2024-2025学年甘肃省兰州一中高三（上）诊断数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年甘肃省兰州一中高三（上）诊断数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-16 06:55:45 | ||
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文档简介
2024-2025学年甘肃省兰州一中高三（上）诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知函数的图象如图所示，则图对应的函数有可能是( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的 通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列函数中，最小值是的是( )
A. B.
C. ， D.
10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台，其中，现从角落沿角初始击球方向与间的夹角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”为假命题，则的取值范围是 ．
13.若圆与圆有且仅有一条公切线，则 ______．
14.一个不透明的袋子装有个完全相同的小球，球上分别标有数字，，，，现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜若所标数字相同则为平局，则在甲获胜的条件下，乙摸到号球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
求；
若在边上且，，求的长．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式；
若函数在上有三个零点，求的取值范围．
17.本小题分
已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，若，，点为的中点，点为的四等分点靠近点．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
求甲获得冠军的概率．
19.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，设在点，处的切线分别为和，与的交点为．
若点的坐标为，求的面积为坐标原点；
证明：点在定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为，，
所以．
所以，得即．
因为，
所以，解得，
因为，且为三角形的内角，所以，，
又因为，所以．
因为，．
所以，
所以，
所以．
16.解：令，则，又是定义在上的奇函数，
所以可得．
又，
故函数的解析式为
根据题意作出的图象如下图所示：
，，
若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根，
所以函数与有三个不同的交点，
由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点．
故的取值范围是．
17.解：证明：在四棱锥中，平面，平面，
则，又，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，点为中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
由知平面，又平面，则，
因为，，，点为的中点，
所以，，，
因为点为的四等分点靠近点，
所以，
因为，，所以，
所以由余弦定理得：
，
所以，所以，
因为平面，所以，
设点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积，
所以．
18.解：甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，
其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，
第场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
乙获连负两场，所以、均负，
所以乙获连负两场的概率为．
甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜，
所以甲获得冠军的概率为：．
19.解：直线的斜率，
直线的方程为，即，
联立方程，
整理得，
设，，
则，，
设直线与轴的交点为，则，
；
证明：由，得，
的方程为：，
整理得：，
同理可得的方程为：，
设，联立方程
解得，
因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
与抛物线方程联立得：，
故，，
所以，，可得．
所以点在定直线上．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知函数的图象如图所示，则图对应的函数有可能是( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的 通项公式为，且数列为递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列函数中，最小值是的是( )
A. B.
C. ， D.
10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
11.台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台，其中，现从角落沿角初始击球方向与间的夹角的方向把球打出去，球经次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，则的值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”为假命题，则的取值范围是 ．
13.若圆与圆有且仅有一条公切线，则 ______．
14.一个不透明的袋子装有个完全相同的小球，球上分别标有数字，，，，现甲从中随机摸出一个球记下所标数字后放回，乙再从中随机摸出一个球记下所标数字，若摸出的球上所标数字大即获胜若所标数字相同则为平局，则在甲获胜的条件下，乙摸到号球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，．
求；
若在边上且，，求的长．
16.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
求函数的解析式；
若函数在上有三个零点，求的取值范围．
17.本小题分
已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，若，，点为的中点，点为的四等分点靠近点．
求证：平面平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
求甲获得冠军的概率．
19.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，设在点，处的切线分别为和，与的交点为．
若点的坐标为，求的面积为坐标原点；
证明：点在定直线上．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
因为，，
所以．
所以，得即．
因为，
所以，解得，
因为，且为三角形的内角，所以，，
又因为，所以．
因为，．
所以，
所以，
所以．
16.解：令，则，又是定义在上的奇函数，
所以可得．
又，
故函数的解析式为
根据题意作出的图象如下图所示：
，，
若函数在上有三个零点，即方程有三个不等的实数根，
所以函数与有三个不同的交点，
由图可知当，即时，函数与有三个不同的交点，即函数有三个零点．
故的取值范围是．
17.解：证明：在四棱锥中，平面，平面，
则，又，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，点为中点，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面；
由知平面，又平面，则，
因为，，，点为的中点，
所以，，，
因为点为的四等分点靠近点，
所以，
因为，，所以，
所以由余弦定理得：
，
所以，所以，
因为平面，所以，
设点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积，
所以．
18.解：甲、乙、丙、丁名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，
其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，
第场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．
乙获连负两场，所以、均负，
所以乙获连负两场的概率为．
甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
胜胜胜；负胜胜胜；胜负胜胜，
所以甲获得冠军的概率为：．
19.解：直线的斜率，
直线的方程为，即，
联立方程，
整理得，
设，，
则，，
设直线与轴的交点为，则，
；
证明：由，得，
的方程为：，
整理得：，
同理可得的方程为：，
设，联立方程
解得，
因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
与抛物线方程联立得：，
故，，
所以，，可得．
所以点在定直线上．
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