2024-2025学年广东省茂名市高州中学高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年广东省高州中学高三（上）月考数学试卷（8月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2.若：实数使得“”为真命题，：实数使得“，”为真命题，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，年提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数称为常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的常数约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
7.设函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 函数有个零点
C. 函数在上单调递增 D. 函数有个零点
10.函数，若对任意，存在，使得，则实数可能的取值为( )
A. B. C. D.
11.函数为定义在上的奇函数，当时，，下列结论正确的有( )
A. 当时，
B. 函数有且仅有个零点
C. 若，则方程在上有解
D. ，，恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为 单位：．
13.若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 ．
14.设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，求的最大值．
16.本小题分
如图，在直角梯形中，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点与点，不重合．
证明：平面平面；
是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．
17.本小题分
刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查问卷得分在分之间，并从参与者中随机抽取人根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图．
据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠现小张在该超市购买了总价为元的商品．
求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？注：结果精确到
18.本小题分
已知函数，其中
讨论函数的单调性
当时，证明：
19.本小题分
已知双曲线：的左，右焦点分别为，离心率为，点为，直线与圆相切．
求双曲线方程；
过的直线与双曲线交于两点，
若，求的面积取值范围；
若直线的斜率为，是否存在双曲线上一点以及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：由正弦定理得，，
由三角形的内角和定理，得，
所以得，解得，
，；
若，，由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，，利用基本不等式可得，
所以当且仅当时，取等号，即的最大值为．
16.解：Ⅰ，，，，平面．
平面．
又平面，
平面平面，
而平面，，且平面平面，
所以平面，而平面，
，
由，知，
而，且，平面，
可知平面，
又平面，平面平面．
Ⅱ假设存在点满足题意，过作于，
由知，
由Ⅰ得平面，所以平面，
过作于，连接，
由平面，且平面，
故，而，且，，平面，
则平面，而平面，
则，
即是二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
由得，
即，得，
，
依题意知，即，
解得，
此时为的中点．
综上知，存在点，使得二面角的余弦值，此时为的中点．

17.解：由直方图可知，满意度的平均数为：
．
摸到个红球，返消费金额的，实际付款为；
摸到个红球，返消费金额的，实际付款为，
所以的可能取值为，
因为，
所以，
的分布列为：
所以元．
若选择方案二，记实际付款金额为，依题意，的可能取值为，
因为，
所以，的分布列为：
所以，元
因为，所以选择方案二付款更划算．

18.因为，
所以，
当时，，函数在上单调递增
当时，由，得，函数在区间上单调递增，
由，得，函数在区间上单调递减．
要证，即证，，
即证，，
设，，
故在上单调递增，又，所以，
又因为，所以，
所以，
当时，因为，，所以
当时，令，则，
设，则，设，
则，因为，所以，
所以即在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，，
即．
综上可知，当时，，
即
19.解：设焦距 ，则 ，
因为双曲线的离心率为，所以 ，
又，所以，
所以直线为 ，即，
因为直线与圆 相切，
所以，
解得，所以，
所以双曲线的方程为；
因为 构成三角形，所以直线 的斜率不为，
设直线 的方程为 ，
由 ，消去 得 ，
由题意可得方程有两个不同的根，
即，解得 ，
设 ，
则有，
，
因为 ，
所以，所以 ，
，
因为，所以，
即，
解得 ，
，
令 ，则，
所以 ，
因为当时，，
所以，
所以的面积取值范围为 ；
设的中点为，四边形为菱形，则也是 中点，且，设，
设直线斜率为，则，
，，
因为，所以直线的斜率为，
则直线 为 ，即 ，
又的纵坐标为 ，
所以 的横坐标为 ，
即点 的坐标为 ，
又点 在双曲线 上，
所以 ，即 ，
因为 ，所以，此时方程无解，
所以不存在双曲线上一点以及轴上一点，使四边形为菱形．

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