2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西百色市平果县铝城中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的零点是( )
A. B. C. D.
2.“”是“为锐角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.的两个顶点为，，周长为，则顶点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4.在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，则( )
A. B.
C. D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
6.已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在周易中，长横“
”表示阳爻，两个短横“
”表示阴爻．有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是系辞传所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”有放回地取阳爻和阴爻一次有种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况．所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析．在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是( )
A. B. C. D.
8.已知，，不等式，对满足当且时恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最大值
C. 有最小值 D. 有最小值
10.下列命题正确的是( )
A. 已知变量，的线性回归方程，且，则
B. 数据，，，，，，，，，的分位数为
C. 已知随机变量，最大，则的取值为或
D. 已知随机变量，，则
11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，，下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个周期
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是偶函数
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量服从，若，则______．
13.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ______．
14.如图，在三棱锥中，，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共4小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，分别为角，，所对的边在；；这三个条件中任选一个，作出解答．
求角的值；
若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求证：．
17.本小题分
如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起，使得平面平面得到四棱锥．
求证：平面平面；
过的中点的平面与平面平行，试求平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比．
18.本小题分
如图，一块正中间镂空的横杆放置在平面直角坐标系的轴上横杆上镂空的凹槽与轴重合，凹槽很窄，横杆的中点与坐标原点重合短杆的一端用铰链固定在原点处，另一短杆与短杆在处用铰链连接当短杆沿处的栓子在横杆上镂空的凹槽内沿轴左右移动时，处装有的笔芯在平面直角坐标系上画出点运动的轨迹连接杆可以绕固定点旋转一周，被横杆遮挡的部分忽略不计已知，．
求曲线的方程．
过点作直线与曲线交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若选择条件，
由正弦定理得：，
即，
又，可得，
，．
若选择条件，
，
，
，
，，可得．
若选择条件，
，
，可得，
，
，
由正弦定理得：，
，
，
锐角三角形，
，
，
．
16.解：依题意，，
故，又，
故所求切线方程为，即．
证明：由，得，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即恒成立，
所以恒成立．
17.解：，平面平面，平面平面，
平面，
，
又，，
平面，
又平面，
平面平面
平面平面，设平面与平面的交线为，
，
又是的中点，
是的中点；
同理：设平面与平面的交线为，
，
又是的中点，
为的中点；
同理：平面的交线，为的中点，
连接即为平面与平面的交线，故平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形是图中的四边形，
由于，，故，根据，由，，故，即四边形是直角梯形．
设，则，故四边形的面积是，三角形的面积是，
故平面与四棱锥各个面的交线所围成多边形的面积与三角形的面积之比为．
18.解：设，点，
过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，
则，
由题意可得，，，，
则，，
又，
消去参数可得，
所以曲线的方程为．
存在定点，满足恒成立．
证明如下：
设直线的方程为，
联立，
消整理得，
则，
设，，
则，，
若存在轴上的定点满足，
即，
则有，
所以．
又所在直线为轴，
所以直线，的斜率互为相反数，
所以，
即，
又，，
所以，
整理得．
从而可得，
即，
所以当时，式恒成立，
即时，恒成立，
特别地，当直线与轴重合时，也符合题意，
综上所述，存在轴上的定点，满足恒成立．
第1页，共1页