点M 的横坐标是
（ ）
3 7 15 31
A． B． C． D．
2 4 8 16
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义可求得点M 的横坐标.
2 x
【详解】设点M 的横坐标为 x0 ，抛物线的标准方程为 y = ，该抛物线的准线方程为 x
1
= - ，
2 8
因为抛物线 x = 2y2
1 15
上的点M 到其焦点的距离为 2，则 x0 = 2，解得 x0 = .8 8
故选：C.
16．（2024 高二上·四川凉山·期末）F 是抛物线 y2 = 4x的焦点，点 A 1,3 ，P 为抛物线上一点，P 到直线 x=-1
的距离为 d ，则 d PA 的最小值是（ ）
A． 2 B．1 2 C．3 D．1 3
【答案】C
【分析】根据抛物线定义有 d PA = PF PA ，数形结合判断其最小值.
【详解】由题设，抛物线焦点F (1,0)，准线为 x = -1，故 d =| PF |，
如上图： d PA = PF PA AF = 3，仅当F , P, A共线且 P 在F , A两点之间时等号成立.
故选：C
17．（2024 高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线C ： x2 = -20y 的焦点为F ，抛物线C 上有一动点 P ，且
Q -3, -6 ，则 PF PQ 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【分析】根据 PF PQ = PT PQ ，再结合图形求解即可.
【详解】因为抛物线C ： x2 = -20y ，所以抛物线C 的准线为 x = 5，
记抛物线C 的准线为 l，作PT ^ l 于T ，如图所示：
因为 PF PQ = PT PQ ，Q -3, -6 ，
所以当 P ，Q，T 共线时， PF PQ 有最小值，最小值为6 5 =11.
故选：C.
18．（2024 高二上·四川泸州·期末）动点 P 在抛物线 x2 = 4y上，则点 P 到点C 0,4 的距离的最小值为
（ ）
1
A． 3 B． 2 3 C． 32 D．12
【答案】B
【分析】设出点 P 坐标，用两点间距离公式表达出点 P 到点C 0,4 的距离，配方后求出最小值.
2 2
2
【详解】设 P x,
x x 1 2
÷，则 PC = x2 - 4 = x2 -8 12 ，当 x2 = 8时， PC 取得最小值，最小值
è 4 è 4
÷
16
为 2 3
故选：B
19．（2024 高二下·河南焦作·开学考试）已知点 A 是抛物线 x2 = 2 y 上的点，点 B(0,3) ，则 | AB |的最小值为
（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
【答案】A
【分析】设 A(m,n)为抛物线上一点，由两点间距离公式及二次函数求最值即可.
【详解】设 A(m,n)，则m2 = 2n ，则 | AB |2 = m2 (n - 3)2 = n2 - 4n 9 = (n - 2)2 5，
所以当 n = 2时， | AB |取得最小值 5 ．
故选：A
20．（2024·浙江·二模）已知直线 l1 : 3x - 4y - 6 = 0 和直线 l2 : y = -2，拋物线 x2 = 4y上一动点 P 到直线 l1直
线 l2的距离之和的最小值是（ ）
11 37
A．2 B．3 C． D．
5 16
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得 d1 d2 = d1 PF 1，结合图象分析求解.
【详解】由题意可得：拋物线 x2 = 4y的焦点F 0,1 ，准线 l : y = -1，
设动点 P 直线 l, l1, l2的距离分别为 d , d1, d2 ，
3 0 - 4 1- 6
点F 到直线 l 的距离分别为 d = = 21 3 32 -4 2
，
则 d2 = d 1 = PF 1，可得 d1 d2 = d1 PF 1 d3 1 = 3，
当且仅当点 P 在点F 到直线 l1的垂线上且 P 在F 与 l1之间时，等号成立，
动点 P 到直线 l1直线 l2的距离之和的最小值是 3.
故选：B.
21．（2024 高二下·陕西汉中·期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的
2
通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆 x 1 y - 2 2 = 4的一条
2
通径与抛物线 y = 2 px p > 0 的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则 p =（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】C
【分析】根据圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，可得抛物线 y2 = 2 px经过点 1,2 ，从而可得答
案.
【详解】因为圆 x 1 2 y - 2 2 = 4 2的一条通径与抛物线 y = 2 px p > 0 的通径恰好构成一个正方形的一组
邻边，
2
而抛物线 y = 2 px p > 0 的通径与 x 轴垂直，
所以圆 x 1 2 y - 2 2 = 4的这条通径与 y 轴垂直，
且圆的通径的右端点就是抛物线通径的上端点，
因为圆 x 1 2 y - 2 2 = 4的圆心为 -1,2 ，半径为 2，所以该圆与 y 轴垂直的通径的右端点为 1,2 ，
即抛物线 y2 = 2 px经过点 1,2 ，则 4 = 2 p ，即 p = 2 .
故选：C.
