专题 26.2 反比例函数应用（五大考点）
【考点 1 行程与工程应用】
【考点 2 物理学中的应用】
【考点 3 经济学的应用】
【考点 4 生活中其他的应用】
【考点 5 反比例函数的综合】
【考点 1 行程与工程应用】
1．有一段平直的公路 ，A 与 B 间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆
经过 A 和 B 处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差 (s)输入程序后，随即输出此车在
段的平均速度 km h ，则 v 与 t 间的关系式为（ ）
= 50 = 180A． B． C． =
125
9 D． =
360
2．已知甲、乙两地相距 40 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t（单位：
小时），关于行驶速度 v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A． = 40 = 40 40B． C． = 40 D． =
3．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间 （分钟）与录字速度 （字/分钟）成反比
例函数的图象，该图象经过点(150,10)．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共 1500 字．
B．当小丽的录字速度为 75 字/分钟时，录入时间为 20 分钟．
C．小丽在 19:20 开始录入，要求完成录入时不超过 19:35，则小丽每分钟至少应录入 90
字．
D．小丽原计划每分钟录入 125 字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原
计划提前 2 分钟完成任务．
4．多选题长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积 (m2)与
其深度 H（m）成反比例，S 关于 H 的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积 S
定为400m2，当施工队按计划掘进到地下 15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度减
少 10m，相应地，储存室的底面积应（ ）
A．减少100m2 B．增加100m2 C．减少200m2 D．增加200m2
5．甲车和乙车从 A 地开往 B 地，已知 A、B 两地全长约 600km．设甲车的速度是 km/h，
到达 B 地所用的时间为 h．
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2)公路规定：行驶速度不得超过80km/h，请利用函数性质，求甲车到达 B 地所需的最短时
间；
(3)若乙车的速度是甲车的1.2倍，乙到达 B 地所用的时间比甲车少 80 分钟，求乙车的速度．
6．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量 m3 h 与排完水池中的
水所用的时间 (h)之间的函数关系如图所示．
(1)求 V 与 t 的函数表达式；
(2)若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要______h；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水
量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
7．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机
自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温 （单位：℃）与通电时间 （单
位：min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某
天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温 与通电时间 之间的关系如图所示．
(1)在降温过程中，求 关于 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
(2)在一个加热周期内，求水温不低于40℃的时间．
【考点 2 物理学中的应用】
9．（2023 大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数 y（度）（y＞
0）是关于镜片焦距 x（m）（x＞0）的反比例函数，当 y＝200 时，x＝0.5．下
列说法中，错误的是（ ）
A．y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x＞0）
B．y 随 x 的增大而减小
C．当远视眼镜的镜片焦距是 0.2 时，该镜片是 500 度
D．若一副远视眼镜的度数不大于 400 度，则焦距不大于 0.25m
10．（2023 裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流 I（A）与电路的电
阻 R（Ω）是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（ ）
I（A） 5 … a … … … b … …
R（Ω） 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．
B．a＝25
C．a＜b
D．当 2＜I＜a 时，40＜R＜50
11．（2023 春 海陵区期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气
体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 ρ（kg/m3） 与体积 V（m3）
的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象
上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
12．（2023 鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I
与电阻 R 是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数表达式为 I＝ B．蓄电池的电压是 18V
C．当 R＝3.6Ω 时，I＝4A D．当 I≤10A 时，R≥3.6Ω
13．（2023 修武县一模）如图①，电源两端电压 U（单位：V）保持不变，电
流强度 I 与总电阻 R 成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯
泡的亮度，测得电路中总电阻 R 和通过的电流强度 I 之间的关系如图②所示
（温整提示：总电阻 R＝灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是
（ ）
A．电流强度 I 随着总电阻 R 的增大而减小
B．调节滑动变阻器，当总电阻 R 为 8Ω 时，电流强度 I 为 0.75A
C．当灯泡电阻为 4Ω，电路中电流为 0.3A 时，滑动变阻器的阻值为 16Ω
D．当经过灯泡的电流为 0.2A 时，电路中的总电阻为 20Ω
14．（2023 兴宁区校级模拟）已知近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）
成反比例，若 400 度的近视眼镜的镜片焦距为 0.6 米，则 200 度的近视眼镜的
镜片焦距为 米．
15．（2023 春 晋江市期末）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的
距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是物距
（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x＝5 时，y＝1.6．则
y 关于 x 的函数表达式是 ．
16．（2023 定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动
力×动力臂＝阻力×阻力臂）：如图 1，小海发现天平平衡时左盘药品为 m
克，右盘砝码重 20 克；如图 2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药
品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重 5 克，右盘药品为 n 克．则 m
与 n 满足的关系式为 ．
17．（2023 秋 天长市月考）由物理学知识知道，在力 F 的作用下，物体会在力
F 的方向上发生位移 s，力所做的功 W＝Fs．当 W 为定值时，F 与 s 之间的函
数关系图象如图所示．
（1）试确定 F、s 之间的函数解析式．
（2）当力 F 为 30N 时，发生位移多少米？
18．（2023 宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以
撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离
与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理
为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，
已知阻力和阻力臂分别为 1000N 和 1m．
（1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 2 米时，撬动石头至
少需要多大的力？
