2024-2025学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州一中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，满足，，，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，为锐角，且，，则( )
A. B. C. D.
6.设四棱台的上、下底面积分别为，，侧面积为，若一个小球与该四棱台的每个面都相切，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列、，下列说法正确的有( )
A. 若，则为递减数列
B. 若数列的前项和，则为等差数列
C. 若数列，都是等差数列，则为等差数列
D. 若数列，都是等比数列，则为等比数列
10.抛物线：的焦点为，为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，下列结论正确的是( )
A. 抛物线的方程为：
B. 抛物线的准线方程为：
C. 当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D.
11.已知函数，的定义域为，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若存在使在上单调递增，在上单调递减，则的极小值点为
D. 若为偶函数，则满足题意的唯一，满足题意的不唯一
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，，且，，则 ______．
13.已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为______．
14.已知是定义在上的奇函数，，且对任意，均有，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数单调递增，求实数的取值范围；
若函数只有一个极值点，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知的三个内角，，的对边分别为，，，．
求；
若，求面积的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，．
求四棱锥体积的最大值；
若二面角为，设平面与平面的交线为，为上的点，且，，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的中心为，离心率，点在轴上，，点是上一定点，到轴的距离为，且．
求双曲线的方程；
求上任一点和的距离的最小值；
若上的点，满足，求证：在上存在定点异于使得，，，在同一个圆上．
19.本小题分
有朵花围绕在一个圆形花圃周围，现要将其两两配对绑上缎带作为装饰，缎带之间互不交叉，例如：时，共有朵花，以、、、表示，绑上缎带的两朵用一条线连接，共有种方式，如图、所示．
当时，求满足要求的绑缎带方法总数；
已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，如时，出现图和图所示方法的概率均为记一次绑法中，共有对相邻的两朵花绑在一起．
当时，求的分布列和期望；
已知：对任意随机变量，有．
记满足条件的绑缎带方法总数为，的期望为求用和表示．
参考答案
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15.解：根据题意，函数，，则，
因为函数单调递增，
所以，即，
当时，恒成立，
当时，则有，解得，
综上，，即的取值范围为．
，
因为只有一个极值点，
则只有一个变号零点，
显然不是的零点，
所以有一个变号交点，
令，
所以函数在和分别单调递减，在上单调递增，
如图象所示，可得：，所以，所以，即的取值范围是．
16.解：由及正弦定理，
可得，
即，又，
则有，又，，
所以；
由知，即，
如图，设为边上的高，，，
则，，，
故，即，
又，所以，
三角形的面积，
所以的面积取值范围是．
17.解：在平面中过作，
因为，故，且，
故，
因为，故，故，
即，当且仅当时等号成立，故的最大值为，
因为平面平面，，平面平面，
平面，
故平面，
而正方形的面积为，
故四棱锥体积的最大值为．
由正方形可得，而平面，平面，
故AD平面，而平面，平面平面，
故，
由正方形可得，而面平面，
平面，平面平面，
故BC平面，而平面，
故BC，
故为二面角的平面角，故，
故为等腰直角三角形，故，
由可得平面，取的中点，连接，则，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，故，
故，故，
而，故，
即，
即或，
而，故，即，
又，，，
设平面的法向量为，
则由，可得，
故可取，
设与平直所成角为，
则．
18.解：因为，故点在的垂直平分线上，
且点在轴上，，故点的横坐标，
到轴的距离为，故点的纵坐标，
将点代入双曲线的方程得：，
且离心率，结合，
解得：，，
故双曲线的方程为；
点在轴上，，由对称性可知，
点在轴正半轴或者负半轴上，双曲线上任一点和的距离的最小值都一样，
不妨设，设双曲线上任一点，则，
，故，，
所以，
即，当点为时，取最小值，
故C上任一点和的距离的最小值为；
证明：当点在轴正半轴，在第一象限时，易得，，
故，设直线，的倾斜角分别为，，
由，得，
若，则，且，，，都在双曲线上，
易知此时四边形非等腰梯形，
故一定不满足，，，四点共圆，所以，
故直线，一定有交点，设直线，的交点为，
设直线的方程为：，联立，
化简得：，
故，
同理可得，
又，，，四点共圆等价于，
即，即，
故，且，
故直线的方程为，联立双曲线，有，
此时在上存在定点使得，，，在同一个圆上，
由对称性可知，当点在轴负半轴，或者点在其他象限时，
在上同样存在定点异于使得，，，在同一个圆上．
19.解：当时，有朵花围绕在一个圆形花圃周围，以、、、、、表示，
由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条缎带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，
故必不与奇数、配对，
按花朵的配对情况，分为三类：
与配对：另朵、、、的配对情况，同时共有朵花的配对方法数相同，故有种方法；
与配对：由对称性可知同与配对的方法数，故有种方法；
与配对：必与配对，必与配对，故只有种方法．
综上，完成这件事的方法数共有种方法，
列举如下：；；；；，
即满足要求的绑缎带方法总数为．
当时，有朵花围绕在一个圆形花圃周围．以、、、、、、、表示，
由题意可知，满足要求的绑缎带方法，任意一条级带绑后，其同侧不能剩余奇数个点，故不能与、、配对，
故按花朵的配对情况，可分为两类：
或配对：
若配对，则另朵、、、、、的配对情况，
同时共有朵花的配对方法数相同，故有种方法；
若配对，由对称性可知与配对方法相同，故也有种方法；
故有种方法；
或配对：由对称性，这两类配对方法也相同，
不妨设配对，由题意，必配对，而另外、、、的配对情况，
即同时共有朵花的配对方法数，有种方法；
故有种方法；
综上，完成这件事的方法数共有种方法．
已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等，则每一种方法的概率均为，
记一次绑法中，共有对相邻的两朵花绑在一起，
种方法中的有种方法；的有种；的有种；
则的所有可能值为，，，
；
；
．
故的分布列为：
，
故的期望为；
当时，显然有，此时，，
当时，若第朵花与相邻花相连，记随机变量，
则，
若第朵花不与相邻花相连，记随机变量，
则，
由于有对相邻的两朵花，
则，
则．
综上所述．
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