27.2.2 相似三角形的性质及其运用
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【考点 2 利用相似求坐标】
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【考点 6 相似三角形的综合问题】
知识点 1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质 2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质 3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽ ，则
由比例性质可得：
图一
性质 4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二， ∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1
S BC AD
1
× k × B C ×k × A D
则 △ABC = 2 = 21 1 =k
2
S △A B C B C × A D B C × A D
2 2
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
知识点 3 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD C
2．BC2＝BD·AB
b
h a
AC2＝AD·AB
A
BC 2 BD q D p
B
很容易推出： 2 = ．
c
AC AD
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
1 1 1
2 = ．BC AC 2 CD2
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母 a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
a2 p
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ 2 = ；⑤ ab＝ch ；b q
⑥ a2＋b2＝c2
1 1 1
；⑦ 2 2 = 2 ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．a b h
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在 a、b、c、p、q、h 这六个量中，已知两个量就可求
出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角
三角形的基本条件：斜边大于直角边
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【典例 1】如图， △ ∽△ ， = 2， = 3， = 4，那么 的值等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据 △ ∽△ ，得出 = ，然后再代入数据求值
即可．
【详解】解：∵ △ ∽△ ，
∴ = ，
3 2
即 = 4，
解得： = 6．
故选：B．
【变式 1-1】如图， △ ∽△ ′ ′ ′， 和 ′ ′分别是 △ 和 △ ′ ′ ′的高，若 = 2， ′ ′ = 3，
则 △ 与 △ ′ ′ ′的面积的比为（ ）
A．4:9 B．9:4 C．2:3 D．3:2
【答案】A
【分析】本题考查的是相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”．根据相似三角形的性质
可直接得出结论．
【详解】解：∵ △ ∽△ ′ ′ ′，
和 ′ ′分别是 △ 和 △ ′ ′ ′的高， = 2， ′ ′ = 3，
∴ 其相似比为2：3，
∴△ 与 △ ′ ′ ′的面积的比为4:9；
故选：A．
【变式 1-2】若 △ ∽△ 2 1 1 1，且 ＝3．若 △ 的面积为 8，则 △ 1 1 1的面积是（ ）1 1
8
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】D
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关
键．
根据相似三角形的性质可直接得出结论．
【详解】解：∵ △ ∽△ 2 1 1 1，且 ＝ ．1 1 3
2
∴ △ =
= 4
△ 1 1 1 1 1 9
∵ △ 的面积为 8，
∴ △ 1 1 1的面积为 18，
故选：D．
【变式 1-3】如图， △ 和 △ 1 1 1是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 1上，若 : 1
= 1:2，则 △ 和 △ 1 1 1的周长之比为（ ）
A．1:2 B．2：3 C．1：3 D．3：1
【答案】C
【分析】根据位似变换的概念得到 △ ∽△ 1 1 1， ∥ 1 1，得到 △ ∽△ 1 1，根据相似
三角形的性质求出 ，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．本题考查的是位似变换的概1 1
念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
【详解】解： ∵ : 1 = 1:2，
∴ : 1 = 1:3，
∵ △ 和 △ 1 1 1是以点 为位似中心的位似图形
∴ △ ∽△ 1 1 1， ∥ 1 1，
∴ △ ∽△ 1 1
∴ 1 =1 1 =1 3，
∴ △ 和 △ 1 1 1的周长之比为1:3，
故选：C．
【考点 2 利用相似求坐标】
