2024-2025学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.若，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数是奇函数且在上单调递增，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
7.函数，若对恒成立，且在上有条对称轴，则( )
A. B. C. D. 或
8.设椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与交于，两点，点满足，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( )
A. 为等差数列 B. 不可能为常数列
C. 若为递增数列，则 D. 若为递增数列，则
10.甲、乙两班各有位同学参加某科目考试，考后分别以、的方式赋分，其中，分别表示甲、乙两班原始考分，，分别表示甲、乙两班考后赋分已知赋分后两班的平均分均为分，标准差分别为分和分，则( )
A. 甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高
B. 甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高
C. 甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数
D. 若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高
11.已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 是的一个周期
C. D. 的图象关于点对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为______．
13.若复数在复平面内对应的点位于直线上，则的最大值为______．
14.过抛物线：的焦点作直线交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若边上的高为，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，为圆的直径，．
证明：；
若圆台的高为，体积为，求直线与平面夹角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
若在恒成立，求的取值范围；
若，，证明：存在唯一极小值点，且．
18.本小题分
动点到直线与直线的距离之积等于，且记点的轨迹方程为．
求的方程；
过上的点作圆：的切线，为切点，求的最小值；
已知点，直线：交于点，，上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19.本小题分
设，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则抛掷次硬币后，记的概率为．
写出的所有可能情况，并求，；
证明：是等比数列，并求；
设抛掷次硬币后的期望为，求．
参考答案
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15.解：由，根据正弦定理得，
将代入，整理得，
因为，可得，所以，即，结合，得；
因为的边上的高，所以，解得．
由，得，解得．
根据余弦定理，得，即，
可得，所以，
因此，的周长．
16.解：证明：因为是圆台的一条母线，所以与的延长线必相交，
所以，，，四点共面，
连接，，，则平面，
因为平面，所以，
因为是圆的内接三角形，为圆的直径，所以，
因为为圆的直径，，
所以，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以；
因为圆台的高为，体积为，设圆的半径为，
则，解得，
因为圆面圆面，圆面平面，圆面平面，所以，
由知，，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，所以，
设直线与平面的夹角为，
则，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
17.解：对求导，得，
若，当时，，则，单调递增，不可能恒小于等于，
若，令，则，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取得最大值，，
要使恒成立，即，解得，
故的范围为；
证明：当时，，，
因为，在上单调递增，所以在上单调递增，
又，，
故存在，使得，即，
且当时，；当时，，
故存在唯一极小值点，
因为，即，
故，
因为，且在上单调递增，
所以，即，
又，故．
18.解：根据到直线与直线的距离之积等于，
可得，化简得，
结合，可得，整理得，即为曲线的方程；
设，可得，
根据点在曲线：，可知，所以当时，最小值为；
将直线：与消去，整理得，
设，，，
则，可得．
假设存在点，满足，则，可得．
由于在曲线上，所以，
化简得，即，解得，
由于，解得且，所以，不符合题意，舍去．
结合，可得，此时，即．
综上所述，存在点，使得．
19.解：当抛掷一次硬币结果为正时，；
当抛掷一次硬币结果为反时，；
当抛掷两次硬币结果为正，正时，；
当抛掷两次硬币结果为正，反时，；
当抛掷两次硬币结果为反，正时，；
当抛掷两次硬币结果为反，反时，．
，．
证明：由题知，，
当，且掷出反面时，有，此时，
当，且掷出正面时，有，此时，
，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
．
设与的概率均为，
由知，，
由题意得，
若，则，
当下次投掷硬币为正面朝上时，，
当下次投掷硬币时为反面朝上时，，
若，则下次投掷硬币为正面朝上时，，
当下次投掷硬币为反面朝上时，，
若，则，
当下次投掷硬币为正面朝上时，，
当下次投掷为反面朝上时，，
时，期望加，概率为，
时，期望加，概率为，
，
，
经检验，当时，也成立，
．
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