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函数的奇偶性
宜兴市丁蜀高级中学 吴湘芸
基础整合
1.奇偶函数的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，
如果对于任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数。
如果对于任意的x∈A都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数。
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.
如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。
f(－x)=－f(x)
f(－x)=f(x)
基础整合
由于定义中对任意一个x都有f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)，说明定义域中任意一个x都有一个
关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数
的定义域关于原点对称。
问题：奇偶函数的定义域有何特点？
典型例题
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；( 6 )
考点1：函数奇偶性的判断
小结：
判断函数奇偶性的方法一般有两种：
一是定义法，步骤：看定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；若对称，则看解析式能否化简，能够化简的，一定要化简解析式；看f(x)与f(－x)的关系，可以直接观察，也可以用定义的变形式，有时能简化计算；
二是图象法，作出图象，根据图象的对称性得出结论，一般分段函数的奇偶性的判断多用图象法。
基础整合
2.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
（1）首先确定函数的定义域，
并判断其定义域是否关于原点对称；
（2） 确定f(－x)与f(x)的关系；
（3）作出相应结论：（定义的等价形式）
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。
考点2：函数奇偶性的运用
利用函数的奇偶性求函数值
典型例题
例2 .设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，
f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝_______。
变. 已知
是偶函数，且其定义域为
－1,2
]，则
= ,
。
[
1/3
0
小结：奇函数f(x)如果在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0，即奇函数的图象若与y轴有交点，则交点一定是原点．
-3
基础整合
3.奇偶函数的性质
(1)奇函数的图象关于____对称,
并且在两个对称区间上的单调性_____。
偶函数的图象关于____对称,
并且在两个对称区间上的单调性_____。
(填“相同”、“相反”）.
(2)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=___；
若为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
原点
相同
y轴
相反
0
例3．已知定义在
上的函数
是奇函数，且当
时，
，求函数
的解析式。
解：设
，则
又
是奇函数，
当
时，
综上，
的解析式为
．
典型例题
小结：求解析式时x=0的情况不能漏；利用奇偶性求解析式一般是通过“-x”实现转化。
考点2：函数奇偶性的运用
利用函数的奇偶性求函数解析式
典型例题
利用函数奇偶性求函数的解析式
例4. 设
为奇函数，g(x)为偶函数，若
─g(x)=
比较f(1),g(0),g(－2)三者的大小
g(-2)典型例题
例5.已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法。
课堂小结
函数的奇偶性
定义（四类）
判断方法
定义法
图像法
运用
性质
思想方法
函数思想
数形结合
1.设函数
为奇函数，则实数
。
巩固练习
3.已知函数
是定义在
上的偶函数．当
时，
，则当
时，
。
2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)＋f(－2)＝2，则f(2)－f(3)＝________。
-1
-2
巩固练习
4.若函数
是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且
，则使得
的x的取值范围是 。
5.已知
和
均为奇函数，若
在区间
上有最大值5，则
在区间
的最小值为 。
（－2，2）
-1
，
6.函数
是定义在（-1,1）上的奇函数，且
在（-1,1）上为增函数。（1）求函数
的解析式；（2）解不等式
，
学后感
你学到了什么_______________________________________________________________________.
你想进一步探究的是_________________________________________________________________.
学习中还存在哪些不足_______________________________________________________________.
作业布置
函数的奇偶性
（1）定义域为
，不关于原点对称；故
既不是奇函数也不是偶函数。
函数的奇偶性
（2）定义域为
关于原点对称；
，
且
，
所以
既为奇函数又为偶函数．
函数的奇偶性
（3）定义域为
，关于原点对称；
，
，故
为奇函数．
函数的奇偶性
（4）定义域为
，关于原点对称；
，则
且
，故
既不是奇函数也不是偶函数。
函数的奇偶性
函数的奇偶性
（6）定义域为
，关于原点对称；
，
又
，
故
为奇函数。
小结：分段函数判断奇偶性，分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，通法是分类讨论，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)是否成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．一般分段函数的奇偶性判断多用图象法。
