专题 27.2.1 相似三角形的判定（4 个考点）
【考点 1 三边对应成比例，两三角形相似】
【考点 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】
【考点 3 两角对应相等，两三角形相似】
【考点 4 选择或填充条件使两个三角形相似】
【考点 1 三边对应成比例，两三角形相似】
1．如图，在边长为 1 的正方形网格中， △ 和 △ 都是格点三角形．求证： △ ∽△ ．
2．已知：在 △ 和 △ ′ ′ ′中， = = ．求证： △ ∽ △ ′ ′ ′． ′ ′ ′ ′ ′ ′
3．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【考点 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】
4．如图，在正方形 中，E 为边 的中点，点 F 在边 上，且 = 3 ，求证：
△ ∽△ ．
5．如图， = ，且∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
6．如图， = ，作 △ ，D 在 异侧，且 = ，∠ = ∠ ，E 是 延长线上一点，连接
交 于点 F．求证： △ ∽△ ．
7．在 △ 和 △ 中， = ，∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
8．如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ， = 2， = 3， = 6， = 4．求证：△ 与
△ 是相似三角形．
【考点 3 两角对应相等，两三角形相似】
9．如图，∠ = ∠ ， ∥ ，求证： △ ∽△ ．
10．如图，在平行四边形 中，过点 作 ⊥ , 垂足为 ．连接 , 为线段 上一点，且
∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
11．如图，在 △ 中，∠ = 2∠ ．
(1)在图中作出∠ 的平分线 ，交 于点 D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证： △ ∽△ ．
12．如图，四边形 是菱形，点 G 是 延长线上一点，连接 ，分别交 、 于点 E、F，连接 ．
(1)求证：∠ = ∠ ；
(2)求证： △ ∽ △ ．
13．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°， = ，点 D，E 分别是 ， 上的点，且∠3 = 45°，求证：
△ ∽△ .
14．如图，在 △ 中， = ，D，E 分别是 ， 上的点，且∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
15．如图，四边形 为菱形，点 在 的延长线上，∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
16．如图，在 △ 中，点 D 在 边上，点 E 在 边上，∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
17．如图，在 △ 和 △ 中， ⊥ 于 A， ⊥ 于 D， 相交于点 O， = ，求证：
△ ∽ △ ．
18．如图，在 △ 中和 △ ′ ′ ′中，∠ = 50°，∠ = ∠ ′ = 60°，∠ ′ = 70°，△ 和 △ ′ ′ ′相似吗？
为什么？
19．如图，平行四边形 ， ⊥ 交点 E，连接 ，F 为 上一点，且∠ = ∠ = 60°．求证：
△ ∽ △ ．
20．如图，在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，请用尺规作图法在 边上求作一点 D，使得
△ ∽△ ．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点 4 选择或填充条件使两个三角形相似】
21．如图，在 △ 中，点 D，E 分别在边 ， 上，则不一定能判断 △ ∽△ 的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
C． =
= D．
22．如图，点 P 在 △ 的边 上，要判断 △ ∽△ ，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C． = D． =
23．如图， 与 相交于点 O，要使 △ 与 △ 相似，可添加的一个条件是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C．∠ = ∠ D．∠ = ∠
24．如图，点 P 在 △ 的边 上，要判断 △ ∽△ ，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
= C． D． =
25．如图，点 D 在 △ 的边 上，添加下列条件后不能判定 △ 与 △ 相似的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C． =
D． =
26．如图，在 △ 和 △ 中，∠ = ∠ ，要使 △ 与 △ 相似，还需要满足下列条件中的
（ ）
= = A． B． C． = D． =
27．直线 与 △ 的边 相交于点 ，与 边相交于点 ，下列各条件：
①∠ = ∠ ∥ = ，② ，③ ，④ = ，⑤ = ，能够判断 △ ∽△
的是 ．
28．已知∠1 = ∠2，添加一个条件使得 △ ∽△ ，则添加的条件是 ．
29．如图，在 △ 与 △ ′ ′ ′中，点 、 ′分别在边 、 ′ ′上，且 △ ∽△ ′ ′ ′，若___________，
则 △ ∽△
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ．请从① ′ = ；② = ；③∠ = ∠ ′ ′这三个选项中选择一个作为 ′ ′ ′ ′
条件（写序号），并加以证明．
30．已知：△ 中，∠ = 36°， = ，用尺规求作一条过点 B 的直线，使得截出的一个三角形与 △
相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）
31．如图， △ 中，点 D 是边 AB 上一点，点 E 为 △ 外一点， ∥ ，连接 BE．从下列条件中：
①∠ = ∠ ；② = ．选择一个作为添加的条件，求证： △ ∽△ ．
32．如图，点 D、E 为 △ 外两点，给出下列信息：①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ ；
③∠ = ∠ ．
请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你
选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）
