2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第四章 指数函数与对数函数（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第四章 指数函数与对数函数
一、选择题
1．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
3．若函数（其中,且）的最小值是3,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知在等差数列中，，是函数的两个零点，则( )
A.3 B.6 C.8 D.9
5．计算的结果是( )
A.1 B.2 C.lg2 D.lg5
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是( )
A. B. C. D.
7．已知,,,则( )
A. B. C. D.
8．设，，，则a，b，c的大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．下列判断正确的有( )
A. B.（其中）
C. D.（其中，）
10．若，则下列说法中正确的是( )
A.当为奇数时，b的次方根为a B.当为奇数时，的次方根为b
C.当为偶数时，的次方根为 D.当为偶数时，b的次方根为
11．声强级(单位：)由公式给出,其中I为声强(单位：),则下列结论中正确的是( )
A.女高音的声强级是75dB,普通女性的声强级为45dB,则女高音声强是普通女性声强的100倍
B.一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为,则人听觉的声强
级范围为
C.如果声强变为原来的2倍,对应声强级也变为原来的2倍
D.如果声强级增加10dB,则声强变为原来的10倍
三、填空题
12．已知函数，若，，且，则的最小值为__________.
13．已知，，则________.（结果用含a，b的式子来表示）
14．函数（且）恒过定点________.
四、解答题
15．已知函数是奇函数，且.
（1）求a，k的值；
（2）若，不等式恒成立，求m的取值范围.
16．为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质.省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积y（单位：）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？（参考数据：，）
17．（1）设，求的值；
（2）已知，且，求c的值.
18．（1）利用关系式证明换底公式：；
（2）利用（1）中的换底公式求值：；
（3）利用（1）中的换底公式证明：.
19．设，，用a，b表示.
参考答案
1．答案：D
解析：在上单调递增,也是单调递增函数,所以在上单调递增,
当时,,,所以,则在上无零点.
因为,,,,
所以,则根据零点存在性定理可知,在上有零点.
故选:D
2．答案：D
解析：，故，
所以，
又，
则，
故，
故选：D.
3．答案：D
解析：由函数（其中,且）的最小值是3,
当时,函数为单调递减函数,所以,
则当时,函数为单调递增函数,则,
且满足,即,解得,
综上可得,实数a的取值范围为.
故选：D.
4．答案：B
解析：设函数的两个零点，即方程的两个根分别为，，.
数列为等差数列，，.故选B.
5．答案：A
解析：由题意,
.
故选：A.
6．答案：D
解析：由已知，，，
幂函数在单调递增，且，，即；
又指数函数在R上单调递减，且，，即；
又指数函数在R上单调递减，且，，即；
综上所述，a，b，c的大小关系是.
故选：D.
7．答案：B
解析：由题,
又由是增函数可知,,
,
故选:B.
8．答案：C
解析：由题意得，
，，
由于为上的单调增函数，故，
故，
故选：C.
9．答案：BCD
解析：A.；B.；
C.；D..故选BCD.
10．答案：AD
解析：当为奇数时，可知b的次方根只有一个，为a，
当为偶数时，由于，所以b的次方根有两个，为;
所以只有AD正确.
故选：AD.
11．答案：BD
解析：设女高音声强为,普通女性声强为,则,所以①,,
所以②,则①+②得：,故女高音声强是普通女性声强的1000倍,A错误
,
因此人听觉的声强级范围为,B正确
由,当I变为2l,,C错误
设声强变为原来的k倍,则,解得,故选项D正确.
12．答案：8
解析：因为的定义域为R，，所以函数为奇函数，又在R上为减函数，所以由，得，所以，则，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8.
13．答案：
解析：.
14．答案：
解析：令可得，则，因此，函数的图象恒过定点.
15．答案：（1），；
（2）
解析：（1）是奇函数，
经检验当时，，，是奇函数符合题意，
又或（舍），
；
（2），
即，
又，，故恒成立，
令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，
，，.
16．答案：(1)，；
(2)2020年2月
解析：（1）若选择模型，
将，分别代入得：，
解得，，
故函数模型为，
若选择模型，
将，分别代入得：，
解得，，
故函数模型为.
（2）把代入可得，，
把代入可得，，
，
选择函数模型更合适，
令，可得，
两边取对数可得，，
，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过
17．答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为，则，，
则，，
所以；
（2）因为，则，，
可得，，则.
由题意可得，则，且，所以.
18．答案：（1）证明见解析
（2）8
（3）证明见解析
解析：（1）证明：设，则，化为，
又，所以；
（2）；
（3）证明：.
所以.
19．答案：
解析：依题意，由，即，可得，
则
.
所以.
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