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(0,6)、(8,0)，连接 ．动点 P 从点 A 开
始在折线段 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 上以每秒 3
个单位长度的速度向点 A 移动．设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，当 △ 与 △ 相似时，点 P 的坐标
是 ．
36 28【答案】 0, 或 11 0, 13
【分析】由题意易得 = , = 10 2 ，然后可分情况进行讨论：①当∠ = ∠ 时，有
△ ∽△ ；②当∠ = ∠ 时，有 △ ∽△ ；进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵点 A，B 的坐标分别为(0,6)、(8,0)，
∴ = 6, = 8， = (0 8)2 + (6 0)2 = 10，
∴ = , = 10 2 ，
当 △ 与 △ 相似时，则可分：
①当∠ = ∠ 时，有 △ ∽△ ，如图所示：
∴ =
10 2
，即6 = 10 ，
解得： = 3011，
∴ = 3011，
∴ = = 3611，
∴ 360, ；11
②当∠ = ∠ 时，有 △ ∽△ ，如图所示：
∴ =
= 10 2 ，即10 6 ，
50
解得： = 13，
∴ = 5013，
∴ = = 2813，
∴ 280, ；13
△ △ 36 28综上所述：当 与 相似时， 0, 或 ；11 0, 13
36 28
故答案为 0, 或 11 0, ．13
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【变式 2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知 △ ，点 A 的坐标为( , )，点 B 的坐标为( ,0)．若
a，b 的值是关于 x 的一元二次方程 2 5 + 6 = 0的两个根，且 > ．
(1)直接写出 = ___________， = ___________
(2)若点 P 在 y 轴上，且 △ ∽△ ，求点 P 的坐标．
【答案】(1)2，3
(2) 80, 3
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）先求出 , 的长，再根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解： 2 5 + 6 = 0，
因式分解，得( 2)( 3) = 0，
解得 = 2或 = 3，
∵ , 的值是关于 的一元二次方程 2 5 + 6 = 0的两个根，且 > ，
∴ = 2, = 3，
故答案为：2，3．
（2）解：由（1）可知， (2,2), (3,0)，
∴ = 22 + 22 = 2 2, = 3,∠ = 45°，
∵△ ∽△ ，
∴ = ，∠ = ∠ = 45°，
∴ = 2 2，
2 2 3
8
解得 = 3，
又 ∵ ∠ = ∠ = 45°，且点 在 轴上，
∴ 80, ．3
【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题
关键．
【变式 2-2】如图，点 (0,3)， (1,0)，将线段 平移得到线段 ．若∠ = 90°， = 2 ，则点
的坐标为（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点 作 ⊥ 轴于点 ，先
△ ∽△ = 证明 ，根据相似三角形的性质可得 = ，求出点 的坐标，构造相似三角形是解
题的关键．
【详解】解：过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图所示：
则∠ = 90°，
∵点 (0,3)， (1,0)，
∴ = 3， = 1，
∵∠ = 90°，∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = = ，
∵ = 2 ，
∴ = 2 = 6， = 2 = 2，
∴点 坐标为(7,2)，
故选：A．
【变式 2-3】如图，点 、 、 、 的坐标分别是(1,0)、(5,0)、(3,2)、(4,1)，如果以点 、 、 为顶点
的直角三角形与 △ 相似，则 点的坐标可能是下列的（ ）
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角
相等的两三角形相似即可判断．
【详解】解：在 △ 中， = 4， = = 2 2，则 △ 是等腰直角三角形，
∵ ∠ = 90°，
①、当点 的坐标为(2,1)时，∠ = 90°， = = 2，则 △ ∽△ ，故符合题意；
②、当点 的坐标为(3,1)时，∠ = 90°， = = 1，则 △ ∽△ ，故符合题意；
③、当点 的坐标为(4,2)时，∠ = 90°， = = 1，则 △ ∽△ ，故符合题意；
④、当点 的坐标为(5,2)时，∠ = 90°， = = 2，则 △ ∽△ ，故符合题意；
故选：D．
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【典例 3】已知图 1 和图 2 中的每个小正方形的边长都是 1 个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
(1)在图 1 中画 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为2:1；
(2)在图 2 中画 △ ，使得 △ ∽△ ，且面积比为2:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了作相似三角形，
（1）根据相似比得出各边均扩大 2 倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可；
