2024-2025学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省三明一中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，且的图象恒过点，若角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数与可见叶片数进行分析研究，其关系可以用函数为常数表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为片，叶龄指数为，则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为时，可见叶片数约为 参考数据：，
A. B. C. D.
5.设、，，若，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知，，且，，则( )
A. 或 B. C. D. 或
8.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 命题“，”的否定是，
B. 满足的集合的个数为
C. 已知，，则
D. 已知指数函数且的图象过点，则
10.已知函数，下列说法正确的是 ( )
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
11.已知函数，，则( )
A. 当时，函数在上一定单调递增
B. 当时，函数有两个零点
C. 当时，方程一定有解
D. 当时，在上恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，则实数的值为______．
13.已知，，则的值域为______．
14.已知，为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
化简；
若，求的值．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ解不等式．
17.本小题分
已知是函数的极值点，在处的切线与直线垂直．
求，的值；
若函数在上有最大值，在上有最小值也有最大值，求实数的取值范围．
18.本小题分
设，已知函数的图像关于直线成轴对称．
求函数的表达式；
若，且为锐角，求；
设，若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
讨论的单调性
若方程有两个不同的根，．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
；
因为，所以，
，
，
因为，
所以，
故，
因此．
16.解：Ⅰ函数是定义在上的奇函数，
，即，．
又因为，即，所以，
经检验得符合题意．
综上所述，
，则
因为当时，有，
函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以
综上所述，
Ⅱ函数在为单调递增函数．证明如下：
任取，则
，
，，
，即，
故在上为增函数．
因为函数是定义在上的奇函数，
所以等价于
由知在上为增函数，
则，解得，
所以，原不等式的解集为．

17.解：依题意，在处的切线的斜率为，
，，，
所以，；
由得，，
，，的变化情况如下表所示
递增 递减 递增
所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，
所以，所以，
所以，又在上有最大值和最小值，
所以，即实数的取值范围是．
18.解：由题意，
所以，故，，又，
所以，故．
因为，且为锐角，
所以，
故由．
由，
令，
则函数在区间上恰有奇数个零点，
在区间有奇数个解，
因为，最小正周期为，如图，
故由图像特征以及周期性质可知，
只有当时其在区间才有奇数个解，
此时，两边平方解得，故此时或，
由图可知时有个解；时，有个解，
所以函数在区间上恰有个零点．
19.解：由题意得，，，
由，解得．
若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上，
当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增．
由，得，
设，
由得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，，
当时，；当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，
即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
不妨设，则，且，
设，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即，
又，所以，
又，，在区间内单调递减，
所以，即，
又，
所以，得证．
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