π
22．（2024·重庆万州·模拟预测）过抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F ，作倾斜角为 的直线 l交C 于 A ，
6
B 2 21两点，交C 的准线于点M ，若 OM = （O为坐标原点），则线段 AB 的长度为（ ）
3
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【分析】将直线 AB 的方程与准线方程联立，求得点M 的坐标，可求出 p = 4 ，然后将直线 AB 的方程与抛
物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式即可求解
F p【详解】抛物线C 的焦点为 ,0
p
÷，准线方程为 x = - ，
è 2 2
π p 3 p
直线 AB 的方程为 y = tan x - ÷ = x - ，6 ÷è 2 3 è 2
ì
x
p
= - ìx p= -
2 2 p 3
联立 í 可得 í ，即点M - ,- p3 ÷ p 3 2 3 ÷
，
y = x - è
3
y = - p
è 2 ÷ 3
2 2
OM p= -
3 2 21
所以 ÷ - p ÷
p > 0
÷ = ，因为 ，所以
p = 4 ，
è 2 è 3 3
3
所以直线 AB 的方程为 y = x - 2 ，抛物线C : y2 = 8x ，设点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，3
ì
y 3= x - 2
联立 í 3 可得 x2 - 28x 4 = 0，
y2 = 8x
由韦达定理可得 x1 x2 = 28，则 AB = x1 x2 p = 32
故选：D
23．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线T : x2 = 4y ，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上一点，过点 P
作 PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为 Q，若 PF = QF ，则△PFQ 的面积为（ ）
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．8 3
【答案】C
【分析】设点 P 的坐标为 m, n ，由题意△PFQ 为等边三角形，求得点 P 的坐标及 PF ，从而可得 SVPFQ．
【详解】抛物线的准线方程为 y＝－1，焦点为F 0,1 ，
设点 P 的坐标为 m, n ，则点 Q 的坐标为 m,-1 ， PQ = n 1，
由抛物线的定义知 PF = PQ = n 1，因为 PF = QF = m2 4 ，
2 n 1所以△PFQ 为等边三角形，所以 n 1 = m 4 ，又 = m2 ，4
所以m = ±2 3 ，n＝3，所以点 P 的坐标为 ±2 3,3 ，
3
所以 PF = 4，所以 S△PFQ = 4
2 = 4 3 ．
4
故选：C．
24．（2024 高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点F 是抛物线 y2 = 8x的焦点，直线 l为抛物线的准线，点M 为
直线 l上一动点，点Q在以M 为圆心，1为半径的圆上，点 P 在抛物线 y2 = 8x上，则 | PF | - | PQ |的最大值
为（ ）
A 2． B．1 C． 2 D． 32
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义可得 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ |，利用 | PQ | | PM | - | QM |，从而得到
| PF | - | PQ | | PN | - | PM | 1 1，即可求解.
【详解】
如图，过点 P 作PN ^ l 于点 N，根据抛物线的定义可得： PF = PN ，
所以 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ |，而 | PQ | | PM | - | QM |=| PM | -1
所以 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ | | PN | - | PM | 1 1.
当且仅当点 Q、点 N、点 M 在同一条直线上时等号成立，所以 | PF | - | PQ |有最大值 1.
故选：B
二、多选题
2
25．（2024 y高二下·广西·期中）已知双曲线C : x2 - =1的左、右焦点分别为F1, F2 ，抛物线 y2 = 2 px( p > 0)3
的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合，点 P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． p = 4 B．VF1PF2的周长为 16
VF PF 6C． 1 2的面积为 2 6 D． cos F1PF2 = 7
【答案】AB
【分析】根据双曲线的焦点即可求解抛物线的定义，即可判断 A，联立双曲线方程与抛物线方程，即可求
解交点坐标，利用点点距离即可求解长度，即可判断 BC,由余弦定理即可判断 D.
【详解】由已知，双曲线右焦点F2 (2,0)，即 p = 4 ，故 A 项正确．且抛物线方程为 y2 = 8x．
ì y2
x2 - =1
对于 B 项，联立双曲线与抛物线的方程 í 3 ，
2
y = 8x
1
整理可得．3x2 -8x - 3 = 0，解得 x = 3或 x = - （舍去负值），
3
所以 x = 3，代入 y2 = 8x可得， y = ±2 6 ．
设 P(3,2 6) ，又F1(-2,0)，所以 PF1 = (-2 - 3)
2 (0 - 2 6)2 = 7 ， PF2 = 7 - 2 = 5， F1F2 = 4，则VF1PF2的
周长为 16，故 B 项正确；
1 1
对于 C 项，易知 SVF PF = F2F2 2 6 = 4 2 6 = 4 6 ，故 C 项错误；1 2 2 2
PF 2 PF 2 - F F 2 2 2 2
对于 D 项，由余弦定理可得， cos F PF = 1 2 1 2
7 5 - 4 29 6
1 2 = = ，故 D 项错误．2 PF1 PF2 2 7 5 35 7
故选：AB
26．（2024 高二上·江苏盐城·期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点 1,0 并且倾斜角为 0°的直线方程为 x =1
1
B 2 2．双曲线 x - y =1
1
的渐近线方程为 y = ± x
4 2
C．点 1,2 关于 y = x 的对称点坐标为 2,1
1
D．抛物线 x = 2y2 的准线方程是 x = -
2
【答案】BC
【分析】
根据直线倾斜角写出方程判断 A，根据双曲线方程得出渐近线方程判断 B，由点关于直线对称判断 C，根据
抛物线方程求准线方程判断 D.
【详解】对 A，过点 1,0 并且倾斜角为 0°的直线方程为 y = 0 ，故错误；
x2 1
对 B，双曲线 - y2 =1的渐近线方程为 y = ± x ，故正确；
4 2
ì y - 2
= -1
对 C，设点 1,2 关于 y = x 的对称点坐标为 x, y x -1，则由 í y 2 x 1解得 x = 2, y =1，故正确； =
2 2
D y2
1
对 ，抛物线 = x， 2 p
1 1
= ，准线方程为 x = - ，故错误.
2 2 8
故选：BC
27．（2024 高二上·广西河池·期末）已知抛物线C : y2 = 6x的焦点为F ，点M (x0 , y0 )在抛物线C 上，若
MF 9= ,O 为坐标原点，则（ ）
2
A．点F 的坐标为 0,1 B． x0 = 3
C． y0 = 2 3 D． OM = 3 3
【答案】BD
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点M 的坐标，从而可得答案.
F 3【详解】由题可知 ,0
2 ÷
，
è
9
因为点M (x0 , y0 )在抛物线C 上，且 MF = ，2
3 9 2
所以 MF = x0 = , y0 = 6x0 ，2 2
解得 x0 = 3, y0 = ±3 2 ，
所以 OM = x2 20 y0 = 9 18 = 3 3 ，
故选：BD.