33．如图，在 △ 中， > ，点 D 在 边上（点 D 不与 A，C 重合）．若再增加一个条件能使
△ ∽△ ，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明 △ ∽△ ．专题 27.2.1 相似三角形的判定（4 个考点）
【考点 1 三边对应成比例，两三角形相似】
【考点 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】
【考点 3 两角对应相等，两三角形相似】
【考点 4 选择或填充条件使两个三角形相似】
【考点 1 三边对应成比例，两三角形相似】
1．如图，在边长为 1 的正方形网格中， △ 和 △ 都是格点三角形．求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出 、 、 、
，得出 =
= ，即可证明 △ ∽△ ．
【详解】解：∵ = 2， = 12 + 12 = 2， = 12 + 32 = 10，
= 2， = 22 + 22 = 2 2， = 22 + 42 = 2 5，
2
∴ 2 10 = = ， = =
2 ， = 2，
2 2 2 2 5 2 2
∴ = = ，
∴ △ ∽△ ．
2．已知：在 △ 和 △ ′ ′ ′中， = = ．求证： △ ∽ △ ′ ′ ′． ′ ′ ′ ′ ′ ′
【答案】见解析
【分析】直接在线段 （或它的延长线）上截取 = ′ ′，得出 △ ∽△ ，再证明 △ ≌ △ ′
′ ′（SSS），进而得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出 △ ≌ △ ′ ′ ′（SSS）是
解题关键．
【详解】证明：在线段 （或它的延长线）上截取 = ′ ′，过点 D 作 ∥ ，交 于点 E，
∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，
∴ =
= ，
又 = = ， = ′ ′， ′ ′ ′ ′ ′ ′
∴
= ， = ， ′ ′ ′ ′
∴ = ′ ′， = ′ ′，
在 △ 和 △ ′ ′ ′中
= ′ ′
= ′ ′ ，
= ′ ′
∴ △ ≌ △ ′ ′ ′（SSS），
∴ △ ∽ △ ′ ′ ′．
3．判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
【答案】 △ ∽△ ．理由见解析
5
【分析】根据 = = = 3，进行判断作答即可．
【详解】解： △ ∽△ ．理由如下：
由题意知， = 3， = 3.5， = 4， = 1.8， = 2.1， = 2.4，
∴ =
=
5
= 3，
∴ △ ∽△ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【考点 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】
4．如图，在正方形 中，E 为边 的中点，点 F 在边 上，且 = 3 ，求证：
△ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比
例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出∠ = ∠ = 90°, = = ，设
= = = 4 ，得出 = = 2 , = ，证出 =
，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是正方形
∴ ∠ = ∠ = 90°, = =
设 = = = 4
∵E 为边 的中点， = 3
∴ = = 2 , =
4 2
∴ = 2 = 2, = = 2
∴ =
∵ ∠ = ∠
∴ △ ∽△
5．如图， = ，且∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边成比例且夹
角相等的两个三角形相似”；先根据∠ = ∠ ，得出∠ = ∠ ，再根据对应边成比例，即可解
答．
【详解】证明： ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
即 ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∴△ ∽△ ．
6．如图， = ，作 △ ，D 在 异侧，且 = ，∠ = ∠ ，E 是 延长线上一点，连接
交 于点 F．求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明 △ ∽△ ．本题考查了相似三角形的判定，熟
练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴ = ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
7．在 △ 和 △ 中， = ，∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解题的
关键．
由∠ = ∠ ，可得∠ = ∠ ，由 = ，可得 = ，进而结论得证．
【详解】证明：∵∠ = ∠ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∵ =
，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
8．如图，四边形 的对角线 与 相交于点 ， = 2， = 3， = 6， = 4．求证：△ 与
△ 是相似三角形．
【答案】见解析
【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可．
【详解】证明： ∵ = 2， = 3， = 6， = 4，
∴ = 2 = 4 2 3 ， 6 = 3，
∴ = ．
∵ ∠ = ∠ ，
∴ △ 与 △ 是相似三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定定理：对应边成比例且夹角相
等的两个三角形是相似三角形．
【考点 3 两角对应相等，两三角形相似】
9．如图，∠ = ∠ ， ∥ ，求证： △ ∽△ ．
【答案】见详解
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答．
【详解】解：∵ ∥
∴∠ = ∠
∵∠ = ∠
∴ △ ∽△
10．如图，在平行四边形 中，过点 作 ⊥ , 垂足为 ．连接 , 为线段 上一点，且
∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得
∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ ，结合∠ + ∠ = 180°， ∠ = ∠ ，即可得出∠ = ∠ ，
进而可证出 △ ∽△ ．
