2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第八章 立体几何初步（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第八章 立体几何初步
一、选择题
1．已知母线长为10的圆台的侧面积为，且其上底面的半径r与下底面的半径R满足，则( )
A.2 B.4 C.8 D.12
2．已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，，则 D.若，，则
3．如图，，，，且，直线，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过( )
A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M
4．已知两个圆台甲、乙的上底面半径均为r,下底面半径均为2r,圆台的母线长分别为3r和5r,则圆台甲、乙的体积之比为( )
A. B. C. D.3
5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为( )
A. B. C. D.
6．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7．如图所示，用符号语言可表达为( )
A.，，， B.，，，
C.，， D.，，
8．正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4.，且侧棱与底面所成角是，则这个棱台的体积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知a，b是空间中两条互相垂直的异面直线，则下列说法正确的是( )
A.存在平面，使得且
B.存在平面，使得且
C.存在平面，使得，
D.存在平面，使得，
10．在中，，，平面，边，在平面上的射影长分别为6，8，则( )
A.边在上的射影长为 B.边在上的射影长为
C.B，C两点在平面的同一侧 D.B，C两点在平面的两侧
11．如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面，，O，P分别是AC，SC的中点，M是棱SD上的动点，则( )
A.
B.存在点M，使平面SBC
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
三、填空题
12．如图，在中，，，，平面，且，，，.则此几何体的体积为________.
13．如图,在三棱锥中,,,,,且,,则二面角的余弦值是_________________.
14．若三棱锥的棱长为5，8，21，23，29，t，其中，则t的一个取值可以为______.
四、解答题
15．如图，平面平面，，，且.
（1）求证：平面平面;
（2）若，求二面角的正弦值.
16．如图,在直三棱柱中,M为棱AC的中点,,,.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面;
（3）在棱上是否存在点N,使得平面平面 如果存在,求此时的值;如果不存在,请说明理由.
17．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容,用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差,其中多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制.例如:正四面体每个顶点均有3个面角,每个面角均为,故其各个顶点的曲率均为.如图,在直三棱柱中,点A的曲率为,N,M分别为AB,的中点,且.
（1）证明:平面.
（2）证明:平面平面.
（3）若,求二面角的正切值.
18．如图，在四棱锥中，底面，在直角梯形中，，，，E是中点.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，.
（1）证明：平面PAD；
（2）若，，且，，求点E到平面PCD的距离.
参考答案
1．答案：C
解析：因为该圆台的侧面积为，母线长，
所以，解得，则，
故选：C.
2．答案：D
解析：对于A，当时，过n作平面，使，则，因为，，所以，所以，故A正确；对于B，由线面垂直的性质知B正确；对于C，因为，，所以，又，所以，故C正确；对于D，当，时，n可能在平面内，故D错误.故选D.
3．答案：D
解析：直线，过A，B，C三点的平面记作，
与的交线必通过点C和点M，
故选：D.
4．答案：B
解析：设甲圆台的高为,乙圆台的高为,则,
,
所以圆台甲的体积,
圆台乙的体积,
所以圆台甲、乙的体积之比为.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题意得球的半径为，设圆柱底面圆半径为r，
根据圆柱和球的对称性可得，
所以圆柱的表面积.
故选：D
6．答案：B
解析：由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体，
点E，F分别是和的中点，
可得，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设直线与平面所成角，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B.
7．答案：C
解析：结合图形可以得出平面，相交于一条直线m，直线n在平面内，直线m，n相交于点A，
结合选项可得C正确；
故选：C.
8．答案：B
解析：如图，O，分别为正方形，的中心，
则平面，过点作，垂足为E，
则平面，从而，
在直角梯形中，，，，
则，
即正四棱台的高为，
所以这个棱台的体积是.
