对数的运算和对数函数

课件37张PPT。进入返回目录1.对数函数的概念
函数 叫做对数函数.
2.对数函数的图象和性质. 图在下一页y=logax(a>0,且a≠1)3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为 .它们的图象关于 对称.反函数y=x返回目录返回目录学点一 比较大小比较大小：
（1） ， ；
（2） , ;
（3） , .【分析】从对数函数单调性及图象变化规律入手.返回目录【解析】（1）∵函数y=
在(0,+∞)上递减，又∵ ,
∴ .
（2）借助y= 及y= 的图象，
如图所示，在(1,+∞)内，前者在后者的下方，
∴ .
（3）由对数函数的性质知， >0, <0,
∴ > .返回目录【评析】比较两个对数值的大小，常用方法：
（1）当底数相同，真数不同时，用函数的单调性来比较；
（2）当底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；
（3）当底数与真数都不同时，需寻求中间值比较.返回目录比较下列各组数中两个值的大小：
（1） ;
（2） ;
（3） (a>0，且a≠1).
返回目录（1）考查对数函数y=log2x，因为它的底数2>1,所以它在(0,+∞)上是增函数，于是log23.4（2）考查对数函数y=log0.3x，因为它的底数满足0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数，于是log0.31.8>log0.32.7.
（3）对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1，而已知条件中并未明确指出底数a与1哪个大，因此，要对底数a进行讨论：
当a>1时，函数y=logax在(0,+∞)上是增函数，于是loga5.1当0loga5.9.返回目录学点二 求定义域求下列函数的定义域：
（1）
（2）
【分析】注意考虑问题要全面，切忌丢三落四.【解析】（2）由log0.5(4x-3)≥0
4x-3>0得0<4x-3≤1,
∴ ∴函数的定义域是 .返回目录(2)由 16-4x>0 x<2
x+1>0 得 x>-1
x+1≠1 x≠0.
∴-1∴函数的定义域是(-1,0)∪(0,2).【评析】求函数定义域实质上就是据题意列出函数成立的不等式（组）并解之，对于含有对数式的函数定义域的求解，必须同时考虑底数和真数的取值条件，在本例（2）（4）中还用到指数、对数的单调性.求下列函数的定义域：
（1） y= ;
（2） .
返回目录(1)要使函数有意义，必须且只需
x>0 x>0
log0.8x-1≥0 即 x≤0.8
2x-1≠0, x≠ ,
∴0因此，函数的定义域是 .返回目录（2）要使函数有意义，必须且满足
2x+3>0 x>
x-1>0 解得 x>1
3x-1>0 x>
3x-1 0 x
因此，函数的定义域为 (1,+∞) .返回目录学点三 求值域求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）y=loga(a-ax)(a>1).【分析】复合函数的值域问题，要先求函数的定义域，再由单调性求解.返回目录【解析】（1）∵-x2-4x+12=-(x2+4x)+12
=-(x+2)2+16≤16,
又∵-x2-4x+12>0, ∴0<-x2-4x+12≤16.
∵y=log x在(0,16］上是减函数,
∴y≥log 16=-4. ∴函数的值域为［-4,+∞).
（2）∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
又∵x2-2x-3>0,且y=log x在(0,+∞)上是减函数,
∴y∈R,
∴函数的值域为实数集R.（3）令u=a-ax,
∵u>0,a>1,∴ax∴y=loga(a-ax)的定义域为{x|x<1},
∵ax0,u=a-ax∴y=loga(a-ax)∴函数的值域为{y|y<1}.【评析】求函数的值域一定要注意定义域对它的影响，然后利用函数的单调性求之，当函数中含有参数时，有时需要讨论参数的取值.返回目录返回目录求值域：
（1）y=log2(x2-4x+6); （2） .(1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增函数,
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1.
∴函数的值域是［1,+∞).
(2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3,
∴ <0或 ≥ .
∴ ≥
∴函数的值域是 , 返回目录学点四 求最值已知f(x)=2+log3x,x∈［1,9］,求y=［f(x)］2+f(x2)的最大值及当y取最大值时x的值.【分析】要求函数y=［f(x)］2+f(x2)的最大值，首先要求函数的解析式，然后求出函数的定义域，最后用换元法求出函数的值域.【解析】∵f(x)=2+log3x,
∴y=［f(x)］2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)
=log32x+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为［1,9］,
∴要使函数y=［f(x)］2+f(x2)有定义，必须 1≤x2≤9
1≤x≤9.
