2024-2025学年广东省深圳市福田区红岭中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市福田区红岭中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
3.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知圆：关于直线：对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，且在上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若函数有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. ，
C. D. ，
8.已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于任意实数，，，，有以下四个命题，其中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，且，则 D. 若，则
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则( )
A. B.
C. 的离心率为 D. 直线的斜率为
11.用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱．这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高．椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的倍，已知某圆柱的底面半径为，用与母线成角的两个平行平面去截该圆柱，得到一个高为的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是
A. 底面椭圆的离心率为
B. 侧面积为
C. 在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为
D. 底面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的解集为______．
13.已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，则面积的最大值为 ．
14.已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中，，．
求及的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求：的值．
17.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值．
若在只有一个零点，求．
18.本小题分
新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分若正确答案为两项，每对一项得分：若正确答案为三项，每对一项得分；
学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了不选和错误判断的概率如表：
选项 作出正确判断 判断不了不选 作出错误判断
若此题的正确选项为求学生甲答此题得分的概率：
某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ随机选一个选项；Ⅱ随机选两个选项．
若，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得分、得分的概率．
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？
19.本小题分
定义：若椭圆上的两个点，满足，则称、为该椭圆的一个“共轭点对”，记作已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
求椭圆的标准方程；
求“共轭点对”中点所在直线的方程；
设为坐标原点，点、在椭圆上，且，中的直线与椭圆交于两点、，且点的纵坐标大于，设四点、、、在椭圆上逆时针排列证明：四边形的面积小于．
参考答案
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15.解：由，，，得，，，
由数列是一个二阶等差数列，得是以为首项，为公差的等差数列，
因此，，
当时，，
满足上式，则，
所以的通项公式是．
由知，，
所以
．
16.解：证明：连接，由，，得，
又，则四边形为平行四边形，
由点和分别为和的中点，得且，
而，，为的中点，则且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面，得证；
由平面，，得直线，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，
设为平面的法向量，则，
取，得，
设，即，
则，，
由直线与平面所成的角为，得，即，
整理得，
而，解得，
所以：：．
17.解：
函数的定义域为，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值．
函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，．

18.解：设事件表示“学生答此题得分”，
即对于选项A、作出正确的判断，且对于选项B、作出正确的判断或判断不了，
所以；
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
；
对于方案：记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则的所有可能取值为，，，
则，
，
，
所以；
对于方案Ⅱ：记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，则的所有可能取值为：，，，
则，
，
，
所以，
要使唯独选择方案最好，则，
解得：，
故的取值范围为．
19.解：已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点，
所以，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
不妨设中点的坐标为，
已知椭圆上的点，
由“共轭点对”的定义，可知直线的方程为，
整理得；
联立，
解得或，
又点的纵坐标大于，
所以，，
不妨设点，，
此时，
两式相减得，
又，
所以，
此时，
即，
因为线段被直线平分，
不妨设点到直线的距离为，
此时四边形的面积，
又，，
所以，
不妨设过点且与直线平行的直线的方程为，
当与椭圆相切时，取得最大值，
联立，消去并整理得，
令，
解得，
当时，此时方程为，
即，
解得，
则点或点必有一个和点重合，不符合题意，
所以直线与椭圆不可能相切，
此时小于平行直线和或的距离，
故四边形．
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