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第3课时 整式的加减
一.学习目标
1.从实际背景中去体会进行整式加减的必要性.
2.知道整式加减运算的法则，熟练进行整式的加减运算.
3.经历探索正式加减运算的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力.
二.自主预习
1.做一做 小亮和小莹到希望小学去看望小同学，小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物；小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物品.钢笔的售价为每支a元，字典的售价为每本b元，文具盒的售价为每个c元.
请你计算：
(1)小亮花了________元； 小莹花了__________元；小亮和小莹共花___________________元.
(2)小亮比小莹多花_______________元.
想一想 如何进行整式的加减运算？
【自主归纳】几个整式相加减,如果有括号就先 ，然后再 ．
2.自学自测
(1)求单项式，,,的和.
(2)求与的差.
三.探究新知
探究点一 整式的加减
1.任意写一个两位数,交换它的十位数字与个位数字,又得到一个数,两个数相加.重复几次看看,谁能先发现这些和有什么规律 对于任意一个两位数都成立吗
如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为 .交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到的数是 .
将这两个数相加: + = = = 11 .
结论:这些和都是11的倍数.
做一做 任意写一个三位数,交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数,两个数相减.你又发现了什么规律
例1.计算:
(1)(2a-3b)+(5a+4b);
(2)(8a-7b)-(4a-5b).
[方法归纳]
(1)几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减连接,然后进行运算;
(2)整式加减实际上就是:去括号、合并同类项;
(3)运算结果,常将多项式的某个字母(如x)降幂(升幂)排列.
探究点二 整式的加减的应用
例2.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm):
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米
(2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米
【总结归纳】 整式加减解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意列代数式；
（2）去括号、合并同类项；
（3）得出最后结果.
例3.化简求值:a-2(a-b2)-(a+b2)+1,其中a=2,b=-.
四.运用新知
1.计算
(1)-ab3+2a3b-a2b-ab3-a2b-a3b;
(2)(7m2-4mn-n2)-(2m2-mn+2n2);
(3)-3(3x+2y)-0.3(6y-5x);
(4)(a3-2a-6)-a3-4a-7).
2.应用题
某公司计划砌一个形状如图所示(1)的喷水池,后有人建议改为如图所示(2)的形状,且外圆直径不变,只是担心原来备好的材料不够,请你比较两种方案,哪一种需用的材料多(即比较两个图形的周长) 若将三个小圆改为n个小圆,又会得到什么结论
五.达标测试
1.如果a-b=,那么-3(b-a)的值是( )
A.- B. C. D.
2.一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2,则这个多项式为( )
A.x2-5x+3 B.-x2+x-1
C.-x2+5x-3 D.x2-5x-13
3.如果A是x的三次多项式,B是x的五次多项式,那么A-B是( )
A.三次多项式 B.二次多项式
C.八次多项式 D.五次多项式
4.计算:
(1)x-[y-2x-(x-y)];
(2)2(a2b-3ab2)-3(2a2b-7ab2).
5.已知m2与-2n2的和为A,1+n2与-2m2的差为B,求2A-4B.
6.先化简再求值:
4x2y-[6xy-3(4xy-2)-x2y]+1,其中x=2,y=-.
7.如图所示,大正方形的边长为a,小正方形的边长为2,求阴影部分的面积.
参考答案
1.C 2.C 3.D
4.(1)4x-2y (2)-4a2b+15ab2
5.由已知条件,得A=m2-2n2,B=1+n2-(-2m2)=1+n2+2m2,
2A-4B=2(m2-2n2)-4(1+n2+2m2)=2m2-4n2-4-4n2-8m2=-6m2-8n2-4.
6.5x2y+6xy-5 -21
7.阴影部分面积=S△BCD+S梯形CEFD-S△BEF=a2+×(2+a)×2-×(a+2)×2=a2
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第3课时 整式的加减
能进行简单的整式加减运算.
1.从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性.
2.知道整式加减运算的法则,熟练进行整式的加减运算.
3.经历探索整式加减运算的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力
重点:会进行整式加减的运算,并能说明其中每一步的依据.
难点:灵活准确地运用整式的加减运算的步骤进行计算.
1.先通过探索性练习,引导学生总结归纳出整式加减的一般步骤,并应用其进行整式加减的准确运算,可采用以旧带新的方式,让学生在练习中熟悉法则,纠正错误,弥补不足.
