人教版2024-2025学年六年级数学上册第二单元位置与方向(二)思维素养篇【从课堂到奥数】(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年六年级数学上册第二单元位置与方向(二)思维素养篇【从课堂到奥数】(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-16 09:21:59 | ||
图片预览
文档简介
目 录
【课内精选一】确定物体的位置。 3
【课内精选二】数对与位置。 4
【课内精选三】描述并绘制路线图。 5
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 6
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 7
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 8
【奥数拓展四】数列与位置。 9
【奥数拓展五】方格游戏。 10
第二单元位置与方向(二)思维素养篇【从课堂到奥数】
【课内精选一】确定物体的位置。
看图，填一填。以学校为观测点。
(1)小青家在学校( )方向( )米处。
(2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(3)商店在学校( )方向( )米处。
(4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(5)汽车站在学校( )方向( )米处。
【专项训练】
量一量，填一填。
(1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
【课内精选二】数对与位置。
看一看，填一填。
(1)用数对表示体育中心的位置是( )。
(2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。
【专项训练】
(1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。
(2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。
【课内精选三】描述并绘制路线图。
一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。
①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。
②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【专项训练】
操作。
（1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。
（2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。
图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。
【专项训练】
已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。
看图填空。
（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。
（2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。
（3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。
【专项训练】
曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。
（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？
（3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。
如图是芳芳每天从家到学校的路线图。
（1）根据路线图把表格中的数据补充完整。
路线 方向 路程 时间
家→超市 5分钟
超市→医院 10分钟
医院→学校 9分钟
（2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？
【专项训练】
小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。
（1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。
（2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？
【奥数拓展四】数列与位置。
已知数列，，…，则第10个数是( )。
【专项训练】
1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。
2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。
【奥数拓展五】方格游戏。
“扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下：
①图中阴影部分是雷区，共有10个雷；
②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。
例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。
请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×）
【专项训练】
1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。
2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下：
（1）图中共有6个宝物；
（2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量；
（3）数字所在的方格内没有宝物。
请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示）
图1 图2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
目 录
【课内精选一】确定物体的位置。 3
【课内精选二】数对与位置。 5
【课内精选三】描述并绘制路线图。 7
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 9
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 11
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 14
