2024-2025学年四川省泸州市泸州高级中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省泸州高级中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设集合，，且，则集合( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，已知，为上一点，且满足，则实数的值为( )
A. B.
C. D.
4.若函数在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.赵佶所作瑞鹤图中房殿顶的设计体现了古人的智慧，如下图，分别以，为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，屋顶剖面的曲线与轴、轴均相切，，两点间的曲线可近似看成函数的图象，有导函数，为了让雨水最快排出，需要满足螺旋线方程，其中，为常数，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
8.有一个三人报数游戏：首先报数字，然后报两个数字、，接下来报三个数字、、，然后轮到报四个数字、、、，依次循环，则报出的第个数字为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，则( )
A. 若为奇函数，则为偶函数
B. 若，则只有一个零点
C. 若的最小值为，则
D. 若为偶函数且，则有两个极值点
10.定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”已知，下列角中，可能与角“广义互余”的是( )
A. B. C. D.
11.已知，，且，则( )
A. B.
C. D. 的充要条件是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列，若，则 ______．
13.已知，，， ______，在上的投影向量坐标为______．
14.已知函数的最小正周期为，且函数的图像关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，
Ⅰ求；
Ⅱ若，求面积的最大值．
16.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若，求．
17.本小题分
为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：
每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；
入住宾馆的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约人；
月份入住宾馆的游客约为人，随后逐月增加直到月份达到最多．
若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为，且试求出函数的解析式；
请问哪几个月份要准备不少于份的食物？
18.本小题分
已知函数．
求的单调增区间只需写出结果即可；
求不等式的解集；
若方程在区间内有个不等实根，求的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
当时，恒成立，求实数的取值范围；
当，时，求曲线与曲线公切线的条数；
若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为，求，的关系式．
参考答案
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13.
14.，
15.解：Ⅰ由正弦定理得：
Ⅱ，
，
，当且仅当时，等号取到．
16.解：证明：因为，所以，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，得，
所以
．
17.解：因为，且
根据条件，可知这个函数的周期是；
由可知，最小，最大，且；
，
由可知，函数在上单调递增，且，所以．
根据上述分析可得，，故，，
，
根据分析可知，当时，取最小值，当时，取最大值．
故，且，
又因为，故，
所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为，且；
令，
化简得，
即，
解得．
因为，且，所以、、、、，
即在月、月、月、月、月个月份要准备不少于份的食物．
18.解：由，得，解得，
又在单调递增，在单调递增，在单调递减，
的单调增区间为；
的定义域关于原点对称，
且，
为偶函数，
由得，，
解得；
设，当时，，，即，
则方程有个不等实根，
可化为方程有两个不相等的实数根，，其中，，
，即，解得，
，
当，即时有最小值，最小值为．
19.解：当时，由得，则，
设，则，
因为在上均单调递减，所以在上单调递减，
又，所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以，则，所以实数的取值范围为．
设直线为，的公切线，的切点为，的切点为，
因为，
所以切线方程为，
所以且，
因为，所以，得，故，
所以，令，则，
易知为减函数，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，故，
又当趋近于或时，趋近于，
所以总有两个不相等的实数根，因此直线有两条．
由题意知，存在实数，，使得在处的切线与在处的切线重合，
所以，即，
则，，
由得，所以，
题目转化为有两个不相等的实数根，且互为倒数，
不妨设两根为．
由得，
整理得，
则，
所以．
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