2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市魏县高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，复数满足，则( )
A.
B. 复数在复平面内所对应的点的坐标是
C.
D. 复数在复平面内所对应的点为，则
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.用一个边长为的正方形纸片，做一个如图所示的几何体，图中两个圆锥等底、等高，则该几何体体积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
6.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则( )
A. B. C. D.
8.如图，从开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从移动到：就是一条移动路线从移动到数字的不同路线条数记为，从移动到的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是( )
，，，．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为
B. ，，，，，，，，，这组数据的第百分位数是
C. 样本相关系数可以用来判断成对样本数据正相关还是负相关
D. 若变量，，则
10.已知函数在处的切线方程为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 在区间上的最大值和最小值之和为
C. 为的极小值点
D. 方程有两个不同的根为自然对数的底
11.双纽线最早于年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点是双纽线上任意一点，当双纽线过点时，下列说法中正确的有( )
A.
B.
C. 的最大值为
D. 当时，与曲线只有一个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于，两点，且，则该双曲线的离心率为______．
13.已知，则的最小值为______．
14.若直线与曲线和都相切，则直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
如图，射线绕点旋转后交线段于点，且，求的面积的最小值．
16.本小题分
已知是：上的动点，点，线段的中垂线交直线于点．
求点的轨迹的方程；
已知直线的方程为，过点的直线不与轴重合与曲线相交于，两点，过点作，垂足为证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动．
当时，求点的位置；在的条件下，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
证明：当时，成立．
19.本小题分
在高中数学教材苏教版选择性必修上阐述了这样一个问题：假设某种细胞分裂每次分裂都是一个细胞分裂成两个和死亡的概率相同，如果一个种群从这样的一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以设一个种群由一个细胞开始，最终灭绝的概率为，则从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞灭绝的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到，计算可得；我们也可以设一个种群由一个细胞开始，最终繁衍下去的概率为，那么从一个细胞开始，它有的概率分裂成两个细胞，在这两个细胞中，每个细胞繁衍下去的概率都是，两个细胞最终都走向灭绝的概率就是，于是我们得到，计算可得根据以上材料，思考下述问题：一个人站在平面直角坐标系的点处，他每步走动都会有的概率向左移动个单位，有的概率向右移动一个单位，原点处有一个陷阱，若掉入陷阱就会停止走动，以代表当这个人由开始，最终掉入陷阱的概率．
若这个人开始时位于点处，且．
Ⅰ求他在步内包括步掉入陷阱的概率；
Ⅱ求他最终掉入陷阱的概率；
Ⅲ已知，若，求；
已知是关于的连续函数．
Ⅰ分别写出当和时，的值直接写出即可，不必说明理由；
Ⅱ求关于的表达式．
参考答案
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13.
14.或
15.解：因为，由正弦定理可得，
在中，，
所以，
又因为，
可得，
而，
所以；
，
因为，
即，
所以，当且仅当，即，时取等号，
即，
所以，
所以．
即该三角形的面积的最小值为．
16.解：由中垂线的性质得，
所以，
所以动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
则，，
所以点轨迹为；
由对称性，若直线过定点，则该定点必在轴上，
设直线的方程为，
由，得
设，，，
，且
，
直线的方程为，
令，得，
将代入，则，
故直线过定点，即定点．
17.解：，，，
，
，
，
又为矩形，
，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
，
故可建立如图空间直角坐标系，
，，，，，，
设，
则，，
，
，
解得，
．
故当时，点为的中点．
由，，，
设平面的一个法向量为，
则
取，则，
由知，．
平行四边形，矩形．
，．
故AC，．
，，平面，
平面．
故平面的一个法向量为，
令平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成二面角的余弦值为．
18.解：由，得，又，
当时，有恒成立，所以在上单调递减，
又由，则不成立；
当时，令，得，
则时，有，时，有，
即在单调递减，在单调递增，
所以是的极小值，
又因为，且，故，即，经验证成立，
所以．
证明：当，时，，
设，
当时，，，
又由知，故，
当时，，
设，
则，，
则在单调递增，
，
所以，
则在单调递增，，
综上，，
即当时，．
19.解：Ⅰ设事件表示这个人第步掉入陷阱，事件表示这个人第步掉入陷阱，事件表示这个人第步掉入陷阱，
则他在步内包括步掉入陷阱的概率为．
Ⅱ他从开始，最终掉入陷阱概率，
则这个人如果第一步向左走，就会掉入陷阱；若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，
则需要由先到达处，
而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，
所以，由此可得：舍或．
Ⅲ由Ⅱ可知：．
由得：，
即，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
Ⅰ由题意得：当时，；当时，．
Ⅱ这个人如果第一步向左走，就会调入陷阱，
若他第一步向右走，如果最终掉入陷阱，则需要由先到达处，
而这个概率和他从开始，最终掉入陷阱的概率相同，
所以，
即，所以或．
因为是关于的连续函数，所以当时，；
当时，．
所以．
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