27.1 图形的相似
【考点 1 比例性质】
【考点 2 比例线段】
【考点 3 成比例线段】
【考点 4 黄金分割比】
【考点 5 由平行线判断成比例的线段】
【考点 6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】
【考点 7 相似图形】
【考点 8 相似多边形的性质】
知识点 1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n ，或
a m
写成 = ．
b n
2．成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；
2
（2）若 a:b=b:c ，则b =ac（b 称为 a、c 的比例中项）．
【考点 1 比例性质】
+
【典例 1】若2 = 3 = 4 ≠ 0，则 2 = ．
【变式 1-1】．若4 =
3，则 的值是（ ）
3 4 1
A．4 B．3 C．12 D．12
3 5 3 +2
【变式 1-2】已知 = ，则 的值为（ ）
19 19A． 2 B． 19 C． 2 D．19
3 +2
【变式 1-3】已知 = = =
1
2，则 3 +2 = （ ）
1 1 1 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点 2 比例线段】
【典例 2】已知线段 a，b 满足5 = 12，且 + = 34．
(1)求 a，b 的值；
(2)若线段 x 是线段 a，b 的比例中项，求 x 的值．
【变式 2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4毫米、宽2毫米的零件画在一张 3纸
（42cm × 29.7cm）上，适合的比例尺是（ ）
A．1 ∶ 80 B．80 ∶ 1 C．1 ∶ 800 D．800 ∶ 1
【变式 2-2】线段1cm、4cm的比例中项为 cm．
= 3 【变式 2-3】点 在线段 上，若 5 ，则 = ．
【考点 3 成比例线段】
【典例 3】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
【变式 3-1】下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、2、3、6 D．25、20、4、5
【变式 3-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A． = 1, = 2, = 3, = 4 B． = 1, = 2, = 3, = 6
C． = 5, = 6, = 7, = 8 D． = 4, = 6, = 6, = 8
【变式 3-3】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，3cm，4cm，8cm
知识点 2 黄金分割比
AC BC
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 = ,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做
AB AC
线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意： AC 5 -1 5 -1= AB ≈0.618AB( 叫做黄金分割值).
2 2
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 AB，按照如下方法作图：
1
（1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= AB.
2
（2）连接 AD，在 DA上截取 DE=DB.
（3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【考点 4 黄金分割比】
【典例 4】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形 的边 取中点
，以 为圆心，线段 为半径作圆，其与边 的延长线交于点 ，这样就把正方形 延伸为黄金矩
形 ，若 = 4，则 = ．
【变式 4-1】如图，点 P 是线段 的黄金分割点，且 > ，若 = 2，则 的长度是（ ）
A． 5 1 B．3 5 C．2 5 4 D．1
【变式 4-2】宽与长的比是黄金分割数 5 1 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄
2
金矩形的设计．如图，已知四边形 是黄金矩形，若长 = 5 +1，则该矩形 的面积
为 ．(结果保留根号)
【变式 4-3】如图，在 △ 中， = ，∠ = 108°，以 为圆心， 为半径，两弧交 于点 ，此
时，点 为线段 的黄金分割点，若 = 2，则 的长为 ．
知识点 3 平行线分线段成比例
类型 1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
如图一：直线AB/ / CD/ / EF, 直线AE、BF分别交AB、
CD、EF于A、B、C、D、E、F. 图一
若AC = EC,则BD = FD
拓展：
1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一：直线AB/ / CD/ / EF, 直线AE、BF分别交AB、CD、EF
于A、B、C、D、E、F. 且AB、CD、EF距离为d1、d2
若d1=d2 ,则AC=EC, BD = FD
2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二：在 ABC中，D为AB中点，DE/ / BC交AC于
点F，则AE=CE。
图二
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三：在梯形ABCD中，E为AB中点，EF/ / BC交DC于
1
点F，则AF=CF；EF= （AD+BC）
2
图三
类型 2 平行线分线段成比例定理
（1）定理 1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
图四 图五
如图四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE
则 =
DB EC
如图五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延长线于E、D。
AD AE
则 =
AB AC
（2）定理 2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三
角形的三边对应线段成比例
如图四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE DE
则 = =
AB AC BC
如图五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延长线于E、D。
AD AE DE
则 = =
AB AC BC
知识点 4 相似三角形的相关概念
在 和 中，如果
我们就说 与 相似，记作
∽ .k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
注意：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说明点 A 的对应
点是 A′，点 B的对应点是 B′，点 C的对应点是 C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二
个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全
等.