三、填空题
28．（2024 高二上·全国·课后作业）点M (5,3)到抛物线 x2 = ay(a > 0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方
程是 ．
【答案】 x2 =12y
【分析】利用抛物线定义可得答案.
a a
【详解】当 a > 0时，准线 y = - ，由已知得3 = 6，所以 a =12，所以抛物线方程为 x2 =12y ．
4 4
故答案为： x2 =12y .
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线C 同时满足以下三个条件
① C 2的顶点在坐标原点；② C 的对称轴为坐标轴；③ C 的焦点F 在圆 x - 2 y2 = 9上．
则C 的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
【答案】x2 = -4 5y（答案不唯一，只需填写 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x中的任意一个）
【分析】根据抛物线焦点在坐标轴上，分别将 x = 0、 y = 0 代入圆的方程，可求得焦点坐标，由此可得抛物
线方程.
【详解】由已知得：抛物线C 的焦点F 在坐标轴上；
2
若抛物线的焦点在 y 轴上，将 x = 0代入 x - 2 y2 = 9可得： y = ± 5 ，
\抛物线的焦点为 0, - 5 ， 0, 5 ；
当抛物线的焦点为 0, - 5 时，抛物线的方程为 x2 = -4 5y；
当抛物线的焦点为 0, 5 时，抛物线的方程为 x2 = 4 5y ；
若抛物线的焦点在 x 轴上，将 y = 0 x - 2 2代入 y2 = 9可得： x=-1或 x = 5，
\抛物线的焦点为 -1,0 ， 5,0 ；
当抛物线的焦点为 -1,0 时，抛物线的方程为 y2 = -4x ；
当抛物线的焦点为 5,0 时，抛物线的方程为 y2 = 20x；
则可同时满足三个条件的抛物线C 的方程为 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x．
故答案为： x2 = -4 5y（答案不唯一，只需填写 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x中的任意一
个）．
9
30．（2024 高二下·湖北·阶段练习）抛物线 y = 2x2 上的点A 到焦点F 的距离为 ，则点A 的纵坐标为 .
8
【答案】1
【分析】根据焦半径公式，代入求值.
2 1 1
【详解】抛物线 x = y， p = ，设点 A x0 , y0 ，2 4
p 1 9
依题意可知， y0 = y0 = ，得 y0 =1，2 8 8
故答案为：1
31．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线 x2 = 2 y 的焦点为 F，点 M（3，6），点 Q 在抛物线上，
则 MQ QF 的最小值为 ．
13
【答案】
2
【分析】根据抛物线的定义可求出结果.
1
【详解】抛物线 x2 = 2 y 的准线方程为 y = - ，
2
1
过Q作准线 y = - 的垂线，垂足为 N ，则 | QF |=| QN |，
2
所以 MQ QF =| MQ | | QN | | MN |
1 13
= 6 = .当且仅当MQ 与准线垂直时，取等号.
2 2
所以 MQ QF
13
的最小值为 .
2
13
故答案为： .
2
32．（2024· 2江苏扬州·模拟预测）已知点 P 在抛物线 y2 = 4x上，点Q在圆 x - 5 y2 =1上，则 PQ长度的
最小值为 .
【答案】3
【分析】根据抛物线和圆的对称性，结合圆的性质、两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】因为抛物线和圆都关于横轴对称，所以不妨设 P(m, 2 m)(m 0)，
设圆 x - 5 2 y2 =1的圆心坐标为： A(5,0) ，半径为 1，
因此PA = (m - 5)2 (2 m)2 = (m - 3)2 16 ，当m = 3时，PAmin = 16 = 4，
所以 PQ长度的最小值为 4 -1 = 3，
故答案为：3
33．（2024·吉林·模拟预测）抛物线 y2 = 4x上任意一点 P 到点M 5,0 的距离最小值为 .
【答案】 4
【分析】设P(m, n) （m 0），则 PM = (m - 5)2 n2 ，将 n2 = 4m 代入化简可求出其最小值
【详解】设P(m, n) ，则 PM = (m - 5)2 n2 ，
因为 n2 = 4m ，
所以 PM = (m - 5)2 n2 = m2 -10m 25 4m
= (m - 3)2 16 4，当m = 3时取得最小值 4，
故答案为：4
34．（2024·河北石家庄·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内
到两个定点 A，B 的距离之比为定值l l 1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为
6
阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy 中， A -3,1 , B -3,6 ，点 P 是满足l = 的阿氏
3
圆上的任一点，若抛物线 y
1
= x2 的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和
6
为 .
【答案】10 6 123
【分析】由阿氏圆的定义得到点 P 的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.
PA 6
【详解】设P x, y ，由阿氏圆的定义可得 = ，
PB 3
(x 3)2 (y -1)2 2
即 2 2 = ，化简得 x
2 y2 6x 18y - 60 = 0 .
(x 3) (y - 6) 3
所以 (x 3)2 (y 9)2 =150，所以点 P 在圆心为 -3, -9 ，半径为5 6 的圆上，
C : y 1= x2 . F 因为抛物线 的焦点为F 所以 0,
3
÷，6 è 2
2
因为 (0 3)2 3 477 9
÷ = <150 .所以点F 在圆 (x 3)
2 (y 9)2 =150内，
è 2 4
F 477 477因为点 到与圆心的距离为 = ，
4 2
477
所以过点F 的最短弦长为 2 150 - = 123 ，过点F 的最长弦长为 2 150 =10 6 ，
4
所以过点F 的最长弦与最短弦的和为10 6 123 .
故答案为：10 6 123
35．（2024·江苏无锡·三模）已如P 3,3 ，M 是抛物线 y2 = 4x上的动点（异于顶点），过M 作圆
C : x - 2 2 y2 = 4的切线，切点为A ，则 MA MP 的最小值为 .
【答案】3
【分析】设出点M 的坐标，结合圆的切线的性质求出 | MA |，再借助式子几何意义作答.