（2）由面积的比得两三角形相似比为 2:1，画出所有对应边为原来 2倍的三角形即可．
【详解】（1）解：如图： △ 1 1 1即为所求．
；
（2）解：如图： △ 即为所求．
．
【变式 3-1】如图在4 × 1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形
称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从 △ 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格
点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 △ 相似的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即
可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知 = 2， = 12 + 12 = 2， = 12 + 32 = 10，
= 1， = 12 + 12 = 3， = 12 + 22 = 5，
∴ = = ，
∴ △ ∽△ ，
同理可证明 △ ∽△ ， △ ∽△ ，
∴从 △ 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与
△ 相似的有 3 个，
故选 C．
【变式 3-2】网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)将图①中的格点三角形 平移，使点 平移至点 ′，画出平移后的三角形；
(2)在图②中画一个格点三角形 ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 2:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作 ′ ′和 ′ ′，使 ′ ′ = = 1， ′ ′ = = 2． ′ ′ ∥ ， ′ ′ ∥ ，再连结 ′ ′即得；
（2）作 和 ，使 = 2 = 2， = 2 = 2，∠ = ∠ ，再连结 即得．
本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质．
【详解】（1）由平移知， ′ ′ = = 1， ′ ′ = = 2．
作 ′ ′ = 1， ′ ′ = 2，使 ′ ′ ∥ ， ′ ′ ∥ ，
再连结 ′ ′即可．
如图①， △ ′ ′ ′即为所求．
（2）当相似比为 2:1时， = 2 = 2， = 2 = 2，
作 = 2， = 2，使∠ = ∠ ，
再连结 即可．
如图②， △ 即为所求．
【变式 3-3】如图，在7 × 4方格纸中，点 ， ， 都在格点上，用无刻度直尺作图.
(1)在图 1 中作一个 △ ，使 △ 与 △ 相似（相似比不为 1，只需作一个即可）；
(2)在图 2 中的线段 1上找一个点 ，使 = 2.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—相似变换，勾股定理以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵
活运用是解此题的关键．
（1）用勾股定理以及勾股定理逆定理判断出∠ = 90°， = 2 ，从而即可得出 △ ；
1
（2）构造相似比为2的相似三角形即可解决问题．
【详解】（1）解：如图， △ 即为所求，
， ∵ 2 = 5， 2 = 20， 2 = 25，
∴ 2 = 2 + 2，
∴ ∠ = 90°， = 2 ，
∵ = 1， = 2， = 5，∠ = 90°，
∴ = 2 ，
∴△ 即为所求；
（2）解：如图，点 即为所求，
，
由图可得： ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 1， = 2，
∴ =
1
2．
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【典例 4】已知：如图在 △ 中， = 16cm，高 = 12cm，它的内接矩形 （点 E 在边 上，
点 H、G 在边 上，点 F 在边 上）， 与 边之比为1:2，求 的长．
48
【答案】 = 5 cm
【分析】设矩形 的长 = = 2 ，则宽 = = ，易证四边形 是矩形，则 = ，根
据矩形的性质得出 ∥ ，推出 △ ∽△ ，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设矩形 的长 = = 2 ，则宽 = = ，
∵ 四边形 是矩形，
∴ ∠ = ∠ = 90°， ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∵ 是 △ 的高，
∴ ∠ = 90°，
∴ 四边形 是矩形，
∴ = = ，
∵△ ∽△ ，
∴ =
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵ = 16cm， = 12cm，
∴ = (12 )cm，
∴ 12 2 12 = 16，
24
解得： = 5 ，
∴ = 2 = 485 cm．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判
定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相
似比．
【变式 4-1】如图， △ 中，点 D 在 上，∠ = ∠ ，若 = 2， = 6，求 的长．
【答案】2 3
【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，证明 △ ∽△ ,故，即可得到∴ = ，求出
的长.