∴1≤x≤3,∴0≤log3x≤1.
令u=log3x，则0≤u≤1.
又∵函数y=(u+3)2-3在［-3,+∞)上是增函数,
∴当u=1时，函数y=(u+3)2-3有最大值13.
即当log3x=1,即x=3时，函数y=［f(x)］2+f(x2)有最大值为13.【评析】求函数的值域和最值，必须考虑函数的定义域，同时应注意求值域或最值的常用方法.返回目录返回目录已知x满足不等式-3≤ ≤ ,求函数f(x)=
的最大值和最小值.∵-3≤ ≤ ，即 ≤x≤8,
∴ ≤log2x≤3,
∵f(x)=(log2x-2)·(log2x-1)=（log2x- ）2 - ,
∴当log2x= ,即x=2 时，f(x)有最小值- .
又∵当log2x=3,即x=8时，f(x)有最大值2,
∴f(x)min=- ,f(x)max=2.学点五 求单调区间求下列函数的单调区间：
（1）f(x)= ；
（2）f(x)=log0.1(2x2-5x-3).【分析】复合函数的单调性，宜分解为两个基本函数后解决.返回目录【解析】（1）令t=-2x2+x+6=-2 + .
∵由-2x2+x+6>0知- ∴当x∈ 时，随x的增大t的值增大，从而log t的值减小；
当x∈ 时，随x的增大t的值减小，从而log t的值增大.
∴函数y=log (-2x2+x+6)的单调增区间是 ，单调减区间是 .（2）先求此函数的定义域，由μ=2x2-5x-3>0得(2x+1)(x-3)>0，得x< - 或x>3.
易知y=log0.1μ是减函数，μ=2x2-5x-3在 上为减函数，即x越大，μ越小，∴y=log0.1u越大；在(3,+∞)上函数μ为增函数，即x越大，μ越大，∴y=log0.1μ越小.
∴原函数的单调增区间为 ，单调减区间为(3,+∞).返回目录【评析】复合函数单调区间的求法应注意三点：一是抓住变化状态；二是掌握复合函数的单调性规律；三是注意复合函数的定义域.返回目录已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
（1）求f(x)的定义域；
（2）讨论函数f(x)的单调性.
学点六 求变量范围返回目录已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).
（1）若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.【分析】若f(x)的定义域为R，则对一切x∈R,f(x)有意义；若f(x)值域为R，则f(x)能取到一切实数值.【解析】（1）要使f(x)的定义域为R，只要使μ(x)=ax2+2x+1的值恒为正值，
∴ a>0
Δ=4-4a<0，返回目录（2）若f(x)的值域为R，则要求μ(x)=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).
当a<0时，这不可能；当a=0时，μ(x)=2x+1∈R成立；当a>0时，μ(x)=ax2+2x+1要包含(0,+∞)，需
a>0
Δ=4-4a≥0?
综上所述，0 ≤a≤1.【评析】本题两小题的函数的定义域与值域正好错位.
（1）中函数的定义域为R,由判别式小于零确定；
（2）中函数的值域为R，由判别式不小于零确定.返回目录函数y=logax在x∈［2,+∞)上总有|y|>1，求a的取值范围.依题意得|logax|>1对一切x∈［2,+∞)都成立，
当a>1时，因为x≥2,所以|y|=logax>1，即logax>log22.所以1当01,所以logax<-1，即logax综上，可知a的取值范围为a∈（ ,1）∪(1,2).学点七 对数的综合应用已知函数f(x)= .
（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）证明：f(x)在(1,+∞)上是增函数.【分析】由函数的奇偶性、单调性的证明方法作出证明.返回目录【评析】无论什么函数，证明单调性、奇偶性，定义是最基本、最常用的方法.
返回目录u(x1)-u(x2)=
∵x2>x1>1,
∴x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
∴u(x1)-u(x2)>0,即u(x1)>u(x2)>0,
∵y=log u在(0,+∞)上是减函数,
∴log u(x1)即log ∴f(x1)∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.返回目录设f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x).
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来;如果不存在，请说明理由.
（1）由 >0
x - 1>0
p - x>0?