【奥数拓展四】数列与位置。 17
【奥数拓展五】方格游戏。 20
第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课堂到奥数】
【课内精选一】确定物体的位置。
看图，填一填。以学校为观测点。
(1)小青家在学校( )方向( )米处。
(2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(3)商店在学校( )方向( )米处。
(4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(5)汽车站在学校( )方向( )米处。
【答案】(1) 正东 1000
(2) 东 北 34
(3) 正北 800
(4) 西 北 34
(5) 正西 600
【分析】确定物体位置的三大要素是：方向、角度、距离，同时根据图上的方向：上北下南、左西右东，以及角度和距离就可以确定方位；
同时通过对图的观察，图上一格代表实际距离200米，用图上的的格子数量乘200即可得到去每个地方的实际距离。
【详解】（1）小青家距离学校有5格，即：5×200＝1000（米）
小青家在学校正东方向1000米处。
（2）小华家在学校东偏北34°的方向上。
90°－34°＝56°
还可以说小华家在学校北偏东56米。（共两种答案）
（3）商店距离4格学校，即：4×200＝800（米）
商店在学校正北方向800米处。
（4）小红家在学校西偏北34°的方向上。
或者：90°－34°＝56°，
还可以说小红家在学校北偏西56°的方向上。（共两种答案）
（5）汽车距离学校有3个格子，即：3×200＝600（米）
汽车站在学校正西方向600米处。
【点睛】本题主要考查方向的辨别，明确判定物体位置的三要素是解答本题的关键。
【专项训练】
量一量，填一填。
(1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
【答案】(1) 东 北 40 100
(2) 北 西 45 200
(3) 西 南 25° 100
(4) 东 南 35 200
【分析】观察图形可知，图上1格表示50米，则野生动物馆到售票亭的距离为2×50＝100米；鸟岛到售票亭的距离为4×50＝200米；表演区到售票亭的距离为2×50＝100米；海洋馆到售票亭的距离为4×50＝200米；再根据“上北下南，左西右东”及测量出的角度填空即可。
【详解】（1）2×50＝100（米）
野生动物馆在售票亭的东偏北40°（北偏东60°）的方向上，距离是100米。
（2）4×50＝200（米）
鸟岛在售票亭的北偏西45°（西偏北45°）的方向上，距离是200米。
（3）2×50＝100（米）
表演区在售票亭的西偏南25°（南偏西75°）的方向上，距离是100米。
（4）4×50＝200（米）
海洋馆在售票亭的东偏南35°（南偏东55°）的方向上，距离是200米。
【点睛】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”及测量出的角度是解题的关键。
【课内精选二】数对与位置。
看一看，填一填。
(1)用数对表示体育中心的位置是( )。
(2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。
【答案】(1)（1，4）
(2) 南 南偏东
【分析】（1）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后；
（2）根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，先以学校为观测点，确定出植物园的位置；再以图书馆为观测点，确定出剧院的位置。
【详解】（1）用数对表示体育中心的位置是（1，4）。
（2）90°－37°＝53°
以植物园为观测点，学校在植物园的南面；以图书馆为观测点，剧院在南偏东37°（东偏南53°）方向上。
【专项训练】
(1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。
(2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。
【答案】(1) （5，2） 小明 小红
(2) 北 东 60° 北 西 45°
【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。
（2）明确观测点后，根据地图“上北下南，左西右东”的规定，结合夹角进行描述。
【详解】（1）小亮的位置用数对表示为（5，2）；数对（y，4）表示的位置是第y列第4行，可能是小明，也可能是小红。
（2）小强在小明北偏东60°方向上。小明在小亮北偏西45°方向上。
【课内精选三】描述并绘制路线图。
一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。
①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。
②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【答案】①见详解
②见详解
【分析】①以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离2千米。
在客车行驶到6千米处的正东方向上画4÷2＝2厘米长的线段，即是终点站。
②根据位置的相对性，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同；由此写出客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【详解】①如图：
②一辆客车从终点站向正西方向行驶4千米，再向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶6千米到达起点站。
【专项训练】
操作。
（1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。
（2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。
【答案】（1）西；南；30；3
（2）见详解
【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离1千米。
（1）从图中可知，起点站与A站相距3厘米，那么实际相距1×3＝3千米，根据图上的方向、角度和距离，描述出汽车从起点出发到A站的路线。
（2）以A站为观测点，在A站的正西方向上画2÷1＝2厘米长的线段，即是B站；
再以B站为观测点，在B站的西偏北40°方向上画4÷1＝4厘米长的线段，即是终点站；
据此在图中标出B站与终点站的位置。
【详解】（1）一辆汽车从起点出发，先向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶3千米到达A站。
（2）如图：