【详解】解： ∵ 四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180°,∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∴ △ ∽△ ．
11．如图，在 △ 中，∠ = 2∠ ．
(1)在图中作出∠ 的平分线 ，交 于点 D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，求证： △ ∽△ ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定．
（1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可．
（2）根据三角形相似的判定解答即可．
【详解】（1）根据基本步骤作图如下：
则 即为所求．
（2）∵ ∠ 的平分线 ，
∴∠ = 2∠ = 2∠ ，
∵∠ = 2∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
12．如图，四边形 是菱形，点 G 是 延长线上一点，连接 ，分别交 、 于点 E、F，连接 ．
(1)求证：∠ = ∠ ；
(2)求证： △ ∽ △ ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质可得 = ，∠ = ∠ ，然后证明 △ ≌ △ (SAS)即可得
出结论；
（2）根据平行线的性质可得∠ = ∠ ，结合（1）中结论可得∠ = ∠ ，然后根据相似三角形的
判定定理得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是菱形，
∴ = ，∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴ △ ≌ △ (SAS)，
∴∠ = ∠ ；
（2）∵四边形 是菱形，
∴ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
由（1）得∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟
练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
13．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°， = ，点 D，E 分别是 ， 上的点，且∠3 = 45°，求证：
△ ∽△ .
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据∠ = ∠ = ∠3 = 45°，结合外角定理可得∠1 = ∠2，即可证
明 △ ∽△ ；
【详解】证明：∵∠ = 90°， = ，
∴∠ = ∠ = 45°，
∵∠ 是 △ 的一个外角，
∴∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠ ，
又∵∠3 = 45°，∠ = 45°，
∴∠1 = ∠2，
在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠
∠1 = ∠2 ，
∴ △ ∽△
14．如图，在 △ 中， = ，D，E 分别是 ， 上的点，且∠ = ∠ ，求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到∠ = ∠ ，利用外角的性质，推出
∠ = ∠ ，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．
【详解】证明：∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
15．如图，四边形 为菱形，点 在 的延长线上，∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】根据菱形的性质得出∠ = ∠ ，根据题意∠ = ∠ ，等量代换得出∠ = ∠ ，
进而根据公共角∠ = ∠ ，即可得证．
【详解】证明： ∵ 四边形 为菱形， 为对角线，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
又∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．如图，在 △ 中，点 D 在 边上，点 E 在 边上，∠ = ∠ ．求证： △ ∽△ ．
【答案】证明见解析
【分析】根据两个角分别对应相等的两个三角形相似证明即可．
【详解】证明：∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ；
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键．
17．如图，在 △ 和 △ 中， ⊥ 于 A， ⊥ 于 D， 相交于点 O， = ，求证：
△ ∽ △ ．
【答案】见解析
【分析】先根据直角三角形的性质，得∠ = ∠ ，再根据相似三角形的判定即可．
【详解】证明：∵ ⊥ 于 A， ⊥ 于 D，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，∠ = 90° ∠ ,∠ = 90° ∠
∴∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∠ = ∠ + ∠ ,∠ = ∠ + ∠ ,
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是本题的关
键．
18．如图，在 △ 中和 △ ′ ′ ′中，∠ = 50°，∠ = ∠ ′ = 60°，∠ ′ = 70°，△ 和 △ ′ ′ ′相似吗？
为什么？
【答案】 △ 和 △ ′ ′ ′相似，理由见解析
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ = 70°，则∠ = ∠ ′，再由∠ = ∠ ′ = 60°即可证明 △ 和
△ ′ ′ ′相似．
【详解】解： △ 和 △ ′ ′ ′相似，理由如下：
∵∠ = 50°，∠ = 60°，
∴∠ = 180° ∠ ∠ = 70°，
∴∠ = ∠ ′，
又∵∠ = ∠ ′ = 60°，
∴ △ 和 △ ′ ′ ′相似．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，熟知两组角对应相等的三角形相似
是解题的关键．
19．如图，平行四边形 ， ⊥ 交点 E，连接 ，F 为 上一点，且∠ = ∠ = 60°．求证：
△ ∽ △ ．
【答案】见解析
【分析】由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出∠ = ∠ = 120°、 ∥ ，利用平行线
的性质可得出∠ = ∠ ，进而即可证出 △ ∽ △ ．
【详解】证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴∠ + ∠ = 180°,∠ = ∠ ,