【考点 5 由平行线判断成比例的线段】
【典例 5】在 △ 中，点 、 分别在边 、 上，下列比例式中能判定 ∥ 的是（ ）
A． =
B． = C． = D． =
【变式 5-1】如图，已知直线 ∥ ∥ ，下列结论中不成立的是（ ）
= = A． B． C． = D． =
【变式 5-2】如图，已知 ∥ ∥ ，那么下列结论成立的是（ ）
= A． B． = C． = D． =
【考点 6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】
【典例 6】如图， △ 中， = ， ⊥ 2于点 ， 在 上， = 5， 交 于点 ，
∥ ．若 = 6cm，求 的长．
【变式 6-1】已知直线 1， 2被直线 a，b，c 所截，截得线段的长度如图所示.若 ∥ ∥ ，则 x 的值为
（ ）
12 11 21 28
A． 7 B． 3 C． 4 D． 3
2
【变式 6-2】如图， 是 △ 的中线，点 E 在 上， 交 于点 F，若 = 5，则 为（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【变式 6-3】如图：直线 ∥ ∥ ，若 = 3， = 6， = 2，则 的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
知识点 5 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形
是全等；
知识点 6 相似多边形
1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
2.相似多边形的性质
① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。
② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方
根）。
③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。
【考点 7 相似图形】
【典例 7】下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【变式 7-1】下列图标中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式 7-2】下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 7-3】下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似
【考点 8 相似多边形的性质】
【典例 8】如图，在矩形 中， = 4， = 6，点 E，F 分别在 ， 上，且 ∥ ，矩形
与矩形 相似，则矩形 的面积为（ ）
40 32 16
A．16 B． 3 C． 3 D． 3
【变式 8-1】若两个相似多边形的面积之比为1:3，则它们的相似比为（ ）
A．1 ∶ 3 B．1:3 C．1:6 D．1:9
【变式 8-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得 x 的值为
（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【变式 8-3】如图，在边长为 1 的正方形构成的网格中，四边形 和四边形 的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
1．若线段 a，b，c，d 是成比例线段，且 = 1， = 4， = 2，则 = （ ）
A．0.5 B．8 C．2 D．3
2．若 : = 3:2， : = 4:3 + ，则 2 的值是（ ）
A．2 B． 2 C．3 D． 3
3．已知 = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，下列各式中，一定正确的是（ ）
A． = B． = C． =
D． =
4．如图， ∥ ∥ ， = 3， = 2， = 2.5，则 的长为（ ）
5 15 25 5A． B． 4 C． 6 D．3
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似
C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似
6．如图，C 为线段 的黄金分割点( < )，且 = 4，则 的长为（ ）
A．2 5 2 B．2 5 +2 C． 5 +3 D． 5 3
7．如图，已知 ∥ ∥ ， : = 3:5， = 12，那么 的长等于（ ）
36 24 15 9
A． 5 B． 5 C． 2 D．2
8．若线段 = 4， = 9，则线段 ， 的比例中项为（ ）
13
A． 2 B． 13 C．6 D． ± 6
9．如图， 是 △ 的中线，点 E 在 上， 交 于点 F，若 =
2
5，则 为（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
= 3 + 10．若 4，则 的值为 ．
11．如图，四边形 ≌四边形 ′ ′ ′ ′，则∠ 的大小是 ．
12．若两个相似图形的周长比为2:1，则它们的面积比为 ．
13．数学中，把 5 1这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，
2
是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是 的黄金分割点（ > ），若线段 的长为8cm，则 的
长为 cm．
14．如图，点 是矩形 的对角线 的中点， ∥ 交 于点 ，若 = 3， = 10，则 的长
为 ．
2 +
15．若 : = 1:3,2 = 3 ，则 的值是 ．
16．如图，取一张长为 a，宽为 b 的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与
原矩形纸片相似，则 : = ．
17．如图，若直线 ∥ ∥ ，它们依次交直线 、 于点 , , 和点 , , ．
(1)如果 = 5, = 8, = 7，求 的长；
(2)如果 : = 3:4, = 21，求 的长．
18．阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图 1，在 △ 中， 平分∠ ，则 = ．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图 2，过点 C 作 ∥ ，交 的延长线于点 E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图 3，在 △ 中， 是角平分线， = 5， = 4， = 7，求 的长．
19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之
比等于较大部分与整体之比．如图， 是线段 上一点，若 > ，且满足 =
，则称 是线段
的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割
点上，观众看上去感觉最好．若舞台 长20米，主持人从舞台 侧进入，他至少走多少米，恰好站在
舞台的黄金分割点 上？
20．【背景知识】
宽与长的比等于 5 1的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，
2
为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为 30 米，求它的宽度是多少米 （结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图 1 的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：如图 2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线 ，并将 折到图 3 所示的 处；
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出 ，得到矩形 （如图 4）．
【问题思考】
（2）若 的长为 2，请证明：矩形 是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图 3 中的折痕 为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．27.1 图形的相似
【考点 1 比例性质】
【考点 2 比例线段】
【考点 3 成比例线段】
【考点 4 黄金分割比】
【考点 5 由平行线判断成比例的线段】
【考点 6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】
【考点 7 相似图形】
【考点 8 相似多边形的性质】
