2024-2025学年北京市延庆区高三上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市延庆区高三上学期9月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.若，，则一定有( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. 图象关于原点对称，且在上是增函数 B. 图象关于原点对称，且在上是减函数
C. 图象关于轴对称，且在上是增函数 D. 图象关于轴对称，且在上是减函数
7.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.已知数列中，，，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. 是等比数列 D.
9.设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.在中，，当时，的最小值为若，，其中，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的倍，得到的图象对应的函数解析式是 ．
13.已知函数在区间上存在最小值，则实数 ．
14.若函数存在最小值，则的一个取值为 ；的最大值为 ．
15.函数的图象可以近似表示某音叉的声音图象给出下列四个结论：
是函数的一个周期；
的图象关于直线对称；
的图象关于点对称；
在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和，并求的最大值．
17.本小题分
已知函数，再从条件条件条件中选择一个作为已知，
求的解析式；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
条件：函数的图象经过点；
条件：函数的图象可由函数的图象平移得到；
条件：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为．
注：如果选择条件条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最小值．
19.本小题分
为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和赛，每人只能参加其中的一项据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项组别 单人赛 赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组
小学组
从获奖学生中随机抽取人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
从中学组和小学组获奖者中各随机抽取人，以表示这人中赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
从获奖学生中随机抽取人，设这人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系结论不要求证明
20.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若对恒成立，求的取值范围；
若，证明：．
21.本小题分
已知数列，为从到互不相同的整数的一个排列，设集合，中元素的最大值记为，最小值记为．
若为：，，，，，，，，，，，，且，写出，的值；
若，求的最大值及最小值；
若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一

15.
16.Ⅰ设等比数列的公比为
，
即，解得：或
各项均为正数
Ⅱ由Ⅰ得：
当时，
是首项为，公差为的单调递减的等差数列
又 数列的前项为正数
当或时，取得最大值，且最大值为

17.
选：函数的图象经过点，则，
所以，则，
由，可得，则；
选：函数的图象可由函数的图象平移得到，
即的图象可由函数的图象平移得到，
则，则．
选：函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，
则函数的最小正周期为，故，
故．
当时，，则，
故，
又当时，关于的不等式恒成立，故，
即实数的取值范围为．

18.由题意得，，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
由上问得，
因为和均在区间上单调递减，
所以在区间上单调递减，
因为，
，
所以在上有且只有一个零点，记为，
所以时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以在区间上的最小值为．

19.解：Ⅰ设事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，
所以抽到的个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，
由表格知：，则．
Ⅱ由题意，可能值为，，，
，
的分布列如下：


所以．
Ⅲ由题设知，
所以．
20.解：由已知得函数定义域为，，
Ⅰ令得，因为，
，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
Ⅱ结合，由已知得在恒成立，
即在上恒成立，令，，显然，
再令，，故在上单调递减，
结合，
当时，，即，当时，，即，
即在上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值，也是的最大值，
故即为所求，故的取值范围是；
Ⅲ证明：由得，且，，
当时，令，，显然，
，
时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
故是的极大值，也是最大值，即时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以，，
两式相加得，即，
故．
21.当时，中的元素为中的三项相加，故最大元素，最小元素．
最小值为，的最大值．
证明：对于，，，，的一个排列，
若，则中的每一个元素为，，
由题意，，
那么，对于任意的，总有．
同理，由题意，
那么，对于任意的，总有，
当时，满足：，．
的最小值为．
由于，对于，，，，的一个排列，
中的每一个元素为，，
由题意，，
对于任意的，都有
，
即，．
构造数列：，，，
对于数列，设任意相邻项的和为，则
，或
若，则
，
若，则
，
所以，即对这样的数列，，
又，所以的最小值为．

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