2024-2025学年江苏省宿迁市宿迁中学高三（上）质检数学试卷（8月份）（二）（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁中学高三（上）质检数学试卷（8月份）（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设若函数为指数函数，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
3.记，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，下列函数是奇函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知实数，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则( )
A. B. C. D.
8.设方程的两根为，，则( )
A. ， B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则( )
A.
B. 是函数的一个周期
C.
D. 在区间上至少有个零点
11.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( )
A. 存在某个位置，使得
B. 翻折过程中，的长是定值
C. 若，则
D. 若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，，则实数的取值范围为______．
14.已知函数且，若，是假命题，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知命题：，使得是真命题，求实数的取值范围；
已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．
求证：平面平面；
若斜三棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，其中．
若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
是否存在实数，使得在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
某地区未成年男性的身高单位：与体重平均值单位：的关系如下表：
表 未成年男性的身高与体重平均值
身高
体重平均值
身高
体重平均值
直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数如表误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近，拟合度越高．
表 拟合函数对比
函数模型 函数解析式 误差平方和
指数函数
二次函数
幂函数
问哪种模型是最优模型？并说明理由；
若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型；
在的条件下，若，当刚出生的婴儿身高为时，与的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由．
注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际．
19.本小题分
已知函数，．
若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围；
当时，恒成立，求正实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：，使得是真命题，
，，
解得．
实数的取值范围是．
由，
得，即命题为：．
而为：，
解得．
又是的必要不充分条件，即．
，解得，
即实数的取值范围为．
16.证明：取中点为，连接，
在底面内的射影恰好是中点，
平面，
又平面，，
又，，
平面，平面，，
平面，
又平面，
平面平面
解：以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，斜棱柱的高为，
，，，，，
， ，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，
设平面的法向量为，
则有，令，则，，，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：， 则，，
故曲线在处的切线为，
即，
当时，此时切线为，不符合要求，
当时，令，有，
令，有，故，即，
故；
，，
当时，在上大于零，在上单调递增，
的最大值是，解得，舍去
当时，令，得，
时，时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是，
又在上的最大值为，，
当，即时，在上单调递增，，
解得，舍去．
综上，存在符合题意，此时．
18.解：因为，所以指数函数模型误差平方和最小，
因为，所以指数函数模型最大，最接近，
所以指数函数模型是最优模型；
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以体重关于身高的函数模型为；
把代入，
得不符合实际，
把，
代入得，
把代入，
得符合实际，
所以中幂函数模型跟实际情况更符合．

19.解：要使函数图象上存在关于原点对称的两点，
则有解，
则，
即，
令，则，
设，
则由，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
所以，即实数的取值范围是；
由题意知，
则，
则，，
设，则，
即，
设，
则，且，
当，即时，
易知方程有一根大于，另一根小于，
所以在上单调递增，故有不合题意，舍去，
当时，有，
所以，从而在上单调递减，
故当时，恒有符合题意，
所以正实数的取值范围为，因此的最大值为．
第1页，共1页