（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多
少？
19．（2022 台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）
和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是物距（小孔
到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x＝6 时，y＝2．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式．
（2）若火焰的像高为 3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【考点 3 经济学的应用】
20．（2023 春 大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销
售量 y 与上市的天数 x 之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量 y
与上市的天数 x 之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市 20 天时，
当日销售量为 200 件．
（1）求该商品上市以后日销售量 y（件）与上市的天数 x（天）之间的函数解
析式；
（2）当上市的天数为多少时，日销售量为 80 件？
21．（2023 未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日
销售量 y 与上市的天数 x 之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量 y
与上市的天数 x 之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市 20 天时，
当日销售量为 200 件．（1）写出该商品上市以后日销售量 y（件）与上市的
天数 x（天）之间的表达式．
（2）当上市的天数为多少时，日销售量为 100 件？
22．（2022 秋 阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发
现：商品的月总产量稳定在 600 件．商品的月销量 Q（件）由基本销售量与浮动
销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）
（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
售价 x（元/件） 5 8
商品的销售量 Q（件） 580 400
（1）求 Q 与 x 的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价 x．
（3）求售价 x 为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
23．（2023 沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种
特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了 30 次线上销售，综合
考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨 2 万元，销售结束后，经过统计得
到了如下信息：
信息 1：设第 x 次线上销售水果 y（吨），且第一次线上销售水果为 39 吨，然
后每一次总比前一次销售量减少 1 吨；
信息 2：该水果的销售单价 p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其
中基本价保持不变，第 1 次线上销售至第 15 次线上销售的浮动价与销售场次
x 成正比，第 16 次线上销售至第 30 次线上销售的浮动价与销售场次 x 成反比；
信息 3：
x（次） 2 8 24
p（万元） 2.2 2.8 3
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若 p＝3.2（万元/吨），求 x 的值；
（3）在这 30 次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多
少？
【考点 4 生活中其他的应用】
24．（2023 中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 y（分）
与录入文字的速度 x（字/分）之间的函数关系如图．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）小明在 19：20 开始录入，要求完成录入时不超过 19：35，小明每分钟
至少应录入多少个字？
25．（2023 春 姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为 30 元每斤，
在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格
调整为每斤 50 元时，当日销量为 80 斤，那么每日该坚果的销量 y（单位：斤）
与每斤价格 x（单位：元）之间的函数表达式为 ．
26．（2023 乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，
油箱加满后，汽车行驶的总路程 y（单位：km）与平均耗油量 x（单位：
L/km）之间的关系如图所示．
（1）求 y 与 x 的函数关系式．
（2）当平均耗油量为 0.16L/km 时，汽车行驶的总路程为多少 km？
27．（2022 普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标
（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指
标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指
标开始下降．指标 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 0≤x＜
10 和 10≤x＜20 时，图象是线段；当 20≤x≤40 时，图象是反比例函数的一
部分．
（1）请求出当 0≤x＜10 和 20≤x＜40 时，所对应的函数表达式；
（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要 18 分钟，这项运动需要
学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？
请说明理由．
28．（2023 驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大
棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，
大棚内的温度 y（℃）与时间 x（h）之间的函数关系，其中线段 AB、BC 表
示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度 y 与时间 x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）解释线段 BC 的实际意义；
（3）若大棚内的温度低于 10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最
多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
29．（2023 孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校
所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，
教室内空气中每立方米的含药量 y（mg）与燃烧时间 x（min）之间的函数关
系如图所示，其中当 x＜6 时，y 是 x 的正比例函数，当 x≥6 时，y 是 x 的反
比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当 x≥6 时，y 与 x 的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于 1.5mg 的时间
超过 30 分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
30．（2022 秋 铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进
行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x
（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图），现测得药物 8
分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的
信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公
室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于
10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
31．（2022 秋 陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到 100℃，然后停
止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温 y（℃）与时间 x
（min）成一次函数关系；停止加热过了 1 分钟后，水壶中水的温度 y（℃）
