2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区西雅中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区西雅中学九年级（上）开学
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各点中，在直线上的点是( )
A. B. C. D.
2.菱形具有而矩形不具有的性质是( )
A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补
3.安徽砀山酥梨栽培历史悠久，是中国传统三大名梨之首甲、乙、丙、丁四个果篮中酥梨的平均质量与方差如下表所示，如果要挑选一个单果质量大且均匀的果篮，则应该选( )
果篮 甲 乙 丙 丁
平均质量克
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.将二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数图象的表达式是( )
A. B.
C. D.
5.设一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则顶点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的一元一次不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
9.小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上．直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.已知是方程的一个解，则另一个解为 ______．
13.点在直线上，则代数式的值是______．
14.如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则的周长为______．
15.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球
所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分已知铅球出手处距离地面的
高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的
处，则小丁此次投掷的成绩是______米
16.一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，点的坐标为______，若是上一动点当周长最小时，的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简：先化简，再求值：，然后从中选出一个你喜欢的整数作为的值代入求值．
18.本小题分
解方程：
；
．
19.本小题分
如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与轴的交点为，与轴的交点为．
若一次函数图象经过点，求一次函数的解析式；
在的条件下，求的面积．
20.本小题分
在一次“慈善一日捐”捐款活动中，某中学学生会对该校学生捐款进行随机抽样调查和分组统计，将数据整理成以下统计图信息不完整．
组别 组别捐款数元
请结合以上信息解答下列问题：
本次调查的样本容量是______；
样本中捐款数的学生有______人，并补全图中的捐款人数条形统计图；
若该校共有名学生，根据以上信息估计全校捐款超过元的人数是多少？
21.本小题分
如图，在平行四边形中，是上一点不与点，重合，，过点作，交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
当，时，求和的长．
22.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
23.本小题分
某服装店以每件元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量件与销售单价为正整数元之间符合一次函数关系，当销售单价为元时，月销售量为件；当销售单价为元时，月销售量为件．
求与的函数关系式；
如果每销售一件衬衫需支出各种费用元，设服装店每月销售该种衬衫获利为元，求与之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？
24.本小题分
若关于的方程有一个解为，那么称这样的方程为“明一方程”例如方程：有解，所以为“明一方程”．
下列方程是“明一方程”的有______；
；
；
．
已知直线与轴交于点，与轴交于点，，且当时，关于的方程为“明一方程”，求该直线解析式；
已知，为“明一方程”为常数，且的两个根，试求的取值范围．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点设点的横坐标为．
分别求直线和这条抛物线的解析式；
若，求此时点的坐标；
是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
，
且为整数，
，，，
又，，，
当时，
原式．
18.解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
所以，．
19.解：点在图象上，
，解得：．
点和点在图象上，
，
解得：，
一次函数解析式为：．
如图，过作轴于，
一次函数解析式为：，
时，，解得，
点坐标为，
，
，
，
．
20.；
类的人数是：人，
条形图如下：
捐数值不少于元的学生人数是：人．
答：捐数值不少于元的学生约有人．
21.证明：，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长是．
设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出．
，
在中，．
22.解：由题知，
，
解得．
又，
所以的取值范围是且．
因为该方程有两个实数根分别为、，
所以，．
又，
即，
所以，
解得，
经检验是原方程的解．
又且，
所以．
23.解：设与的函数关系式，由题意，得
，
解得：，
与的函数关系式为：；
由题意，得
，
与之间的函数关系式为：，
，
当时，最大利润为元，
为整数，
或时，元．
或时，元．
24.解：；
由题意，当时，关于的方程为“明一方程”，
当时，．
．
．
又直线与轴交于点，与轴交于点，
，．
．
．
又，
．
或．
或或．
直线解析式为或或．
由题意，为“明一”方程，
方程必有一个根是．
．
又，
，，且．
．
，为“明一方程”的两个根，
其中一个是，而另一个为．
．
，
．
．
25.解：设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
设，，，
则，，
当时，
，
，
整理得，
，舍去，
，
当时，
，
，
整理得，
舍去或；
，
当时，，
不存在，
综上所述：，；
设，
如图，当时，
如图，过作轴，作，，则，
，，
，，，，
，
，
∽，
，
，
整理得，
解得或与重合，舍去，
此时，
；
如图，当时，
过作轴于点，
则，，，，
同中方法可证∽，
，即，
整理得，
解得或与重合，舍去，
此时，
；
如图，当时，
过作轴交轴于点，过作于点，
则，，，，
同中方法可证∽，
，即，
整理得，，
解得或，
当时，，
，
当时，，
，
综上，的坐标为或或或
第1页，共1页