2024-2025学年安徽省六校教育研究会高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省六校教育研究会高三（上）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.设公差的等差数列中，，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，则该四棱锥外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.若当时，函数与的图象有且仅有个交点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量且，则下列选项正确的是( )
A.
B. 的最小值为
C.
D. 若，则
10.年瑞士数学家雅各布伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是时的双纽线上一点，下列说法正确的是( )
A. 双纽线的方程为
B.
C. 双纽线上满足的点有个
D. 的最大值为
11.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图像与函数的图像有且仅有一个公共点
B. 函数的图像与函数的图像没有公切线
C. 函数，则有极大值，且极大值点
D. 当时，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面四边形中，，，，，则 ______．
13.倾斜角为锐角的直线经过双曲线的左焦点，分别交双曲线的两条渐近线于，两点，若线段的垂直平分线经过双曲线的右焦点，则直线的斜率为______．
14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共个人，包括个大人，个小孩，计划去贵州漂流景点现有只不同的船只可供他们选择使用，每船最多可乘人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有______种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为．
求角；
若的面积，若，且，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为和的等边三角形，平面，设平面平面，点，分别在直线和直线上，且满足，．
证明：平面；
若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积．
17.本小题分
已知椭圆的左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的动点，满足，当为上顶点时，的面积为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于不同的两点，与、不重合，直线，分别与直线交于，两点，求的值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求证：函数有唯一极值点；
当时，求在区间上的零点个数；
两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求，的值．
19.本小题分
若数列满足，则称该数列为边界为的数列对于边界为的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”规定这种“降维”只能实施于边界为的数列如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”．
设数列的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”．
试证明：对于任意一个边界为的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”．
若数列的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负．
参考答案
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15.解：由于，根据正弦定理得，
所以，
所以，
则有，
在中，，，则．
由得，
故，又，且，
所以，
又，
所以，
所以，结合解得或，
当，时，，
故，此时三角形周长为；
当，时，，
故，此时三角形周长为．
16.解：证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
因为，所以，又，，，平面，
所以平面；
取中点，连接，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，
，
所以，
由，得，
由知，所以，
解得，所以三棱台的体积．
17.解：已知椭圆的左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的动点，
不妨设椭圆上顶点，
此时，
因为的面积为，
所以，
联立解得，，
所以椭圆的标准方程为．
依题意，直线的斜率存在，设斜率为，
又点，则直线的方程为，设，，
由，消去并整理得，
，
则，
直线的方程为，
令，得点的纵坐标，
则，
同理得，
所以
．
18.证明：函数，有，则在上单调递增，
当时，有，即．
当时，由，得，且．
当时，．
因为，，所以．
因为对任意恒成立，所以当时，．
则在上单调递减，在上单调递增，
所以是的唯一极值点．
解：当时，，，
当时，，所以在上单调递减，
因为，
所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点．
当时，令，则，
当时，有，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，故在上无零点，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以在上有且仅有一个零点．
综上所述：在上有且只有个零点．
解：设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，，
其斜率分别为，，则．
因为，所以．
所以．
不妨设，则．
因为，
由“合一切线”的定义可知，．
所以．
由“合一切线”的定义可知，，所以．
当时，取，
则，，，，符合题意．
所以．
19.解：由题意，可得该数列第项，
由递推公式，可得，
经计算，无论降维过程如何进行，最终得到的坍缩数都是．
设，，则，
故，，
所以，，，
所以，即，
所以当数列满足时，经过一次“降维”后得到的新数列仍然是边界为的数列，
故这种“降维”可以持续进行，直至得到一个只有一项的数列，从而得到“坍缩数”．
#替#换#丁#换#替定义运算#：，下面证明这个运算满足交换律与结合律：
，即运算“”满足交换律，
又由，
，
所以#替#换#丁#换#替，即运算“#”满足结合律，
所以对于给定的数列，持续“降维”后得到的“城缩数”是唯一确定的，与实施“降维”的具体操作过程无关，
对于给定的数列，且，
当为偶数时，注意到，
而，从而，
按如下方式进行“降维”：
首先去掉第项与第项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第项与第项，
在数列末尾添加按照此种方式进行次“降维”之后得到的数列各项皆为正，
因此最终得到的“坍缩数”必为正数．
当为奇数时，注意到，
而，从而，
按如下方式进行“降维”：
首先去掉第项与第项，在数列末尾添加；然后去掉原数列的第项与第项，
在数列末尾添加，按照此种方式进行次“降维”之后，
得到的数列各项皆为负数，因此最终得到的“扨缩数”必为负数．
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