(共22张PPT)
函数的基本性质——奇偶性
引 例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1) ,并画出它的图象．
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2)
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-1)=f(1)
思考 :(1)这个函数图象有什么特征吗？
(2)对于函数f(x)=x2 ,当自变量取一对相反数时，他们的函数值有什么关系？
(3)它的图象和f(x)=|x|有什么共同点？
偶函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=f (x)
②图像特征:关于y轴对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
1. 偶函数的概念
f(x)=x2 ,x∈[-3,2] 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？
思考：
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),
f(-1),f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8
f(-2)= - f(2)
f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1)
f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
思考 : 通过练习,你发现了什么规律
(-x,-y)
(x,y)
奇函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
2.奇函数的概念
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
1、判断下列函数是否是奇函数？
（1）f(x)=x3 ,x∈ [-1,1]
(2)f(x)=x3 ,x∈ [-1,1)
(3)f(x)=x3 ,x∈ [-2,-1)∪ (1,2]
2、奇函数定义域是[a,2a+3]，则a=_____
如果一个函数是奇函数，则这个函
数的图象以坐标原点为对称中心的中心
对称图形. 反之，如果一个函数的图象是
以坐标原点为对称中心的中心对称图形，
则这个函数是奇函数.
如果一个函数是偶函数，则它的图
形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，
如果一个函数的图象关于y轴对称，则这
个函数是偶函数.
3. 奇函数与偶函数图象性质
奇函数、偶函数的图象性质
1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形;
2.偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形.
奇偶函数图象的性质可用于：
①简化函数图象的画法；
②判断函数的奇偶性.
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；
解:
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
= - f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(x)为偶函数．
函数定义域为R．
解:
函数定义域为R．
= f(x)，
例题分析
解:函数定义域为R．
∴f(x)为奇函数．
有既奇又偶的函数来吗？
解:函数定义域为 [0 ,+∞)．
∵ 定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
-2
3
0
x
y
(6) f(x)=x+1
解:函数f(x)的定义域为R．
∵ f(-x)=f(x)=0，
又 f(-x)=-f(x)=0，
∴f(x)为既奇又偶函数．
(5)f(x)=0 (x R)
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数;偶函数;
既奇又偶函数;
非奇非偶函数.
解:函数定义域为R．
∵ f(-x)= -x+1， - f(x)= -x-1,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x).
∴f(x)为非奇非偶函数.
4.判定函数的奇偶性的步骤：
(1)先求函数的定义域；
①若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数.
②若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步;
(2)计算f(－x)化向 f ( x ) 的解析式；
①若等于 f ( x ),则函数是偶函数,
②若等于－f ( x ),则函数是奇函数,
③若不等于 ,则函数是非奇非偶函数
(3)结论.
有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1.
例题2.
（1）、已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，求f(0)的值；
（2）、已知函数f(x)=(m-2)x2 +(m-1)x+3是偶函数，求实数m的值； （3）、已知函数f(x)=x5+ax3+bx 8 若f(-2)=10，求f(2)的值。
解: (1)f(0)=0
(2)m=1
(3)f(2)=-26
变式训练：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x< 0时，f(x)=x2 x ，求当x>0时f(x)=_________
解：令x>0,则-x<0
1.函数奇偶性的定义．
定义法
2.函数奇偶性的判定
图象法:画出奇函数或者偶函数函数图象
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
当堂反馈：
1、判断函数的奇偶性：
2、若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