2.教学过程中由学生小组讨论概括出整式加减的一般步骤,然后出示例题,由学生解答,同时采取由学生出题,其他同学抢答等形式,来提高学生的学习兴趣,充分调动他们的主观能动性,从而提高课堂教学效率.
(一)情境导入
小亮和小莹到某小学去看望小学生,小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物;小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物.钢笔的售价为每支a元,字典的售价为每本b元,文具盒的售价为每个c元.
请你计算:
(1)小亮花了 (10a+5b) 元;小莹花了 (6a+4b+2c) 元;小亮和小莹共花 (16a+9b+2c) 元;
(2)小亮比小莹多花 (4a+b-2c) 元.
想一想:如何进行整式的加减运算
(二)新知初探
探究一 整式的加减
问题 任意写一个两位数,交换它的十位数字与个位数字,又得到一个新两位数,两个数相加.重复几次看看,谁能先发现这些和有什么规律 对于任意一个两位数都成立吗
解:如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为 10a+b .交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到的新两位数是 10b+a .将这两个数相加: 10a+b + 10b+a = 10a+b+10b+a = 11a+11b = 11(a+b) .结论:这些和都是11的倍数.
追问 任意写一个三位数,交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数,两个数相减.你又发现了什么规律
解:设这个三位数的百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c,则原三位数为100a+10b+c,百位上的数字与个位上的数字交换后的三位数为100c+10b+a,它们的差为
(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99(a-c).
规律:它们的差都是99的倍数.
在上面的两个问题中,分别涉及了整式的什么运算 说说你是如何运算的
小结:
几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
任务一 意图说明
利用提供的两个数字游戏,让学生通过用字母表示数量关系的过程,发展符号感,体会整式的加减运算的必要性,在活动过程中让学生充分发挥主体作用,从自己的视点去观察、归纳、自然地认识到整式的加减实质上就是去括号,合并同类项.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(2a-3b)+(5a+4b); (2)(8a-7b)-(4a-5b).
解:(1)(2a-3b)+(5a+4b)
=2a-3b+5a+4b
=7a+b.
(2)(8a-7b)-(4a-5b)
=8a-7b-4a+5b
=4a-2b.
[方法归纳]
(1)几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减连接,然后进行运算;
(2)整式加减实际上就是:去括号、合并同类项;
(3)运算结果,常将多项式的某个字母(如x)降幂(升幂)排列.
2.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm):
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
(1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米
(2)做大纸盒比小纸盒多用纸多少平方厘米
解:(1)小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2,大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2,做这两个纸盒共用纸(2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ca)=(8ab+10bc+8ac)cm2.
(2)做大纸盒比做小纸盒多用纸(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)=(4ab+6bc+4ac)cm2.
[方法归纳]
整式加减解决实际问题的一般步骤:
(1)根据题意列式; (2)去括号、合并同类项; (3)得出最后结果.
3.求a-2a-b2-a+b2+1的值,其中a=2,b=-.
分析:原式去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值.
解:a-2a-b2-a+b2+1
=a-2a+b2-a-b2+1
=-3a+b2+1,
当a=2,b=-时, 原式=-3×2+×-2+1 =-6++=-4.
任务二 意图说明
通过解决例题对本节的法则进行巩固练习,训练学生的运算技能,帮助学生灵活运用整式的加减运算步骤进行计算.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.整式加减的法则:
几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
2.利用整式加减解决实际问题的一般步骤:
(1)根据题意列式;(2)去括号、合并同类项;(3)得出最后结果.
3.化简求值时,一般先将整式进行化简,再把数值代入计算.
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第3课时 整式的加减
1.从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性.
2.知道整式加减运算的法则,熟练进行整式的加减运算.
3.经历探索整式加减运算的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
运用前面所学的知识填空：
小亮和小莹到希望小学去看望小学生，小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物；小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物品．钢笔的售价为每支a元，字典的售价为每本b元，文具盒的售价为每个c元．
请你计算：（1）小亮花了 元；小莹花了 元；小亮和小莹共花 元．
（2）小亮比小莹多花 元．
（10a+5b）
（6a+4b+2c）
（16a+9b+2c）
（4a+b-2c）
想一想：如何进行整式的加减运算？
壹
新知初探
贰
+ _ = .