∵∠ = 60°,
∴∠ = 120°；
∵∠ = 60°，
∴∠ = 120°，
∴∠ =∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质结
合等角的补角相等，找出∠ = ∠ = 120°、∠ = ∠ ．
20．如图，在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，请用尺规作图法在 边上求作一点 D，使得
△ ∽△ ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】
作∠ 的平分线交 于点 ，点 即为所求，
【详解】解：如图所示，作∠ 的平分线交 于点 ，点 即为所求，
理由如下，
∵在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，
∴∠ = 180° 80° 60° = 40°
∵ 是∠ 的平分线，
∴∠ = 12∠ = 40°，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是
解题的关键．
【考点 4 选择或填充条件使两个三角形相似】
21．如图，在 △ 中，点 D，E 分别在边 ， 上，则不一定能判断 △ ∽△ 的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
= C． D． =
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相
等的两个三角形相似判断 A、B 选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断 C 选项，
从而解题．
【详解】解：A、 ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合题意；
B、 ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合题意；
∵ C、 = ，
∴ =
，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合题意；
∵ D、 = ，∠ = ∠ ，
无法证明 △ ∽△ ，符合题意；
故选：D．
22．如图，点 P 在 △ 的边 上，要判断 △ ∽△ ，添加一个条件，下列不正确的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ = C． D． =
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ = ∠ 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
B、当∠ = ∠ 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
C、当 = 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
= D、当 时，无法得到 △ ∽△ ，故此选项符合题意．
故选：D．
23．如图， 与 相交于点 O，要使 △ 与 △ 相似，可添加的一个条件是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C．∠ = ∠ D．∠ = ∠
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．
【详解】解：∠ = ∠ （对顶角相等），
A、当∠ = ∠ 时，则 △ 与 △ 相似，符合题意；
B、当∠ = ∠ 时，无法证明 △ 与 △ 相似，不符合题意；
C、当∠ = ∠ 时，无法证明 △ 与 △ 相似，不符合题意；
D、∠ = ∠ ，无法证明 △ 与 △ 相似，不符合题意；
故选：A．
24．如图，点 P 在 △ 的边 上，要判断 △ ∽△ ，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
C． =
D． =
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当∠ = ∠ 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
B、当∠ = ∠ 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
= C、当 时，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项不符合题意；
D、当 = 时，无法得到 △ ∽△ ，故此选项符合题意．
故选：D．
25．如图，点 D 在 △ 的边 上，添加下列条件后不能判定 △ 与 △ 相似的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ = = C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定，由∠ 是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得 A
与 B 正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得 C 正确，继而求得答
案，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
【详解】∵∠ 是公共角，
∴当∠ = ∠ 或∠ = ∠ 时， △ ∽△ （有两角对应相等的三角形相似），故 A 与 B 正
确，不符合题意；
当 = 时， △ ∽△ （两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故 C 正确，
不符合题意；
当 = 时，∠ 不是夹角，故不能判定 △ 与 △ 相似，故 D 错误，符合题意．
故选：D．
26．如图，在 △ 和 △ 中，∠ = ∠ ，要使 △ 与 △ 相似，还需要满足下列条件中的
（ ）
A． =
= B． C． = D． =
【答案】A
【分析】本题考查了三角形相似的判定，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似解答即可．
【详解】∵∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
△ ∽△ ，
故选 A．
27．直线 与 △ 的边 相交于点 ，与 边相交于点 ，下列各条件：
∠ = ∠ ∥ ① ，② ，③ =
，④ = ，⑤ = ，能够判断 △ ∽△
的是 ．
【答案】②⑤
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平
行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应
