2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第十章 概率

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2024-2025学年人教A版必修二单元测试：第十章 概率
一、选择题
1．欧几里得大约生活在公元前330年至公元前275年,著有《几何原本》《光学》《曲面轨迹》《已知数》等著作.若从这4部著作中任意抽取2部,则抽到《光学》的概率为( )
A. B. C. D.
2．有5张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取两次,每次取1张卡片表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”,表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”,则( )
A.与相互独立 B.与相互独立
C.与相互独立 D.与相互独立
3．从长度为2，4，6，8，10的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率是( )
A. B. C. D.
4．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
5．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且，，则( )
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.9
6．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以3：2获胜的概率是( )
A. B. C. D.
7．甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为( )
A. B. C. D.
8．盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
二、多项选择题
9．下述关于频率与概率的说法中，错误的是( )
A.设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B.做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D.利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，如果随机试验的次数超过10000，那么所估计出的概率一定很准确
10．某次数学考试的多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分”.已知某选择题的正确答案是CD，且甲 乙 丙 丁四位同学都不会做，则下列表述正确的是( )
A.甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B.乙同学仅随机选两个选项，能得5分概率是
C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D.丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
11．随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则( )
A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为
三、填空题
12．已知,则方程有实根的概率为______.
13．某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从A、B、C、D四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个.得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是________.
14．某校举办科学竞技比赛，有A，B，C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是_________.
四、解答题
15．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮.已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立.
（1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率；
（2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率.
16．把一个六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6有正方体骰子随意掷一次，各个数字所在面朝上的机会均相等.
(1)若抛掷一次，则朝上的数字大于4的概率是多少？
(2)若连续抛掷两次，第一次所得的数为m，第二次所得的数为n.把m、n作为点A的横、纵坐标，那么点在函数的图象上的概率又是多少？
17．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，设各车主至多购买一种保险.
（1）求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
18．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
19．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，,,,,,,，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从,的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.
参考答案
1．答案：B
解析：记4部书籍分别为a,b,c,d.
则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd共有6个,
抽到《光学》的基本事件为ab,bc,bd共有3个.
所以抽到《光学》的概率为:,
故选:B
2．答案：B
解析：由题意知,,
,
,
因为,所以A错误,
因为,所以B正确,
因为,所以C错误,
因为,所以D错误.
3．答案：A
解析：从5条线段中任取3条，可能的情况有：，，，，，，，，，共有10种可能，其中，能构成三角形的只有，，共3种可能，所以，能构成三角形的概率为.选A.
4．答案：B
解析：，，，，
，，
，
故选：B
5．答案：C
解析：因为，事件B与C对立，所以.又，A与B互斥，所以，故选C.
6．答案：D
解析：由题可知，5局3胜制，甲以3：2获胜，
则第5局甲胜，且前4局甲胜2局，
故所求概率为.
故选：D.
7．答案：B
解析：设两人都没击中目标记作事件A，两人都击中目标1次记作事件B，两人都击中目标2次记作事件C，
由已知可知，甲没击中目标的概率为，乙没击中目标的概率为，
因为两人是否击中目标相互独立，所以，
甲击中目标1次的概率为，乙击中目标1次的概率为，
因为两人是否击中目标相互独立，所以;
甲击中目标2次的概率为，乙击中目标2次的概率为，
因为两人是否击中目标相互独立，所以，
因为事件A，B，C互斥，所以，
故选：B.
8．答案：D
解析：依题意得，，，故A项错误；
，，故B项错误；
，故C项错误；
，，故D项正确.
故选：D.
9．答案：ABCD
解析：A：次品率描述出现次品的概率，即可能情况不是必然发生，错误；
B，C：概率是多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，错误；
D：10000次的界定没有科学依据，“一定很准确”的表达错误，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D错误.
故选：ABCD.
10．答案：ABC
解析：甲同学仅随机选一个选项共有4种可能，能的2分的情况是选C或D，
故能得2分的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，所有可能的结果为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共有6种可能的结果，
设事件M表示“乙同学仅随机选两个选项，能得5分”，
则事件M包含的样本点有CD，故，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），所有可能的结果为选择一项：A，B，C，D；
选择两项：AB，AC，AD，BC，BD，CD；选择三项或全选：ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共有15种可能的结果.
设事件N表示“丙同学随机选择选项，能得分”，则事件N包含的样本点有C，D，CD，共有3种可能的结果，
故，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，由上述分析可知，共有11种可能的结果，
设事件E表示“丁同学随机至少选择两个选项，能得分”，
则事件E包含的样本点为CD，只有1种可能的结果，故，故D错误.
故选:ABC.
11．答案：BD
解析：随机地排列数字1，5，6可以得到的三位数有：156，165，516，561，615，651，共6个，故A不正确；
其中奇数有：165，561，651，615，共4个，所以所得的三位数是奇数的概率为
，故B正确；
其中偶数有：156，516，共2个，所以所得的三位数是偶数的概率为，故C不正确；
其中大于400的有：516，561，615，651，共4个，所以所得的三位数大于400的概率为，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：方程有实根,所以
又因为,所以.
b,c的有序实数对有,,,,,,,
,共9个基本事件.
符合有,,,故概率为.
故答案为:
13．答案：
解析：某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有，，，；选择两项有：，，，，，；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有，，，共3种，故“能得分”的概率为.
故答案为：.
14．答案：0.85（或）
解析：A题库占，B题库占，C题库占，则所求概率.
15．答案：（1）0.64
（2）0.2375
解析：（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲，则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中，
故所求概率为.
（2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率.
若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中，
所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率.
故所求概率为.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）依题意可知：随意掷一次正方体骰子，面朝上的数可能出现的结果有1、2、3、4、5、6共6种，
而且它们出现的可能性相等.满足数字大于4（记为事件A）的有2种.所以.
（2）依题意列表分析如下：
第二次n
第一次m 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由表可以看出，可能出现的结果有36种，而且它们出现的可能性相等，
所得点A（记为事件A）的有（1，2）和（2，5）两种情况，
所以在函数的图象上的概率为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）记A表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”，
B表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”，
C表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”，
D表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”.
由题意，，，，
所以；
（2）由题意，知，.
18．答案：（1）0.512；
（2）
解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序记录结果，则x，y，z都有10种可能，
所以基本事件总数为(种);
设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此.
(2)可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，
则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，
所以基本事件总数为.
设事件B为“3件都是正品”，
则事件B包含的基本事件总数为，
所以.
19．答案：(1)0.080
(2)102分
(3)
解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
；
（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
（3）由频率分布直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取5人，则在,分别抽取3人和2人，
记这组三人的编号为A,B,C,这组两人的编号为a,b，
故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：
,,,,,,,,,
设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则，共6种情况.
故，
即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为.
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