∴当p>1时，函数f(x)的定义域为(1,p)(p>1).（2）因为f(x)=
所以当 ≤1,即1值；当1< 3,x= 时，f(x)取得最大
值，log2 =2log2(p+1)-2，但无最小值返回目录学点八 反函数返回目录已知a>0,且a≠1，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是（ ）【分析】分a>1,0其次，从单调性着手，y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反，又可排除D，故只能选B.
解法二：若01，则曲线y=ax上升且过点(0,1)，而曲线y=loga(-x)下降且过(-1,0)，只有B满足条件.
解法三：如果注意到y=loga(-x)的图象关于y轴的对称图象为y=logax的图象，因为y=logax与y=ax互为反函数（图象关于直线y=x对称），则可直接选B.【评析】本题可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响.要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性.原函数y=f(x)与其反函数的图象关于y=x对称是其重要性质.返回目录若函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点
(2,-1),则a= . 反函数的图象过点(2,-1)，则f(x)=ax的图象过
(-1,2),得a-1=2,a= .返回目录返回目录1.如何确定对数函数的单调区间？（1）图象法：此类方法的关键是图象变换.
（2）形如y=logaf(x)的函数的单调区间的确定方法：
首先求满足f(x)>0的x的范围，即求函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增，在子区间I2上单调递减，则
①当a>1时，原函数与内层函数f(x)的单调区间相同，即在I1上单调递增，在I2上单调递减.
②当0返回目录对数函数与指数函数的学习要对比着进行，如它们的定义域和值域互换，它们的单调性与底数a的关系完全一致，指数函数和对数函数的图象分别过点(0,1)和点(1,0)等，这样有助于理解和把握这两个函数.3.如何理解反函数？学习过程中要注意指数函数与对数函数的关系和它们间的相互转化，掌握反函数的图象关于直线y=x对称，在解决有关指数函数和对数函数的问题时，要注意数形结合，注意运用复合函数“同增异减”的单调性原则，注意分类讨论.返回目录1.在指数函数与对数函数中，对底数的要求是一致的，均是a>0，且a≠1.但指数函数的定义域是R，对数函数的定义域是(0,+∞).对数函数的图象在y轴的右侧，真数大于零，这一切必须熟记.
2.反函数
（1）在写指数函数或对数函数的反函数时，注意函数的定义域且底数必须相同；
（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内单调性相同；（3）对数函数与指数函数互为反函数，因此，对数函数图象画法有两种：一是描点法，二是利用指数函数与对数函数互为函数的关系作图；
（4）互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；
（5）互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称.返回目录祝同学们学习上天天有进步！课件23张PPT。进入返回目录1.如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做 ,记作 ，其中a叫做 ，N叫做 .
2.对数的性质:
(1)1的对数等于 ;
(2)底数的对数等于 ;
(3)零和负数没有 .
3.以10为底的对数叫做 ,log10N记作 .
4.以无理数e=2.718 28…为底的对数称为 ，logeN记作 .以a为底N的对数x=logaN对数的底数真数01对数常用对数lgN自然对数lnN返回目录5. alogaN= .
6.对数换底公式为 .
7.如果a>0，且a≠1，M>0;N>0，那么：
（1）loga(MN)= ；
loga(N1N2…Nk)= ;
（2）loga = ;
（3）logaMn= .NlogaM+logaNlogaN1+logaN2+…+logaNklogaM-logaNnlogaMlogbN=返回目录学点一 不查表计算对数值计算下列各式的值:
(1) ;
(2) ;
(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5;
(4)lg500+lg - lg64+50(lg2+lg5)2.【分析】根据对数的运算性质创造条件，灵活地加以应用.返回目录【解析】（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5
=(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2+3lg2·lg5
=(lg2+lg5)2=1.（4）解法一：原式=lg（500×85）-lg +50［lg(2×5)］2
=lg800-lg8+50
=lg +50=lg100+50=2+50=52.
解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5- lg82+50
=lg100+50=52.返回目录【评析】（1）对于有关对数式的化简问题，解题的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”：将同底的和（差）的对数收成积（商）的对数.
（2）分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的.返回目录计算下列各式的值:
(1)lg52+ lg8+lg5·lg20+(lg2)2;
(2) ;
(3)
返回目录(1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.
(2)原式= .

