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5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套、工程问题
一.学习目标
1.掌握配套问题和工程问题中有关量的基本关系式，并会寻求相等关系列方程求解.
2.通过列方程解决实际问题的过程，体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识.
二.自主预习
生活中,有很多需要进行配套的问题.例如我们使用的课桌就是由桌面和桌腿配套组成的,你还能举出生活中配套问题的例子吗
三.探究新知
探究点一 产品配套问题
问题1 某厂欲制作一些方桌和椅子,1张方桌与 4把椅子刚好配成一套,为了使桌椅刚好配套,商家应制作椅子的数量是桌子数量的 倍.方桌与椅子的数量之比是 .
问题2 某车间有22名工人,每人每天可以生产 1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名
法一 列表分析:
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200
螺母 2000
等量关系:螺母总量= ×2.
设应安排x名工人生产螺钉, 名工人生产螺母.
由题意,得 =2× .
解得x= .
所以22-x= .
答:应安排 名工人生产螺钉, 名工人生产螺母.
法二 列表分析:
产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉 x 1200
螺母 2000
设应安排x名工人生产螺钉, 名工人生产螺母.
由题意,得= ,
解得x= .所以22-x= .
答:应安排 名工人生产螺钉, 名工人生产螺母.
小结：生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系,建立方程.解决配套问题的思路:
(1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据;
(2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
探究点二 工程问题
问题1 一份工作,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要 5天完成.
(1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是 ,乙的工作效率是 ;
(2)甲做x天完成的工作量是 ,乙做x天完成的工作量是 ,甲、乙合作x天完成的工作量是 .
问题2 整理一批图书,由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h,然后增加2人与他们一起做8h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作
分析:设先安排x人做4h.列表:
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 8
等量关系:前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
解:设先安排x人做4h.
根据题意,得 + =1.
解得x= .
答:应先安排 人做4h.
小结：解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
四.运用新知
1.41人参加运土劳动,有30根扁担,安排多少人抬,多少人挑,可使扁担和人数相配不多不少 若设有x人挑土,则可列方程是( )
A.2x-(30-x)=41 B.+(41-x)=30
C.x+=30 D.30-x=41-x
2.一项工程甲单独做20天可以完成,乙单独做 30天可以完成.现在两个人合作,但是乙中途因事离开几天,从开工后14天把这项工作做完,则乙中途离开了( )
A.10天 B.9天 C.7天 D.5天
3.某车间70名工人承接了制作丝巾的任务,已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子上的丝巾1200条,一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套,应分配多少名工人生产脖子上的丝巾,多少名工人生产手上的丝巾
五.达标测试
1.某工程，甲独做需12天完成，乙独做需8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，求完成这项工程共用的时间．若设完成此项工程共用x天，则下列方程正确的是( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
2．某服装厂有工人54人，每人每天可加工上衣8件，或裤子10条，应怎样分配人数，才能使每天生产的上衣和裤子配套？设x人做上衣，则做裤子的人数为 人，根据题意，可列方程为 ，解得x＝ ．
3．某瓷器厂共有120个工人，每个工人一天能做200只茶杯或50只茶壶．若8只茶杯和1只茶壶为一套，则安排 人生产茶壶可使每天生产的瓷器配套．
4．学校图书管理员整理一批图书，由一个人做要80小时完成，现在计划由一部分人先做8小时，再增加2人和他们一起做16小时完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应该先安排多少人工作8小时？
5．一件工作,甲单独做20h完成,乙单独做12h完成,现在先由甲单独做4h,剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要几小时完成
参考答案
1.D 2. (54－x) 8x＝10(54－x) 30 3.40
4.解：设应先安排x人工作8小时，根据题意，得
＋＝1.
解得x＝2.
答：应先安排2人工作8小时．
5.解:设剩下的部分需要x h完成.
根据题意,得(4+x)+=1.解得x=6.
答:剩下的部分需要6h完成.
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第1课时 配套、工程问题
能根据具体问题列出方程.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性.
1.掌握配套问题和工程问题中有关量的基本关系式,并会寻求相等关系列方程求解.
2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识.
重点:正确列出一元一次方程解决实际问题.
难点:能够准确找出实际问题中的等量关系,并建立模型解决问题.
1.以生活中一个常见的问题展开,提高学生的兴趣,让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.然后通过例题教学,为学生提供探索空间,通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动,充分调动学生学习的积极性.让学生在实践中获得解决问题的方法.
2.引导学生用不同的方式设未知数,用不同的相等关系列方程,并加以比较研究,同时让学生注意到检验方程解的合理性,切实提高学生分析问题和解决问题的能力.