与时间 x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度
是 20℃，降温过程中水温不低于 20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到 90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶
需要等待多长时间？
32．（2023 春 淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热
时每分钟上升 10℃，加热到 100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）
与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至 20℃时自动开机加热，重复
上述自动程序．若在水温为 20℃时，接通电源后，水温 y（℃）和时间 x（min）
的关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）直接写出图中 y 关于 x 的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在 50℃及以上？
（4）若某天上午 7：00 饮水机自动接通电源，开机温度正好是 20℃，问学生
上午第一节下课时（8：40）能喝到 50℃以上的水吗？请说明理由．
33．（2023 春 东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加
温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程
中，该材料的温度 y（℃）时间 x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温
度为 15℃，在温度上升阶段，y 与 x 成一次函数关系，在第 5 分钟温度达到 60℃
后停止加温，在温度下降阶段，y 与 x 成反比例关系．
（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y 与 x 的函数关系式：
①上升阶段：当 0≤x≤5 时，y＝ ；
②下降阶段：当 x＞5 时，y ．
（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于 30℃，可以进行产品加工，请问在
图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？
【考点 5 反比例函数的综合】
34．（2023 赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y1＝k1x+b 的图象
与坐标轴分别交于 A（5，0），B（0， ）两点，且与反比例函数 的
图象在第一象限内交于 P，Q 两点，连接 OP，△OAP 的面积为 ．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当 y2＞y1时，请你直接写出 x 的取值范围；
（3）若 C 为线段 OA 上的一个动点，当 PC+QC 最小时，求△PQC 的面积．
35．（2022 秋 城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A
在 y 轴正半轴上，点 C 的坐标为（4，3），反比例函数 的图象经
过点 B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在反比例函数的图象上是否存在点 P，使得△OAP 的面积等于菱形 OABC
的面积？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
36．（2023 春 万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+4 与坐标
轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 在第一象限交于点 C（1，a），
点 D（7，b）是反比例函数 上一点，连接 CD 并延长交 x 轴于点 E．
（1）求 b 的值；
（2）连接 BE，若点 P 是线段 BE 上一动点，连接 CP．当 时，求
点 P 的坐标；
（3）若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 为平面内一点，在（2）的条件下，是否
存在以 A、P、M、N 四点为顶点的菱形？请直接写出点 N 的坐标．
37．（2023 春 洛江区期末）如图，已知反比例函数 的图象与直线
y＝k2x+b 将于交于 A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线 AB 交 x 轴于点
M，点 C 是 x 轴正半轴上的一点，
（1）求反比例函数及直线 AB 的解析式；
（2）若 S△ABC＝25，求点 C 的坐标；
（3）若点 C 的坐标为（1，0），点 D 为 x 轴上的一点，点 E 为直线 AC 上的
一点，是否存在点 D 和点 E，使得以点 D、E、A、B 为顶点的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出 E 点的坐标；若不存在，请说明理由．专题 26.2 反比例函数应用（五大考点）
【考点 1 行程与工程应用】
【考点 2 物理学中的应用】
【考点 3 经济学的应用】
【考点 4 生活中其他的应用】
【考点 5 反比例函数的综合】
【考点 1 行程与工程应用】
1．有一段平直的公路 ，A 与 B 间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆
经过 A 和 B 处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差 (s)输入程序后，随即输出此车在
段的平均速度 km h ，则 v 与 t 间的关系式为（ ）
50
A． = B． =
180
C． =
125
9 D． =
360
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系
“速度 = 路程 ÷ 时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键．
【详解】解：∵1m s = 3.6km h，
∴ = 50 × 3.6 =
180
，
故选：B．
2．已知甲、乙两地相距 40 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t（单位：
小时），关于行驶速度 v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
A． = 40 40 40B． = C． = 40 D． =
【答案】B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出反比例函数解析式，关键是正确理解题意，找出
40
题目中的等量关系．根据路程 = 时间 × 速度可得 = 40，再变形可得 = ．
【详解】解：由题意得： = 40，
∴ = 40 ，
故选：B．
3．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间 （分钟）与录字速度 （字/分钟）成反比
例函数的图象，该图象经过点(150,10)．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ）
A．这篇文章一共 1500 字．
B．当小丽的录字速度为 75 字/分钟时，录入时间为 20 分钟．
C．小丽在 19:20 开始录入，要求完成录入时不超过 19:35，则小丽每分钟至少应录入 90
字．
D．小丽原计划每分钟录入 125 字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原
计划提前 2 分钟完成任务．
【答案】C
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的应用，有理数混合运算的应用，掌
握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例解析式，根据反比例函数的
定义，即可判断 A 选项；求出 = 75时的函数值，即可判断 B 选项；求出 = 15时的 值，
再结合反比例函数的增减性，即可判断 C 选项；分别求出 = 125和 = 150时的函数值，作
差即可判断 D 选项．
【详解】解：设反比例函数解析式为 = ，将点(150,10)代入得：10 = 150，
解得： = 1500，
1500
即反比例函数解析式为 = ，
A、录入时间 （分钟）与录字速度 （字/分钟）的乘积恒为1500，即这篇文章一共 1500 字，
说法正确，不符合题意；
1500
B、当录字速度为 = 75时，录入时间 = 75 = 20，说法正确，不符合题意；
C、当录入时间 = 35 ― 20 = 15 = 1500时， 15 = 100，
∵ > 0， ∴ 在第一象限内， 随 的增大而减小，
即录入时间不超过15分钟时，每分钟至少应录入 100 字，说法错误，符合题意；
D、当 = 125 1500时， = 125 = 12，
= 125 × = 150 = 1500当 (1 + 20%) 时， 150 = 10，
∵ 12 ― 10 = 2（分钟），
即比原计划提前 2 分钟完成任务，说法正确，不符合题意；
故选：C
4．多选题长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积 (m2)与
其深度 H（m）成反比例，S 关于 H 的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积 S
