2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知，下列式子一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形的一个角是，它的底角度数为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是边形．
A. 三 B. 四 C. 五 D. 六
5.下列命题中，假命题的是( )
A. 矩形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6.某农场开挖一条长米的渠道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成任务，若设原计划每天挖米，那么下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以就是一个“智慧数”，下面个数中不是“智慧数”的是( )
A. B. C. D.
8.已知，中，，，为边上的中线，若是线段上
任意一点，，交直线于点为的中点，连接并延长交直线于点若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.因式分解： ______．
10.如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是______．
11.如图，在四边形中，是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是______．
12.如图，在 中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置阴影部分，若小平行四边形的面积是，则 面积是______．
13.如图在中，，，点为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则的度数是______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
计算
解不等式组：．
解分式方程：．
15.本小题分
化简：，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称．
画出对称中心，并写出点的坐标；
画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
17.本小题分
在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点．
试说明与互相平分；
若，，求的长．
18.本小题分
某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球的数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元．
问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
该校决定再次购进、两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
19.本小题分
定义：若分式与分式的和等于它们的积，即，则称分式与分式互为“等和积分式”如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”又如求的等和积分式，可设其为，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：
判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；
求分式的“等和积分式”；
观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”______；
用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数，的值．
20.本小题分
【课本再现】
如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是______填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：；
，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
15.解：原式
，
，，，，
或，
当时，原式．
16.解：点坐标
如图，画出；
如图，画出．
17.解：、分别是、的中点，
是的中位线，
且．
又，即，
，，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
在中，，，，
由勾股定理得
又由知，，且，
．
在中，，，，
由勾股定理得．
18.解：设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元．
设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买个品牌篮球．
19.
【解析】解：是；
，
分式与分式是“等和积分式”；
设分式的“等和积分式”为，
则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
分式的“等和积分式”为，理由如下：设分式的“等和积分式”为，
则，
，
；
由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，
得：，
解得，
．
20.；
猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，
点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
设．
当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由易知，
，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
第1页，共1页