【详解】解：∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 2， = 6，
2 = ∴ 6 ，
∴ = 2 3或 = 2 3（舍去）．
【变式 4-2】如图，在 △ 中， 平分∠ 交 于点 D， = ．
(1)求证： △ ∽△
(2)若 = 2， = 1，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)3．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意证明∠ = ∠1，即可证明三角形相似；
（2）根据三角形相似的性质得到 =
，计算即可．
【详解】（1）证： ∵ 平分∠
∴ ∠1 = ∠2
∵ =
∴ ∠ = ∠2
∴ ∠ = ∠1
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠1
∴ △ ∽△
（2）解： ∵ △ ∽△
∴ 2 = 即1 = 2
∴ = 4
∴ = = 4 1 = 3
∴ = = 3
【变式 4-3】如图，四边形 为菱形，点 E 在 的延长线上，∠ = ∠ ．
(1)求证： △ ∽ △ ；
(2)当 = 18， = 8时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)12
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先由菱形的性质得出∠ = ∠ ，再根据两个角相等的三角形相似证明即可；
（2）直接利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明： ∵ 四边形 为菱形，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ；
（2）解： ∵△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 18， = 8，
∴ = 818 ，
∴ 2 = 144，
∴ = 12负值舍去．
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【典例 5】在Rt △ 中，∠ = 90°， = 20cm， = 15cm，现有动点 从点 出发，沿线段 向点
运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，连接 ．如果点 的速度是4cm/s，点 的速度是2cm/
s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 s．
(1)求出 的取值范围；
(2)当 = 3时， ， 两点之间的距离是多少？
(3)当 为多少时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似？
【答案】(1)0 ≤ ≤ 5
(2)10cm
(3) 为3s 40或11s
【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相
似有两种情况，考虑要周到．
（1）分别求出点 P、Q 在各自边上运动的时间范围，即可确定 t 的范围；
（2）当 = 3时，可分别求得 、 的长度，由勾股定理即可求得 P，Q 两点之间的距离；
（3）分两种情况： △ ∽ △ ； △ ∽ △ ，利用相似三角形的性质即可求得 t 的值．
【详解】（1）解：由运动知， = 4 cm， = 2 cm．
∵ = 20cm，点 P 在线段 上运动，
∴0 ≤ 4 ≤ 20，
∴0 ≤ ≤ 5．
∵ = 15cm，点 Q 在线段 上运动，
∴0 ≤ 2 ≤ 15，
∴0 ≤ ≤ 7.5，
∴0 ≤ ≤ 5．
（2）当 = 3时， = = 8cm， = 6cm，
在Rt △ 中，根据勾股定理，得 = 2 + 2 = 10cm．
（3）∵以点 C，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似，且∠ = ∠ = 90°，
∴①当 △ ∽ △ 时，
∴ = ，
∴20 4 2 20 = 15，
∴ = 3．
②当 △ ∽ △ 时，
∴ = ，
∴20 4 = 2 15 20，
∴ = 4011．
40
综上，当 t 为3s或11s时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似．
【变式5-1】如图， = 4，射线 和线段 互相垂直， 为线段 上一点，点 在射线 上，且2 = ，
作 ⊥ ，并截取 = 1 2 ，连接 并延长交射线 于点 ，设 = ， = ，则( )
= 16 = 2 = 8 = 12 A． 8 B． 1 C． 1 D． 14
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点 作 ⊥ 于点 ，证明 △ ∽△ ，根据相
1 1
似三角形的性质结合已知得出 = 2 = 2 ， = 2 = ，证明 △ ∽△ ，得出 = ，即可
求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ ⊥ , ⊥
∴∠ = ∠ = 90°，
∵ ⊥
∴∠ = 90°
∴∠ = 90° ∠ = ∠
∴ △ ∽△
∴ = =
∵ = 1 2 ，2 =
∴ =
=
1
2， = = 2
∴ = 12 =
1
2 ， = 2 =
∵ ⊥ , ⊥
∴ ∥
∴ △ ∽△
∴ =
1
即2 =
4
= 16 整理得： 8 ．
故选：A．
【变式 5-2】如图所示，在Rt △ 中，∠ = 90°， = 4cm， = 3cm．动点 从点 出发，以1cm/s