定为400m2，当施工队按计划掘进到地下 15m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度减
少 10m，相应地，储存室的底面积应（ ）
A．减少100m2 B．增加100m2 C．减少200m2 D．增加200m2
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，先求出反比例函数的解析式，再求出深度减少
10m 时的底面积即可得出结果．
【详解】解：设 = ，
由图象可知： = 400 × 30 = 12000，
∴ = 12000
当深度减少 10m 时，即 = 30 ― 10 = 20 = 12000，此时 20 = 600，
∵600 ― 400 = 200，
∴储存室的底面积应增加200m2；
故选 D．
5．甲车和乙车从 A 地开往 B 地，已知 A、B 两地全长约 600km．设甲车的速度是 km/h，
到达 B 地所用的时间为 h．
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2)公路规定：行驶速度不得超过80km/h，请利用函数性质，求甲车到达 B 地所需的最短时
间；
(3)若乙车的速度是甲车的1.2倍，乙到达 B 地所用的时间比甲车少 80 分钟，求乙车的速度．
600
【答案】(1) =
(2)车到达 B 地所需的最短时间为7.5h
(3)乙车的速度为90km/h
【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解
法是解题的关键．
（1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可；
（2）根据反比例函数的增减性和 x 的取值范围计算即可；
（3）根据题意，得乙车的速度为1.2 km/h，由“A、B 两地的距离÷甲车的速度 ― 、 两地
80
的距离÷乙车的速度 = 60”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可．
600
【详解】（1）解：根据题意，得 = ，
∴y 600关于 x 的函数表达式为 = ．
600
（2）解：∵ = ，600 > 0， > 0，
∴y 随 x 的增大而减小，
∵ ≤ 80，
∴当 = 80 y 600时， 值最小， 最小 = 80 = 7.5，
∴甲车到达 B 地所需的最短时间为7.5h．
（3）解：乙车的速度为1.2 km/h．
600 600 80
根据题意，得 ― 1.2 = 60，
解得 = 75，
经检验， = 75是所列分式方程的解，
1.2 × 75 = 90(km/h)，
答：乙车的速度为90km/h．
6．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量 m3 h 与排完水池中的
水所用的时间 (h)之间的函数关系如图所示．
(1)求 V 与 t 的函数表达式；
(2)若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要______h；
(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水
量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？
18000
【答案】(1) =
(2)9
(3)1800m3
【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用、分式方程的应用，
（1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）把 = 2000 = 18000代入 求得 = 9，再根据反比例函数的性质求解即可；
（3）设原计划每小时的排水量是 m3，则实际每小时的排水量为(1 + 25%) m3，根据题意
列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可得，蓄水池每小时的排水量 m3 h 与排完水池中的水所用的时
间 (h)之间成反比例函数关系，
设 V 与 t 的函数表达式为 = ，
把(6,3000)代入得， = 6 × 3000 = 18000，
∴V 与 t 的函数表达式为 = 18000 ；
（2）解：把 = 2000 = 18000代入 得，
= 180002000 = 9，
∵18000 > 0，
∴V 随着 t 的增大而减小，
∴每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水所用的时间满足的条件是 ≥ 9，
故答案为：9；
（3）解：设原计划每小时的排水量是 m3，则实际每小时的排水量为(1 + 25%) m3，
18000 18000
由题意得， ― (1+0.25) = 2，
解得 = 1800，
经检验得， = 1800是原方程的解，
答：原计划每小时的排水量是1800m3．
7．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机
自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温 （单位：℃）与通电时间 （单
位：min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某
天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温 与通电时间 之间的关系如图所示．
(1)在降温过程中，求 关于 的函数解析式，并求出自变量的取值范围．
(2)在一个加热周期内，求水温不低于40℃的时间．
400
【答案】(1) = (4 < ≤ 20)
(2)在一个加热周期内，水温不低于40 C的时间是9 min
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）设反比例函数的表达式为 = ，将点(4,100)代入可得 的值，再求出 的值，由此即可
得；
（2）先求出0 ≤ ≤ 4时， 与 之间的函数表达式，再求出 = 40时， 的值，由此即可得．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为 = ，
将点(4,100)代入得： = 4 × 100 = 400，
∴ 与 400之间的函数表达式为 = ，
当 = 20 = 400时， 20 = 20，
∴ 与 400之间的函数表达式为 = (4 < ≤ 20)．
（2）解：设当0 ≤ ≤ 4时， 与 之间的函数表达式为 = + ，
(0,20),(4,100) = 20 = 20将点 代入得： 4 + = 100 ，解得 = 20 ，
则 = 20 +20(0 ≤ ≤ 4)，
当 = 40时，20 +20 = 40，解得 = 1，
对于 = 400 (4 < ≤ 20)，
当 = 40时， = 40040 = 10，
∵10 ― 1 = 9(min)，
∴加热一次，水温不低于40°C的时间为9min．
【考点 2 物理学中的应用】
9．（2023 大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数 y（度）（y＞
0）是关于镜片焦距 x（m）（x＞0）的反比例函数，当 y＝200 时，x＝0.5．下
列说法中，错误的是（ ）
A．y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x＞0）
B．y 随 x 的增大而减小
C．当远视眼镜的镜片焦距是 0.2 时，该镜片是 500 度
D．若一副远视眼镜的度数不大于 400 度，则焦距不大于 0.25m
【答案】D
【解答】解：∵镜片的度数 y（度）（y＞0）是关于镜片焦距 x（m）（x＞0）
的反比例函数，当 y＝200 时，x＝0.5，
∴k＝0.5×200＝100，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x＞0），
故 A 不符合题意；
∵k＝100＞0，x＞0，
∴y 随着 x 增大而减小，
故 B 不符合题意；
当 x＝0.2 时，y＝ ＝500，
故 C 不符合题意；
∵一副远视眼镜的度数不大于 400 度，y 随着 x 增大而减小，
∴焦距不小于 0.25m，
故 D 符合题意，
故选：D．
10．（2023 裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流 I（A）与电路的电
阻 R（Ω）是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（ ）
I（A） 5 … a … … … b … …
R（Ω） 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A．
B．a＝25
C．a＜b
D．当 2＜I＜a 时，40＜R＜50
【答案】D
【解答】解：∵闭合电路的电压为定值，
∴U＝IR＝5×20＝100，
∴I＝ （R＞0），故 A 错误，不符合题意；
当 R＝40 时，I＝a＝ ＝2.5，故 B 错误，不符合题意；
当 R＝80 时，I＝b＝ ＝1.25，
∴a＞b，故 C 错误，不符合题意；
当 I＝2 时，R＝ ＝50，
当 I＝a＝2.5 时，R＝ ＝40，
∴当 2＜I＜a 时，40＜R＜50，故 D 正确，符合题意；
故选：D．
11．（2023 春 海陵区期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气
体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度 ρ（kg/m3） 与体积 V（m3）
的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象
上，则这四种气体的质量最小的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解答】解：根据题意，ρV 的值即为该气体的质量，
∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴乙、丁两该气体的质量相同，
∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，
∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．
故选：A．
12．（2023 鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I
与电阻 R 是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数表达式为 I＝ B．蓄电池的电压是 18V
C．当 R＝3.6Ω 时，I＝4A D．当 I≤10A 时，R≥3.6Ω
【答案】D
【解答】解：设 I＝ ，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝ ，故选项 A 错误，不符合题意；
∴蓄电池的电压是 36V，故选项 B 错误，不符合题意；
当 R＝3.6Ω 时，I＝ ＝10（A），故选项 C 错误，不符合题意；
当 I＝10A 时，R＝3.6Ω，
由图象知：当 I≤10A 时，R≥3.6Ω，故选项 D 正确，符合题意；
故选：D．
13．（2023 修武县一模）如图①，电源两端电压 U（单位：V）保持不变，电
流强度 I 与总电阻 R 成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯
泡的亮度，测得电路中总电阻 R 和通过的电流强度 I 之间的关系如图②所示
（温整提示：总电阻 R＝灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是
（ ）
A．电流强度 I 随着总电阻 R 的增大而减小
B．调节滑动变阻器，当总电阻 R 为 8Ω 时，电流强度 I 为 0.75A
C．当灯泡电阻为 4Ω，电路中电流为 0.3A 时，滑动变阻器的阻值为 16Ω
D．当经过灯泡的电流为 0.2A 时，电路中的总电阻为 20Ω
【答案】D
【解答】解：∵电源两端电压 U（单位：V）保持不变，电流强度 I 与总电阻 R
成反比，
∴可设 I＝ ，
将（6，1）代入，得 U＝6×1＝6，
∴电流强度 I 与总电阻 R 之间的函数解析式为 I＝ ，
∴电流强度 I 随着总电阻 R 的增大而减小，故选项 A 说法正确，不符合题意；
当 R＝8Ω 时，I＝ ＝0.75（A），故选项 B 说法正确，不符合题意；
当 I＝0.3A 时，R＝ ＝20（Ω），
∴滑动变阻器电阻＝总电阻 R﹣灯泡电阻＝20﹣4＝16（Ω），故选项 C 说法
正确，不符合题意；
当 I＝0.2A 时，R＝ ＝30（Ω），故选项 D 说法错误，符合题意．
故选：D．
14．（2023 兴宁区校级模拟）已知近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）
成反比例，若 400 度的近视眼镜的镜片焦距为 0.6 米，则 200 度的近视眼镜的
镜片焦距为 1.2 米．
【答案】1.2．
【解答】解：根据题意近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（米）成反比例，
设 y＝ ，
由于点（0.6，400）在此函数解析式上，
∴k＝0.6×400＝240，
∴y＝ ，
当 y＝200 时，x＝ ＝1.2，
∴200 度的近视眼镜的镜片焦距为 1.2 米，
故答案为：1.2．
15．（2023 春 晋江市期末）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的
距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是物距
（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x＝5 时，y＝1.6．则
y 关于 x 的函数表达式是 y＝ ．
【答案】y＝ ．
【解答】解：设解析式为 （k≠0），
把 x＝5，y＝1.6 代入，得：
1.6＝ ，
解得 k＝8，
∴函数解析式为 y＝ ，
故答案为：y＝ ．
16．（2023 定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动
力×动力臂＝阻力×阻力臂）：如图 1，小海发现天平平衡时左盘药品为 m
克，右盘砝码重 20 克；如图 2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药
品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重 5 克，右盘药品为 n 克．则 m
与 n 满足的关系式为 mn＝100 ．
【答案】100．
【解答】解：根据“杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，
由图 1 得 m OA＝20 OB，
∴m＝ ，
由图 2 得 5 OA＝n OB，
∴n＝ ，
∴mn＝100，
故答案为：mn＝100．
17．（2023 秋 天长市月考）由物理学知识知道，在力 F 的作用下，物体会在力
F 的方向上发生位移 s，力所做的功 W＝Fs．当 W 为定值时，F 与 s 之间的函
数关系图象如图所示．
（1）试确定 F、s 之间的函数解析式．
（2）当力 F 为 30N 时，发生位移多少米？
【答案】（1）F＝ ；
（2）0.25m．
【解答】解：（1）把 s＝1，F＝7.5，代入公式 W＝Fs＝1×7.5＝7.5，即力 F
所做的功是 7.5J；
∵W＝7.5 为定值，故 Fs＝7.5，
∴F＝ ；
（2）当 F＝30N 时，代入 Fs＝7.5 中，得 s＝ ＝0.25m．
18．（2023 宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以
撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离
与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理
为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，
已知阻力和阻力臂分别为 1000N 和 1m．
（1）动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 2 米时，撬动石头至
少需要多大的力？
（2）若想使动力 F 不超过（1）中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多
少？
【答案】（1）动力 F 与动力臂 l 的函数关系为 ，动力臂为 2 米时，撬
动石头至少需要 500N 的力；
（2）动力臂至少要加长 2m．
【解答】解：（1）由题意可得：1000×1＝Fl，
则 ，
当动力臂为 2 米时，
则撬动石头至少需要： ，
答：动力 F 与动力臂 l 的函数关系为 ，动力臂为 2 米时，撬动石头至
少需要 500N 的力；
（2）当动力 F 不超过题（1）中所用力的一半，即 F≤250，
则 ，
解得：l≥4，
即动力臂至少要加长 4﹣2＝2（m），
答：动力臂至少要加长 2m．
19．（2022 台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）
和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高 y（单位：cm）是物距（小孔
到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 x＝6 时，y＝2．
（1）求 y 关于 x 的函数解析式．
（2）若火焰的像高为 3cm，求小孔到蜡烛的距离．
【答案】（1）y＝ ；
（2）4cm．
【解答】解：（1）由题意设：y＝ ，
把 x＝6，y＝2 代入，得 k＝6×2＝12，
∴y 关于 x 的函数解析式为：y＝ ；
（2）把 y＝3 代入 y＝ ，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为 4cm
【考点 3 经济学的应用】
20．（2023 春 大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销
售量 y 与上市的天数 x 之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量 y
与上市的天数 x 之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市 20 天时，
当日销售量为 200 件．
（1）求该商品上市以后日销售量 y（件）与上市的天数 x（天）之间的函数解
析式；
（2）当上市的天数为多少时，日销售量为 80 件？
【答案】（1）当 0＜x≤20 时，y＝10x；
当 x≥20 时，y＝ ；
（2）当上市的天数为 8 天或 50 天时，日销售量为 80 件．
【解答】解：（1）当 0＜x≤20 时，设 y＝k1x，把（20，200）代入得 k1＝10，
∴y＝10x；
当 x≥20 时，设 y＝ ，把（20，200）代入得 k2＝4000，
∴y＝ ；
（2）当 y＝80 时，80＝10x，
解得：x＝8，
当 y＝80 时，80＝ ，
解得：x＝50，
故当上市的天数为 8 天或 50 天时，日销售量为 80 件．
21．（2023 未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日
销售量 y 与上市的天数 x 之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量 y
与上市的天数 x 之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市 20 天时，