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。
图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。
【答案】 正西 80
【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点B在点C的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。
【详解】三角形ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为180°。
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
180°－100°＝80°
所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。
【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是解答题目的关键。
【专项训练】
已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。
【答案】 北 东 30 4
【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方向；据此解答。
【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。
【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征是解答本题的关键。
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。
看图填空。
（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。
（2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。
（3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。
【答案】（1）（3，6）
（2）（3）见详解
【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析；
（2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。
（3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。
【详解】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示。
（2）
（3）
【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。
【专项训练】
曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。
（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？
（3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。
【答案】图见详解；
（1）（3，3）
（2）1600m
（3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表10m，即可描出点A，并用数对表示它的位置。
（2）同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。
（3）正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时，其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E，与AC组成的三角形面积都与三角形ADC的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。
【详解】（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是（3，3）
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是：
（20×2）
＝40
＝1600（m ）
（3）设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的
设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）（答案不唯一）。
【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计算、三角形面积的计算等。
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。
如图是芳芳每天从家到学校的路线图。
（1）根据路线图把表格中的数据补充完整。
路线 方向 路程 时间
家→超市 5分钟
超市→医院 10分钟
医院→学校 9分钟
（2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？
【答案】（1）见详解。
（2）960米；40米
【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。
（2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200＋400＋360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。
【详解】（1）如下图：
路线 方向 路程 时间
家→超市 东偏北60°（或北偏东30°） 200米 5分钟
超市→医院 东 400米 10分钟
医院→学校 东偏南30°（或南偏东60°） 360米 9分钟
（2）200＋400＋360＝960（米）
960÷（5＋10＋9）
＝960÷24
＝40（米）
答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。
【专项训练】
小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。
（1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。
（2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？
【答案】（1）见详解
（2）80米
【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100米。
小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是A地；