2
【详解】依题意，设M (x0 , y0 ), x 2 20 > 0，有 y0 = 4x0 ，圆C : (x - 2) y = 4 的圆心C(2,0) ，半径 r = 2，
于是 | MA |= | MC |2 -r 2 = (x0 - 2)
2 y20 - 4 = x
2
0 = x0 ，
因此 MA MP = x0 MP ，表示抛物线C 上的点M 到 y 轴距离与到定点 P 的距离的和，
而点 P 在抛物线C 内，当且仅当M 是过点 P 垂直于 y 轴的直线与抛物线C 的交点时， x0 MP 取得最小值
3，
所以 MA MP 的最小值为 3.
故答案为：3.
36．（2024 高二下·江苏南京·期末）已知抛物线 C： y2 = 4x的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 的直线与抛物
uuur uuuur uuuur uuur
线 C 相交 A，B 两点， l与 x 轴相交于点 M，若 AQ = QM ， AM = 2 BQ ，则 AF - BF = .
【答案】4
【分析】先判定 AB⊥MB，利用垂直关系得出 A、B 坐标结合抛物线焦半径公式计算即可.
【详解】
2 2
由题意易知M -1,0 y，可设 l : x = ky 1, A 1 AB , y1 ÷ , B
y2
, y2 ÷，
è 4 è 4
uuur uuuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuuur uuur
由 AQ = QM ，可得 Q 为 AM 中点，则BQ = BM MA = BM BA2 2 ，
uuuur uuur
uuur 2 uuuur uuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuuur2 uuuur uuur 2 uuuur uuur又由 AM = 2 BQ 可得: 2BQ = BM BA = 4 BQ = AM = AM = BM - BA BM × BA = 0，
即 MBA = 90o ，由题意可知直线 AB、BM 的斜率存在，
y - y ÷ k 1 2 0 - y
÷
2 y
2
2 故 AB × kMB = -1 2 2 ÷ 2 ÷ = -1 y1 y2 1 4y = 0
y1 y y
÷ 2 ，
- 2 ÷ -1- 2 ÷ è
4
è 4 4 ÷ ÷ è 4
ìx = ky 1
联立抛物线与直线 AB 可得 í 2 y
2 - 4ky - 4 = 0 y1 × y2 = -4,
y = 4x
4 2 2 2 4
所以有 y2 16y2 -16 = 0 y2 = 4 5 -8, y1 = 5 - 2
y2 y2 y2 2
由抛物线定义得 AF - BF = 1 1- 2 1 = 1
y2 1
÷ - = - 5 - 24 4 4 4 = 4，è 5 - 2
故答案为：4
37．（2024 高三·全国·专题练习）已知点 M -3,2 是坐标平面内一定点， 若抛物线 y2 = 2x的焦点为 F ，
点Q是抛物线上的一动点， 则 MQ - QF 的最小值是 .
5
【答案】 / 2.5
2
【分析】根据抛物线的性质，做出图像即可得到当MQ 平行于 x 轴时， MQ - QF 取得最小值，从而得到结
果.
【详解】
1
抛物线的准线方程为 x = - ，
2
过点Q作QQ 垂直准线于点Q ，
MQ - QF = MQ - QQ
显然，当MQ 平行于 x 轴时，
MQ - QF 取得最小值，此时Q 2,2 ，
此时 MQ - QF 2 3 2
1 5
= - =
2 2
5
故答案为: .
2
四、解答题
38．（2024 高二上·江苏淮安·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的准线与 x 轴交于点M -1,0 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 相切，求直线 l 的方程．
【答案】（1） y2 = 4x；（2） x - y 1 = 0 或 x y 1 = 0
p
【解析】（1）利用准线方程 x = - 求解
2
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用D = 0求解.
p
【详解】（1）C : y2 = 2 px( p > 0) 的准线 x = - 过M -1,0
2
p
故- = -1，则 p = 2
2
抛物线方程为 y2 = 4x
（2）设切线方程为 x = my -1
与抛物线方程联立有 y2 - 4my 4 = 0
D = 4m 2 -16 = 0
故m = ±1
故直线 l 的方程为： x - y 1 = 0 或 x y 1 = 0
【点睛】求抛物线的切线方程的方法：
方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
方法二：设切线的方程，与抛物线的方程联立，采用判别式法求解．
39．（2024 高二上·浙江杭州·期中）动点 P(x, y) 与定点F (1,0)的距离等于点 P 到直线 x=-1的距离，设动点
P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)经过定点M (3,1) 直线 l与曲线C 交于 A, B两点，且点 M 是线段 AB 的中点，求直线 l的方程．
【答案】(1) y2 = 4x
(2) y = 2x - 5
【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出 l的斜率即可求解.
【详解】（1）根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹为抛物线，
且该抛物线以F (1,0)
p
为焦点，所以 =1,所以 p = 2 ，
2
所以曲线C 的方程为 y2 = 4x .
（2）若直线 l垂直于 x 轴，则 AB 的中点在 x 轴上，不满足题意，
若直线 l不垂直于 x 轴，设 A(x1, y1), (x2 , y2 ) ，且 y1 y2 = 2，
ìy2 = 4x
因为 A, B C 1 1在曲线 上，所以 í 2 ，两式相减得，
y2 = 4x2
y - y 4
( y1 y2 )( y - y ) = 4(x - x )
1 2
1 2 1 2 ，所以 = = 2x1 - x
，
2 y1 y2
即 kAB = 2，所以 l的方程为 y -1 = 2(x - 3)整理得 y = 2x - 5 .
40．（2024 高二下·四川内江·期中）分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为 10，焦距为 4 的椭圆标准方程；
(2)经过点P -2, -4 的抛物线的标准方程.
x2 y2 y2 x2
【答案】(1) =1或 =1
25 21 25 21
(2) y2 = -8x 或 x2 = -y
【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出 a、c，进而求出 b，即可求解；
（2）设抛物线方程为 y2 = -2 px( p > 0) 或 x2 = -2my(m > 0)，将点 P 坐标代入，即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为 2a a > 0 ，焦距为 2c c > 0
由条件可得 2a =10,2c = 4 .所以 a = 5,c = 2 .
