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6.3 角
6.3.2 角的比较与运算
第2课时 角平分线
一.学习目标
1.在操作活动中认识角的平分线,能画出一个角的平分线.
2.能利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.
3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
二.自主预习
我们知道，可以通过折纸的方法将一条线段分成两条相等的线段，那么你能用折纸的方法将一个角分成两个相等的角吗？
三.探究新知
探究点 角平分线
1.动手做一做:如图所示,在纸上画∠AOB,然后将其剪下来,将其沿经过顶点的线对折,使边OA与OB重合.将角展开,折痕上任取一点记作点C.
类比线段中点的定义,填空:∠AOC=∠COB;∠AOB= ∠AOC.
【小结】一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.应用格式:因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠BOC=2∠AOC.
类似地，还有角的三等分线，四等分线等.
练习：在一张半透明的纸上通过折线作出角的平分线.
例1.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)如果∠AOC=80°,那么∠BOC是多少度
(2)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD是多少度
(3)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB是多少度
例2.把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
练习：如图所示，∠BOA=90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，求∠BOD的大小.
四.运用新知
1.如图所示,OC是∠AOB的平分线,OD是∠AOC的平分线,且∠COD=25°,则∠AOB等于( )
A.50° B.75° C.100° D.120°
第1题图 第2题图
2.如图所示，已知点O在直线AB上，∠BOD =115°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠COE的度数为 ．
3.如图所示，点A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数．
五.达标测试
1.如图所示，在下面的四个等式中，能够表示“OC是∠AOB的平分线”的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC；②∠AOC∠AOB；③∠AOB＝2∠BOC；④∠AOC+∠BOC＝∠AOB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第1题图 第2题图 第3题图 第5题图
2.如图所示,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB.若∠COB=35°,则∠AOD等于( )
A.35° B.70° C.110° D.145°
3.如图所示，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，则∠AOD与∠BOC的关系是 .
4.计算:
(1)27°12′52″×3; (2)165°34′42″÷6.
5.如图所示，OC是∠AOB的平分线，∠AOD＝2∠BOD，∠COD＝18°.求∠BOD的度数．
参考答案
达标检测
1.C 2.C 3.∠AOD=4∠BOC
4.解：(1)27°12′52″×3
=81°36′156″
=81°38′36″;
(2)165°34′42″÷6=27°35′47″.
5.解：因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠BOC＝∠AOB.
因为∠AOD＝2∠BOD，
所以∠AOB＝3∠BOD，即∠BOD＝∠AOB，
所以∠COD＝∠AOB－∠AOB＝∠AOB，
所以∠BOD＝2∠COD.
因为∠COD＝18°，
所以∠BOD＝36°.
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第2课时 角平分线
理解角平分线的概念,会计算角的和、差.
1.在操作活动中认识角的平分线,能画出一个角的平分线.
2.能利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.
3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点:理解角平分线的概念和角的和、差、倍、分的意义及数量关系.
难点:会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.
1.通过复习回顾,创设情境引入等逐步调动学生的积极性,让学生感受数学来源于生活,唤起学生学习的兴趣,为学生提供充足的自主学习的时间和空间,创造一个有利于学生主动发展的教育环境.
2.让学生感受知识产生、发展的过程,学会观察、发现、归纳等学习方法,在教学中让学生经历角平分线的概念的探究过程,提高学生参与数学活动的积极性.
(一)情境导入
我们知道,可以通过折纸的方法将一条线段分成两条相等的线段,那么你能用折纸的方法将一个角分成两个相等的角吗
(二)新知初探
探究一 角平分线
1.动手做一做:如图所示,在纸上画∠AOB,然后将其剪下来,将其沿经过顶点的线对折,使边OA与OB重合.将角展开,折痕上任取一点记作点C.
类比线段中点的定义,填空:
∠AOC=∠COB;∠AOB= 2 ∠AOC= 2 ∠BOC.
一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.
应用格式:
因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠BOC=2∠AOC.
类似地,还有角的三等分线,四等分线等.
练习
在一张半透明的纸上通过折线作出角的平分线.
小结:角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.