知识点 1 比例线段
1．线段的比：
如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n ，或
a m
写成 = ．
b n
2．成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如
a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质：
（1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；
（2）若 a:b=b:c ，则b2 =ac（b 称为 a、c 的比例中项）．
【考点 1 比例性质】
+
【典例 1】若2 = 3 = 4 ≠ 0，则 2 = ．
1
【答案】2/0.5
【分析】本题考查了比例的性质，设2 = 3 = 4 = ，代入代数式进行计算，即可解答．
【详解】解：设2 = 3 = 4 =
∴ = 2 ， = 3 ， = 4 ，
+
∴ = 2 3 +4 = 3 12 6 6 = 2
1
故答案为：2．
【变式 1-1】．若4 = 3，则 的值是（ ）
3 4 1
A．4 B．3 C．12 D．12
【答案】B
【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵ = 4 3，
∴ 4 = 3，
故选：B．
3 5 3 +2
【变式 1-2】已知 = ，则 的值为（ ）
A． 192 B． 19
19
C． 2 D．19
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比
3 5
性质；等比性质．根据比例的性质，由 = ，得3 = 5，则设3 = 5 = ，得到 = 3 ， = 5 ，然后把
= 3 = 5 3 +2 ， ，代入 中进行分式的运算即可．
【详解】解：∵3 = 5 ，
∴ = 3 5，
= 设3 5 = ，得到 = 3 ， = 5 ，
∴3 +2 = 3×3 +2×5 = 19 3 5 2 ，
故选：A．
1 3 +2
【变式 1-3】已知 = = = 2，则 3 +2 = （ ）
1 1 1 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答．
【详解】解： ∵ = = =
1
2，( 3 + 2 ≠ 0)，
∴ = 3
2 1
3 = 2 = 2，
3 +2
∴ 1 3 +2 = 2，
故选：A．
【考点 2 比例线段】
【典例 2】已知线段 a，b 满足5 = 12，且 + = 34．
(1)求 a，b 的值；
(2)若线段 x 是线段 a，b 的比例中项，求 x 的值．
【答案】(1) = 10， = 24
(2) = 4 15
5
【分析】（1）根据5 = 12可得 = 12 ，再代入 + = 34计算即可得；
（2）根据比例中项的定义求解即可得．
【详解】（1）解：∵5 =
12，
∴ = 512 ，
∵ + = 34，
∴ 512 + = 34，
【变式 2-1】小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长4毫米、宽2毫米的零件画在一张 3纸
（42cm × 29.7cm）上，适合的比例尺是（ ）
A．1 ∶ 80 B．80 ∶ 1 C．1 ∶ 800 D．800 ∶ 1
【答案】B
【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”
即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法．
【详解】解：∵零件的实际长度为4mm，零件的图上长度为42cm，即420mm，
∴适合的比例尺 = 420 ∶ 4 = 105 ∶ 1 ≈ 80 ∶ 1，
故选：B．
【变式 2-2】线段1cm、4cm的比例中项为 cm．
【答案】2
【分析】本题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义列出方程，解方程即可求解，理解比例中项
的定义是解题的关键．
【详解】解：设它们的比例中项是 ，
则 2 = 1 × 4，
∴ =± 2,
∵线段的长度是正数，
∴ = 2，
∴比例中项为2cm，
故答案为：2．
3
【变式 2-3】点 在线段 上，若 = 5 ，则 = ．
8
【答案】5
【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设 = 3 , = 5 ，根据题意可得 = + ，进而即可
求解．
∵ = 3【详解】解： 5
设 = 3 , = 5
∴ = + = 8
∴ = 8 5 =
8
5
8
故答案为：5．
【考点 3 成比例线段】
【典例 3】下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
【答案】D
【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另
外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、1 × 4 ≠ 2 × 3，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、2 × 5 ≠ 4 × 3，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、3 × 9 ≠ 4 × 6，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、2 × 6 = 3 × 4，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意，
故选：D．
【变式 3-1】下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、2、3、6 D．25、20、4、5
【答案】B
【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可．
【详解】解：A、2 × 6 = 3 × 4，能成比例，不符合题意；
B、4 × 10 ≠ 5 × 6，不能成比例，符合题意；
C、1 × 6 = 2 × 3，能成比例，不符合题意；
D、25 × 4 = 20 × 5，能成比例，不符合题意；
故选：B．
【变式 3-2】下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A． = 1, = 2, = 3, = 4 B． = 1, = 2, = 3, = 6
C． = 5, = 6, = 7, = 8 D． = 4, = 6, = 6, = 8
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最
大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、 ∵ 1 × 4 ≠ 2 × 3，
∴ ≠ ，
∴ 四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、 ∵ 1 × 6 = 2 × 6，
∴ = ，
∴ 四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、 ∵ 5 × 8 ≠ 6 × 7，
∴ ≠ ，
∴ 四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、 ∵ 4 × 4 ≠ 6 × 6，
∴ ≠ ，
∴ 四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式 3-3】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，3cm，4cm，8cm
【答案】C
【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的比（即它们
的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错
误答案即可．
【详解】解：A、4 × 7 ≠ 5 × 6，故选项不符合题意；
B、3 × 8 ≠ 4 × 5，故选项不符合题意；
C、5 × 9 = 15 × 3，故选项符合题意；
D、1 × 8 ≠ 4 × 3，故选项不符合题意．
故选：C．
知识点 2 黄金分割比
AC BC
1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果 = ,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做
AB AC
线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
AC 5 -1注意： = AB 5 -1≈0.618AB( 叫做黄金分割值).
