2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第一章 集合与常用逻辑用语（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修一单元测试：第一章 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．设集合,,若,则( )
A.2 B.1 C.-2 D.
2．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
3．已知，则“成立”是“成立”的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充分必要 D.既不充分也不必要
4．设集合,,则( )
A. B. C. D.
5．已知集合,则( )
A. B. C. D.
6．“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
8．已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．给定命题,都有.若命题p为假命题,则实数m可以是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．已知存在一个平面多边形的内角和是,则下列说法错误的是( )
A.p为真命题,且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是
B. p为真命题,且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是
C.p为假命题,且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是
D.p为假命题.且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是
11．已知集合M有2个元素,集合有4个元素,则集合N的子集个数可能是( )
A.4 B.8 C.16 D.32
三、填空题
12．若集合,若A的真子集个数是3个,则a的范围是________.
13．已知集合，，若，则的子集的个数为__________.
14．设复数z满足，其中i为虚数单位，则________.
四、解答题
15．设集合,.
(1)若且,求a的取值范围;
(2)若,求a的取值范围.
16．对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换.例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记.记正三角形R的所有对称变换构成集合S.一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：
I.，；
II.，；
Ⅲ.，，；
Ⅳ.，，.
对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元.一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群.
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如.对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，.
①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元.猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明；
③写出群S的所有子群.
17．已知-3是由，，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值.
18．设全集为R,,,求及.
19．设a,b,c分别为的三边BC,AC,AB的长,求证:关于x的方程与有公共实数根的充要条件是.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,则或,解得或-1或2.
当时,,舍去;当时,,舍
当时,,,满足题意,,
故选：A.
2．答案：C
解析：由特称量词命题的否定是全称量词命题可知,
命题“,”的否定是“,”.
故选：C.
3．答案：C
解析：充分性：若，则，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若，则，
，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C.
4．答案：C
解析：集合,,
则.
5．答案：B
解析：由集合,
可得.
故选：B.
6．答案：A
解析：,,充分性满足;
,,
或,必要性不满足.
7．答案：C
解析：集合,,则
8．答案：B
解析：若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数t的取值范围是.
故选：B.
9．答案：AB
解析：由于命题p为假命题,所以命题p的否定：“,有”是真命题.
当时,,令,,A正确;
当时,,令,,B正确;
当时,,,则不成立,C错误;
当时,,,则不成立,D错误.
故选：AB.
10．答案：BCD
解析：平面五边形的内角和为,
因此命题p是真命题,CD错误;
又命题p是存在量词命题,其否定为全称量词命题,
因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是,B错误,A正确.
故选：BCD.
11．答案：ABC
解析：由题意可知,集合N中最多有4个元素,最少有2个元素,
则集合N的子集个数可能是4,8,16.
故选：ABC.
12．答案：
解析：因为集合A的真子集个数是3个,所以集合A中有两个元素,
所以方程有两个不相等的根,
所以,解得,且,
即a的范围为,
故答案为：.
13．答案：8
解析：由可知，则，可得，解得：，
所以，即.
,
所以，则的子集的个数为.
故答案为：8.
14．答案：
解析：由复数的运算法则有：，
则，.
故答案为.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,且,所以,解得,,
综上所述,a的取值范围为.
(2)由题意,需分为和两种情形进行讨论：
当时,,解得,,满足题意;
当时,因为,所以,解得,或无解;
综上所述,a的取值范围为.
16．答案：(1)答案见解析；
(2)①证明见解析；②答案见解析，证明见解析；③证明见解析.
解析：（1）依题意，正三角形R的对称变换如下：绕中心O作的旋转变换；
绕中心O作的旋转变换；
绕中心O作的旋转变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换；
关于对称轴所在直线的反射变换，
综上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ.，
，
而，所以；
Ⅳ.，，
；
综上可知，集合S对于给定的新运算*来说能作成一个群.
②，，证明如下：
先证明：由于H是的子群，取，则，，
根据群的定义，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再证明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，，
，，
，
17．答案：x的值为
解析：当时，，此时这三个元素构成的集合为，不满足集合元素的互异性；
当时或（舍），此时这三个元素构成的集合为，满足集合元素的互异性，
综上，x的值为.
18．答案：,或.
解析：由题设知:,
又,所以或.
19．答案：证明见解析
解析：证明:必要性:设方程与有公共实数根,
则
两式相减并整理,可得
因为,所以,将此式代入中,
整理得,故.
充分性:因为,可得,所以,
将代入方程中,可得,
即,
将代入方程中,可得,
即,
故两方程有公共实数根.
所以关于x的方程与有公共实数根的充要条件.
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