任务一 意图说明
通过折纸寻找角的平分线,进一步理解角的和与差的数量关系,学生在动手的过程中,培养了操作能力,同时也培养了他们的兴趣,体会了数学中类比思想的运用.
探究二 例题讲解
1.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线.
(1)如果∠AOC=80°,那么∠BOC是多少度
(2)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD是多少度
(3)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB是多少度
解:(1)因为OB平分∠AOC,∠AOC=80°,
所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
(2)因为OB平分∠AOC,
所以∠BOC=∠AOB=40°.
因为OD平分∠COE,
所以∠COD=∠DOE=30°.
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.
(3)因为∠COD=30°,OD平分∠COE,
所以∠COE=2∠COD=60°.
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°.
又因为OB平分∠AOC,
所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.
2.把一个周角7等分,每一份是多少度的角(精确到分)
解:360°÷7
=51°+3°÷7
=51°+180'÷7
≈51°26'.
答:每份是51°26'的角.
练习1
如图所示,∠BOA=90°,OC平分∠BOA,OA平分∠COD,求∠BOD的大小.
解:因为∠BOA=90°,OC平分∠BOA,
所以∠COA=∠BOA=×90°=45°.
又因为OA平分∠COD,
所以∠AOD=∠COA=45°.
所以∠BOD=∠BOA+∠AOD=90°+45°=135°.
练习2
计算:
(1)15°37'+42°51';
(2)90°-68°17'50″;
(3)50°26'×3;
(4)178°53'÷5.
解:(1)15°37'+42°51'=57°88'=58°28'.
(2)90°-68°17'50″=89°59'60″-68°17'50″=
21°42'10″.
(3)5°26'×3=15°78'=16°18'.
(4)178°53'÷5=35°46'36″.
任务二 意图说明
通过应用角的和差解决具体问题,强化角平分线的定义的应用,可使学生牢记其几何语言的描述形式.锻炼学生在复杂图形中识别角与角之间的数量关系.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线.
2.角的运算.
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6.3 角
6.3.2 角的比较与运算
第2课时 角平分线
1.在操作活动中认识角的平分线,能画出一个角的平分线.
2.能利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题.
3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
学习目标
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
我们知道，可以通过折纸的方法将一条线段分成两条相等的线段，那么你能将一个角分成两个相等的角吗？
壹
新知初探
贰
新知初探
探究一 角平分线
B
A
O
C
1.动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.
类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC=_____∠BOC.
=
2
贰
2
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
因为 OC是∠AOB 的角平分线，
所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB，∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC．
α
α
α
角的三等分线
α
α
α
α
角的四等分线
类似地，还有角的三等分线，四等分线等.
练习
在一张半透明的纸上通过折线作出角的平分线.
小结：角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线.
探究二 例题讲解
1.如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC = ∠AOC
= ×80°=40°.
1.如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
O
A
B
C
D
E
1.如图所示，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解：因为 ∠COD=30°，OD 平分∠COE，
所以 ∠COE =2∠COD=60°，
所以 ∠AOC =∠AOE－∠COE
=140°－60°= 80°.
又因为 OB 平分∠AOC，
O
A
B
C
D
E
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
2.把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7
= 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
有余数，可以把度的余数化成分后再除
练习1
如图所示，∠BOA=90°，OC平分∠BOA，OA平分∠COD，
求∠BOD的大小.
解：因为∠BOA=90°，OC平分∠BOA，
所以∠COA= ∠BOA= ×90°=45°，
又因为OA平分∠COD，
所以∠AOD=∠COA=45°，
所以∠BOD=∠BOA+∠AOD=90°+45°=135°.
计算：(1)15°37′＋42°51′； (2)90°－68°17′50″；
(3)50°26′×3； (4)178°53′÷5.
练习2
解：(1)15°37′＋42°51′=57°88′=58°28′.
(2)90°-68°17′50″=89°59′60″-68°17′50″=21°42′10″.
(3)50°26′×3=150°78′=151°18′.
(4)178°53′÷5=35°46′36″.