2 2
2.作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段 AB，按照如下方法作图：
1
（1）经过点 B 作 BD⊥AB，使 BD= AB.
2
（2）连接 AD，在 DA 上截取 DE=DB.
（3）在 AB 上截取 AC=AE.则点 C 为线段 AB 的黄金分割点.
注意：一条线段的黄金分割点有两个.
【考点 4 黄金分割比】
【典例 4】射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形 的边 取中点
，以 为圆心，线段 为半径作圆，其与边 的延长线交于点 ，这样就把正方形 延伸为黄金矩
形 ，若 = 4，则 = ．
【答案】2 + 2 5/2 5 +2
【分析】
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设 = ，根据正方形的性质可得 = = ，
则 = + 4 ，然后根据黄金矩形的定义可得 5 1 = ，从而可得 =
5 1
+4 ，最后进行计算即可解答，2 2
熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设 = ，
∵四边形 是正方形，
∴ = = ，
∵ = 4，
∴ = + = + 4，
∵四边形 是黄金矩形，
∴ =
5 1，
2
∴ = 5 1 +4 ，2
解得： = 2 5 +2，
经检验： = 2 5 +2是原方程的解，
∴ = 2 5 +2，
故答案为：2 5 +2．
【变式 4-1】如图，点 P 是线段 的黄金分割点，且 > ，若 = 2，则 的长度是（ ）
A． 5 1 B．3 5 C．2 5 4 D．1
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得 = 5 1 ，由此可解．2
【详解】解： ∵ 点 P 是线段 的黄金分割点，且 > ，
∴ = 5 1，即 = 5 1 2 ，2 2
∴ = 5 1，
故选 A．
【变式 4-2】宽与长的比是黄金分割数 5 1 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄
2
金矩形的设计．如图，已知四边形 是黄金矩形，若长 = 5 +1，则该矩形 的面积
为 ．(结果保留根号)
【答案】2 5 +2
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 = 5 +1，
求出宽 ，再求出面积即可．
【详解】解：∵四边形 是黄金矩形，
∴ = 5 1 ，2
∵长 = 5 +1，
∴宽 = 5 1 = 5 1 × ( 5 + 1) = 2，2 2
∴矩形的面积为2( 5 + 1) = 2 5 +2．
故答案为：2 5 +2．
【变式 4-3】如图，在 △ 中， = ，∠ = 108°，以 为圆心， 为半径，两弧交 于点 ，此
时，点 为线段 的黄金分割点，若 = 2，则 的长为 ．
【答案】 5 1
【分析】本题考查的是黄金分割的概念，本题中经分析，因为点 为线段 的黄金分割点，所以把线段
分成两条线段 和 ( > ) = ，且使 是 和 的比例中项，即 5 1 = ，把 = 2代入2
计算，即可作答．
【详解】解： ∵ AB = AC，∠ = 108°，以 为圆心， 为半径，两弧交 于点 ，
∴ >
∵点 为线段 的黄金分割点，
∴ 是 和 的比例中项，
∴ 5 1 = = ，2
∵ = 2
∴ = 5 1
故答案为： 5 1
知识点 3 平行线分线段成比例
类型 1 平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
几何语言：
如图一：直线AB/ / CD/ / EF, 直线AE、BF分别交AB、
CD、EF于A、B、C、D、E、F. 图一
若AC = EC,则BD = FD
拓展：
1）.如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等；
如图一：直线AB/ / CD/ / EF, 直线AE、BF分别交AB、CD、EF
于A、B、C、D、E、F. 且AB、CD、EF距离为d1、d2
若d1=d2 ,则AC=EC, BD = FD
2）.经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边；
如图二：在 ABC中，D为AB中点，DE/ / BC交AC于
点F，则AE=CE。
图二
3）经过梯形一腰中点并平行于底边的直线必过另一腰中点并等于两底和的一半。
如图三：在梯形ABCD中，E为AB中点，EF/ / BC交DC于
1
点F，则AF=CF；EF= （AD+BC）
2
图三
类型 2 平行线分线段成比例定理
（1）定理 1：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
图四 图五
如图四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE
则 =
DB EC
如图五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延长线于E、D。
AD AE
则 =
AB AC
（2）定理 2：平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形的三边与原三
角形的三边对应线段成比例
如图四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE DE
则 = =
AB AC BC
如图五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延长线于E、D。
AD AE DE
则 = =
AB AC BC
知识点 4 相似三角形的相关概念
在 和 中 ， 如 果
我们就说 与 相似，记
作
∽ .k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似 于”.