9．答案：ABD
解析：如下图，可知A、B、D都正确，而满足C的平面不存在.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：设B，C在平面上的射影分别为，，因为，，且边，在平面上的射影长分别为6，8，所以，.当B，C在的同一侧时，在上的射影，此时，A，C错误；当B，C在的两侧时，在上的射影，满足，B，D正确.
11．答案：ABD
解析：依题意可知AB，AD，AS两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，，设，，，，所以，所以，A选项正确.
点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为，为定值，D选项正确.
易知，，，
设平面SBC的法向量为，则令，可得，又平面SBC，要使平面SBC，
则，
解得，所以存在点M，使平面SBC，B选项正确.
，
若直线OM与直线AB所成的角为，则
，
即，，无实数解，所以C选项错误.故选ABD.
12．答案：96
解析：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，
使，所以.
故答案为：96.
13．答案：
解析：取的中点O,连接、,如下图所示：
,O为的中点,则,且,,,
因为,O为的中点,可得,又因为所以,
则二面角的平面角为,
由余弦定理得,
因此,二面角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：25（答案不唯一）
解析：如图所示的三棱锥中，，，，，，
在，中，三边关系符合三角形的边角关系，
设，则且，
因此，由于，故可取，
故答案为：25（答案不唯一）
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）分别取，的中点P，Q，连接，，，
则为的中位线，则，，
又，，则，，
则四边形为平行四边形，则，
平面平面，平面平面，
平面，，可得平面，
又平面，则，则，
又中，，，则，
又，，平面，则平面，
又，则平面，
又平面，则平面平面.
（2）当时，由，可得为等边三角形，
在平面内，过点B作，垂足为B，
又由（1）可得平面，则，，两两垂直，
以B为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，则；
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，则；
则，
设二面角的大小为，则，
又，则.
则二面角的正弦值为.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析;
（3）存在,.
解析：（1）连接与,两线交于点O,连接OM,
在中M,O分别为AC,的中点,
所以,又平面,平面,
所以平面.
（2）因为底面ABC,平面ABC,所以.
又M为棱AC的中点,,所以.
因为,,平面,
所以平面,平面,所以.
因为,所以.又,
在和中,,
所以,即,
所以,又,,平面,
所以平面.
（3）当点为的中点,即时,平面平面.
证明如下:设的中点为D,连接DM,DN,
因为D,M分别为,的中点,
所以且,又N为的中点,
所以且,
所以四边形BNDM为平行四边形,故,
由（2）知:平面,所以平面,又平面,
所以平面平面.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析;
（3）.
解析：（1）在直三棱柱中,平面ABC,AC,平面ABC,
则,,所以点A的曲率为,
所以.因为,所以△ABC为正三角形.
因为N为AB的中点,所以.
又平面ABC,平面ABC,所以,
因为,平面,所以平面.
（2）取的中点D,连接DM,DN.
因为N为AB的中点,所以且.
又且,所以且,
所以四边形CNDM为平行四边形,则.
由（1）知平面,则平面.
又平面,所以平面平面.
（3）取BC的中点F,连接AF,则.
因为平面ABC,平面ABC,所以,
因为,、平面,所以平面.
又平面,所以,过F作的垂线,垂足为H,连接AH,
则,又,AF、平面AFH,所以平面AFH,
又平面AFH,,
所以∠AHF为二面角的平面角的补角.
设,,则,,.
由等面积法可得,则,
则,故二面角的正切值为.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析
解析：（1）取线段的中点F，连接，，
E，F分别为中点，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）平面，平面，；
设，则，
，，，，，
，；
，平面，平面，
平面，平面平面.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因为平面PAB，所以.因为，，PD，平面PAD，所以平面PAD.
（2）如图，取AB中点为O，连接PO，由（1）知平面PAD，所以，又，，所以且，则平面ABCD，即点P到平面ABCD的距离为1，因为，，，所以，
又，，所以，所以
所以，
设点E到平面PCD的距离为h，则，
，解得，
即点E到平面PCD的距离为.
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