新知初探
探究一 整式的加减
10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)
问题 任意写一个两位数，交换它的十位数字与个位数字，又得到一个新两位数，两个数相加。重复几次看看，谁先能发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？
解：如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加：
10a+b
10b+a
(10a+b)
(10b+a)
结论：
这些和都是11的倍数.
贰
任意写一个三位数，交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减．你又发现什么了规律？
解：设这个三位数的百位数上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，则原三位数为100a+10b+c，百位上的数字与个位上的数字交换后的三位数为100c+10b+a,它们的差为：
(100a+10b+c)－( 100c+10b+a)
= 100a+10b+c－100c－10b－a
=99a－99c
=99(a－c)
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
规律：它们的差都是99的倍数.
几个整式相加减,如果有括号就先去括号，然后再合并同类项
小结
探究二 例题讲解
1.计算：
(1)(2a-3b)+(5a+4b)； (2)(8a-7b)-(4a-5b)
解： (1)(2a-3b)+(5a+4b)
=2a-3b+5a+4b
=7a+b
去括号
合并同类项
=8a-7b-4a+5b
=4a-2b
(2)(8a-7b)-(4a-5b)
去括号
合并同类项
【归纳总结】
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，在用加、减连接，
然后进行运算；
（2）整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；
（3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）降幂（升幂）排列.
2.做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm):
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
a
b
c
1.5a
2b
2c
（1）做这两个纸盒共用料
（2ab+2bc+2ca）+（6ab+8bc+6ca）
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca
=8ab+10bc+8ca(cm2 )
解：小纸盒的表面积是（ ）cm2
2ab
+2bc
+2ca
大纸盒的表面积是（ ）cm2
6ab
+8bc
+ 6ca
解:小纸盒的表面积是（2ab+2bc+2ca）cm2
大纸盒的表面积是（6ab+8bc+6ca）cm2
做大纸盒比做小纸盒多用料
（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）
=6ab+8bc+6ca- 2ab-2bc-2ca
=4ab+6bc+4ca(cm2)
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
a
b
c
1.5a
2b
2c
【方法归纳】整式加减解决
实际问题的一般步骤：
⑴ 根据题意列代数式；
⑵ 去括号、合并同类项.；
⑶ 得出最后结果.
3.化简求值： a－2(a－ b2)－( a＋ b2)＋1，
其中a＝2，b＝－ ．
当堂达标
叁
当堂达标
1．化简2(x＋ )－ (3x－6)的结果是（ ）
A．3x＋3 B．3x－3 C．x＋3 D．x－3
2．多项式2x3－10x2＋4x－1与多项式3x3－4x－5x2＋3相加，合并后不含的项是（ ）
A．三次项 B．二次项 C．一次项 D．常数项
3．某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的比会弹古筝的多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有 人（用含有m的式子表示）．
C
C
（2m＋3）
叁
4．先化简，再求值：
（1）－x－2(2x－3)＋(3x＋5)，其中x＝2；
解：原式＝－x－4x＋6＋3x＋5＝－2x＋11．
当x＝2时，原式＝－2×2＋11＝7．
（2）－3x2y＋[4xy－2(3xy－2x2y)＋xy]，
其中x＝－3，y＝2．
解：原式＝－3x2y＋4xy－6xy＋4x2y＋xy＝x2y－xy．
当x＝－3，y＝2时，原式＝18＋6＝24．
5.某校有A,B,C三个课外活动小组,A小组有学生(x+2y)名,B小组学生人数是A小组学生人数的3倍,C小组比A小组多3名学生,问A,B,C三个课外活动小组共有多少名学生
解:B小组学生人数为3(x+2y)名,C小组学生人数为[(x+2y)+3]名.
(x+2y)+3(x+2y)+(x+2y)+3=5(x+2y)+3
=(5x+10y+3)(名).
答:A,B,C三个课外活动小组共有(5x+10y+3)名学生.
课堂小结
肆
课堂小结
1.整式加减的法则:
几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.
2.利用整式加减解决实际问题的一般步骤:
(1)根据题意列式;(2)去括号、合并同类项;(3)得出最后结果.
3.化简求值时,一般先将整式进行化简,再把数值代入计算.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3,4题
谢
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第3课时 整式的加减
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整式加减的运算法则:几个整式相加减,如果有括号就先 ,然后再 .
去括号
合并同类项
课堂互动
知识点1 整式的加减运算
例1 化简-(x+y)-2(x-y)的结果是( )
A.-3x B.x+y
C.-3x-y D.-3x+y
D
[思路点拨] 整式的加减的实质就是去括号和合并同类项,使最后结果中不再含有括号和能合并的项.
