2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第六章 平面向量及其应用（含解析）

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2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第六章 平面向量及其应用
一、选择题
1．已知向量，，且，则( )
A.6 B. C. D.
2．若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3．已知,是两个单位向量,若,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,且的面积,若的平分线交于点D,则( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,满足,,,则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
6．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7．已知空间向量,则向量在坐标平面Oxy上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8．已知平面向量,,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B.的周长为
C. D.外接圆的面积为
10．设向量,,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.与夹角的余弦值为
D.在方向上的投影向量的坐标为
11．下列说法正确的有( )
A.在中,
B.在中,若,则为等腰三角形
C.中,是的充要条件
D.在中,若,则
三、填空题
12．已知对任意平面向量,把B绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P.已知平面内点,点,把点B绕点A沿逆时针后得到点P,向量为向量在向量上的投影向量,则______________.
13．已知平面向量，的夹角为，，，则________.
14．在中,若,,三点分别在边,,上（均不在端点上）,则,,的外接圆交于一点O,称为密克点.在梯形ABCD中,,,M为CD的中点,动点P在BC边上（不包含端点）,与的外接圆交于点Q（异于点P）,则的最小值为________________.
四、解答题
15．已知向量，，与的夹角为.求
（1）
（2）求；
（3）求.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
（1）求B的大小;
（2）若,,求的面积.
（3）已知,且α为锐角,求的值.
17．已知中,,D为AB中点,.
（1）若,求AC的长度;
（2）若,求的值.
18．已知a,b,c分别为的三个内角A,B,C的对边,且,,.
(1)求b及的面积S;
(2)若D为边上一点,且,求的正弦值.
19．已知,,与的夹角是.
(1)求的值及的值;
(2)当k为何值时,？
参考答案
1．答案：B
解析：向量，，且，
，
解得.
故选：B.
2．答案：C
解析：由已知得，，，
，所以.
故选：C.
3．答案：C
解析：由,得,即得.
设单位向量与的夹角为,则有,解得,
又,所以.
4．答案：A
解析：由可知,,所以,所以.
在中,由等面积法得,
即,
即,解得,故A正确.
故选：A.
5．答案：A
解析：由可得,
将,代入可得,
所以,故,由于,所以,
故选:A
6．答案：D
解析：因为，且，所以，即，
所以由余弦定理得.
故选：D
7．答案：A
解析：根根据空间中点的坐标确定方法知,
空间中点在坐标平面Oxy上的投影坐标,竖坐标为0,横坐标与纵坐标不变.
所以空间向量在坐标平面Oxy上的投影坐标是:.
故选:A.
8．答案：B
解析：,
,
,
,.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由，得，解得或（舍去），所以的周长为，A正确，B正确.
因为，所以，解得，C错误.
设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确.
10．答案：BCD
解析：因为,所以A错误;
因为,所以B正确;
因为,所以C正确;
在方向上的投影向量的坐标为,则D正确.
11．答案：AC
解析：由正弦定理
可得:
即成立,
故选项A正确;
由可得或,
即或,
则是等腰三角形或直角三角形,
故选项B错误;
在中,由正弦定理可得
,
则是的充要条件,
故选项C正确;
在中,若,则或,
故选项D错误.
故选:AC.
12．答案：
解析：因为,,所以,
,
所以P点坐标为,
所以,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：延长,交于点E,则由题可知为正三角形,
由题设结论,,的外接圆有唯一公共点,该公共点即为题中的点Q,
故点Q在的外接圆上,如上图,
又由题,,
所以,故,
所以是直角三角形,故其外接圆半径,
在中,由余弦定理,
所以的最小值为.
故答案为：.
15．答案：（1）3；
（2）；
（3）
解析：（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
由正弦定理可得,
又
,
,;
（2）,,
由余弦定理可得,整理可得,
又,解得,
;
（3）因为为锐角,所以
又因为
所以为钝角,
则
.
17．答案：（1）2
（2）
解析：（1）在中,由余弦定理得,
,
,
在中,,
所以AC的长度为2.
（2）设BC＝x,则AC＝2x,在和中分别利用余弦定理得
,
解得（负根舍）.
因为,
所以,
在中,由正弦定理得,
即.
18．答案：(1),
(2)
解析：(1)由余弦定理得,
整理得,即,
因为,解得,
所以.
(2)由正弦定理得：,
所以,
在三角形中,因为,则,
所以.
19．答案：(1)-16,
(2)
解析：(1),
;
(2)因为,
所以,
整理得,解得.
即当时,.
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