在A地的东偏北45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是B地；
在B地的西偏北30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是C地。
（2）已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时12.5分；
用加法求出从C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。
【详解】（1）200÷100＝2（厘米）
500÷100＝5（厘米）
300÷100＝3（厘米）
如图：
（2）12分30秒＝12.5分
（300＋500＋200）÷12.5
＝1000÷12.5
＝80（米）
答：他返回时每分钟行80米。
【奥数拓展四】数列与位置。
已知数列，，…，则第10个数是( )。
【答案】
【分析】通过观察可知，＝，＝，＝…，以此类推，第n个数是，据此解答。
【详解】根据分析可知，第10个数是
＝
＝
＝
【专项训练】
1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。
【答案】
【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。
【详解】16＋3＝19
19＋4＝23
所以这串数中第7个数是。
2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
【答案】28
【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个；
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）
＝10＋10＋8
＝20＋8
＝28
则按规律，是这列分数中的第28个。
【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。
【答案】
【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62 分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8 ；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。
【详解】当n＝5时，
（n＋2）2
＝（5＋2）2
＝72
＝49
n（n＋4）
＝5×（5＋4）
＝5×9
＝45
即第5个数是；
当n＝8时，
（n＋2）2
＝（8＋2）2
＝102
＝100
n（n＋4）
＝8×（8＋4）
＝8×12
＝96
即第8个数是。
【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。
【奥数拓展五】方格游戏。
“扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下：
①图中阴影部分是雷区，共有10个雷；
②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。
例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。
请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×）
【答案】见详解
【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3也已经有3个雷，所以这个数字3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还有1个是雷；第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷；第七行第一个数字2，周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第三个数字1有1个雷；第六行第二个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第二个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷；据此作图。
【详解】如图所示：
【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。
【专项训练】
1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。
【答案】16
【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方格中都是雷，总共16个。
【详解】如图所示：
图中共有16个雷。
【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。
2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
【答案】
【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。
【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。
答案如下图：
【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。
3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下：
（1）图中共有6个宝物；
（2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量；
（3）数字所在的方格内没有宝物。
请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示）
图1 图2
【答案】见详解
【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。
①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标记有宝物。
②分析5和另外一个3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。
往下类推，找出所有的宝物。
【详解】
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【课内精选一】确定物体的位置。 3
【课内精选二】数对与位置。 4
【课内精选三】描述并绘制路线图。 5
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 6