所以b2 = a2 - c2 = 25 - 4 = 21，
x x
2 y2
当椭圆的焦点在 轴上时，标准方程为 =1；
25 21
y2 x2
当椭圆的焦点在 y 轴上时，标准方程为 =1.
25 21
（2）当抛物线的焦点在 x 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为 y2 = -2 px( p > 0) ，
将点 P 的坐标代入抛物线的标准方程得16 = 4 p p = 4，
此时，所求抛物线的标准方程为 y2 = -8x ；
当抛物线的焦点在 y 轴上时，可设所求抛物线的标准方程为 x2 = -2my(m > 0)，
1
将点 P 的坐标代入抛物线的标准方程得 4 = 8m，解得m = ，
2
此时，所求抛物线的标准方程为 x2 = -y .
综上所述，所求抛物线的标准方程为 y2 = -8x 或 x2 = -y .
41．（2024 高二上·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1) y2 = 6x ；
(2) 2y2 5x = 0．
3 3
【答案】(1) 焦点为 ,02 ÷ ，准线方程为
x = - ；
è 2
5 5
(2) - ,0 焦点为 x =
è 8 ÷
，准线方程为 ．
8
【分析】（1）根据抛物线标准方程即可判断焦点位置及 p = 3，进而写出焦点坐标和准线方程；
5
（2 2）将抛物线 2y2 5x = 0化成标准方程可得 y = - x2 ，即可写出焦点坐标和准线方程；
【详解】（1）由抛物线方程为 y2 = 6x ，可得 p = 3，且焦点在 x 轴正半轴上，
3 3
所以可得其焦点为 ,02 ÷ ，准线方程为
x = - ；
è 2
5
（2 2）将 2y2 5x = 0化成标准方程为 y = - x2 ，
p 5可得 = ，且焦点在 x 轴负半轴上，
4
5 5
所以焦点为 - ,08 ÷，准线方程为
x = .
è 8
42．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知直线 l 与抛物线 C： x2 = 4y交于 A，B 两点．
(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，线段 AB 中点的纵坐标为 2，求 AB 的长；
(2)若直线 l 经过点
uuur uuur
0,2 ，求OA ×OB 的值．
【答案】(1)6
(2)-4
【分析】（1）设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，根据中点坐标公式可得 y1 y2 = 4 ，利用抛物线的定义求焦点弦即可；
（2）易知直线 l斜率必存在，设为 y = kx 2，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐
标表示即可求解.
【详解】（1）设 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，线段 AB 中点设为 (x0 , 2) ，则 y1 y2 = 4 ，
由题意，抛物线C 的焦点为( 0, 1)， p = 2 ，
p p
根据抛物线的定义得 AB = y1 y2 = y1 y2 p = 4 2 = 6；2 2
（2）当直线 l斜率不存在时， l : x = 0，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线 l斜率必存在，设为 y = kx 2，
ì x2 = 4y
与抛物线联立得： í ， x2 - 4kx -8 = 0，得 x1x2 = -8，
y = kx 2
uuur uuur 2 2
所以OA ×OB = x1x2 y1y2 = x1x
x1 x2
2 = -8
64
= -4 .
16 16
1
43．（2024 高三下·湖南·阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线C : y2 = 2 px(0 < p < 2)上一点P , 2p ÷到è
3
抛物线焦点的距离为 ，若过点M 2,0 的直线 l与抛物线C : y2 = 2 px交于A ， B 两点．
2
(1)证明：OA ^ OB；
(2)若 l与坐标轴不平行，且A 关于 x 轴的对称点为D，圆 N : x2 y2 4x - 2y 3 = 0，证明：直线BD恒与圆
N 相交．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）首先根据抛物线的焦半径公式，求出抛物线的方程，分两种情况讨论，当直线 l ^ x轴时和直
线 l与 x 轴不垂直时，分别求出 kOA ×kOB ，即可证明；
（2）结合（1）设D的坐标为 x1,-y1 ，根据B, D的坐标写出直线BD的方程，整理后代入 y1y2 = -4，即可
得出直线BD恒过点 -2,0 ，结合点 -2,0 在圆内即可证明．
P 1 3【详解】（1）证明：因为点 , 2 ÷到抛物线焦点的距离为 ，
è p 2
3 1 p
所以 = 2 p 2 ，解得
p = 1或 p = 2 ，
又因为0 < p < 2，
所以 p = 1，故抛物线方程为 y2 = 2x，
当直线 l ^ x轴时，可得 A 2,2 , B 2, -2 ，
k k 2 - 0 -2 - 0此时 OA × OB = = -1，所以OA ^ OB；2 - 0 2 - 0
当直线 l与 x 轴不垂直时，设 l的方程为 y = k x - 2 (k 0) ，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
代入 y2 = 2x 2得 ky - 2y - 4k = 0 k 0 ，
2
则 y1y2 = -4 y， x 1 y2 ，1x2 = = 44
y y -4
所以 kOA × k 1 2OB = × = = -1x x 4 ，1 2
所以OA ^ OB，
综上，OA ^ OB．
（2）证明：由于 A, D关于 x 轴对称，结合（1），故D的坐标为 x1,-y1 ，
y2 y1 y2 y1 y
2
1
所以直线BD y y1 = x - x1 = 2 2 x -的方程为 x - x y y 2 ÷è ，即 2x y1 - y2 y - y1 y2 = 0，2 1 2 - 1
2 2
由（1）得 y1y2 = -4，所以 2x y1 - y2 y 4 = 0，
可得直线BD恒过点 -2,0 ，
因为圆 N 的方程 x2 y2 4x - 2y 3 = 0 2，且 (-2) 02 4 -2 - 0 3 < 0，
所以点 -2,0 在圆 N 内部，
所以直线BD恒与圆 N 相交．
44．（2024 高二·全国·专题练习）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)上一点P 6, y0 到焦点F 的距离
| PF |= 2 y0 ．求抛物线C 的方程；
【答案】 x2 =12y
ì
2y
p
0 = y0
2
【分析】由题知 í36 = 2 py0 ，进而解方程即可得答案；
p > 0
【详解】因为抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)上一点P 6, y0 到焦点F 的距离 PF = 2y0，
p
所以抛物线的定义得 PF = y0 ，2
ì2y y p 0 = 0
2 ìy0 = 3
所以 í36 = 2 py0 ，解得 í p 6 ． p > 0
=
所以抛物线的方程为 x2 =12y ；3.3.1 抛物线及其标准方程 5 题型分类
一、抛物线的定义
1．定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．
2．焦点：定点 F.