基础题
1.若a-b=2,b-c=-3,则a-c等于( )
A.1 B.-1 C.5 D.-5
2.3x-7错写成3(x-7),结果比原来( )
A.多43 B.少3
C.少14 D.多14
3.(易错题)若(3x2-3x+2)-(-x2+3x-3)=Ax2-Bx+C,则A,B,C的值分别为
( )
A.4,-6,5 B.4,0,-1
C.2,0,5 D.4,6,5
B
C
D
4.(2024德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为 .
5.计算:
(1)(8a-7b)-(4a-5b);
解:(1)(8a-7b)-(4a-5b)
=8a-7b-4a+5b
=4a-2b.
y2-1
6.小明乘公交车到广场游玩,小明上车时,发现车上已有(6a-4b)人(包括小明自己),车到中途时,有一半人下车,但又上来(4a+b)人.
(1)这时公交车上共有多少人(用含a,b的式子表示);
(2)当a=4,b=3时,求这时公交车上的人数.
(2)当a=4,b=3时,
7a-b=7×4-3=28-3=25,即这时公交车上有25人.
中档题
7.多项式(4xy-3x2-xy+y2+x2)-(3xy+2y-2x2)的值( )
A.与x,y都有关 B.与x,y都无关
C.只与x有关 D.只与y有关
8.某种T形零件尺寸如图所示,则这个零件的周长是( )
A.4x+6y
B.9x+8y
C.10x+8y
D.8x+8y
D
C
9.黑板上有一道题,是一个多项式减去多项式3x2-5x+1.某同学由于大意,将减号抄成加号,得出结果是5x2+3x-7,则这个多项式是 .
10.表示数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示,则化简下列式子|b|+
|a+b|-|a-c|= .
2x2+8x-8
-c
11.(2024贵阳期末)已知代数式A=6x2+3xy+2y,B=3x2-2xy+5x.
(1)求A-2B;
解:(1)因为A=6x2+3xy+2y,B=3x2-2xy+5x,
所以A-2B
=6x2+3xy+2y-2(3x2-2xy+5x)
=6x2+3xy+2y-6x2+4xy-10x
=7xy+2y-10x.
(3)若A-2B的值与x的取值无关,求y的值.
12.为了在中小学生中进行爱国主义教育,某校决定开展“中华魂”经典诵读活动,并设立了一、二、三等奖.根据需要购买了 100件奖品,其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍多10件,各种奖品的单价如下表所示:
(1)请用含x的式子把表格补全.
种类 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价/元 22 15 5
数量/件 x
解:(1)3x+10 90-4x
(2)请用含x的式子表示购买100件奖品所需的总费用.
(3)若购买了12件一等奖奖品,则购买所有奖品共花费多少元
解:(2)购买100件奖品所需的总费用为
22x+15(3x+10)+5(90-4x)=(47x+600)元.
(3)当x=12时,
47x+600=47×12+600=1 164(元).
答:购买所有奖品共花费1 164元.
素养题
13.对于一个各数位上的数字均不为0的三位数,若它百位上的数字比十位上的数字大m(m为正整数),十位上的数字比个位上的数字大m,则称这个三位数为关于m的“递差数”.
例如:三位数531,因为5-3=2,3-1=2,所以531是关于2的“递差数”.
三位数987,因为9-8=1,8-7=1,所以987是关于1的“递差数”.
(1)判断三位数741是否为关于m的“递差数”,若是,求出m的值;若不是,请说明理由.
解:(1)741是“递差数”.
因为7-4=3,4-1=3,
所以741是关于3的“递差数”,即m=3.
(2)若有一个三位数是关于m的“递差数”,其百位上的数字为x,将其个位上的数字和百位上的数字交换,得到一个新的三位数,求原三位数与新三位数的和(用含m,x的整式表示).
解:(2)依题意,原三位数的百位上的数字为x,
则十位上的数字为x-m,个位上的数字为x-2m,
所以原三位数为100x+10(x-m)+x-2m=111x-12m.
将其个位上的数字和百位上的数字交换,得到一个新的三位数为
100(x-2m)+10(x-m)+x=111x-210m,
所以原三位数与新三位数的和为111x-12m+111x-210m=222x-222m.
谢谢观赏！