(一)情境导入
前面我们学习了一元一次方程的解法,本节课,我们将讨论一元一次方程的应用.生活中,有很多需要进行配套的问题,如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等,大家能举出生活中配套问题的例子吗
(二)新知初探
探究一 产品配套问题
问题1 某厂欲制作一些方桌和椅子,1张方桌与 4把椅子刚好配成一套,为了使桌椅刚好配套,商家应制作椅子的数量是桌子数量的 4 倍.方桌与椅子的数量之比是 1∶4 .
问题2 某车间有22名工人,每人每天可以生产 1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名
解:列表分析:
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1 200 1 200x
螺母 22-x 2 000 2 000(22-x)
等量关系:螺母总量=螺钉总量×2.
设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母.
由题意,得2 000(22-x)=2×1 200x.
解得x=10.
所以22-x=12.
答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.
小结:解决配套问题的思路:
(1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据;
(2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
任务一 意图说明
通过提问和学生回答,了解学生对问题中信息的理解能力,引导学生对问题中信息通过表格做初步梳理和简单加工;通过对表格填空,检验学生是否能够理解问题中信息的含义,并渗透如何寻求相等关系.
探究二 工程问题
问题1 一份工作,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要5天完成.
(1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是 ,乙的工作效率是 ;
(2)甲做x天完成的工作量是 ,乙做x天完成的工作量是 ,甲、乙合作x天完成的工作量是 +x .
问题2 整理一批图书,由1个人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h,然后增加2人与他们一起整理8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人进行整理
分析:设先安排x人做4 h.
列表:
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分 工作 x 4
后一部分 工作 x+2 8
等量关系:前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
解:设先安排x人整理4 h.
根据题意,得+=1.
解得x=2.
答:应先安排2人进行整理.
小结:解决工程问题的基本思路:
1.三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是:工作量=工作效率×工作时间.
2.相等关系:工作总量=各部分工作量之和.
(1)按工作时间,工作总量=各时间段的工作量之和;
(2)按工作者,工作总量=各工作者的工作量之和.
3.通常在没有具体数值的情况下,把工作总量看作1.
任务二 意图说明
通过活动使学生掌握在工程问题中,通常把全部工作量简单表示为1,并得出计算工作量的基本公式是:工作量=人均效率×人数×时间.如果一件工作分几个阶段完成,那么“各阶段工作量的和=总工作量”.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下:
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5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套、工程问题
1.掌握配套问题和工程问题中有关量的基本关系式,并会寻求相等关系列方程求解.
2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识.
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
壹
新知初探
贰
新知初探
探究一 产品配套问题
问题1
某厂欲制作一些方桌和椅子，1张方桌与4把椅子刚好配成一套，为了使桌椅刚好配套，商家应制作椅子的数量是桌子数量的 倍． 方桌与椅子的数量之比是 ．
4
1:4
贰
问题2 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
解：列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200
螺母 2000
×
＝
1200 x
人数和为22人
22－x
螺母总产量是螺钉的2倍
×
＝
2000(22－x)
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
还有别的方法吗？
产品类型 生产人数 单人产量 总产量
螺钉 x 1200 1200x
螺母 22-x 2000 2000(22-x)
列表分析：
产品类型 生产人数 单人产量 总产量 产品套数
螺钉 x 1200
螺母 2000
1200 x
22－x
2000(22－x)
1200 x
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生
产螺母.依题意，得
解方程，得 x＝10.
所以2－x＝12.
小结：解决配套问题的思路：
1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
问题1 一份工作,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要 5天完成.
(1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是 ,乙的工作效率是 ;
(2)甲做x天完成的工作量是 ,乙做x天完成的工作量是 ,甲、乙合作x天完成的工作量是 .
探究二 工程问题
问题2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：设先安排 x人做4 h，
列表：
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
×
×
＝
×
＝
×
工作量之和等于总工作量1
人均效率 人数 时间 工作量
前一部分工作 x 4
后一部分工作 x＋2 8
等量关系：前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
解：设先安排 x 人做4 h，
根据题意，得
解得 x＝2.
答：应先安排 2人进行整理.
小结：解决工程问题的基本思路：
1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.
2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和.