3．准线：定直线 l.
二、抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) (p，02 ) px＝－2
y2
p
＝－2px(p>0) ( p－ ，0) x＝2 2
p
x2＝2py(p>0) ( p0，2) y＝－2
x2
p
＝－2py(p>0) ( p0，－2) y＝2
（一）
抛物线定义的理解
抛物线的定义
1．抛物线的定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹．集合
表示：P = M MF = d , d为点M到准线l的距离 .其中定点 F 为焦点，定直线 l 为准线.
2.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互
转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
题型 1：抛物线定义的理解
1-1．（2024·上海浦东新·模拟预测）若抛物线 x2 = 28y上一点 (x0 , y0 )到焦点的距离是该点到 x 轴距离的 3 倍，
则 y0 = .
1-2．（2024 高二下·四川泸州·期末）已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为 F，点 P 在 C 上，若点Q 6,3 ，则△PQF
周长的最小值为（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
1-3．（2024·海南·模拟预测）已知直线 l1 : 4x - 3y + 6 = 0和直线 l : x = -2，抛物线 y22 = 4x上一动点 P 到直线
l1和 l2距离之和的最小值是（ ）
A 3 5
16
． +1 B．2 C． D．3
5 5
1-4．（2024 高二上·陕西西安·期末）若抛物线 y2 = 4x上一点 P 到 x 轴的距离为 2 3 ，则点 P 到抛物线的焦
点F 的距离为 ．
1-5．（2024 高二下·陕西榆林·期末）已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，点M 在C 上，若M 到直线 x = -3
的距离为 7，则 MF = .
1-6．（2024 高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 到其准线的距离为 4, M 是抛物
线C 上一点，若 A 2,3 ，则 MF + MA 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
1-7．（2024·西藏日喀则·一模）已知点 P 为抛物线 y2 = 2 p（x p > 0）上一动点，点 Q 为圆C : (x + 2)2 + (y - 4)2 =1
上一动点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 到 y 轴的距离为 d，若 PQ + d 的最小值为 3，则 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1-8．（2024 高三下·河南开封·期末）已知抛物线E : x2 = 4y ，圆C : x2 + y - 3 2 =1， P 为E 上一点，Q为C
上一点，则 PQ 的最小值为（ ）
A．5 B． 2 2 -1 C．2 2 D．3
（二）
求抛物线的标准方程
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨
论情况的个数．
题型 2：求抛物线的标准方程
2-1．（2024 高二上·全国·课后作业）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点 -1,2 ，则它的方程是
（ ）
A． y = 2x2 或 y2 = -4x B． y2 = -4x 或 x2 = 2 y
1
C． x2 = - y D． y2 = -4x
2
2-2．（2024 高二下·陕西榆林·阶段练习）以 x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P 1,m 到焦点的
距离为 3，则抛物线的方程是（ ）
A． y = 8x2 B． y =12x2 C． y2 = 8x D． y2 =12x
2-3．（2024·河南新乡·三模）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F，C 上一点M x0 , x0 x0 0 满足
| MF |= 5，则抛物线 C 的方程为（ ）
A． y2 = 2x B． y2 = x C． y2 = 8x D． y2 = 4x
2-4．（2024 高二下·云南保山·期末）过点 1, -4 ，且焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程是 .
2-5．（2024 高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在 y 轴上，顶点在坐标原点 O，且经过点P x0 , 2 ，
若点 P 到该抛物线焦点的距离为 4，则该抛物线的方程为 ．
题型 3：根据抛物线方程求焦点和准线
3-1．（2024·青海西宁·二模）已知函数 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0且 a 1）的图像过定点 A，若抛物线 y2 = 2 px
也过点 A，则抛物线的准线方程为 .
3-2．（2024 高二下·上海浦东新·期末）抛物线 y2 = ax a 0 的准线方程是 ．
3-3．（2024 高三上·四川内江·期末）抛物线 y2 = -4x 的焦点坐标是（ ）
A． 1,0 B． -1,0
C． 0, -1 D． 0,1
（三）
利用抛物线定义解决轨迹问题
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法
设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成 x，y 间的关系式；
(2)定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程；
(3)相关点法(代入法)
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转
移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去．
题型 4：利用抛物线定义解决轨迹问题
4-1．（2024 高三下·江西·阶段练习）设圆O : x2 + y2 = 4 与 y 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的上方），过 B 作
圆 O 的切线 l，若动点 P 到 A 的距离等于 P 到 l 的距离，则动点 P 的轨迹方程为（ ）
A． x2 = 8y B． x2 =16y C． y2 = 8x D． y2 =16x
4-2．（2024 高二上·全国·课前预习）已知动点M x, y x - 2 2的坐标满足 + y2 = x + 2 ，则动点M 的轨迹
方程为 ．
4-3．（2024 高三·全国·专题练习）已知点F 0,2 ，过点P 0, - 2 且与 y 轴垂直的直线为 l1， l2 ^ x轴，交 l1
于点 N，直线 l 垂直平分 FN，交 l2于点 M. 求点 M 的轨迹方程；
4-4．（2024 高三·全国·专题练习）动点M x, y 到 y 轴的距离比它到定点 2,0 的距离小 2，求动点M x, y
的轨迹方程．
（四）
抛物线方程的实际应用
求解抛物线实际应用题的步骤：
题型 5：抛物线方程的实际应用
5-1．（2024 高二下·吉林长春·开学考试）数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛
物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线 y = ax2的一部分，其焦点坐标
为 0, -2 ．校门最高点到地面距离约为 18.2 米，则校门位于地面宽度最大约为（ ）
A．18 米 B．21 米 C．24 米 D．27 米
5-2．（2024 高三下·河北·阶段练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在m 时，拱顶距离水面 2 米，水面宽度
为 8 米，则当水面宽度为 10 米时，拱顶与水面之间的距离为（ ）
25 25 25 25
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2 4 6 8
5-3．（2024 高三下·陕西榆林·阶段练习）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，
如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为
0.7m，若行车道总宽度为 7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为 m.