当堂达标
叁
当堂达标
1.如右图，在下面的四个等式中，能够表示“OC是∠AOB的平分线”的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC； ②∠AOC= ∠AOB；
③∠AOB＝2∠BOC；④∠AOC+∠BOC＝∠AOB．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
2.如右图,点O在直线AB上,射线OC平分∠DOB.若∠COB=35°,则∠AOD等于( )
A.35° B.70° C.110° D.145°
C
叁
4.计算:
(1)27°12′52″×3;
解：(1)27°12′52″×3
=81°36′156″
=81°38′36″;
3.如右图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，
则∠AOD与∠BOC的关系是 .
∠AOD=4∠BOC
(2)165°34′42″÷6
=27°35′47″.
(2)165°34′42″÷6.
5.如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOD＝2∠BOD，∠COD＝18°.求∠BOD的度数．
解：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠BOC＝ ∠AOB.
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴∠AOB＝3∠BOD，即∠BOD＝ ∠AOB，
∴∠COD＝ ∠AOB－ ∠AOB＝ ∠AOB，
∴∠BOD＝2∠COD.
∵∠COD＝18°，
∴∠BOD＝36°.
课堂小结
肆
课堂小结
1.角平分线的定义：从一个角的顶点出发,把这
个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的
平分线.
2.角的运算.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
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第2课时 角的比较与运算(二)
数学 七年级上册RJ
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从一个角的 出发,把一个角分成 的两个角的射线,叫作这个角的平分线,类似的还有角的三等分线、四等分线等.
顶点
相等
课堂互动
知识点1 角平分线的定义
例1 如图所示,点O在直线AB上,OD是∠AOC的平分线,∠COB=42°,则∠DOC的度数是( )
A.69° B.60° C.59° D.70°
A
知识点2 角的和、差、倍、分的运算
例2 计算:11°23′26″×3.
解:11°23′26″×3=33°69′78″=34°10′18″.
1.如图所示,OC是∠AOB的平分线,∠AOC=26°18′,则∠AOB的度数为
( )
A.52°36′ B.42°32′
C.48°24′ D.50°38′
2.(2023黔南期末)如图所示,已知O是直线AB上一点,∠1=40°,OD平分∠BOC,则∠2等于( )
A.70° B.60°
C.55° D.45°
基础题
A
A
3.如图所示,OA的方向是北偏东15°,OB的方向是北偏西40°,若OA平分∠BOC,则∠AOC的度数为( )
A.40° B.55° C.60° D.70°
4.如图所示,点O在直线AB上,OD是∠BOC的平分线,若∠AOC=140°,则∠BOD的度数为 .
B
20°
5.(教材练习变式)计算:
(1)60°15′×4;
(2)60°31′2″÷3(精确到1″).
解:(1)60°15′×4=240°60′=241°.
(2)60°31′2″=60°30′62″,
60°31′2″÷3=60°30′62″÷3≈20°10′21″.
中档题
7.如图所示,∠AOB=60°,射线OC平分∠AOB,以OC为一边作∠COP=
15°,则∠BOP等于( )
A.15° B.45°
C.15°或30° D.15°或45°
8.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COE.若∠BOF=30°,则∠DOE= °.
D
40
9.(2024贵阳期末)如图所示,已知OC是∠AOB内部任意的一条射线,OM,
ON分别是∠AOC,∠BOC的平分线.
(1)若∠AOM=25°,∠BON=35°,求∠MON的度数;
解:(1)根据角平分线的性质可知
∠MOC=∠AOM=25°,∠NOC=∠BON=35°,
所以∠MON=∠MOC+∠NOC=25°+35°=60°,
即∠MON的度数为60°.
(2)若∠AOB=β,求∠MON的度数.
素养题
10.(几何直观)如图所示,将一副三角尺叠放在一起.三角尺ABC的三个角是45°,45°,90°,三角尺ADE的三个角是30°,60°,90°.
(1)若∠CAE=58°,求∠BAE的度数;
(2)若∠CAE=2∠BAD,求∠CAD的度数.
解:(1)因为∠BAC=90°,∠CAE=58°,
所以∠BAE=∠BAC-∠CAE=90°-58°=32°.
(2)设∠BAD=x,则∠CAE=2x,
所以∠BAE=90°-2x.因为∠DAE=60°,
所以90°-2x+x=60°,解得x=30°.
所以∠CAD=∠BAC+∠BAD=90°+30°=120°.
谢谢观赏！