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 7
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 8
【奥数拓展四】数列与位置。 9
【奥数拓展五】方格游戏。 10
第二单元位置与方向(二)思维素养篇【从课堂到奥数】
【课内精选一】确定物体的位置。
看图，填一填。以学校为观测点。
(1)小青家在学校( )方向( )米处。
(2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(3)商店在学校( )方向( )米处。
(4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(5)汽车站在学校( )方向( )米处。
【专项训练】
量一量，填一填。
(1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
【课内精选二】数对与位置。
看一看，填一填。
(1)用数对表示体育中心的位置是( )。
(2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。
【专项训练】
(1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。
(2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。
【课内精选三】描述并绘制路线图。
一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。
①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。
②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【专项训练】
操作。
（1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。
（2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。
图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。
【专项训练】
已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。
看图填空。
（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。
（2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。
（3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。
【专项训练】
曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。
（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？
（3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。
如图是芳芳每天从家到学校的路线图。
（1）根据路线图把表格中的数据补充完整。
路线 方向 路程 时间
家→超市 5分钟
超市→医院 10分钟
医院→学校 9分钟
（2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？
【专项训练】
小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。
（1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。
（2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？
【奥数拓展四】数列与位置。
已知数列，，…，则第10个数是( )。
【专项训练】
1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。
2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。
【奥数拓展五】方格游戏。
“扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下：
①图中阴影部分是雷区，共有10个雷；
②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。
例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。
请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×）
【专项训练】
1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。
2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下：
（1）图中共有6个宝物；
（2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量；
（3）数字所在的方格内没有宝物。
请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示）
图1 图2
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
目 录
【课内精选一】确定物体的位置。 3
【课内精选二】数对与位置。 5
【课内精选三】描述并绘制路线图。 7
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。 9
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。 11
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。 14
【奥数拓展四】数列与位置。 17
【奥数拓展五】方格游戏。 20
第二单元位置与方向（二）·思维素养篇【从课堂到奥数】
【课内精选一】确定物体的位置。
看图，填一填。以学校为观测点。
(1)小青家在学校( )方向( )米处。
(2)小华家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(3)商店在学校( )方向( )米处。
(4)小红家在学校( )偏( )( )°的方向上。
(5)汽车站在学校( )方向( )米处。
【答案】(1) 正东 1000
(2) 东 北 34
(3) 正北 800
(4) 西 北 34
(5) 正西 600
【分析】确定物体位置的三大要素是：方向、角度、距离，同时根据图上的方向：上北下南、左西右东，以及角度和距离就可以确定方位；