(3)原式=返回目录学点二 求值问题【分析】解本题的关键是设法将45的常用对数分解为2,3的常用对数,再代入计算.【解析】解法一: = lg45= lg
= (lg9+lg10-lg2)
= (2lg3+1-lg2)
=lg3+ - lg2
=0.477 1+0.5-0.150 5
=0.826 6.已知lg2=0.301 0,lg3=0.477 1,求 的值.返回目录【评析】在运算过程中注意运算法则的正确运用,体会lg2+lg5=1性质的灵活运用.解法二: = lg45= lg(5×9)
= (lg5+2lg3)
= (1-lg2+2lg3)
= - lg2+lg3=0.826 6.返回目录(1)用lg2和lg3表示lg75;
(2)用logax,logay,logaz表示loga .(1)原式=lg(25×3)=lg(52×3)=2lg5+lg3
=2lg（ ）+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3.
(2)原式=loga(x4· )-loga
=4logax+ loga(y2z)- loga(xyz3)
=4logax+ (2logay+logaz)- (logax+logay+3logaz)
= logax+ logay- logaz.返回目录学点三 条件求值已知log189=a,18b=5,求log3645.【分析】利用对数换底公式和其他对数公式变形.【解析】解法一：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,
于是log3645= =
解法二：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,
于是log3645 = .返回目录【评析】（1）解决这类问题，要注意分析条件和所求式子之间的联系，找到联系就找到了思路.
（2）当出现多个不同底的对数时，往往要用换底公式统一成适当的同底来解决，要有“化同底”的意识.
（3）题中利用了“方程组”的观点，把log32,log35作为两个未知数处理.(1)已知6a=27,求log1618;
(2)已知log310=a,log625=b,求log445.
返回目录(1) ∵6a=27,∴a=log627= ,
∴log23= .
∴log1618= .
(2)a=log310=log32+log35 ①
b=log325log36= ②
由①②可知log32= ,log35= .
于是log445 = .返回目录学点四 对数方程已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x.【分析】对简单的对数方程，同底法是最基本的求解方法，利用换底公式可得logaN=loganNn(N>0,n≠0).【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5),
∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0,
解得x=-1或x=4.
将x=-1，x=4分别代入方程,检验知x=-1不合题意，舍去.
∴原方程的根为x=4.【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域，因此，在解对数方程后要验根.返回目录
(1)方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为 .
(2)方程lgx2-lg(x+3)=lga(a∈(0,+∞))在区间(3,4)内有解，则a的取值范围为 .(1) (2)32(1)∵log2(x-1)=2-log2(x+1),
∴log2(x2-1)=2,
∴x2-1=4,
∴x=±5.
经检验,x=-5是增根,舍去.
∴方程的解为x=5.返回目录(2)∵lgx2-lg(x+3)=lga在(3,4)内有解.整理得 .
∴x2-ax-3a=0在(3,4)内有解，
设f(x)=x2-ax-3a.
该函数恒过(0,-3a),
故只需 f(4)>0
f(3)<0,
∴32log89·log2732= = .
(2)原式=71+lg2·21-lg7=(7×2)(7lg2×2-lg7)=14.【分析】利用换底公式及其他对数公式化简求值.(1)求log89·log2732的值;
(2)求7lg20· ( )lg0.7的值.学点五 换底公式的应用返回目录返回目录(1) （2）15
解： (1)原式=(log32+ )（ )
= log32× log23= .
(2)原式= + +13=15.(1)(log32+log92)(log43+log83)= .
(2)log2 +log927+4 = .返回目录1.如何理解对数的有关概念？
(1)对数概念比较难理解,学习时要注意对数是幂运算的逆运算,是由底和幂求幂指数的运算.抓住对数与指数的相互联系,深刻理解对数与指数的关系.
(2)重视指数式与对数式的互化,利用指数式研究对数式的运算性质.
(3)对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算培养自己的逆向思维能力.2.怎样掌握对数的有关运算公式?
（1）对公式形式要熟悉,公式的导出要理解,公式中的限制条件要记住.
（2）利用对数运算法则时,要注意各个字母的取值范围:M>0,N>0,a>0,a≠1,要注意,只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才能成立.