注意：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即 ∽ ，则说明点 A 的对应
点是 A′，点 B的对应点是 B′，点 C的对应点是 C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二
个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全
等.
【考点 5 由平行线判断成比例的线段】
【典例 5】在 △ 中，点 、 分别在边 、 上，下列比例式中能判定 ∥ 的是（ ）
= = A． B． C． = D． =
【答案】B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可．
【详解】解：如图：
A、当 = 时，不能判定 ∥ ，故不符合题意；
B、当 = 时，能判定 ∥ ，故符合题意；
C、当 = 时，不能判定 ∥ ，故不符合题意；
D、当 =
时，不能判定 ∥ ，故不符合题意；
故选：B．
【变式 5-1】如图，已知直线 ∥ ∥ ，下列结论中不成立的是（ ）
= = A． B． C． =
D． =
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成
比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答．
【详解】解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ = ， = ，
∴ = ，
∴ 选项 A、B、C 正确，不符合题意，
故选：D．
【变式 5-2】如图，已知 ∥ ∥ ，那么下列结论成立的是（ ）
= = A． B． C． = D． =
【答案】B
【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段
成比例即可解答．
【详解】解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ =
，
故 A，C，D 不正确，
故选：B．
【考点 6 由平行截线求相关相关线段的长或比值】
【典例 6】如图， △ 中， = ， ⊥ 于点 ， 2在 上， = 5， 交 于点 ，
∥ ．若 = 6cm，求 的长．
【答案】 = 94(cm)
【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到 = ，
= 2 2 2再由平行线分线段成比例定理得到 = 1， = ，同理得到 = = 5，则 = 3 ，则3
+ + = 6 (cm)，据此可得答案．
【详解】解： ∵ = ， ⊥ ，
∴ = ，
又 ∵ ∥ ，
∴ = = 1，
∴ = ，
∵ 2 = 5， ∥ ，
∴ = 2 = 5，
2
∴ = 3
∵ = 6cm，
∴ + + = 6 2，即3 + + = 6 (cm)．
9
解得， = 4(cm)．
【变式 6-1】已知直线 1， 2被直线 a，b，c 所截，截得线段的长度如图所示.若 ∥ ∥ ，则 x 的值为
（ ）
12 11 21 28
A． 7 B． 3 C． 4 D． 3
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据 ∥ ∥ ，得
3
出 =
4
7，再计算即可作答．
【详解】解：∵ ∥ ∥
∴3 4 = 7
∴ = 214
故选：C
2
【变式 6-2】如图， 是 △ 的中线，点 E 在 上， 交 于点 F，若 = 5，则 为（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．过点 作 ∥ ，交 于点 ，根据平行线分线段成比例可得点 是 的中点，从而可得
= = 1 2 12 ，然后再利用平行线分线段成比例可得 = = 5，从而可得 = 5，即可解答．
【详解】解：过点 作 ∥ ，交 于点 ，
∵ ∥ ，点 是 的中点，
∴ =
= 1，
∴ = ，
∴ 点 是 的中点，
∴ = = 12 ，
∵ ∥ ，
∴ = 2 = 5，
∴ = 2 = 1 10 5，
∴ =
1
6，
故选：A
【变式 6-3】如图：直线 ∥ ∥ ，若 = 3， = 6， = 2，则 的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例．根据
∥ ∥ = ，得到 ，代入数值求出 = 4，即可求出 的长．
【详解】解：∵ ∥ ∥ ，
∴ = ，而 = 3， = 6， = 2，
∴36 =
2
，
解得 = 4，
∴ = + = 2 + 4 = 6，
故选：C．
知识点 5 相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
注意：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形
是全等；
知识点 6 相似多边形
1.相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
注意：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比．
2.相似多边形的性质
① 相似三角形对应高的比、对应 角平分线 的比和对应中线的比都等于 相似比。
② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的 算术平方
根）。
③相似多边形的 对应角 相等，对应边的比相等。
【考点 7 相似图形】
【典例 7】下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的为（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，
进行判断即可．
【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大
小不同，是相似形．
故选 D．
【变式 7-1】下列图标中，不是相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：选项 A，B，D 是相似图形，选项 C 不是相似图形．
故选：C．
【变式 7-2】下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D 三个选项中的图形形状不同，不相似，C 选项中的两个图形形状相同，相似；
