2024-2025学年江苏省徐州三中高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省徐州三中高三（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
3.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则
B. 已知随机变量服从正态分布，，则
C. 已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为；若，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
10.已知内角、、的对边分别是、、，，则( )
A. B. 的最小值为
C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则
11.设函数，则( )
A. 当时，有三个零点
B. 当时，是的极小值点
C. 存在，，使得为曲线的对称轴
D. 存在，使得点为曲线的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为______用数字作答
13.已知函数，则 ______．
14.在，角，，所对的边分别为，，，，交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知函数的一段图象如图所示．
求函数的单调增区间；
若，求函数的值域．
17.本小题分
已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程．
若在处取得极值，求的极值．
若在上的最小值为，求的取值范围．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ已知，，且边上有一点满足，求．
19.本小题分
若曲线的切线与曲线共有个公共点其中，，则称为曲线的“切线”．
若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值；
求曲线所有切线的方程；
设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：Ⅰ证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为 是的中点，
所以 ，且．
又因为 底面是正方形，是的中点，
所以 ，且．
所以 ．
所以 四边形是平行四边形．
所以 ．
由于 平面，平面，
所以 平面．
因为 底面是正方形，所以 ．
又因为 平面．
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，
如图建立空间直角坐标系．，，，，，．，，
设平面的法向量为．
有：即令，则，
所以．．
设直线与平面所成角为．
有：．
所以 直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：由题意知：，最小正周期，
，
由，即，
，，
得，
故函数的解析式为：，
由，
得，
所以函数的单调增区间为；
，
，
．
函数的值域为．
17.解：若，则，则，
故，，
故曲线在点处的切线方程为，即；
，定义域为，
则，
由于在处取得极值，故，，
则，
令，则或，函数在上均单调递增，
令，则，函数在上单调递减，
故当时，取到极大值，
当时，取到极小值；
由于，
当时，，仅在，时等号取得，在上单调递增，
则，符合题意；
当时，则时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
故，不符合题意；
当时，，在上单调递减，
故，不符合题意；
综上，可知的取值范围为．
18.解：Ⅰ由可得：，，
又，得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以，即，所以．
Ⅱ解法一：设的边上的高为，的边上的高为，
因为，，，
所以，
所以，是角的内角平分线，所以，
因为，可知，
所以，
所以．
解法二：设，则，
因为，，，
所以，
所以，
所以，，
因为，所以，，可知，
所以，
所以．
解法三：设，，则，
在中，由，及余弦定理可得：，
所以，
因为，可知，
在中，
即
在中，，
即，
结合，可解得．
19.解：曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，
则该切线的斜率为，
因此．
由求导得，
则曲线在处的切线方程为：，
令，
整理得，
此切线为切线，等价于方程有且仅有一个根，即，即，
所以曲线的切线仅有一条，为．
由，
得曲线在点处的切线方程为：，即，
令，
求导得，由，得，
对，当时，
，为严格增函数；
当时，
，为严格减函数，
函数所有的极大值为，当时，极大值等于，即，
当为正整数时，极大值全部小于，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于，
函数所有的极小值为，
当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解，
令，
则，
因此为上的严格增函数，
因为，，
于是存在唯一实数，满足，
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线．
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