的速度沿 向终点 移动，同时动点 从点 出发，以2cm/s的速度沿 向终点 移动，连接 ，设移动
时间为 s(0 < < 2.5)．求当 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似
3
【答案】当 = 2时，以 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似
【分析】在Rt △ 中，根据勾股定理，求出 的值，用含 的代数式表示出 、 ，当 △ ∽△
= 时， ，当 △ ∽△
时， = ，即可求解，
本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：分情况讨论．
【详解】解：在Rt △ 中，∠ = 90°， = 4cm， = 3cm，
根据勾股定理，得： = 2 + 2 = 32 + 42 = 5(cm)，
∴ = 4 ， = 5 2 ，
①当 △ ∽△ = 5 2 4 3时， ，即： 4 = 5 ，解得： = 2，
②当 △ ∽△ = 4 5 2 时， ，即： 4 = 5 ，解得： = 0（不合题意，舍去），
故答案为：当 = 32时，以 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似．
【变式 5-3】如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 6cm， = 8cm，动点 从点 出发以2cm/s的速度向
点 移动，动点 从点 从出发以1cm/s的速度向点 移动，如果 、 同时出发，当他们移动多少秒时，
以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似？
12 32
【答案】 5 秒或11秒
【分析】本题综合考查相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，若两三角形相似，则由相似三
角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间，本题运用了分类讨论的思想，
解题时应注意解答后的验证．解题的关键是掌握相似三角形的性质．
【详解】解：设当移动 秒时，两三角形相似，
∵动点 从点 出发以2cm/s的速度向点 移动，动点 从点 从出发以1cm/s的速度向点 移动， = 6
cm， = 8cm，∠ = 90°，
∴ 的取值范围为0 < < 4， = 2 cm， = cm，
∴ = (8 2 )cm，
（1）当 △ ∽△ = 时，则 ，
∴8 2
8 = 6，
12
解得： = 5 ；
（2）当 △ ∽△ 时，则 = ，
∴8 2
6 = 8，
32
解得： = 11，
验证可知（1）（2）两种情况下所求的 的值均满足条件0 < < 4，
12 32
综上所述，当运动时间为 5 秒或11秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似．
【考点 6 相似三角形的综合问题】
【典例 6】如图，在 △ 中， = ， ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ， 是 中点，连 交 于点
．
（1）求证： 2 = ；
（2）若 = 5， = 4，求 的值．
【答案】（1）证明见详解；（2） = 10 5
13
DAE CAD = 【分析】（1）只要证明△ ∽△ ，可得 ，推出 AD
2＝AC AE 即可解决问题；
DF DF AC
5 5
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出 ，再根据 ∥ ，可得 2 = = = 8，由此可得 =
5
4 13
，
再利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC 于 D，作 DE⊥AC 于 E，
∴∠ADC＝∠AED＝90°，
∵ = ， ⊥ 于 ，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴ = ，
∴AD2＝AC AE，
∵AC＝AB，
∴AD2＝AB AE．
（2）解：如图，连接 DF．
∵AB＝5，∠ADB＝90°，BF＝AF，
DF = 1AB = 5∴ 2 2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴DF∥AC，
=
5
∴ = 2 =
5
4 8
，
5
∴ = 13
∵AD2＝AB AE．
∴ = · = 5 × 4 = 2 5
∴ = 5 × 2 5 = 10 513 ．13
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是准确寻找
相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
【变式 6-1】如图，△ABC 中，点 D，E 分别是 BC，AB 上的点，CE，AD 交于点 F，BD＝AD，BE＝
EC．
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)若 CD＝CF，试求∠ABC 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)36°
【分析】（1）由已知可得∠BAD＝∠BCE，结合∠B＝∠B，可以得到 △ ∽△ ；
（2）设∠B＝x ，则由（1）和已知条件可以得到关于 x 的方程，解方程即可得到问题解答．
【详解】（1）证明：∵BD＝AD，BE＝EC
∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠BCE
