2024-2025学年河北省沧州市献县实验中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省沧州市献县实验中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2.若复数满足是虚数单位，则的模长等于( )
A. B. C. D.
3.如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，( )
A.
B.
C.
D.
4.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从中任意取出粒恰好是同一色的概率是( )
A. B. C. D.
5.空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知平行六面体的底面为矩形，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.在中，点在边的延长线上，且若，，则点在( )
A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上
8.一船自西向东匀速航行，上午时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔海里的处，下午时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为( )
A. 海里小时 B. 海里小时 C. 海里小时 D. 海里小时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，已知，，，则角的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知空间向量，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化．经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是( )
A. 精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少
B. 精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量，且，则向量的模为______．
13.下列数据的分位数为______．
，，，，，，，，，，，．
14.已知为空间中任意一点，、、、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
求复数；
若，求实数，的值．
16.本小题分
已知向量，满足，．
若，求的值；
若，的夹角为，求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
若按照分层随机抽样从成绩在，的两组中抽取人，再从这人中随机抽取人，求至少有人的成绩在内的概率．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，求面积的最大值；
若为锐角三角形，求的取值范围．
19.本小题分
如图，直角梯形中，、分别为、边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点．
证明：平面；
当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面与平面夹角的正切值．
参考答案
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14.
15.解：；
由知，
代入，
得：，
，
所以实数，的值分别为，．
16.解：，
与方向为同向或反向即夹角为或，
当夹角为时，，
当夹角为时，，
所以，
，
又，的夹角为，则；
同理可得，
，．
17.解：由频率分布直方图，得，解得，
成绩在，，，，的频率依次为，，，，，
显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得，
本次竞赛成绩的平均数为，
所以，中位数约为，平均数约为．
由知，成绩在，的频率之比为：：，
则在中随机抽取人，记为，，，，在中随机抽取人，记为，，
从人中随机抽取人的样本空间为，共个样本点，
设事件“至少有人的成绩在内”，则，有个样本点，
因此，
所以至少有人的成绩在内的概率．
18.解：因为，
所以由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，
所以；
由余弦定理得，
所以，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即当为正三角形时，面积最大值为；
由正弦定理得
，
其中为锐角，且，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，
所以，即，
故的取值范围为．
19.解：证明：取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，，四边形为正方形，
为的中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面；
连接，则，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，面，
平面，
，，
，，
，为等边三角形，
则，
，，，，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令，，
，令，，
设平面与平面的夹角为，
则，，
平面与平面的夹角的正切值为．
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