故选：C．
【变式 7-3】下列说法正确的是（ ）
A．等边三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似多边形的各边对应成比例、各角对应相等是解题的
关键．
根据各边对应成比例、各角对应相等的多边形是相似多边形逐项判断即可解答．
【详解】解：A、等边三角形的三边对应成比例，等边三角形都是相似三角形，故A符合题意；
B、矩形的长和宽不一定对应成比例，矩形不一定都相似，故B不符合题意；
C、多边形各边对应成比例，但多边形的各角不一定对应相等，各边对应成比例的多边形不一定是相似
多边形，故C不符合题意；
D、菱形的各角不一定对应相等，边长相等的菱形不一定都相似，故D不符合题意．
故选：A．
【考点 8 相似多边形的性质】
【典例 8】如图，在矩形 中， = 4， = 6，点 E，F 分别在 ， 上，且 ∥ ，矩形
与矩形 相似，则矩形 的面积为（ ）
40 32 16
A．16 B． 3 C． 3 D． 3
【答案】C
【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明
矩形
=
2
= 4
2 4
6 = 9，从而可得答案．矩形
【详解】解：∵矩形 ∽ 矩形 ， = 4， = 6，
矩形 2 2∴ = 4 4 = 6 = 9， = 4 × 6 = 24矩形 ，矩形
∴ 32 矩形 = 3 ，
故选：C．
【变式 8-1】若两个相似多边形的面积之比为1:3，则它们的相似比为（ ）
A．1 ∶ 3 B．1:3 C．1:6 D．1:9
【答案】A
【分析】本题考查了多边形相似的性质．熟练掌握两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题
的关键．
根据两个相似多边形的面积之比等于相似比的平方求解作答即可．
【详解】解：由题意知，若两个相似多边形的面积之比为1:3，则它们的相似比为1 ∶ 3，
故选：A．
【变式 8-2】如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得 x 的值为
（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的
比相等，对应角相等分析．
【详解】解：这两个图形两个形状相同，
即两个图形相似，
则对应线段的比相等，
15
因而20 =
6
，
= 8．
的值是8cm．
故选：D
【变式 8-3】如图，在边长为 1 的正方形构成的网格中，四边形 和四边形 的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质与判定，利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得
= = =
= 2，据此可得答案．
【详解】解：由题意得， = 22 + 22 = 2 2， = 42 + 22 = 2 5， = 42 + 22 = 2 5，
= 8， = 12 + 12 = 2， = 12 + 22 = 5， = 12 + 22 = 5， = 4，
∴ = = = = 2，
∴四边形 和四边形 的相似比是2：1，
故选；C．
1．若线段 a，b，c，d 是成比例线段，且 = 1， = 4， = 2，则 = （ ）
A．0.5 B．8 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，
再把 = 1， = 4， = 2代入计算即可．
【详解】解： ∵ 线段 a，b，c，d 是成比例线段，
∴ = ，
∵ = 1， = 4， = 2，
∴ 1 = 24 ，
∴ = 8，
故选：B．
2．若 : = 3:2， : = 4:3 + ，则 2 的值是（ ）
A．2 B． 2 C．3 D． 3
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质，可用 表示 ， ，根据分式的性质，可得答案．
【详解】解：由 : = 3:2， : = 4:3，得
= 32 ， =
3
4 ．
3 5
+ +
2 =
2 = 23 5 = 2，
4 2 4
故选：B．
3．已知 = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，下列各式中，一定正确的是（ ）
A． = B． =
C． =
D． =
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，最小项与最大项的积等于其余两项的积，根据题意
要求，将4个数化为一个等积式，再化为比例式即可，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，
∴ = = 3.2，
∴ = ，
故选：C．
4．如图， ∥ ∥ ， = 3， = 2， = 2.5，则 的长为（ ）
5 15 25 5A． B． 4 C． 6 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由 ∥ ∥ 可得 = ，代入已知条件计算即可求解，掌
握平行线等分线段定理是解题的关键．
【详解】解：∵ ∥ ∥ ，
∴ = ，
3 2.5
即2 = ，
解得 = 53，
故选：D．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似
C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似
【答案】D
【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的
定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意；
B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意；
C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意；
D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图，C 为线段 的黄金分割点( < )，且 = 4，则 的长为（ ）