同时通过对图的观察，图上一格代表实际距离200米，用图上的的格子数量乘200即可得到去每个地方的实际距离。
【详解】（1）小青家距离学校有5格，即：5×200＝1000（米）
小青家在学校正东方向1000米处。
（2）小华家在学校东偏北34°的方向上。
90°－34°＝56°
还可以说小华家在学校北偏东56米。（共两种答案）
（3）商店距离4格学校，即：4×200＝800（米）
商店在学校正北方向800米处。
（4）小红家在学校西偏北34°的方向上。
或者：90°－34°＝56°，
还可以说小红家在学校北偏西56°的方向上。（共两种答案）
（5）汽车距离学校有3个格子，即：3×200＝600（米）
汽车站在学校正西方向600米处。
【点睛】本题主要考查方向的辨别，明确判定物体位置的三要素是解答本题的关键。
【专项训练】
量一量，填一填。
(1)野生动物馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(2)鸟岛在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(3)表演区在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
(4)海洋馆在售票亭的( )偏( )( )°的方向上，距离是( )米。
【答案】(1) 东 北 40 100
(2) 北 西 45 200
(3) 西 南 25° 100
(4) 东 南 35 200
【分析】观察图形可知，图上1格表示50米，则野生动物馆到售票亭的距离为2×50＝100米；鸟岛到售票亭的距离为4×50＝200米；表演区到售票亭的距离为2×50＝100米；海洋馆到售票亭的距离为4×50＝200米；再根据“上北下南，左西右东”及测量出的角度填空即可。
【详解】（1）2×50＝100（米）
野生动物馆在售票亭的东偏北40°（北偏东60°）的方向上，距离是100米。
（2）4×50＝200（米）
鸟岛在售票亭的北偏西45°（西偏北45°）的方向上，距离是200米。
（3）2×50＝100（米）
表演区在售票亭的西偏南25°（南偏西75°）的方向上，距离是100米。
（4）4×50＝200（米）
海洋馆在售票亭的东偏南35°（南偏东55°）的方向上，距离是200米。
【点睛】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”及测量出的角度是解题的关键。
【课内精选二】数对与位置。
看一看，填一填。
(1)用数对表示体育中心的位置是( )。
(2)以植物园为观测点，学校在植物园的( )面；以图书馆为观测点，剧院在( )方向上。
【答案】(1)（1，4）
(2) 南 南偏东
【分析】（1）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后；
（2）根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，先以学校为观测点，确定出植物园的位置；再以图书馆为观测点，确定出剧院的位置。
【详解】（1）用数对表示体育中心的位置是（1，4）。
（2）90°－37°＝53°
以植物园为观测点，学校在植物园的南面；以图书馆为观测点，剧院在南偏东37°（东偏南53°）方向上。
【专项训练】
(1)小亮的位置用数对表示为( )，数对（y，4）表示的位置可能是( )，也可能是( )。
(2)小强在小明( )偏( )( )方向上。小明在小亮( )偏( )( )方向上。
【答案】(1) （5，2） 小明 小红
(2) 北 东 60° 北 西 45°
【分析】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此解答。
（2）明确观测点后，根据地图“上北下南，左西右东”的规定，结合夹角进行描述。
【详解】（1）小亮的位置用数对表示为（5，2）；数对（y，4）表示的位置是第y列第4行，可能是小明，也可能是小红。
（2）小强在小明北偏东60°方向上。小明在小亮北偏西45°方向上。
【课内精选三】描述并绘制路线图。
一辆客车从起点站向东偏北30°方向行驶6千米，再向正东方向行驶4千米到达终点站。
①根据上面的描述，把客车行驶的路线补充完整。
②根据路线图，说说客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【答案】①见详解
②见详解
【分析】①以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离2千米。
在客车行驶到6千米处的正东方向上画4÷2＝2厘米长的线段，即是终点站。
②根据位置的相对性，观测点不同，方向相反，夹角的度数相同；由此写出客车沿原路返回时所行驶的方向和路程。
【详解】①如图：
②一辆客车从终点站向正西方向行驶4千米，再向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶6千米到达起点站。
【专项训练】
操作。
（1）一辆汽车从起点出发，先向( )偏( )( )°方向行驶( )千米到达A站。
（2）到达A站后，再向正西方向行驶2千米到达B站，最后向西偏北40°方向行驶4千米到达终点站。请在图中标出B站与终点站的位置。
【答案】（1）西；南；30；3
（2）见详解
【分析】以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离1千米。
（1）从图中可知，起点站与A站相距3厘米，那么实际相距1×3＝3千米，根据图上的方向、角度和距离，描述出汽车从起点出发到A站的路线。
（2）以A站为观测点，在A站的正西方向上画2÷1＝2厘米长的线段，即是B站；
再以B站为观测点，在B站的西偏北40°方向上画4÷1＝4厘米长的线段，即是终点站；
据此在图中标出B站与终点站的位置。
【详解】（1）一辆汽车从起点出发，先向西偏南30°（或南偏西60°）方向行驶3千米到达A站。
（2）如图：
【奥数拓展一】在图形中确定物体的位置。
图中三角形ABC是等腰三角形。已知∠2＝40°，AC＝BC。点B在点C的( )方向上，点A在点C的东偏北( )°方向上。
【答案】 正西 80
【分析】以点C为观测点，根据“上北下南，左西右东”描述方向，则点B在点C的正西方向，等腰三角形中两个底角相等，根据三角形的内角和求出∠3的度数，∠3与∠4的和等于一个平角的度数，∠4＝180°－∠3，求出∠4的度数，即可求得。
【详解】三角形ABC中，∠1＝∠2＝40°，且三角形的内角和为180°。
180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
180°－100°＝80°
所以，点B在点C的正西方向上，点A在点C的东偏北80°方向上。
【点睛】掌握等腰三角形的特征，并根据三角形的内角和与一个平角的度数求出∠4的度数是解答题目的关键。
【专项训练】
已知下图中每个方格的边长是1厘米，三角形ABC是一个等边三角形，那么，点C在点A的( )偏( ) ( )°方向( )厘米处。
