2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州外国语学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，那么等于( )
A. B. C. D.
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了如图，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是( )
A. B.
C. D.
3.如图，点、、、在半上，四边形、、均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，下列结论错误的是( )
A. B. 平分
C. D. 点为线段的黄金分割点
5.已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是( )
A. 抛物线开口向上 B. 抛物线与轴交于负半轴
C. 当时， D. 方程的正根在与之间
6.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和( )
A. 大于 B. 等于
C. 小于 D. 不能确定
7.如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在半径为的中，直径把分成上、下两个半圆，点是上半圆上一个动点与点、不重合，过点作弦，垂足为，的平分线交于点，设，，下列图象中，最能刻画与的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.分解因式： ______．
10.如图，线段，于点，于点，，，
点为线段上一动点，且以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的
三角形相似，则的长为______．
11.如图，在扇形中，，点是上的一个动点不与，重合，，，垂足分别为，若，则扇形的面积为______．
12.已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
，
，
，
，，
正确的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
计算：；
解分式方程：．
14.本小题分
如图，四边形中，平分，，为的中点，连接，．
求证：；
若，，求的值．
15.本小题分
已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点．
求证：、两点不可能同时在抛物线上；
点在抛物线上吗？为什么？
求和的值．
16.本小题分
如图，在矩形中，是大于的常数，，为线段上的动点不与、重合连接，作，与射线交于点，设，．
求关于的函数关系式；
若，求为何值时，的值最大，最大值是多少？
若，要使为等腰三角形，的值应为多少？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或或．
11.
12.
13.解：
；
，
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
14.证明：平分，
，
，
∽，
：：，
；
解：，为中点，
，
，
平分，
，
，
，
∽，
：：，
，
，
，
．
15.解：抛物线的对称轴为，
而，两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，、关于直线对称，
又与对称轴相距，与对称轴相距，
、两点不可能同时在抛物线上；
假设点在抛物线上，
则，解得，
因为抛物线经过个点中的三个点，
将、、、代入，
得出的值分别为，，，，
所以抛物线经过的点是，，
又因为，与矛盾，
所以假设不成立．
所以不在抛物线上；
由题意，抛物线可能经过或者，
将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
或将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
综上所述，或．
16.解：，
，
又，
∽，
，即，解得；
由得，
将代入，得，
所以当时，取得最大值为；
，只有当时，为等腰三角形，
≌，
，
此时，解方程，得，或，
当时，，
当时，．
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