2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考
数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则( )
A. B. C. D.
2.在中，角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.设，，且，则( )
A. B. C. D.
4.天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知“河鼓二”的星等约为，“天津四”的星等约为，“河鼓二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是( )
注：结果精确到，当较小时，
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.如图为函数在上的图像，则的解析式只可能是 ．
A.
B.
C.
D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且满足，的导函数为，函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，且，则下列说法正确的是( )
A. 是偶函数
B. 在上单调递减
C.
D. 不等式的解集为
11.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体，若中间层旋转角为锐角，记表面积增加量为，则下列说法正确的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为______．
13.已知函数，则当时的最大值为______．
14.已知函数，若函数在有个不同的零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
Ⅰ求的解析式；
Ⅱ求当时，函数的值域．
16.本小题分
如图是函数图象的一部分．
Ⅰ求函数的解析式及单调递增区间；
Ⅱ求方程在上所有实根的和．
17.本小题分
哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从类道题中任选道进行答题，都答完后错题个数不超过道否则终止比赛才能进行第二轮答题；第二轮答题从类道题中任选道进行答题类题每答对一道得分，类题每答对一道得分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜总分分或分为三等奖，分为二等奖，分为一等奖某班参加活动的同学类题中只有道能答对，类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响．
Ⅰ求该同学被终止比赛的概率；
Ⅱ现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分的分布列及期望；
Ⅲ求该同学获得三等奖的概率．
18.本小题分
已知，，分别是三内角，，所对的三边，且．
求的大小；
若，的面积为，求，；
求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，证明：；
Ⅲ证明：．
参考答案
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15.解：Ⅰ是上的奇函数，
，即，
，
，，
；
Ⅱ，
，
，
时取最小值；时，取最大值，
的值域为．
16.解：Ⅰ由图知：，
且，解得，，
所以，
函数的单调递增区间满足：，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，；
Ⅱ方程，
即，
即，
因为，则，
所以，，，
即，，，
所以．
方程在上所有实根的和为．
17.解：Ⅰ从类道题中任选道，其中道会做，道不会做，则被终止比赛，
所以该同学被终止比赛的概率为；
Ⅱ由题意可知，的所有可能取值为，，，，
则，，，，
所以的分布列为：
所以；
Ⅲ该同学获得三等奖，共有两种情况，
第一轮得分答对道，则第二轮得分对道，
概率为，
第一轮得分答对道，则第二轮得分对道，
概率为，
所以该同学获得三等奖的概率为．
18.解：因为，
由正弦定理：，
因为，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
故，
解得；
因为，
所以，
即，
所以，
又因为，
所以；
因为，
所以，
设，因为，
所以，
由知，由余弦定理，得，
整理可得：，
可得，
即
，
时，取最小值；
时，取最大值，
所以的取值范围是．
即的取值范围为．
19.解：Ⅰ当时，，，
所以，所以，
故曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ证明：要证，即证，
即证，
分别令，，
则，显然时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以恒成立，当且仅当时取得等号，
即，当且仅当时取等号，
由可得，当且仅当时取得等号，
即有，但等号不能同时取得，
所以，所以成立．
Ⅲ证明：令，
则，
令，则，
则恒成立，所以在定义域上单调递增，
又，则时，，单调递减，
时，，单调递增，
则有，所以，
故，
令，则，
所以定义域上单调递增，则，即，
所以，
令，
易如其对称轴为，即，
易知，所以，
则．
证毕．
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