例如:log2［(-3)×(-5)］是存在的,但log2(-3),log2(-5)都不存在,因此，不能得出log2(-3)×(-5)=log2(-3)+log2(-5);又如log10(-10)2是存在的,但log10(-10)无意义,因此，不能得出log10(-10)2=2log10(-10).返回目录返回目录1.ab=N与logaN=b是a,b,N同一关系的两种不同的表示形式，应熟练掌握其转化关系，这也是解指数方程和对数方程的常用方法.
2.在对数式logaN=b中，规定了a>0，且a≠1，这一条件在所有对数关系中都成立.
3.在对数式logaN=b中，N>0，这一限制条件在研究对数方程等方面都应注意.祝同学们学习上天天有进步！对数概念
（一）引入：从指数问题的实例导入，见教科书P80例题：
假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍，则有 ， ，
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式中，已知a 和N求b的问题（这里 ）。
（二）讲解：
1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数。
即，
指数式
底数
幂
指数
对数式
对数的底数
真数
对数
说明：1．在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）
2．对任意 且 , 都有 ∴，同样：．
3．如果把中的写成， 则有 （对数恒等式）．
2．对数式与指数式的互换
例如：

例1．将下列指数式写成对数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）； （2）； （3）； （4）．
3．介绍两种特殊的对数：
①常用对数：以10作底 写成
②自然对数：以作底为无理数，= 2.71828…… ， 写成 ．
例2．（P81）将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）； （2）； （3）； （4）．
例3．（1）计算： ， ．
解：设 则 ， , ∴；
令， ∴, , ∴．
（2）求 x 的值：①； ②．
解：① ；
②
但必须： ， ∴舍去 ，从而．
（3）求底数：①， ②．
解：① ∴；
②, ∴．
作业：P84 习题2.7 1，2，
补充：1．计算：（1）； （2）．
2．求 x 的值：（1）； （2）．
3．求底数：； ．
对数的运算性质
1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a ( 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）；
（2）；
（3）．
证明：（性质1）
设，，
由对数的定义可得 ，，
∴，
∴，
即证得．
练习：证明性质2．
说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；
（2）注意有时必须逆向运算：如 ；
（3）注意定义域： 是不成立的，
是不成立的；
（4）当心记忆错误：，试举反例，
，试举反例。
2．例题分析：
例1．用，，表示下列各式：
（1）； （2）．
解：（1）
；
例2．求下列各式的值：
（1）； （2） ．
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
例3．计算：
（1）lg1421g； （2）； （3）．
解：（1）解法一：
；
解法二：
=；
说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。
（2）；
（3）=．
说明：本例体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（3）题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）题要避免错用对数运算性质。
练习：练习1，2，3
小结：1．对数的运算法则（积、商、幂、方根的对数）及其成立的前提条件；
2．运算法则的逆用，应引起足够的重视；
3．对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧：
如（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；
（2）要避免错用对数运算性质。
作业：第3，4，5，6
补充：计算：（1）；（2）．
总结1．基本性质：若且，，则
（1），；
（2）．
2．运算性质：如果 a > 0 ， a ( 1， M > 0 ，N > 0，那么
（1）；
（2）；
（3）．
例4．已知，，求的值。
分析：此题应注意已知条件中的真数2，3，与所求中的真数有内在联系，故应将1.44进行恰当变形：，然后应用对数的运算性质即可出现已知条件的形式。
解：

．
说明：此题应强调注意已知与所求的内在联系。
例5．已知，求．
分析：由于是真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，的存在使变形产生困难，故可考虑将移到等式左端，或者将变为对数形式。
解：（法一）由对数定义可知：．
（法二）由已知移项可得，
即，由对数定义知：，
∴ ．
（法三），
∴，
∴ ．
说明：此题有多种解法，体现了基本概念和运算性质的灵活运用，可以对于对数定义及运算性质的理解。
例6．（1）已知，用a表示；
（2）已知，，用、表示 ．
解：（1）∵，
∴，
∴ log 3 4 ( log 3 6 = ．
（2）∵， ∴，
又∵，
∴=．
练习：1．已知，试用表示；
2．已知，求的值。
补充：1．化简：；
2．已知，求的值。
换底公式
1．换底公式： ( a > 0 , a ( 1 ；)
证明：设，则，
两边取以为底的对数得：，∴，
从而得： ， ∴ ．
