2024-2025学年广西百色市德保高中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西百色市德保高中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.在中，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
3.，是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值是( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是( )
A. 三角形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正六边形
6.已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是( )
A. 点为的内心 B. 点为的外心
C. D. 为等边三角形
7.在中，，，边上的中线，则面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若直线与平面不平行，则与相交
B. 直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内
C. 如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D. 如果，是异面直线，，，，，则，是异面直线
10.已知是虚数单位，以下说法正确的是( )
A. 复数的虚部是 B.
C. 若复数是纯虚数，则 D. 若复数满足，则
11.已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则( )
A. B.
C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，，三点共线，则 ______．
13.已知，在上的投影向量为，则的值为______．
14.如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为的鸡蛋视为球放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量与的夹角为，且，向量与共线，
求实数的值；
求向量与的夹角．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，．
证明：平面平面；
设，，求四棱锥的高．
17.本小题分
某校为了调查学生的体育锻炼情况，从全校学生中随机抽取名学生，将他们的周平均锻炼时间单位：小时数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
Ⅰ求的值；
Ⅱ用分层抽样的方法从和两组中抽取了人求从这人中随机选出人，这人不在同一组的概率；
Ⅲ假设同组中的每个数据用该区间的中点值代替，试估计全校学生周平均锻炼时间的平均数．
18.本小题分
在中，，，分别为角，，所对的边长，．
证明：是等腰三角形；
若，求的周长．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
求证：平面；
若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：设，
则，
解得；
，，
向量与的夹角为，且，，
，
，，
，
又，
．
16.解：底面，面，
，又，，平面，，
平面，又平面，
平面平面；
平面，，平面，
，，
，，
≌，
，
底面，面，
，，
，，
，
过作于，，
为的中点，，
由可知平面，
四棱锥的高为．
17.解：Ⅰ因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为，
所以，
解得；
Ⅱ由频率分布直方图可知和两组的频数的比为：：：，
所以利用分层抽样的方法抽取人，这两组被抽取的人数分别为，，
记中的人为，，，，中的人为，，
从这人中随机选出人，
则样本空间，共个样本点，
设事件：选出的人不在同一组，
则，共个样本点，
所以；
Ⅲ估计全校学生周平均锻炼时间的平均数为小时．
18.证明：由可得，
，，为三个内角，
因为，所以，
即，即，
又因为，所以，即，
所以，
所以是等腰三角形；
解：因为，由三角形内角和可得：，
即，
所以，所以，
所以，因为，
可得为锐角，
所以，所以，
又因为，
由正弦定理可得：，
解得．
所以的周长为．
19.证明：取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，且，
又因为，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
解：存在点，且为的中点，
证明如下：当为的中点时，则，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，
所以平面，所以平面平面，
又因为，所以平面，
所以平面．
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