2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（一）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.如果，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.从分别写有，，，，，的张卡片中无放回随机抽取张，则抽到的张卡片上的数字之积是的倍数的概率为( )
A. B. C. D.
5.“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的指数．当大于时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
6.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. B. C. D.
8.有个砝码，总质量为，它们的质量从小到大依次构成等差数列，且最重的个砝码质量之和是最轻的个砝码质量之和的倍用这些砝码称一个质量为的物体，则需要的砝码个数至少为( )
A. B. C. D.
9.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.设，，数列中，，，则 ( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
11.函数的定义域是 ．
12.在等差数列中，公差不为，，且，，成等比数列，则 ；当 时，数列的前项和有最大值．
13.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为，对于此次测试，给出下列三个结论：
甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．
其中，所有正确的序号是 ．
14.设函数，当时，的单调递增区间为______；若且，使得成立，则实数的取值范围为______．
15.对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件“若，则”且，给出下列命题：
若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
对于任意给定符合题设条件的集合，，必有；
存在符合题设条件的集合，，使得；
存在符合题设条件的集合，，使得．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本题共2小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中，，，，当最大时，写出的值．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ求函数在区间上的最小值；
Ⅲ证明函数只有一个零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.
14.
15.
16.解：，
．
由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为：：：：，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；
在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，，，，；
；
；
；
的分布列为：
数学期望．
用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值．
17.解：Ⅰ，
又，，
则由点斜式可得，所求切线方程为，
即；
Ⅱ易知，令，在上恒小于，故在上单调递减，
且，
所以函数在上存在唯一零点，设为，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又，，
所以函数在区间上的最小值为；
Ⅲ证明：函数的定义域为，
由Ⅱ可知，函数在上的最小值为，
又当时，，则函数在上没有零点；
当时，，则在上单调递增，
又，
则函数在存在一个零点，即函数在定义域上只有一个零点．
第1页，共1页