5-4．（2024·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特
征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm ，碗盖口直径为8cm ，碗体口直径
为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）
（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8.25cm
一、单选题
1．（2024 高二下·湖北·期中）已知VABC 的顶点都在抛物线 y2 = 4x上，且VABC 的重心为抛物线的焦点
uuur uuur uuur
F，则 AF + BF + CF = （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2024 高二下·广东东莞·阶段练习）一种卫星接收天线（如图 1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物
线的一部分（如图 2），已知该卫星接收天线的口径 AB = 8米，深度MO =1米，信号处理中心F 位于焦点
处，以顶点O为坐标原点，建立如图 2 所示的平面直角坐标系 xOy ，则该抛物线的方程为（ ）
A． y2 = 8x B． y2 =16x C． y = 8x2 D． y =16x2
3．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）抛物线 C： x2 = 4ay 过点 (-2,1) ，则 C 的准线方程为（ ）
A． y =1 B． y = -1 C． x =1 D． x = -1
1
4．（2024 高二下· 2江西萍乡·阶段练习）抛物线 y = x的焦点到其准线的距离为（ ）
4
1
A B 1
1 1
． ． 4 C． D．2 8 16
5．（2024·四川成都·三模）若抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)上的点 P 到焦点的距离为 8，到 x 轴的距离为 6，则
抛物线C 的标准方程是（ ）
A． x2 = 4y B． x2 = 6y C． x2 = 8y D． x2 =16y
6．（2024 高二下·四川凉山·期末）已知抛物线 y2 = 4x上一点 P 到 y 轴的距离为 2，焦点为 F，则 PF =
（ ）
A．2 B．3 C． 5 D． 2 2
7．（2024 高二上·浙江嘉兴·期末）已知F 是抛物线C ：y2 = 2 px的焦点，点P 2, t 在C 上且 PF = 4，则F
的坐标为（ ）
A． 2,0 B． -2,0 C． 4,0 D． -4,0
8．（2024 高二下·宁夏银川·阶段练习）若点 A( 2, -1)在抛物线 y + px2 = 0上，则该抛物线的准线方程为
（ ）
1 1 1 1
A． y = B． y = C． x = D． x =
2 8 2 8
9．（2024 高二下·陕西西安·期末）已知抛物线C : y2 = 8x 的焦点为 F，点M 2, t 在 C 上，则 MF =（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．（2024 高二下·福建泉州·期中）抛物线 y2 = 2 px绕其顶点逆时针旋转90°之后，得到的图象正好对应抛
物线 y = 2x2 ，则 p =（ ）
1
A．- B
1
． 4 C．1 D．-14
11 2．（2024 高二上·湖北·期末）设点 F 是抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点，l 是该抛物线的准线，过抛物线上
一点 A 作准线的垂线 AB，垂足为 B，射线 AF 交准线 l 于点 C，若 AB = 2 ， BC = 2 3 ，则抛物线的方程
为（ ）
A． y2 = x B． y2 = 2x
2 y2 1C． y = 4x D． = x
2
12．（2024 高二下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 = x 或 x2 = y B． y2 = -x 或 x2 = 8y
C． x2 = -8y 或 y2 = x D． x2 = -8y 或 y2 = -x
13．（2024 高二下·四川南充·期中）准线方程为 y = 4 的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 =16x B． y2 = 8x
C． x2 =16y D． x2 = -16y
14．（2024·安徽滁州·二模）已知P m, 2 为抛物线C : y2 = -2 px( p > 0) 上一点，点 P 到C 的焦点的距离为
2，则C 的焦点坐标为（ ）
1 1
A - ,0 B - ,0 C -1,0 D 3 ． ÷ ．4 2 ÷ ． ． - ,0÷è è è 2
15．（2024 高二下·广东广州·期末）已知抛物线 x = 2y2 上的点M 到其焦点的距离为 2，则点M 的横坐标是
（ ）
3 7 15 31
A． B． C． D．
2 4 8 16
16．（2024 高二上·四川凉山·期末）F 是抛物线 y2 = 4x的焦点，点 A 1,3 ，P 为抛物线上一点，P 到直线 x=-1
的距离为 d ，则 d + PA 的最小值是（ ）
A． 2 B．1+ 2 C．3 D．1+ 3
17．（2024 高二上·云南楚雄·期末）已知抛物线C ： x2 = -20y 的焦点为F ，抛物线C 上有一动点 P ，且
Q -3, -6 ，则 PF + PQ 的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
18．（2024 高二上·四川泸州·期末）动点 P 在抛物线 x2 = 4y上，则点 P 到点C 0,4 的距离的最小值为
（ ）
1
A． 3 B． 2 3 C． 32 D．12
19．（2024 高二下·河南焦作·开学考试）已知点 A 是抛物线 x2 = 2 y 上的点，点 B(0,3) ，则 | AB |的最小值为
（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
20．（2024·浙江·二模）已知直线 l1 : 3x - 4y - 6 = 0 和直线 l2 : y = -2，拋物线 x2 = 4y上一动点 P 到直线 l1直
线 l2的距离之和的最小值是（ ）
11 37
A．2 B．3 C． D．
5 16
21．（2024 高二下·陕西汉中·期末）过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的
2 2
通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆 x +1 + y - 2 = 4的一条
2
通径与抛物线 y = 2 px p > 0 的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则 p =（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
22．（2024·重庆万州·模拟预测）过抛物线C : y2
π
= 2 px( p > 0) 的焦点 F ，作倾斜角为 的直线 l交C 于 A ，