A．2 5 2 B．2 5 +2 C． 5 +3 D． 5 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出 = 5 1 ，即可解答．
2
【详解】解：∵点 C 为线段 的黄金分割点， < ， = 4，
∴ = 5 1 ，
2
∴ = 5 1 × 4 = 2 5 2，2
故选：A．
7．如图，已知 ∥ ∥ ， : = 3:5， = 12，那么 的长等于（ ）
36 24 15 9
A． 5 B． 5 C． 2 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线分得的线段成比例的相关知识，熟练掌握这个定理是解答本题的关键．
由平行关系得到线段对应成比例，再根据比例关系求出 的长．
【详解】∵ ∥ ∥
∴ = 3 = ，即5 12，
∴ = 365 ，
∴ = = 12 36 = 245 5 ．
故选 B．
8．若线段 = 4， = 9，则线段 ， 的比例中项为（ ）
13
A． 2 B． 13 C．6 D． ± 6
【答案】C
【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可．
【详解】设线段 ， 的比例中项为 ，
则 2 = = 4 × 9 = 36，
解得： =± 6
又因为 为线段，
所以 = 6．
故选：C．
2
9．如图， 是 △ 的中线，点 E 在 上， 交 于点 F，若 = 5，则 为（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【答案】A
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的
关键．过点 作 ∥ ，交 于点 ，根据平行线分线段成比例可得点 是 的中点，从而可得
= = 12
2 1
，然后再利用平行线分线段成比例可得 = = 5，从而可得 = 5，即可解答．
【详解】解：过点 作 ∥ ，交 于点 ，
∵ ∥ ，点 是 的中点，
∴ = = 1，
∴ = ，
∴ 点 是 的中点，
∴ = = 12 ，
∵ ∥ ，
∴ = = 2 5，
∴ = 2 1 10 = 5，
∴ =
1
6，
故选：A
3 +
10．若 = 4，则 的值为 ．
7
【答案】4
3
【分析】本题考查了比例的性质，由题意得出 = 4，代入计算即可得出答案，熟练掌握比例的性质是
解此题的关键．
3
【详解】解：∵ = 4，
∴ = 34 ，
∴ +
3 7
= 4 + = 4 = 7 4，
7
故答案为：4．
11．如图，四边形 ≌四边形 ′ ′ ′ ′，则∠ 的大小是 ．
【答案】95°/95 度
【分析】此题主要考查了全等图形．利用全等图形的定义可得∠ = ∠ ′ = 130°，然后再利用四边形内
角和为360°可得答案．
【详解】解： ∵ 四边形 ≌四边形 ′ ′ ′ ′，
∴ ∠ = ∠ ′ = 130°，
∴ ∠ = 360° ∠ ∠ ∠ = 360° 75° 60° 130° = 95°，
故答案为：95°．
12．若两个相似图形的周长比为2:1，则它们的面积比为 ．
【答案】4:1
【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为2:1，根据相似图形的周长的比
等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意
熟记定理是关键．
【详解】解：∵两个相似图形的周长比为2:1，
∴其相似比为2:1，
∴其面积比为4:1，
故答案为：4:1．
13．数学中，把 5 1这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，
2
是自然界最美的鬼斧神工．如图，P 是 的黄金分割点（ > ），若线段 的长为8cm，则 的
长为 cm．
【答案】12 4 5
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答．
【详解】解： ∵ 点 是 的黄金分割点( > )，线段 的长为8cm，
∴ = 5 1 ，2
∴ = 5 1 × 8 = (4 5 4)cm，2
∴ = 8 (4 5 4) = (12 4 5)cm
故答案为：12 4 5．
14．如图，点 是矩形 的对角线 的中点， ∥ 交 于点 ，若 = 3， = 10，则 的长
为 ．
【答案】 34
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．先求出 ，
后求 ，然后用勾股定理求 即可．
【详解】解： ∵ 四边形 是矩形，
∴ ∥ ，
∵ ∥ ，
∴ ∥ ，
∴ = ，
∵ 为 的中点，
∴ = ，
∴ 是 的中点，
∴ 是 △ 的中位线，
∴ = 2 ，
∵ = 3，
∴ = 6，
∴ = = 6，
∵ = 10,∠ = 90°，
∴ = 62 + 102 = 2 34，
∵ ∠ = 90°, 为 的中点，
∴ = 12 = 34．
故答案为： 34．
2 +
15．若 : = 1:3,2 = 3 ，则 的值是 ．
【答案】 5
1 2
【分析】此题考查了比例的性质，根据已知得到 = 3 , = 3 ，代入分式化简即可．
【详解】解：∵ : = 1:3,2 = 3
∴ = 13 , =
2
3 ，
2 5
2 +
∴ = 3
+
= 3
2 1
= 5
3 3
故答案为： 5
16．如图，取一张长为 a，宽为 b 的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与
原矩形纸片相似，则 : = ．
【答案】2：1
【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据
相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可．
1
【详解】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为 b，宽为4 ，
∵小矩形纸片与原矩形纸片相似，
∴ =1
4
，
又∵ > 0， > 0，
∴ = 2，即 : = 2：1．
故答案为：2：1
17．如图，若直线 ∥ ∥ ，它们依次交直线 、 于点 , , 和点 , , ．
(1)如果 = 5, = 8, = 7，求 的长；
(2)如果 : = 3:4, = 21，求 的长．
35
【答案】(1) = 8
(2)12
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理；