说明：两个较为常用的推论：
（1） ； （2） （、且均不为1）．
证明：（1） ；
（2） ．
2．例题分析：
例1．计算：（1） ； （2）．
解：（1）原式 = ；
（2） 原式 = ．
例2．已知，，求（用 a, b 表示）．
解：∵， ∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
例3．设 ，求证：．
证明：∵，
∴ ，
∴ ．
例4．若，，求．
解：∵，
∴，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
例5．计算：．
解：原式

．
例6．若 ，求．
解：由题意可得：，
∴，
∴．
补充：1．求下列各式的值： （1） ； （2）； （3）；
（4）．
2．已知 ， 求 的值。
3．已知，，用表示．
4．已知 ， 求．
5．设为不等于的正数，若 且 ，求证：．
6．求值：．
7．求值：．
对数函数
回忆学习指数函数时的实例——细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数．
反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数，由对数定义： ，
即：次数y是个数x的函数 ．
（二）讲解：
1．对数函数的定义：函数 叫做对数函数。
2．对数函数的性质：
（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．
（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。
同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。

（3）对数函数性质列表：
图
象

性
质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即当时，
（4）在（0，+∞）上是增函数
（4）在上是减函数
2．例题分析：
例1．求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）．
分析：此题主要利用对数函数的定义域求解。
解：（1）由>0得，
∴函数的定义域是；
（2）由得，
∴函数的定义域是；
（3）由9-得-3，
∴函数的定义域是．
说明：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式。
例2．求函数和函数的反函数。
解：（1）
∴ ；
（2）
∴ ．
例3．作出下列函数的图象：
（1） （2）．
分析：本题主要利用函数图象的平移、对称变换来作图（图略）。
练习：P89页，练习1，2．
作业：习题2.8 第1、2、4题。
例4．比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），； （3），.
解：（1）对数函数在上是增函数，
于是；
（2）对数函数在上是减函数，
于是；
（3）当时，对数函数在上是增函数，
于是，
当时，对数函数在上是减函数，
于是．
说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的，底数与1的大小关系不明确时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小。
例5．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：
（1），； （2），；
（3），，； （4），，．
解：（1）∵，
，
∴；
（2）∵，
，
∴．
（3）∵，
，
，
∴．
（4）∵，
∴．
说明：本例是利用对数函数的增减性比较两个数的大小，当不能直接进行比较时，可在两个对数中间插入一个已知数（如1或0等），间接比较上述两个对数的大小。
例6．已知，比较，的大小。
解：∵， ∴，
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，
∴， ∴．
当，时，得，，
∴，， ∴．
综上所述，，的大小关系为或或．
练习：
1．已知，则下列不等式成立的是 （ ）
． ． ． ．
2．已知，，，则下列不等式成立的是 （ ）
． ．
． ．
3．已知，其中，则下列不等式成立的是 （ ）
． ．
． ．
4．若且，则的取值范围是 ．
作业：习题2.8 第3题
补充：1．比较下列各组值的大小：（1），；（2），；
（3），，；（4），，；
2．设，且，比较，，的大小。
3．已知，求的取值范围；
4．已知（且），
求：（1）的定义域； （2）使的的取值范围。
例7．求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（且）．
解：（1）令，则，
∵， ∴，即函数值域为．
（2）令，则，
∴， 即函数值域为．
（3）令，
当时，， 即值域为，
当时，， 即值域为．
例8．判断函数的奇偶性。
解：∵恒成立，故的定义域为，
，
所以，为奇函数。
例9．求函数的单调区间。
解：令在上递增，在上递减，
又∵， ∴或，
故在上递增，在上递减， 又∵为减函数，
所以，函数在上递增，在上递减。
说明：利用对数函数性质判断函数单调性时，首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法来求单调区间。
例10．若函数在区间上是增函数，的取值范围。
解：令，
∵函数为减函数，
∴在区间上递减，且满足，
∴，解得，
所以，的取值范围为．
练习：1．函数的定义域是 ，值域是 ；
2．若函数在上是增函数，的取值范围是 ；
3．函数的值域是 ，单调增区间是 ．
补充： 1．求函数的定义域；
2．如函数的定义域是，求函数的定义域；
3．求函数的单调区间及值域；
4．求函数（且）的定义域、值域及单调区间；
5．判断函数的奇偶性；
6．若函数在上是增函数，的取值范围。