当日销售量为 200 件．（1）写出该商品上市以后日销售量 y（件）与上市的
天数 x（天）之间的表达式．
（2）当上市的天数为多少时，日销售量为 100 件？
【答案】（1）y＝10x；y＝ ；
（2）10 天或 40 天．
【解答】解：（1）当 0＜x≤20 时，设 y＝k1x，把（20，200）代入得 k1＝10，
∴y＝10x；
当 x≥20 时，设 y＝ ，把（20，200）代入得 k2＝4000，
∴y＝ ；
（2）当 y＝100 时，100＝10x，
解得：x＝10，
当 y＝100 时，100＝ ，
解得：x＝40，
故当上市的天数为 10 天或 40 天时，日销售量为 100 件．
22．（2022 秋 阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发
现：商品的月总产量稳定在 600 件．商品的月销量 Q（件）由基本销售量与
浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工
（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：
售价 x（元/件） 5 8
商品的销售量 Q（件） 580 400
（1）求 Q 与 x 的函数关系式．
（2）若生产出的商品正好销完，求售价 x．
（3）求售价 x 为多少时，月销售额最大，最大值是多少？
【答案】（1） ；（2）4.8 元/件；（3）当 x＝10 时，月销售额最
大，最大值为 3400 元．
【解答】解：（1）设 ，依题意得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）当 Q＝600 时有： ，
解得：x＝4.8，
∴售价为 4.8 元．
（3）依题意得：月销售额＝ ，
∵100＞0，
∴Q 随 x 的增大而增大，
则当 x＝10 时，月销售额最大，最大值为 3400 元．
23．（2023 沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种
特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了 30 次线上销售，综合
考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨 2 万元，销售结束后，经过统计得
到了如下信息：
信息 1：设第 x 次线上销售水果 y（吨），且第一次线上销售水果为 39 吨，然
后每一次总比前一次销售量减少 1 吨；
信息 2：该水果的销售单价 p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其
中基本价保持不变，第 1 次线上销售至第 15 次线上销售的浮动价与销售场次
x 成正比，第 16 次线上销售至第 30 次线上销售的浮动价与销售场次 x 成反比；
信息 3：
x（次） 2 8 24
p（万元） 2.2 2.8 3
请根据以上信息，解决下列问题．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若 p＝3.2（万元/吨），求 x 的值；
（3）在这 30 次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多
少？
【答案】（1）y 与 x 之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）12 或 20；（3）
在这 30 次线上销售中，第 15 次线上销售获得利润最大，最大利润 37.5 万元．
【解答】解：（1）设第 x 次线上销售水果 y（吨），
∵第一次线上销售水果为 39 吨，然后每一次总比前一次销售量减少 1 吨；
∴y 与 x 之间的函数关系式为：y＝40﹣x；
（2）设第 1 场～第 15 场时 p 与 x 的函数关系式为 p＝ax+b；第 16 场～第 30
场时 p 与 x 的函数关系式为 ，
依题意得 ，解这个方程组得， ，
∴ ，
又当 x＝24 时，有 ，解之得，m＝24，
∴ ，
当 1≤x≤15 时， ，
解之得，x＝12
当 16≤x≤30 时， ，
解之得，x＝20
（3）设每场获得的利润为 W（万元），则有
当 1≤x≤15 时， ，
所以当 x＝15 时，W 最大，最大为 37.5 万元；
当 16≤x≤30 时， ，
当 x＝16 时，W 最大，最大为 36 万元，
所以在这 30 次线上销售中，第 15 次线上销售获得利润最大，最大利润 37.5
万元
【考点 4 生活中其他的应用】
24．（2023 中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间 y（分）
与录入文字的速度 x（字/分）之间的函数关系如图．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）小明在 19：20 开始录入，要求完成录入时不超过 19：35，小明每分钟
至少应录入多少个字？
【答案】（1）y 与 x 的函数表达式为 y＝ ；（2）小明每分钟至少录入
100 个字．
【解答】解：（1）设 y＝ ，
把（150，10）代入 y＝ 得，10＝ ，
∴k＝1500，
∴y 与 x 的函数表达式为 y＝ ；
（2）∵当 y＝35﹣20＝15 时，x＝100，
∵k＞0，
在第一象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴小明录入文字的速度至少为 100 字/分，
答：小明每分钟至少录入 100 个字
25．（2023 春 姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为 30 元每斤，
在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格
调整为每斤 50 元时，当日销量为 80 斤，那么每日该坚果的销量 y（单位：斤）
与每斤价格 x（单位：元）之间的函数表达式为 y＝ ．
【答案】y＝ ．
【解答】解：∵坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，
∴y 与（x﹣30）成反比例关系，
设 y＝ （k＞0），
∵x＝50 时，y＝80，
∴ ＝80，
解得，k＝1600，
∴y 与 x 之间的函数表达式为：y＝ ，
故答案为：y＝ ．
26．（2023 乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，
油箱加满后，汽车行驶的总路程 y（单位：km）与平均耗油量 x（单位：
L/km）之间的关系如图所示．
（1）求 y 与 x 的函数关系式．
（2）当平均耗油量为 0.16L/km 时，汽车行驶的总路程为多少 km？
【答案】（1） ；
（2）当平均耗油量为 0.16L/km 时，汽车行驶的总路程为 437.5km．
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数表达式为 ，
将点（0.1，700）代入，得 k＝0.1×700＝70，
∴y 与 x 的函数表达式为 ．
（2）当 x＝0.16 时， ，
∴当平均耗油量为 0.16L/km 时，汽车行驶的总路程为 437.5km．
27．（2022 普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标
（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指
标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指
标开始下降．指标 y 随时间 x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 0≤x＜
10 和 10≤x＜20 时，图象是线段；当 20≤x≤40 时，图象是反比例函数的一
部分．
（1）请求出当 0≤x＜10 和 20≤x＜40 时，所对应的函数表达式；
（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要 18 分钟，这项运动需要
学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？
请说明理由．
【答案】（1）y＝2x+40， ；
（2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析．
【解答】解：（1）设 0﹣10 分钟的函数解析式为 y＝kx+b，20﹣40 分钟的函
数解析式为 ，
∴ ， ，
∴ ，k＝1200，
∴0﹣10 分钟的函数解析式为 y＝2x+40，20﹣40 分钟的函数解析式为
；
（2）杨老师的教学设计能实现，
理由：将 y＝48 代入 y＝2x+40 中，得 x＝4，
将 y＝48 代入 中，得 x＝25，
∵25﹣4＝21＞18，
∴杨老师的教学设计能实现．
28．（2023 驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大
棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，
大棚内的温度 y（℃）与时间 x（h）之间的函数关系，其中线段 AB、BC 表
示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度 y 与时间 x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）解释线段 BC 的实际意义；
（3）若大棚内的温度低于 10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最
多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】（1）y＝ ，，