【答案】 北 东 30 4
【分析】观察题意可知，AB长4厘米，根据等边三角形的特征，可知AC长也是4厘米，∠BAC是60°；根据平面图上方向的规定：上北下南，左西右东，以A点为观测点即可确定C点的方向；据此解答。
【详解】点C在点A的东偏北60°或北偏东30°方向4厘米处。
【点睛】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法，明确等边三角形的特征是解答本题的关键。
【奥数拓展二】数对与位置综合应用。
看图填空。
（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对( )表示。
（2）如果一个小正方形的对角线长10米，点C在点B的南偏东45度方向20米处，请在图上标出C点；点D在A点的东偏南45度方向20米处，请在图上标出D点。
（3）连接ABCD四点，再画出将四边形ABCD向右平移3格后的图形。
【答案】（1）（3，6）
（2）（3）见详解
【分析】（1）用数对表示位置，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，据此分析；
（2）弄清要标示的物体在哪个方位上，有多少度，按要求的方位和度数准确画图；注意各场所离中心点的距离，根据要求的比例画出相应的长度。
（3）作平移后的图形步骤：找点－找出构成图形的关键点；定方向、距离－确定平移方向和平移距离；画线－过关键点沿平移方向画出平行线；定点－由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连点－连接对应点。
【详解】（1）如果A点的位置用数对（1，2）表示，那么B点的位置可用数对（3，6）表示。
（2）
（3）
【点睛】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。确定一个图形平移后的位置，除需要原来的位置外，还需要知道平移的方向、平移的距离。
【专项训练】
曾正同学是个数学迷。他在一张纸上画了10×10的方格用以研究有关图形的数学问题，假定一个方格的对角线长代表10m，所研究的点都是网格的交点。
（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是( )。
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是多少？
（3）请你设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的设计，这样的点共有( )个，写出其中的四个点E：( )、( )、( )、( )。
【答案】图见详解；
（1）（3，3）
（2）1600m
（3）11；（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）
【分析】（1）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数、平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”、方格的对角线长代表10m，即可描出点A，并用数对表示它的位置。
（2）同理，分别以点A的位置为观测点即可描出点B的位置、以点B的位置为观测点即可描出点C的位置、以点C的位置为观测点即可描出点D的位置，然后再把A、B、C、D连结成一个封闭图形。连结成的封闭图形是一个正方形，其边长是（20×2）米，根据正方形的面积计算公式“S＝a2”即可求出它的面积。
（3）正方形ABCD看作是由三角形ABC与三角形ADC的面积之和，且三角形ABC与三角形ADC的面积相等。三角形ACD看作底为4格，高为2格三角形，当底不变，高是2格时，其面积也不会变，因此，第5列上的任一点为E，与AC组成的三角形面积都与三角形ADC的面积相等。这样四边形ABCE的面积就与正方形ABCD的面积相等。这样的点在本图上共有8个：（5，0）、（5，2）、（5，3）、5，4）、（5，6）、（5，7）、（5，8）、（5，10）。可以写出其中四个（答案不唯一）。
【详解】（1）点（0，0）北偏东45°方向30m是点A，它的位置用数对表示是（3，3）
（2）点A北偏西45方向20m是点B，点B北偏东45°方向20m是点C，点C南偏东45°方向20m是点D。用A、B、C、D四个点顺次连接围成一个四边形，它的面积是：
（20×2）
＝40
＝1600（m ）
（3）设计不同于点D的另一个点E使得以A、B、C、E为端点的线段围成四边形的面积与第（2）题用A、B、C、D四个点顺次连接所围成的四边形面积相等。点E可以有不同的
设计，这样的点共有8个，写出其中的四个点E：（5，2）、（5，3）、（5，6）、（5，8）（答案不唯一）。
【点睛】此题考查的知识有：数对与位置、根据方向和距离确定物体的位置、正方形面积的计算、三角形面积的计算等。
【奥数拓展三】描述并绘制路线图。
如图是芳芳每天从家到学校的路线图。
（1）根据路线图把表格中的数据补充完整。
路线 方向 路程 时间
家→超市 5分钟
超市→医院 10分钟
医院→学校 9分钟
（2）芳芳每天从家出发到学校走多少米？平均每分钟走多少米？
【答案】（1）见详解。
（2）960米；40米
【分析】（1）先以家参照点建立方向标，向东偏北60°（或北偏东30°）方向走200米到超市；再以超市为参照点建立方向标，向东走400米到医院；最后以医院为参照点建立方向标，向东偏南30°（或南偏东60°）方向走360米到学校。
（2）把家到超市、超市到医院、医院到学校这三段路程加起来，即200＋400＋360，可求出芳芳每天从家出发到学校走的米数；再用5＋10＋9求出芳芳从家出发到学校走的分钟数（24分钟）；最后根据路程÷时间＝速度，用芳芳每天从家出发到学校走的米数÷从家出发到学校走的分钟数，可求出平均每分钟走的米数。
【详解】（1）如下图：
路线 方向 路程 时间
家→超市 东偏北60°（或北偏东30°） 200米 5分钟
超市→医院 东 400米 10分钟
医院→学校 东偏南30°（或南偏东60°） 360米 9分钟
（2）200＋400＋360＝960（米）
960÷（5＋10＋9）
＝960÷24
＝40（米）
答：芳芳每天从家出发到学校走960米，平均每分钟走40米。
【专项训练】
小华从家出发，先向东走200米到达A地，再向东偏北45°方向行500米到达B地，最后向西偏北30°方向行300米到达终点C地。
（1）根据上面的描述，把小华走的路线图画完整。
（2）如果从终点C原路返回家里用了12分30秒，那么他返回时每分钟行多少米？
【答案】（1）见详解
（2）80米
【分析】（1）以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1厘米相当于实际距离100米。
小华从家出发，在家的正东方向画（200÷100）厘米长的线段，即是A地；
在A地的东偏北45°方向上画（500÷100）厘米长的线段，即是B地；