（1）由平行线分线段成比例定理得到 ： = ： ，代入有关数据，即可；
（2）由平行线分线段成比例定理推出 ： = ： = 3：4，得到 ： = 3：7，即可求出
长，得到 的长．
【详解】（1）解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ ： = ： ，
∵ = 5， = 8， = 7，
∴ 5：8 = ：7，
∴ = 358 ；
（2）∵ ∥ ∥ ，
∴ ： = ： ，
∵ ： = 3：4，
∴ ： = 3：7，
∵ = 21，
∴ = 9，
∴ = = 12．
18．阅读材料：
角平分线分线段成比例定理：如图 1，在 △ 中， 平分∠ ，则 = ．
下面是这个定理的部分证明过程：
证明：如图 2，过点 C 作 ∥ ，交 的延长线于点 E．……
解决问题：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程；
(2)如图 3，在 △ 中， 是角平分线， = 5， = 4， = 7，求 的长．
【答案】(1)见解析
35
(2) 9
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例
定理是解决问题的关键．
（1）过点 作 ∥ ，交 的延长线于点 ，由 ∥ ，可求证 =
，∠ = ∠ ，
∠ = ∠ ，可得 = ，即可求解；
（2）根据（1）中的结论即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ∥ ，
∴ =
，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ．
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ = ．
（2）解：∵ 是角平分线，
∴ = ．
∵ = 5， = 4， = 7，
∴54 =
= 357 ，解得 9 ，经检验符合题意．
故 35的长为 9 ．
19．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之
比等于较大部分与整体之比．如图， 是线段 上一点，若 > ，且满足 = ，则称 是线段
的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割
点上，观众看上去感觉最好．若舞台 长20米，主持人从舞台 侧进入，他至少走多少米，恰好站在
舞台的黄金分割点 上？
【答案】(30 10 5)米
【分析】本题考查了黄金分割，分式方程的应用，设 = 米，则 = (20 )米，把数据代入 =
，得到关于 的分式方程，解方程即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线
段是解题的关键．
【详解】解：设 = 米，则 = (20 )米，
∵ = ，
∴ = 20 20 20 ，
整理得， 2 60 + 400 = 0，
解得 1 = 30 + 10 5， 2 = 30 10 5，
经检验， 1 = 30 + 10 5， 2 = 30 10 5为分式方程的解，
∵ > ，
∴ = 30 10 5，
答：他至少走(30 10 5)米，恰好站在舞台的黄金分割点 上．
20．【背景知识】
宽与长的比等于 5 1的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，
2
为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为 30 米，求它的宽度是多少米 （结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图 1 的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：如图 2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线 ，并将 折到图 3 所示的 处；
第四步：展平纸片，按照所得的点 D 折出 ，得到矩形 （如图 4）．
【问题思考】
（2）若 的长为 2，请证明：矩形 是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图 3 中的折痕 为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
【答案】（1）15 5 15（米）；（2）见详解；（3）4 5或6 5 +10．
【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于 5 1，已知长为 30，则可以求出宽．
2
1
（2）若 的长为 2，由折纸的过程可知 = 2， = = 2， = 2 = 1．求得 = 5，则
= 5，则可得 = 5 1
，进而可求得 = 5 1 ，即可得证．2
（3）分 为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．
本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键．
【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于 5 1，
2
∴它的宽为： 30 × 5 1 = 15 5 15（米）．2
（2）证明： ∵ = 2，
由题意得 = 2， = = 2 1， = 2 = 1，
∴ = 2 + 2 = 12 + 22 = 5，
∵ = = 5，
∴ = = 5 1，
∴ =
5 1，
2
∴矩形 是黄金矩形．
（3）由折叠的性质可得∠ = ∠ ，
又 ∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠
∴ = = 5，
又 ∵ = = 1，
∴ = 5 +1，
∴ = 2
2
+ 2 = 22 + ( 5 + 1) = 10 + 2 5．
当 为黄金矩形的长时，则宽为 5 1 ，
2
则面积为 5 1 = 5 1 2 = 5 1 ×2 2 2 (10 + 2 5) = 4 5．
当 为黄金矩形的宽时，则长为 5+15 1 = ，
2 2
则面积为 5+1 = 5+1 2 = 5+1 ×2 2 2 (10 + 2 5) = 6 5 +10．
综上，矩形的面积为：4 5或6 5 +10．