（2）线段 BC 表示恒温系统设定恒温为 20℃；
（3）10 小时．
【解答】解：（1）设线段 AB 解析式为 y＝kx+b（k≠0）
∵线段 AB 过点（0，10），（3，15），
∴ ，
解得 ，
∴线段 AB 的解析式为：y＝ x+10（0≤x＜6），
∵B 在线段 AB 上当 x＝6 时，y＝20，
∴B 坐标为（6，20），
∴线段 BC 的解析式为：y＝20（6≤x＜10），
设双曲线 CD 解析式为： ，
∵C（10，20），
∴m＝200，
∴双曲线 CD 的解析式为： ，
∴y 关于 x 的函数解析式为：
y＝ ，
（2）线段 BC 表示恒温系统设定恒温为 20℃；
（3）把 y＝10 代入 中，
解得：x＝20，
∴20﹣10＝10（小时），
∴恒温系统最多可以关闭 10 小时，蔬菜才能避免受到伤害．
29．（2023 孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校
所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，
教室内空气中每立方米的含药量 y（mg）与燃烧时间 x（min）之间的函数关
系如图所示，其中当 x＜6 时，y 是 x 的正比例函数，当 x≥6 时，y 是 x 的反
比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求当 x≥6 时，y 与 x 的函数关系式；
（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于 1.5mg 的时间
超过 30 分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？
【答案】（1）y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x≥6）；
（2）超过 30 分钟，故是有效消毒．
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝ （k≠0），
将（15，4）代入，得 15＝ ．
∴k＝4×15＝60，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝ （x≥6）；
（2）当 x＝6 时 y＝ ＝10，
∴点 A 的坐标为（6，10）；
由 A 点（6，10）可得 OA 所在直线表达式为 y＝ x＝ x，
将 y＝1.5 代入 y＝ x，得 x＝1.5，
∴x＝0.9，
将 y＝1.5 代入 y＝ ，得 ＝1.5，
∴x＝40，
∴40﹣0.9＝39.1（分钟），
超过 30 分钟，故是有效消毒．
30．（2022 秋 铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进
行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 x
（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y 与 x 成反比例（如图），现测得药物 8
分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的
信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公
室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于
10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 y＝k1x（k1＞0）代
入（8，6）为 6＝8k1
∴k1＝ ，
设药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为 y＝ （k2＞0），
∵经过点（8，6），
∴6＝ ，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为 y＝ x（0≤x≤8）药物燃烧后 y 关于 x
的函数关系式为 y＝ （x＞8）；
（2）结合实际，令 y＝ 中 y≤1.6 得 x≥30，
答：即从消毒开始，至少需要 30 分钟后员工才能回到办公室；
（3）把 y＝3 代入 y＝ x，得：x＝4，
把 y＝3 代入 y＝ ，得：x＝16，
∵16﹣4＝12＞10，
所以这次消毒是有效的．
31．（2022 秋 陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到 100℃，然后停
止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温 y（℃）与时间 x
（min）成一次函数关系；停止加热过了 1 分钟后，水壶中水的温度 y（℃）
与时间 x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度
是 20℃，降温过程中水温不低于 20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量 x 的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到 90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶
需要等待多长时间？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）停止加热时，设 y＝ ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当 y＝100 时，解得：x＝9，
∴C 点坐标为（9，100），
∴B 点坐标为（8，100），
当加热烧水时，设 y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为 y＝10x+20（0≤x≤8）；
当停止加热，得 y 与 x 的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝
（9＜x≤45）；
（2）把 y＝90 代入 y＝ ，得 x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待 10﹣8＝2 分钟．
32．（2023 春 淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热
时每分钟上升 10℃，加热到 100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温
（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至 20℃时自动开机加
热，重复上述自动程序．若在水温为 20℃时，接通电源后，水温 y（℃）和
时间 x（min）的关系如图所示．
（1）a＝ 8 ，b＝ 40 ．
（2）直接写出图中 y 关于 x 的函数表达式．
（3）饮水机有多少时间能使水温保持在 50℃及以上？
（4）若某天上午 7：00 饮水机自动接通电源，开机温度正好是 20℃，问学生
上午第一节下课时（8：40）能喝到 50℃以上的水吗？请说明理由．
【答案】（1）8；40．
（2）y＝ ．
（3）学生在每次温度升降过程中能喝到 50℃以上水的时间有 16﹣3＝13分钟．
（4）学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过 50℃的水．
【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升 10℃，
∴从 20℃到 100℃需要 8 分钟，
设一次函数关系式为：y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入 y＝k1x+b，得 k1＝10，b＝20．
∴y＝10x+20（0≤x≤8），
设反比例函数关系式为：y＝ ，
将（8，100）代入，得 k＝800，
∴y＝ ，
当 y＝20 时，代入关系式可得 x＝40；
故答案为：8；40．
（2）由（1）中计算可得，y＝ ．
（3）在 y＝10x+20（0≤x≤8）中，
令 y＝50，解得 x＝3；
反比例函数 y＝ 中，令 y＝50，解得：x＝16，
∴学生在每次温度升降过程中能喝到 50℃以上水的时间有 16﹣3＝13 分钟．
（4）由题意可知，饮水机工作时 40 分钟为一个循环，
上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是 100 分钟，是 2 个 40 分钟
多 20 分钟，
∴ ＝40（℃），
∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过 50℃的水．
33．（2023 春 东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加
温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工
过程中，该材料的温度 y（℃）时间 x（min）变化的函数图象，已知该材料，
初始温度为 15℃，在温度上升阶段，y 与 x 成一次函数关系，在第 5 分钟温
度达到 60℃后停止加温，在温度下降阶段，y 与 x 成反比例关系．
（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y 与 x 的函数关系式：
①上升阶段：当 0≤x≤5 时，y＝ 9x+15 ；
②下降阶段：当 x＞5 时，y ＝ ．
（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于 30℃，可以进行产品加工，请问在
图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①上升阶段：当 0≤x＜5 时，为一次函数，设一次函数表
