四川天府新区实外高级中学2024-2025学年高三上学期入学考试数学试卷（PDF版，无答案）

四川天府新区实外高级中学高 2022 级入学考试
数 学 试 卷
（时间:120 分钟 试卷满分：150 分）
一、选择题(单选题)：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1. 已知集合 A {x | x 2 1 0}，集合 B a 1,a 1,3 ，若 A B，则 a （ ）
A． 1 B．0 C．1 D．2
2. 过点 1,0 且与直线 x 2y 2 0平行的直线方程是( )
A． x 2y 1 0 B． x 2y 1 0 C． 2x y 2 0 D． x 2y 1 0
S
3. 记 Sn 为等比数列 an 的前 n项和．若 a5 a3 12,a6 a4 24, n则 a ( )n
n 1 n n 1 1 n
A． 2 1 B． 2 2 C． 2 2 D． 2 1
4．故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作，它被誉为故宫最美的建筑，角楼的建造者也将中国古代的
阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”，偶数称为“阴数”，9 的整
数倍称为“吉数”.若从 1，3，5，7，9 这五个阳数，2，4，6，8 这四个阴数中各取一个数组成两位数，
则这个两位数恰好是“吉数”的概率是（ ）
1 9 3 1
A． B． C． D．
5 20 10 4
1 2x 75．已知 a 2 70 a1x a2 x a7 x ，则下列结论错误的是（ ）
A． a0 1 B． a3 280 C． a1 a2 a7 2 D． a1 2a2 7a7 7
3 2
6．函数 f x x ax bx a2在 x 1处有极值 10，则点 a,b 为（ ）
A． 3, 3 B． 4,11 C． 3, 3 或 4,11 D．不存在
7. 已知抛物线 y2 6x的焦点为 F ，准线为 l，过 F的直线与抛物线交于点 A、B，与直线 l交于点 D，若

AF FB 1 且 BD 4，则 ( )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
8．古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施 2 子安贝（古
印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月 31 天计算，记此人第 n日布
施了 an子安贝（其中1 n 31,n N*），数列 a 2n 的前 n项和为 Sn .若关于n的不等式 Sn 254 an 1 tan 1恒
成立，则实数 t的取值范围为（ ）
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A． , 28 B． ,30 C． ,31 D． ,32
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对得部分分．
9．若正实数 a,b满足 2a b 1，则下列说法正确的是（ ）
1 2 1
A. 的最小值为 8 B. ab的最小值为
a b 8
C. 2a b 的最大值为 2 D. 4a2 b2
1
的最小值为 2
10. 某个班级共有学生 40 人，其中团员 15 人．全班共分成 4 个小组，第一小组有学生 10 人，其中团员
x 人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概
4
率是 ，则 x 不可能的值为（ ）
15
A．2 B．3 C．4 D．5
f (x) x
2 2x 2
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
ex
A．函数 f (x)有极小值 B．函数 f (x)在 x 1处切线的斜率为 4
k 2e2C．当 ,
6
2 时， f (x) k恰有三个实根 D．若 x 0, t 时， f (x)
6
，则 t的最小值为 2
e max e2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。
2
12.若命题：“ x0 R ，使mx0 mx0 1 0”是假命题，则实数 m 的取值范围为___________．
13.如图，在棱长为 1 的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M，N 分别为
BC，AD的中点，则直线 AM 和CN 夹角的余弦值______．
14. 已知 S x, y x 2 2 y m 2 1, y 0 x, y x 2 2 y m 2 1, y 0 T ， x, y y 1 x ，
2
P S T，则下列结论中正确的是__________
1 m S x, y y 0 2 3,0 , 2 3 ①. 当 时， 2 ,0 2 ； 2
②. 5当m 1时，P 有 1 个元素；
2
5 5 5 5
③. 若 P 有 2 个元素，则m 1, 12 2
1, 12 2
；

④. 若 P 有 4 个元素，则 m 无整数解；
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知 an 为等差数列， bn 为公比 q 1的等比数列，且 a1 b1 1， a2 b2， a5 b3．
(1)求 an 与 bn 的通项公式；
(2)设 c
1
n bn ca a ，求数列 n 的前n项和Tn；n n 1
16.（15 分） 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是矩形， PA AD 2， AB 4，
M，N分别是线段 AB，PC 的中点．
(1)求证：MN / /平面 PAD；
1 CQ
(2)在线段 CD 上是否存在一点 Q，使得直线 NQ 与平面 DMN 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
3 CD
若不存在，请说明理由．
17．（15 分）自古以来，成都就被称为“天府之国”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下
千古诗篇名句，在唐代李白的诗中这样描写到“九天开出一成都,万户千门入画图”，就连马可·波罗都
称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第 31 届大运会将在被称为“天府之国”的成都举办，组委会计划
采用服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的大运会志愿者、
(1)已知报名者1,2,3组人数之比为3:3: 4，将这 3 组报名者混在一起进行大运会志愿服务知识问答，假设
1,2,3组中的每一个人答对某道题的概率分别为 0.90, 0.95, 0.90，从中任选一人，求此人答对该题的概率；
(2)从 4 名女性报名者和 3 名男性报名者中随机选出 3 名进行大运会服务技能考核，记 X 为其中女性的人
数，求 X 的数学期望．
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2 2 1
18、（17 分）已知椭圆C : x y2 2 1 a b 0 的短轴长为 2 3，离心率 e ．a b 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若 F1、F2分别是椭圆C的左 右焦点，过 F2的直线 l与椭圆C交于不同的两点 A、B，求△F1AB 的面
积的最大值．
19.（17 分） 设函数 f x x ln x
（1）分析 f x 的单调性和极值；
（2）设 g x f x
1 1
，若对任意的 x 0，都有 g x mx成立，求实数 m 的取值范围；
e e
（3）若 x1 x2 ，且满足 f x1 f x2
1
x21 x22 1时，证明： x1 x2 2 .2
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