2024-2025学年黑龙江省伊春一中高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省伊春一中高三（上）期初数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的极值点为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为( )
A. B. C. D.
6.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.如图，现有一个底面直径为高为的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间单位：的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足：对任意实数，，都有成立，且给出下列四个结论：
；
的图象关于点对称；
若，则；
，其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是( )
A. ，
B.
C. 至少存在两个质数的平方是偶数
D. 存在一个直角三角形的三个内角成等差数列
10.若，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数有个不同的零点，则的取值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
13.已知函数，则函数的定义域为______．
14.已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的解析式；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性．
17.本小题分
已知．
求的取值范围；
求的最小值；
若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
在中，，，分别是内角，，的对边，且．
若，，为的中点，求的长
若，，，求的值．
19.本小题分
若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点．
判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点．
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：方法一令，得，
则，
所以．
方法二因为，
所以．
函数的定义域为关于原点对称，
且，
故，即为偶函数．
因，
则由可得，，
故．
16.解：，
则，
，
曲线在点处的切线方程为，即．
，令，得，，
当时，令，得，令，得或，
在上单调递减，在，上单调递增．
当时，令，得或，令，得，
在，上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在，上单调递减，在上单调递增．
17.解：，
因为，所以，所以．
因为为减函数，
所以的取值范围是，
即的取值范围是．
因为，
所以，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最小值为．
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即的取值范围为．
18.解：因为，，
所以，所以．
因为为的中点，所以，
则，即
，则．
因为，，
所以，
则，
则，即，得．
又，所以．
因为，所以，所以，则，为锐角，
所以，
所以，
整理得，解得或，
又，所以
19.解：函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以 ，
因为，，所以，
令，得，即，解得 ，
因为，
所以是上的“双中值函数”；
因为，所以 ，
因为是上的“双中值函数”，所以 ，
由题意可得 ，
设，则 ，
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数，
故 ，
因为，所以，所以，即的取值范围为；
证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证 ，
设，
则 ，
设，则，
所以在上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减，
因为，所以，即 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，
因为，所以 ，
由可知在上单调递增，所以，即得证．

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