边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定方法，分别进行判定即可得出答案．
【详解】解：①∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项错误；
② ∥ ，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相
交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出 △ ∽△ ，故此选项正确；
③ =
，缺少夹角相等，故不能判定 △ ∽△ ，故此选项错误；
④ =
，又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项错误；
⑤ = 可以变形为： = ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此选项正确；
故正确的有 2 个．
故答案为：②⑤．
28．已知∠1 = ∠2，添加一个条件使得 △ ∽△ ，则添加的条件是 ．
【答案】∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 =
【分析】本题考查相似三角形的判定，由∠1 = ∠2可得∠ = ∠ ．只需还有一对角对应相等或夹
边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠ = ∠2 + ∠ ，即∠ = ∠ ，
当∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 = 时， △ ∽△ ．
故答案为：∠ = ∠ 或∠ = ∠ = 或 ．
29．如图，在 △ 与 △ ′ ′ ′中，点 、 ′分别在边 、 ′ ′上，且 △ ∽△ ′ ′ ′，若___________，
则 △ ∽△ =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ① ② =
′
．请从 ； ；③∠ = ∠ ′ ′ ′这三个选项中选择一个作为 ′ ′ ′ ′
条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
根据相似三角形的判定定理证明即可．
′ ′
【详解】解：若选① = ， ′ ′
证明：∵ △ ∽△ ′ ′ ′，
∴∠ = ∠ ′ ′ ′， = ， ′ ′ ′ ′
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
∵ =
′ ′
，
′ ′
∴ = ，
′ ′ ′ ′
∴ = ，
′ ′ ′ ′
又∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′ ′．
= ′②
′
选择 ，不能证明 △ ∽△ ′ ′ ′． ′ ′
若选③∠ = ∠ ′ ′ ′，
证明：∵ △ ∽△ ′ ′ ′，
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
又∵∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′ ′．
30．已知：△ 中，∠ = 36°， = ，用尺规求作一条过点 B 的直线，使得截出的一个三角形与 △
相似并证明．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见详解
【分析】作∠ABC 的角平分线，交 AC 于点 D，再根据两角对应相等即可．
【详解】解：如图，直线 BD 即为所求．
证明：∵∠ = 36°， = ，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠BCD=36°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠C=∠A，
∴ △ △
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，以及三角形相似的判定，解题的关键是三角形相似的判定．
31．如图， △ 中，点 D 是边 AB 上一点，点 E 为 △ 外一点， ∥ ，连接 BE．从下列条件中：
∠ = ∠ ① ；② = ．选择一个作为添加的条件，求证： △ ∽△ ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加∠ = ∠ 根据有
两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加 = 利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等
的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
或选择②
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ △ ∽△ ．
32．如图，点 D、E 为 △ 外两点，给出下列信息：①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ ；
③∠ = ∠ ．
请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你
选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号）
【答案】见详解
【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可．
【详解】（1）条件：①②，结论③；
（2）条件：①③，结论②；
（3）条件：②③，结论①；
以上三个命题均是真命题．
选择（1）进行证明，
证明： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽ △ ，
∴ =
，
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽ △ ，
∴ ∠ = ∠ ．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键．
33．如图，在 △ 中， > ，点 D 在 边上（点 D 不与 A，C 重合）．若再增加一个条件能使
△ ∽△ ，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明 △ ∽△ ．
【答案】∠ = ∠ （答案不唯一），见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解．
【详解】解：∠ = ∠ （答案不唯一）
证明：在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠
∴ △ ∽△ ．（有两角对应相等的两个三角形相似）