在B地的西偏北30°方向上画（300÷100）厘米长的线段，即是C地。
（2）已知从终点C原路返回家里用了12分30秒，根据“1分＝60秒”可知，用时12.5分；
用加法求出从C地返回家的总路程，再根据“速度＝路程÷时间”，即可求出他返回时的速度。
【详解】（1）200÷100＝2（厘米）
500÷100＝5（厘米）
300÷100＝3（厘米）
如图：
（2）12分30秒＝12.5分
（300＋500＋200）÷12.5
＝1000÷12.5
＝80（米）
答：他返回时每分钟行80米。
【奥数拓展四】数列与位置。
已知数列，，…，则第10个数是( )。
【答案】
【分析】通过观察可知，＝，＝，＝…，以此类推，第n个数是，据此解答。
【详解】根据分析可知，第10个数是
＝
＝
＝
【专项训练】
1．找规律、1、、、、…，这串数中第7个数是( )。
【答案】
【分析】根据、、可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为和的分子之差为6，分母之差为8，即两数之间应该是，＝1。所以这串数中第7个数应该是的分子加上3，分母加上4之后所得的数。
【详解】16＋3＝19
19＋4＝23
所以这串数中第7个数是。
2．一列分数： 、、、、、、…，按规律，是这列分数中的第( )个。
【答案】28
【分析】观察数列可知，分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，发现分母是n的分数有（n－1）个，分子从1到n－1依次排列，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
分母是2的分数有1个，分母是3的分数有2个，分母是4的分数有3个，分母是5的分数有4个，分母是6的分数有5个，分母是7的分数有6个，分母是8的分数有7个；
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7
＝（1＋2＋7）＋（4＋6）＋（3＋5）
＝10＋10＋8
＝20＋8
＝28
则按规律，是这列分数中的第28个。
【点睛】本题考查数列的排列规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
3．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门。按这种规律写出的第5个数是( )，第8个数是( )。
【答案】
【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62 分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8 ；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。
【详解】当n＝5时，
（n＋2）2
＝（5＋2）2
＝72
＝49
n（n＋4）
＝5×（5＋4）
＝5×9
＝45
即第5个数是；
当n＝8时，
（n＋2）2
＝（8＋2）2
＝102
＝100
n（n＋4）
＝8×（8＋4）
＝8×12
＝96
即第8个数是。
【点睛】本题主要考查分数的变化规律，仔细的找到分子和分母的变化规律是解答的关键。
【奥数拓展五】方格游戏。
“扫雷”是一款经典的益智游戏，规则如下：
①图中阴影部分是雷区，共有10个雷；
②方格中的数字表示这个方格周围雷的个数。
例如：左图中标有“★”的方格周围有8个方格（标数的方格）。
请你根据上面的例图，完成下图。（是雷的标○，不是雷的标×）
【答案】见详解
【分析】根据题目规则，数字5周围的阴影部分都是雷，据此第四行的数字2周围已经有2个雷，所以这个数字2周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3也已经有3个雷，所以这个数字3周围其他阴影部分都不是雷；第四行的数字3右边的数字1已经有1个雷，所以这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；数字4已经有1个阴影部分不是雷，有3个是雷，说明还有1个是雷；第二行的数字3已经有3个雷，则这个数字3周围其他阴影部分不是雷；第六行第一个数字1，周围已经有2个不是雷，说明剩余1个阴影部分是雷；第七行第一个数字2，周围有2个雷；第七行第二个数字2已经有2个雷，说明剩余1个阴影部分不是雷；第六行第三个数字1有1个雷；第六行第二个数字1已经有1个雷，说明这个数字1周围其他阴影部分都不是雷；第五行第二个数字2已经有1个雷，2个不是雷，说明剩余1个是雷；第四行第二个数字2已经有2个雷，说明这个数字2周围其他地方都不是雷；据此作图。
【详解】如图所示：
【点睛】本题从数字一个个分析，能确定的地方先做好标记，是雷的标○，不是雷的标×，然后不能确定的地方根据做的标记进行分析即可。
【专项训练】
1．如图，每个小方块周围最多有8个小方块，外围没标数字的小方块是未探明的雷区，其中每个小方块最多有一个雷。内部的小方块没有雷，数字表示所在小方块周围的雷数。图中共有( )个雷。
【答案】16
【解析】如图，用小红旗表示不是雷，依次进行分析，可以得到所有不是雷的方格，剩下的方格中都是雷，总共16个。
【详解】如图所示：
图中共有16个雷。
【点睛】本题考查的是扫雷问题，扫雷实质上还是逻辑推理问题，在推理过程中，可以先把能够确定的地方标出来，然后再确定其它位置。
2．下面是找笑脸游戏，规则是：点开的方格中的数是几，就表示围着它的方格里共有几张笑脸。请你把所有的笑脸找出来。（在笑脸上画“○”，其他画“×”）
【答案】
【分析】首先从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸；然后根据点开的方格中是几，就代表周围的八个方格里有几个笑脸，判断出哪些方格中有笑脸即可。
【详解】右边的第二列、以及第三列和第四列的数字都是1，则可以判断最右边的一列的三个不是笑脸，右边第三列的中间一定是笑脸，则第四列中间的一个不是笑脸，左边第三列的两个也不是笑脸，由左边第三列的2判断出左边第二列的下面两个都是笑脸，由左下角的3可以判断出左第一列的中间是笑脸，有左上角的2可以判断第二列的上面的空不是笑脸。
答案如下图：
【点睛】此题主要考查了逻辑推理问题，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是从方格中没有数字的开始判断，判断出哪些方格中没有笑脸。
3．乐乐和芳芳一起玩游戏，规则如下：
（1）图中共有6个宝物；
（2）数字表示该方格周围（横、纵、斜）宝物的数量；
（3）数字所在的方格内没有宝物。
请仿照图1，在图2中画出宝物。（宝物用○表示）
图1 图2
【答案】见详解
【分析】根据题意，只有6个宝物，尽量找一些重合的地方标记宝物。
①数字5代表5的周围有5个宝物，3的周围有3个宝物，如下图，则有两个“√”号的可以标记有宝物。
②分析5和另外一个3，如图，有两个“√”号的可以标记有宝物。
往下类推，找出所有的宝物。
【详解】
21世纪教育网(www.21cnjy.com)