(1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
当堂达标
叁
当堂达标
1．41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则可列方程是( )
A．2x－(30－x)＝41 B．＋(41－x)＝30
C．x＋＝30 D．30－x＝41－x
2．一项工程甲独做20天可以完成，乙独做30天可以完成．现在两个人合做，但是乙中途因事离开几天，从开工后14天把这项工作做完，则乙中途离开了( )
A．10天 B．9天 C．7天 D．5天
C
D
叁
3．在某大型活动中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽．车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1800条或者脖子上的丝巾1200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾．为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？
解：设应分配x名工人生产脖子上的丝巾，
分配(70－x)名工人生产手上的丝巾．
由题意得1800(70－x)＝2×1200x，
解得x＝30，
则70－x＝70－30＝40（名）．
答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾．
4. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几 天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
课堂小结
肆
课堂小结
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
实际问题
设未知数，列方程
一元一次方程
实际问题的答案
解方程
一元一次方程的解
(x=m)
检验
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
谢(共16张PPT)
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题及工程问题
数学 七年级上册RJ
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预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
1.解决配套问题时,关键是明确题目中的 关系,它是列方程的依据.一般来说,题目中有两个等量关系,根据其中一个等量关系设未知数,根据另一个等量关系 .若m个A产品与n个B产品配成一套,则A产品数量∶B产品数量= .
2.解决工程问题时,常把总工作量看作 .
(1)基本关系式
工作量= × ;
(2)等量关系式
工作量=人均效率×人数× ;
预习导学
相等
列方程
m∶n
1
工作效率
工作时间
工作时间
(3)各部分工作量之和= .
3.用一元一次方程解决实际问题的基本步骤
(1)审:审题;
(2)找:找出实际问题中的 ;
(3)设:设出未知数, ;
(4)解: ;
(5)验:检验答案 ;
(6)答:根据题目写出解答.
工作总量
等量关系
列出方程
解方程
是否符合题意
知识点1 产品配套问题
例1 某车间有20名工人,生产螺栓和螺母,每人每天能生产螺栓12个或螺母16个.如果分配x名工人生产螺栓,其余的工人生产螺母,要恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套,求x的值.所列的方程是( )
A.12x=16(20-x) B.16x=12(20-x)
C.2×16x=12(20-x) D.2×12x=16(20-x)
课堂互动
[思路点拨] 关键在于螺栓和螺母按1∶2配套,即螺母数量16(20-x)是螺栓数量12x的2倍.
D
知识点2 工程问题
例2 为了改造某景区,要重修道路,甲队单独完成需14天,乙队单独完成需18天,丙队单独完成需12天.前7天由甲、乙两队合作,但乙队中途离开了一段时间,后2天由乙、丙两队合作完成,则乙队中途离开了
天.
3
1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成.用1 m3钢材可做60个A部件或150个B部件,现要用9 m3钢材制作这种仪器.设应用x m3钢材做A部
件,剩余钢材做B部件,恰好配套,则可列方程为( )
A.3×60x=150(9-x)
B.150x=3×60(9-x)
C.60x=3×150(9-x)
D.3×150x=60(9-x)
基础题
A
A
3.某城市下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天
和15天完成,如果两队从两端同时施工2天,然后由乙单独完成,还需
天完成.
10
4.某车间有54名工人,每名工人每天可加工上衣8件或裤子10条.若要使上衣和裤子正好配套(一件上衣与一条裤子配成一套衣服),应安排加工上衣和裤子的工人各多少名
解:设应安排x名工人加工上衣, 名工人加工裤子.
则x名工人加工上衣 件, 名工人加工裤子 条.
由题意可列方程,得
,
解得 .
答:应安排 名工人加工上衣, 名工人加工裤子.
(54-x)
8x
(54-x)
10(54-x)
8x=10(54-x)
x=30
30
24
中档题
5.某玩具加工车间要赶在儿童节前加工 450个毛绒玩具,决定由甲、乙两班工人来完成.已知甲班工人每天做20个玩具,乙班工人的速度是甲班工人的1.5倍,则甲、乙两班工人需要做多少天才能完成任务
解:设甲、乙两班工人需要做x天才能完成任务.由题意,得
20x+20×1.5x=450.
解得x=9.
答:甲、乙两班工人需要做9天才能完成任务.
6.为解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其中一段长为146 m的山体隧道贯穿工程由甲和乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作2天后,乙工程队加入,两工程队又联合工作了1天,这3天共掘进26 m.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2 m,按此速度完成这项隧道贯穿工程,甲、乙两个工程队还需联合工作多少天
素养题
7.(应用意识、运算能力)用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由
3个长方形侧面和 2个正三角形底面组成,硬纸板以如图所示的两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).
A方法:剪6个侧面;
B方法:剪4个侧面和5个底面.
现有19张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法.
解:(1)因为裁剪时x张用A方法,
所以(19-x)张用B方法.
所以侧面的个数为6x+4(19-x)=(2x+76)(个);
底面的个数为5(19-x)=(95-5x)(个).
(1)用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数.
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做多少个三棱柱盒子
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