2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第三章 函数概念与性质（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第三章 函数概念与性质
一、选择题
1．已知幂函数的图象过点,则函数在区间上的最小值是( )
A.-1 B.-2 C.-4 D.-8
2．已知定义在R上的偶函数满足，当时，则( )
A. B.
C. D.
3．已知函数为偶函数，则( )
A.-1 B.-2 C.2 D.1
4．已知是定义在R上的奇函数，当时，.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．已知函数且是R上的单调函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若函数为幂函数,且在区间上单调递增,则( )
A. B.3 C.或3 D.2或
7．若函数是R上的单调函数,则实数a取值范围为( )
A. B. C. D.
8．若,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列各组函数中，是同一个函数的有( )
A.与 B.与
C.与 D.与
10．设定义在R上的函数,则下列函数必为偶函数的有( )
A. B. C. D.
11．已知定义在R上的函数满足，且.若时，，则( )
A.的最小正周期
B.的图象关于对称
C.
D.函数在区间上所有零点之和为
三、填空题
12．已知,是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是________.
13．已知函数，则不等式的解集为________.
14．已知奇函数的定义域R，若为偶函数，且，则________.
四、解答题
15．某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠：每多一人，培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x人，每位员工的培训费为y元，培训机构的利润为Q元.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润.
16．若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”.
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数a的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”.
17．求函数的值域.
18．（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：
①；②.
（2）函数的定义域是，求函数的定义域.
19．某视频设备生产厂商计划引进一款新型器材用于产品生产,以提高整体效益.通过市场分析,每月需投入固定成本5000元,每月生产x台该设备另需投入成本元,且,若每台设备售价1000元,且当月生产的视频设备该月内能全部售完.
（1）求厂商由该设备所获的月利润关于月产量x台的函数关系式;（利润＝销售额－成本）
（2）当月产量为多少台时,制造商由该设备所获得的月利润最大？并求出最大月利润.
参考答案
1．答案：D
解析：因为幂函数的图像过点,所以,得,
所以,则显然在区间上单调递增,
所以所求最小值为.
故选：D.
2．答案：B
解析：由题意，函数满足，可得，
即函数是以4为周期的周期函数，
又由函数是R上的偶函数，即，
又由当时，
则，，
，
所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为函数为偶函数，所以，
，
，
所以，即得
可得，，，，成立，
所以.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为是定义在R上的奇函数，
所以，，
因为当时，，
所以当时，，，
所以由二次函数的单调性可知的最大的单调递增区间为，
若函数在区间上单调递增，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
5．答案：B
解析：函数且是R上的单调函数，
若函数单调递增，则，解得，
若函数单调递减，则，解得.
综上得：a的取值范围是.
故选：B
6．答案：A
解析：由题意可得,
对于,解得或,
当时,满足,但时,不满足,
故,
故选:A
7．答案：D
解析：①函数单调性递增,
则满足,即,解得.
②若函数单调性递减,
则满足即,此时无解.
综上实数a取值范围为:.
故选:D.
8．答案：B
解析：已知,
令,则,,
,
.
故选:B.
9．答案：AD
解析：对于A，，定义域均为，是同一函数；
对于B，与解析式不同，不是同一函数；
对于C，，定义域为，，定义域为R，定义域不同，不是同一函数；
对于D，，定义域均为R，是同一函数.故选AD.
10．答案：ABD
解析：对于A,令,,即为偶函数,A正确;
对于B,令,,为偶函数,B正确;
对于C,令,,无法判断的奇偶性,C错误;
对于D,令,,为偶函数,D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：因为，所以是奇函数；
因为，所以的图象关于对称，
所以，则，
因而，所以的最小正周期，故A正确；
由，则的一个对称中心为，故B正确；
，故C错误；
当时，单调递增且值域为，
因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为，
又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为，所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii)若，在单调递增，满足题意；
(iii)若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数a的取值范围为.
故答案为：.
13．答案：
解析：的定义域为R，，
为定义在R上的奇函数；
与均为R上的增函数，为R上的减函数，
为定义在R上的增函数；
由得：，
，解得：，的解集为.
故答案为：.
14．答案：
解析：由于是定义在R上的奇函数，所以，
由于为偶函数，所以关于直线对称，
所以.
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）21060
解析：分析：（1）根据题意，只要注意超过30人时，每多1人才能减少10元，因此可分类，和（），在时，培训费用为；
（2）利润是用每人的培训费用乘以培训人数减去成本12000，根据一次函数与二次函数的性质分类求得最大值，然后比较即得.
详解：（1）依题意得，当时，；
当时，.
.
（2）当时，，
时，Q取得最大值.
当时，
，
，
当或58时，Q取得最大值.
因为，
当公司参加培训的员工人数为57或58时，
培训机构可获得最大利润21060元.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3)，证明见解析
解析：（1）取，则，，因为，
故函数不是“增函数”.
（2）因为函数是“增函数”，
故任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即.
（3），，
根据题意，得，可得方程的一个解，
令，则，故在上是严格增函数，
所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，故；
设，其中，，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即，
所以在上是严格增函数，
因为，则，故，得证，
所以函数是“增函数”.
17．答案：
解析：函数，定义域为，
令，所以，
所以，，
函数的图象为开口向下，对称轴方程为的抛物线，
所以时，函数，取最大值，最大值为，
故函数的值域为.
18．答案：（1）①；②
（2）
解析：（1）①由已知，得，解得，故的定义域为.
②由已知，得，解得，故的定义域为.
（2）先求的定义域：
因为的定义域是，所以，
所以，即的定义域是.
再求的定义域：
因为，解得，
所以的定义域是.
19．答案：（1）
（2）当时,获得增加的利润最大,且增加的最大利润为4000元
解析：（1）当时,;
当时,．
（2）当时,,
当时,．
当时,,
当且仅当,即时,．
当时,获得增加的利润最大,且增加的最大利润为4000元
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