2024-2025学年陕西师大附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西师大附中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知命题：，；命题：，，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.已知函数在上单调，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若为函数其中的极小值点，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数有唯一零点，则( )
A. B. C. D.
8.设，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是年样本中氚的质量随时间单位：年的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则参考数据：( )
A.
B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失
C. 经过年后，样本中的氚元素变为原来的
D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 方程有个解
C. 当，
D. 过点作的切线，有且仅有一条
11.已知定义在上不为常数的函数满足，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则 ______．
13.已知，，则 ______．
14.若函数在单调递增，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求
求的单调区间和极值．
16.本小题分
设函数，
判断函数的奇偶性；
解不等式
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：当时，．
18.本小题分
已知函数．
若，且，求的最小值
证明：曲线是中心对称图形
若，当且仅当，求的取值范围．
19.本小题分
若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
已知函数，区间是的一个“封闭区间”，求的取值集合；
已知函数，设集合．
(ⅰ)求集合中元素的个数；
(ⅱ)用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．
证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
直线的斜率，在处的切线与直线垂直，
则，
得；
由，故，定义域为，
令，，
解得或，
所以当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
所以，
．

16.解：函数为奇函数，证明如下：
由题意可得：，解得，
所以函数的定义域为，
又因为
，
即，所以函数为奇函数．
当时，，
所以，
所以在上单调递减，
因为函数为奇函数．，所以不等式等价于，
由于，，函数在上单调递减，
所以等价于，解得：，
所以不等式的解集为．
17.解：，
当时，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，令，，时，，单调递减．
时，单调递增，
故当时在单调递减，
当时，在区间单调递减，在区间单调递增．
由知当时，在区间单调递减，在区间单调递增故，
令，
，令，因为，故，在区间单调递减，在区间单调递增，，即恒成立，即，即当时，．

18.解：当时，，，
由题意知，恒成立，
所以，
因为，所以
所以，当且仅当时，取等号．
所以，则．
证明：因为
，
所以曲线关于点成中心对称图形．
解：因为，否则解集中含有又由知，否则，从而，
由题意知，，且，
，，
令，
又，，
令，
又，，
令，得，
此时，
故在上单调递增，所以对，恒成立，
综上所述，的取值范围为
19.解：由于且只在为整数处取到，
故在上单调递增，
所以时，，
即，
所以命题等价于，即，即，
所以的取值集合是，；
即求的零点个数，
，
设，
则在上单调递增，
因为，
所以存在，使得，
故当时，，函数，即单调递减；
当时，，函数，即单调递增，
所以，
因为，所以，
又时，，
故存在，使得，
所以时，；
时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
当时，，
故存在，使得，
所以有两个零点，
所以集合中元素的个数为；
由得，其中，
故．
由于当时，，
当时，，
当时，，
若是的封闭区间，
则，所以，
又，所以或，
因为，所以，
而当，时，
由于时，有，
所以此时是的“封闭区间”，
所以存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
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