6
B 2 21两点，交C 的准线于点M ，若 OM = （O为坐标原点），则线段 AB 的长度为（ ）
3
A．8 B．16 C．24 D．32
23．（2024·河南郑州·模拟预测）已知抛物线T : x2 = 4y ，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上一点，过点 P
作 PQ 垂直于抛物线的准线，垂足为 Q，若 PF = QF ，则△PFQ 的面积为（ ）
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．8 3
24．（2024 高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）点F 是抛物线 y2 = 8x的焦点，直线 l为抛物线的准线，点M 为
直线 l上一动点，点Q在以M 为圆心，1为半径的圆上，点 P 在抛物线 y2 = 8x上，则 | PF | - | PQ |的最大值
为（ ）
A 2． B．1 C．
2 2 D． 3
二、多选题
2
25．（2024 y高二下·广西·期中）已知双曲线C : x2 - =1的左、右焦点分别为F , F ，抛物线 y21 2 = 2 px( p > 0)3
的焦点与双曲线 C 的一个焦点重合，点 P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）
A． p = 4 B．VF1PF2的周长为 16
6
C．VF1PF2的面积为 2 6 D． cos F1PF2 = 7
26．（2024 高二上·江苏盐城·期末）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点 1,0 并且倾斜角为 0°的直线方程为 x =1
1
B x2 2
1
．双曲线 - y =1的渐近线方程为 y = ± x
4 2
C．点 1,2 关于 y = x 的对称点坐标为 2,1
1
D．抛物线 x = 2y2 的准线方程是 x = -
2
27．（2024 高二上·广西河池·期末）已知抛物线C : y2 = 6x的焦点为F ，点M (x0 , y0 )在抛物线C 上，若
MF 9= ,O 为坐标原点，则（ ）
2
A．点F 的坐标为 0,1 B． x0 = 3
C． y0 = 2 3 D． OM = 3 3
三、填空题
28．（2024 高二上·全国·课后作业）点M (5,3)到抛物线 x2 = ay(a > 0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方
程是 ．
29．（2024 高三·全国·专题练习）已知抛物线C 同时满足以下三个条件
① C 的顶点在坐标原点；② C 的对称轴为坐标轴；③ C 的焦点F 在圆 x - 2 2 + y2 = 9上．
则C 的方程为 ．（写出一个满足题意的即可），
9
30．（2024 高二下·湖北·阶段练习）抛物线 y = 2x2 上的点A 到焦点F 的距离为 ，则点A 的纵坐标为 .
8
31．（2024 高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线 x2 = 2 y 的焦点为 F，点 M（3，6），点 Q 在抛物线上，
则 MQ + QF 的最小值为 ．
32．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知点 P 在抛物线 y2 = 4x上，点Q在圆 x - 5 2 + y2 =1上，则 PQ长度的
最小值为 .
33．（2024·吉林·模拟预测）抛物线 y2 = 4x上任意一点 P 到点M 5,0 的距离最小值为 .
34．（2024·河北石家庄·模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内
到两个定点 A，B 的距离之比为定值l l 1 的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为
阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy 中， A -3,1 , B -3,6 6，点 P 是满足l = 的阿氏
3
y 1= x2圆上的任一点，若抛物线 的焦点为F ，过点F 的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和
6
为 .
35．（2024·江苏无锡·三模）已如P 3,3 ，M 是抛物线 y2 = 4x上的动点（异于顶点），过M 作圆
C : x - 2 2 + y2 = 4的切线，切点为A ，则 MA + MP 的最小值为 .
36．（2024 高二下·江苏南京·期末）已知抛物线 C： y2 = 4x的焦点为 F，准线为 l，经过点 F 的直线与抛物
uuur uuuur uuuur uuur
线 C 相交 A，B 两点， l与 x 轴相交于点 M，若 AQ = QM ， AM = 2 BQ ，则 AF - BF = .
37．（2024 高三·全国·专题练习）已知点 M -3,2 是坐标平面内一定点， 若抛物线 y2 = 2x的焦点为 F ，
点Q是抛物线上的一动点， 则 MQ - QF 的最小值是 .
四、解答题
38．（2024 高二上·江苏淮安·期末）已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的准线与 x 轴交于点M -1,0 ．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 相切，求直线 l 的方程．
39．（2024 高二上·浙江杭州·期中）40．（2024 高二下·四川内江·期中）分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为 10，焦距为 4 的椭圆标准方程；
(2)经过点P -2, -4 的抛物线的标准方程.
41．（2024 高二上·全国·课后作业）已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：
(1) y2 = 6x ；
(2) 2y2 + 5x = 0．
42．（2024 高二上·江苏盐城·期末）已知直线 l 与抛物线 C： x2 = 4y交于 A，B 两点．
(1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，线段 AB 中点的纵坐标为 2，求 AB 的长；
(2)若直线 l 经过点
uuur uuur
0,2 ，求OA ×OB 的值．
1
43．（2024 高三下·湖南·阶段练习）已知O为坐标原点，抛物线C : y2 = 2 px(0 < p < 2)上一点P , 2 到
è p
÷
3
抛物线焦点的距离为 ，若过点M 2,0 的直线 l与抛物线C : y2 = 2 px交于A ， B 两点．
2
(1)证明：OA ^ OB；
(2)若 l与坐标轴不平行，且A 关于 x 轴的对称点为D，圆 N : x2 + y2 + 4x - 2y + 3 = 0，证明：直线BD恒与圆
N 相交．
44．（2024 高二·全国·专题练习）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)上一点P 6, y0 到焦点F 的距离
| PF |= 2 y0 ．求抛物线C 的方程；