课件29张PPT。 高中数学必修 ①国际育才高一数学组对数函数的概念与图象考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗
址上死亡的残留物，利用 估计
出土文物或古遗址的年代. t 能不能看成是 P 的函数？ 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系 ，都有唯一
确定的年代 t 与它对应，所以，t 是P的函数. 一般地,函数 y = loga x (a＞0,且a≠ 1 )叫做对数函数.其中 x是自变量,函数的定义域是（ 0 , +∞）.对数函数的定义：注意:1)对数函数定义的严格形式;，且2)对数函数对底数的限制条件：
在同一坐标系中用描点法画出对数函数
的图象。作图步骤: ①列表,
②描点,
③用平滑曲线连接。探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质列表描点作y=log2x图象连线探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质列表描点连线 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 思考这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质… … … … … … 定义域 :( 0,+∞) 值 域 :R
增函数在(0,+∞)上是：探索发现:认真观察函数y=log2x
的图象填写下表图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐上升探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质21-1-21240
y x3定义域 :( 0,+∞) 值 域 :R
减函数在(0,+∞)上是：图象位于y轴右方图象向上、向下无限延伸自左向右看图象逐渐下降探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质探索发现:认真观察函数
的图象填写下表探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质对数函数 的图象。猜猜: a>1 时a的值越大图象在 的部分越靠近 轴
思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？规律：在x轴
上方图象自左
向右底数越来
越大！x图 象 性 质a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1定义域 : 值 域 :过定点:在(0,+∞)上是：在(0,+∞)上是( 0,+∞)R
(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0增函数减函数例1求下列函数的定义域：（1） （2） 讲解范例 解 :解 :由 得 ∴函数 的定义域是由 得 ∴函数 的定义域是练习 1.求下列函数的定义域：（1）（2）比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 ∴ log23.4< log28.5解：考察函数y=log 2 x ,∵a=2 > 1,∴函数在区间（0，+∞）
上是增函数；∵3.4<8.5 比较下列各组中，两个值的大小：
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7解：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7 小结 比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7小
结比较两个同底对数值的大小时:１.观察底数是大于1还是小于1；
（ a>1时为增函数0即0 1比较下列各组中，两个值的大小：
（3） loga5.1与 loga5.9解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9
②若0 ∴ loga5.1 > loga5.9你能口答吗？变一变还能口答吗？<，则m___n;则m___n.><>指数函数和对数函数的关系在统一坐标系中作出下列函数的图象并思考它们之间有什么关系？
（1）
（2）
通过观察可以知道底数相同的指数函数和对数函数的图象关于直线 对称.一般的，函数 中 是自变量， 是 的函数，设它的定义域为 ，值域为 .
在函数 中用 把 表示出来，得到 ， 若对于 在 中的任何一个值，在 中就有唯一的一个 与之对应，则
就表示 是自变量， 是自变量 的函数，这样的函数 叫函数
的反函数，记做：
用常用形式表示（即互换），有：试举几对互为反函数的例子：四、小结：1．掌握对数函数的图象和性质；
2．能利用对数函数的性质解决有关问题.
3. 了解指数函数与对数函数的图象的联系.1.记住对数函数的定义;2.会画对数函数的图象。知识与技能目标：过程与方法目标：情感态度价值观目标： 经历函数 和 的画法,观察其图象特征并用代数语言进行描述得出函数性质,进一步探究出函数 的图象与性质. 通过本节课的学习增强学生的数形结合思想.作业: P74.习题2.2 7，8思考 求下列函数的定义域分析：注意函数特点，应用对数函数单调性解决.思考 已知下列不等式，比较正数 的大小：分析：从对数函数的单调性入手.思考 求下列两个函数的定义域、值域和单调区间：分析：关键是把握好复合函数单调性的判断.例3 若实数 满足 ，求 的取值范围. 分析：一是要把握住对数函数的单调性；
二是要注意分类讨论.课件21张PPT。 高中数学必修 ①国际育才高一数学组2.2.1对数与对数运算一、学习目标在熟悉指数的基础上充分理解对数的定义；
熟练掌握指数式和对数式的互换；
能够求出一些特殊的对数式的值.
