2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第二章 一元二次函数、方程和不等式（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．两个正实数x，y满足，若不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3．已知a,b,c为实数,下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
5．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知a，，且，则( )
A.ab的最大值为1 B.ab的最小值为-1
C.的最小值为4 D.的最小值为
10．下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.若,,则
11．若正实数x，y满足，则下列不等式可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知,,若不等式恒成立,则m的最大值为__________.
13．已知且,则的最小值为________.
14．设x，y为正实数，若，则的最小值是________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）若对一切实数x都成立,求m的值;
（2）已知,令,求在上的最小值.
16．已知函数.
（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，解关于x的不等式.
17．当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数，.
（1）对任意函数恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集.
19．已知正数a,b满足;
(1)求ab的最大值;
(2)证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：正实数x，y满足，
，
当且仅当且，即，时取等号，
不等式有解，
，解得或，即.
故选：C.
2．答案：A
解析：不等式,即,所以,,
所以.
故选：A.
3．答案：B
解析：对A：当时,;当时,.故A错误;
对B：因为,所以,故成立.故B正确;
对C：当时,.故C错误;
对D：若,则.故D错误.
故选：B.
4．答案：B
解析：因为,所以.
故选：B.
5．答案：B
解析：因为，，故.
故选：B.
6．答案：A
解析：时，不等式可化为，对任意实数x均成立，满足题意；
时，不等式对任意实数x均成立，
等价于，
.
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
7．答案：D
解析：当即时，符合题意，
当时需满足且，即，
综上
故选：D.
8．答案：D
解析：当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为.
故选：D.
9．答案：AB
解析：由于，所以，即，解得，即，故A和B均正确，
令，，满足题干的式子，但是，故C错误，
将变形可得，所以，
当且仅当时等号成立，故D错误，
故选：AB.
10．答案：BC
解析：对于A中,当时,,所以A不正确;
对于B中,由,
当且仅当时,即时,等号成立,即,所以B正确;
对于C中,,当且仅当时,等号成立,所以C正确;
对于D中,,,可得,,可得,
当且仅当时,即时,等号成立,即,所以D不正确.
故选:BC.
11．答案：AD
解析：令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.若，则，即，所以成立.令，则，所以在上单调递增，所以当时，，即.对于A，当，时，，即成立，此时也成立，故A正确.对于B，当时，，即，B错误.对于C，当时，，即，C错误.对于D，当时，必然成立，D正确.
12．答案：16
解析：对,恒成立,
,
当且仅当时等号成立,,故m的最大值为：16.
13．答案：/
解析：
,
当且仅当,即时等号成立.
所以,的最小值为.
故答案为:.
14．答案：12
解析：因为，所以，
取等号时，即，所以的最小值为12.
故答案为：12.
15．答案：（1）0
（2）.
解析：（1）,即恒成立,
,
解得,所以m的值为0
（2）由已知有,
当时,,
当且仅当,即时取得最小值,
故在上的最小值为.
16．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）即为，
所以不等式对于任意恒成立，
当时，得，显然符合题意；
当时，得，解得.
综上，实数a的取值范围是.
（2）不等式即为，
即.
又，不等式可化为，
若，即时，得或，即解集为或；
若，即时，得，即解集为；
若，即时，得或，即解集为或.
综上可知，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或.
17．答案：
解析：因为当时，不等式恒成立，
所以的根一个小于1，另一个大于2，
如图，可得，解得，
所以m的取值范围是.
18．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为对任意函数恒成立，
即对任意恒成立，所以，，
当时，在上单调递减，所以，
所以，不满足对任意恒成立；
因为，
当时，令，解得，，
当时，，即，在上单调递减，
所以，，不满足对任意恒成立；
当时，，即，
则，所以，
所以，解得或，又因为，所以；
当时，，，满足在上恒成立，
当时，，即，
则在上单调递增，所以，，
满足在上恒成立，
综上所述，，即a的取值范围为；
（2）当时，，由，解得，
当时，令，解得，.
当时，，即，，
由，解得；当时，，即，
，解得或；当时，，
由，解得；当时，，即，由，解得或；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为R；
当时，不等式的解集为.
19．答案：（1）2
（2）见解析
解析：（1）,
,
当且仅当时,等号成立.
故ab的最大值为2.
（2）由,
所以
,
当且仅当,即时,等号成立.
故得证.
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