达式为 y＝kx+b，
由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），
所以 ，
解得： ，
所以 y＝9x+15，
②下降阶段：当 x≥5 时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝ ，
由于图象过点（5，60），所以 m＝300．
则 y＝ ；
故答案为：9x+15；＝
（2）当 0≤x＜5 时，y＝9x+15＝30，得 x＝ ，
因为 y 随 x 的增大而增大，所以 x＞ ，
当 x≥5 时，y＝ ＝30，
得 x＝10，因为 y 随 x 的增大而减小，
所以 x＜10，
10﹣ ＝ ，
答：可加工 min．
【考点 5 反比例函数的综合】
34．（2023 赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y1＝k1x+b 的图象
与坐标轴分别交于 A（5，0），B（0， ）两点，且与反比例函数 的
图象在第一象限内交于 P，Q 两点，连接 OP，△OAP 的面积为 ．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当 y2＞y1时，请你直接写出 x 的取值范围；
（3）若 C 为线段 OA 上的一个动点，当 PC+QC 最小时，求△PQC 的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为：y1＝﹣ x+ ，反比例函数的解析式为：
y2＝ ；
（2）0＜x＜1 或 x＞4；
（3） ．
【解答】解：（1）∵一次函数 y1＝k1x+b 与坐标轴分别交于 A（5，0），B
（0， ）两点，
∴ ，
解得 ．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣ x+ ．
∵△OAP 的面积为 ，
∴ OA yP＝ ，
∴yP＝ ，
∵点 P 在一次函数图象上，
∴令﹣ x+ ＝ ．解得 x＝4，
∴P（4， ）．
∵点 P 在反比例函数 y2＝ 的图象上，
∴k2＝4× ＝2．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣ x+ ，反比例函数的解析式为：y2＝ ．
（2）令﹣ x+ ＝ ，解得 x＝1 或 x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当 y2＞y1时，x 的取值范围为：0＜x＜1 或 x＞4；
（3）如图，作点 P 关于 x 轴的对称点 P′，连接 QP′，线段 QP′与 x 轴的
交点即为点 C，
∵P（4， ），
∴P′（4，﹣ ），
∴PP′＝1，
∴直线 QP′的解析式为：y＝﹣ x+ ，
令 y＝0，解得 x＝ ，
∴C（ ，0），
∴S△PQC＝ （xC﹣xQ） PP′
＝ ×（ ﹣1）×1
＝ ，
∴当 PC+QC 最小时，△PKC 的面积为 ．
35．（2022 秋 城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A
在 y 轴正半轴上，点 C 的坐标为（4，3），反比例函数 的图象经
过点 B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在反比例函数的图象上是否存在点 P，使得△OAP 的面积等于菱形 OABC
的面积？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；
（2）存在；P（8，4）或 P（﹣8，﹣4）．
【解答】（1）解：延长 BC 交 x 轴于点 D，
∵四边形 OABC 是菱形，
∴OA∥BC，OA＝OC＝BC＝AB，
∴BD⊥x 轴，
∵C（4，3），
∴OD＝4，CD＝3， ，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，
∴BD＝BC+CD＝OC+CD＝8，
∴B（4，8），
∵点 B 在双曲线上，
∴k＝4×8＝32，
∴反比例函数的表达式为： ；
（2）解：存在；设 P 点的横坐标为 m，
∵S 菱形 OABC＝BC OD＝5×4＝20，
∴ ，
∴m＝±8，
当 m＝8 时， ，即：P（8，4），
当 m＝8 时， ，即：P（﹣8，﹣4）；
综上，存在点 P（8，4）或 P（﹣8，﹣4），使△OAP 的面积等于菱形 OABC
的面积．
36．（2023 春 万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+4 与坐标
轴分别交于 A、B 两点，与反比例函数 在第一象限交于点 C（1，a），
点 D（7，b）是反比例函数 上一点，连接 CD 并延长交 x 轴于点 E．
（1）求 b 的值；
（2）连接 BE，若点 P 是线段 BE 上一动点，连接 CP．当 时，求
点 P 的坐标；
（3）若点 M 是 x 轴上一动点，点 N 为平面内一点，在（2）的条件下，是否
存在以 A、P、M、N 四点为顶点的菱形？请直接写出点 N 的坐标．
【答案】（1）b＝ ；
（2）P（2，3）；
（3）点 N 的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣ ，3）．
【解答】解：（1）∵点 C（1，a）是直线 y＝2x+4 与反比例函数 的交点，
∴a＝2+4＝6，
∴k＝1×6＝6，
∴y＝ ，
∵点 D（7，b）是反比例函数 上一点，
∴b＝ ；
（2）过点 P 作 PQ⊥x 轴交 CD 于点 Q，
∵C（1，6），D（7， ），
∴直线 CD 的解析式为 y＝﹣ x+ ，
∵点 E 是直线 CD 与 x 轴的交点，
∴E（8，0），
∴直线 BE 的解析式为 y＝﹣ x+4，
∴设 P（a，﹣ a+4），Q（a，﹣ x+ ），
∴PQ＝﹣ a+ ﹣（﹣ a+4）＝﹣ a+ ，
∴S△PCE＝S△PQC+S△PQE＝ PQ（xQ﹣xC），
∴ （﹣ a+ ）＝ ，
∴a＝2，
∴P（2，3）；
（3）在直线 y＝2x+4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，
∴A（﹣2，0），
∵P（2，3），
∴AP＝ ＝5，
如图 2，
∵以 A、P、M、N 四点为顶点的菱形，
∴AP＝AM＝5，
∴M1（3，0）或 M2（﹣8，0），
∵四边形 APNM 是菱形，
∴PN∥AM，PN＝AM＝5，
∴N1（7，3），N2（﹣3，3）；
如图 3，当 AP＝PM，AP∥MN 时，
点 P 与点 N 关于 x 轴对称，
∴N3（2，﹣3），
如图 4，当 AM＝PM，PN∥AM 时，
过 N 作 NG⊥AM 于 G，
∴NG＝3，
过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，
∴PQ＝3，AQ＝4，
设 AM＝PM＝a，
∴a2＝32+（4﹣a）2，
∴a＝ ，
∴AN＝ ，
∴AG＝ ＝ ，
∴OG＝ ，
∴N4（﹣ ，3），
综上所述，点 N 的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣ ，
3）．
37．（2023 春 洛江区期末）如图，已知反比例函数 的图象与直线
y＝k2x+b 将于交于 A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线 AB 交 x 轴于点
M，点 C 是 x 轴正半轴上的一点，
（1）求反比例函数及直线 AB 的解析式；
（2）若 S△ABC＝25，求点 C 的坐标；
（3）若点 C 的坐标为（1，0），点 D 为 x 轴上的一点，点 E 为直线 AC 上的
一点，是否存在点 D 和点 E，使得以点 D、E、A、B 为顶点的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出 E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣ ，y＝x+7；
（2）C（3，0）；
（3）存在．点 E 的坐标为 或 或 ．
【解答】解：（1）将 A（﹣1，6）代入 y＝ ，得 6＝ ，
解得：k1＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣ ；
将 B（﹣6，m）代入 y＝﹣ ，
得 m＝1，
∴B（﹣6，1），
∵直线 y＝k2x+b 经过 A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，
∴ ，
解得： ，
∴直线 AB 的解析式为：y＝x+7；
（2）在 y＝x+7 中，令 y＝0，得 x＝﹣7，
∴M（﹣7，0），
∵点 C 是 x 轴正半轴上的一点，
∴设 C（x，0）（x＞0），
∴MC＝x﹣（﹣7）＝x+7，
∵S△ABC＝S△AMC﹣S△BMC＝25，
∴ MC （6﹣1）＝25，即 （x+7）＝25，
解得：x＝3；
∴点 C 的坐标为（3，0）；
（3）若点 C 的坐标为（1，0），点 D 为 x 轴上的一点，点 E 为直线 AC 上的
一点，是否存在点 D 和点 E，使得以点 D、E、A、B 为顶点的四边形为平行
四边形？若存在，直接写出 E 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）存在．点 E 的坐标为 或 或 ．
设直线 AC 的解析式为 y＝ax+c，
则 ，
解得： ，
∴直线 AC 的解析式为：y＝﹣3x+3；
设 D（t，0）、E（n，﹣3n+3），
又 A（﹣1，6）、B（﹣6，1），
当 AB、DE 为平行四边形的对角线时，AB、DE 的中点重合，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 AD、BE 为平行四边形的对角线时，AD、BE 的中点重合，
∴
解得
∴ ；
当 AE、BD 为平行四边形的对角线时，AE、BD 的中点重合，
∴
解得
∴ ．
综上所述，点 E 的坐标为 或 或 ．