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）.他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明.恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就. 二、知识铺垫一、实例：假若我国国民经济生产总值平均每年增长8%，则经过多少年国民生产总值是现在的两倍？ 设：经过x年国民生产总值是现在的两倍，现在的国民生产总值是a. 根据题意得： 即：如何来计算这里的x？三、知识引入其中a叫做对数的底数, N叫做真数. 1.对数的定义： 一般地，如果a ( a > 0 , a ≠ 1 )的b次幂等于N，就是 那么数b叫做以a为底N的对数，记作: 四、讲授新课底数幂真数指数对数指数和对数的关系相互转化指数式与对数式的对比底数
指数底数
对数
幂值真数由对数的概念可知：1. 负数和零 _____ 对数；注意：1. 负数和零 没有 对数；一般对数的两个特例：1.常用对数：
以10为底的对数.
并把 简记作 . 2.自然对数：
以无理数e = 2.71828…为底的对数.
并把 简记作 . 对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数 例题1：将下列指数式写成对数式：例题讲解例题2：将下列对数式写成指数式：例题讲解课本64页 1.把下列对数写成指数形式课堂练习求下列式中x的值
例题讲解32．求x的值：解：∵∴求真数
例题讲解②∵解：又∵∴ 求底数
③解：∵∴∴求对数
例题讲解例4解：设则∴ 解：设则即∴ ∴ 求对数
求对数
例题讲解x例3．求下列各式的值： 例4.计算：小结：1°对数的定义2°互换(对数与指数会互换)3°求值(已知对数、底数、真 数 其中两个，会求第三个）1.要求理解对数的概念，
2.能够进行对数式与指数式的互化
3.并由此求一些特殊的对数式的值。 学习要求：(1)对数的定义；
(2)指数式和对数式的互换；
(3)求值.六、练习巩固思考题：(2) 若log5[log3(log2x)]=1， x=_______课件23张PPT。 §2.2.1对数与对数运算 高中数学必修 ①对数的运算国际育才高一数学组一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 a叫做对数的底数，N叫做真数。定义：一、复习上节内容有关性质： ⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ） ⑵ ⑶对数恒等式⑷常用对数： 为了简便,N的常用对数 简记作lgN。 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 一、复习上节内容⑸自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为了简便，N的自然对数 简记作lnN。 （6）底数a的取值范围： 真数N的取值范围 :为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。 一、复习上节内容二、课前练习⑴给出四个等式:其中正确的是________1) ,2)43?证明：①设 由对数的定义可以得： ∴MN= 即证得 三、新课：对数的运算性质证明:证明：②设 由对数的定义可以得： ∴ 即证得 证明:⑵证明证明：设 由对数的定义可以得： ∴即证得 证明:⑶证明两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差⑴⑵⑶语言表达:一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：三、新课：对数的运算性质例1 计算（1） （2） 三、新课：讲解范例 解 :=5+14=19解 :例2 解（1） 解（2） 用 表示下列各式： 三、新课：讲解范例 2、计算：解法一： 解法二： 三、新课：讲解范例 1 ⑴ 若⑵ 的值为______⑶巩固练习:提高练习:2P68 练习1.2.3 四、新课：学生练习 解:原方程可化为检验:舍去四、新课：提高练习 换底公式证明：说明:2) 有时可逆向运用公式3)真数的取值必须是(0,＋∞)4)注意≠≠⑴⑵⑶如果 a > 0，a ? 1，M > 0， N > 0 有：1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
五、课堂小结:对数的运算性质2、利用关系式1、习题2.2 第3.4.5题六、课后作业证明：解： (1) 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。(2)由 可得
当M＝7.6时，地震的最大 振幅为 当M＝5时，地震的最大振幅为 所以，两次地震的最大振幅之比是例6 科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生
放射性碳14。碳14的衰变极有规律，其精确性可
以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程
中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到
补充，所以活着的动植物每克组织中碳14含量保
持不变。死亡后的动植物，停止了与外界环境的
相互作用，机体中的碳14按确定的规律衰减，我
们已经知道其“半衰期”为5730年。
湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量
约占 原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代。解：我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量。设生物体死亡时，体内每克组织中碳14的含量为1，1年后的 残留量为x，由于死亡机体中原有的碳14确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14含量P有如下关系：由于大约每过5730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占 原始含量的76.7％，即P=0.767,那么由计算器可得 t≈2193所以，马王堆古墓是近2200年前的遗址。不要产生下列的错误：