2024-2025学年广西名校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广西名校高三（上）调研数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若复数是方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设等比数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
7.已知点在抛物线：上，过点作圆：的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为( )
A. B. C. D.
8.根据公式，的值所在的区间是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某品牌新能源汽车年上半年的销量如下表：
月份
销量万辆
根据上表的数据，下列说法正确的是( )
A. 销量的极差为 B. 销量的平均数为
C. 销量的第百分位数为 D. 销量的中位数为
10.已知函数，则下列说法中正确的是( )
A. 当时，是的一个周期
B. 将的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若是奇函数，则的最小值为
C. 若存在，使得，则的取值范围是
D. 存在，使得在上单调递减
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于、两点在第一象限，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线的虚轴长为
B.
C. 的周长的最小值为
D. 当时，的内切圆面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，且，则 ______．
13.将一个底面半径为，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为______．
14.已知有，两个盒子，其中盒中有个黑球和个白球，盒中有个黑球和个白球，这些球除颜色外完全相同甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的个球全部放入盒中按上述方法重复操作两次后，盒中有个球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，面积为，已知．
求的大小；
若，是的中点，且，求．
16.本小题分
某高新技术企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件组装而成，这三个电子元件在生产过程中的次品率均为组装过程中不会造成电子元件的损坏，当且仅当三个电子元件都不是次品时，产品能正常工作，否则该产品为次品．
设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
安排质检员对这批产品进行逐一检查，确保没有次品流入市场现有两种方案，
方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；
方案二：安排一个质检员检测成品，若发现次品，则进行电子元件的更换，保证产品能正常工作更换电子元件的费用为元个．
已知每位质检员的月工资为元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择哪种方案？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面底面，，底面是边长为的正方形．
求证：；
是棱上一点，若与平面所成角为，求四棱锥的体积．
18.本小题分
椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于，两点当直线过坐标原点时，．
求椭圆的方程．
设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，过点作轴的平行线分别与直线，交于，两点试探究，，三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．
19.本小题分
已知函数，且轴是曲线的切线，
求的最小值；
证明：；
设，，证明：对任意，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得，
由余弦定理，可得，
即，又，
所以；
因为，所以，，
因为是中点，所以，
即，即，
代入，，，
解得，所以．
16.解：根据题意可得的所有可能取值为，，，，
易知，，，，
所以的分布列如下：
可得期望值为；
由可知，，
则；
若采用方案一，则每月支出总费用为元，
若采用方案二，
由可知平均每个产品需更换的电子元件个数，
则每月生产的件产品平均需更换个，
每月更换电子元件的总费用为元，
则每月支出总费用为元；
显然，
所以从企业获益的角度考虑，应该选择方案二．
17.证明：设与相交于点，连接，
因为底面是边长为的正方形，
所以，且点既是的中点，也是的中点，
又平面底面，平面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又点是的中点，
所以．
解：因为，是的中点，所以，
结合可得，，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为与平面所成角为，
所以，，解得，
所以，
所以四棱锥的体积．
18.解：由题意得，所以，
当过点的直线过坐标原点时，直线斜率为，
则此时直线的方程为，设直线与椭圆交点，
不妨取，则，且，
因为，所以，
由可得，，，
所以，解得，
故椭圆的方程为．
，，三点的横坐标构成等差数列，理由如下：
不妨设直线的方程为，，，
因为直线经过点，所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
，
因为，，三点共线，所以，
而，
即，
则，
故D，，三点的横坐标成等差数列．
19.解：由得，
因切线方程为，令，得，故可知切点为，
所以，得，
故，，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
故的最小值为．
证明：由可知，故，故，
令，，则，即，即，
故，
即，即证．
证明：由题意，
由得，
要证明对任意，，只需要
令，，，
令，，
在区间上单调递增，故A，故G，
故G在上递增，故只需证明
由可知，
由可知，故，
只需证明，化简为成立即可，
令，则，
在区间上单调递增，故B，所以，得证．
第1页，共1页