∴∠BAD＝∠BCE
而∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE
（2）解：设∠B＝ ，由（1）可知∠B＝∠BAD＝∠BCE＝ ，
∴∠ADC＝2
又∵CD＝CF
∴∠ADC＝∠DFC＝2
∴2 + 2 + = 180°
∴ = 36°
即∠ = = 36°
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，熟练掌握三角形相似的判定方法、等腰三角形的性质、三角
形内角和定理及方程思想方法的应用是解题关键．
法的应用是解题关键．
【变式 6-2】如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E，点 F 分别在线段 AB，AD 上，且∠EFD＝
∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
4
（2）若 = 5， = 2，且∠AFE＝∠C，探索 BE 和 DF 之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD．
【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF 得出∠AFE=∠ADC，进而根据两
角分别相等的三角形相似可证；
∠AFE ∠C ∠AEF ∠AFE AE AF = 4（2）由（1）中的相似及 = 得出 = ，进而根据等角对等边得出 = ，再根据 5
及△AFE∽△ADC 得出 = 4，再由 = 2, = ，得出 = = 2，即可得到结果．
【详解】解：（1）∵AD 为∠BAC 的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵ = 4 5, ∽ ，
∴ 4 = = 5，
∴ = 4，
∵ = 2, = ，
∴ =
= 2，
∴EB=2FD．
【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相
似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键．
【变式 6-3】如图，矩形 ABCD 中 AB＝2，AD＝4，动点 F 在线段 CD 上运动（不与端点重合），过点 D 作
AF 的垂线，交线段 BC 于点 E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当 CF＝1 时，求 EC 的长．
1
【答案】（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出 ∽ 即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1） ∵ 四边形 是矩形，
∴ = = 2，∠ = ∠ = 90°．
又 ∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ = 90° ∠ ，
∴ ∽ ；
（2） ∵ ∽ ，
∴ = ，
∵ = 1， = = 2，
∴ = = 1，
∵ = 4， = 2，
∴ 4 = 1 2 ，
∴ = 12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟悉相似三角形的性质是解题关键．
1．两
个相似三角形对应边上的高之比为2:3，则它们的面积比为（ ）
A．2:3 B． 2: 3 C．3:2 D．4:9
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形对应高的比等于相似比，面积比是相似比的平方
求解即可．
【详解】解： ∵ 两个相似三角形对应高之比为2:3，
∴ 它们的相似比为2:3，
2
∴ 2面积比 = 3 = 4:9．
故选：D．
2．如图，在 △ 中， = 2 ， 是∠ 的平分线，在 的延长线上取一点 ，使得 = ，连接
．则 = （ ）
1 1 1 2
A．4 B．3 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，过点 作
∥ 交 于点 ，证明出 △ ∽△ ，得到 是 △ 的中位线，根据已知条件及全等三角形的
判定即可求出结果．
【详解】如解图，过点 作 ∥ 交 于点 ，
∴ △ ∽△
∴ =
∵ = ，
∴ =
1
= 2
∴ =
∴ 是 △ 的中位线，
∴ = 12 ， = 2 ，
∵ = 2 ，
∴ = ，
∵ 是∠ 的平分线，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴△ ≌ △ (SAS)，
∴ = ，
∴ =
=
1
2．
故答案选：C．
△ ∥ 3．如图，在 中， ，且 = 1， = 1，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
1
【分析】根据题意证明出 △ ∽△ ，然后得到 = = 2，然后代数求解即可．
此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．
【详解】∵ = 1， + =
∴ = 1 2
∵ ∥
∴ △ ∽△
∴ 1 1 1 = = 2，即 = = 2
∴ = 2．
故选：B．
4．如图，已知四边形 是平行四边形，点 是 的中点，连接 ， 相交于点 ，过 作 的平行线
交 于点 ，若 = 2，则 的值是（ ）
A．6 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质
即可得解，由四边形 是平行四边形，得 = = 2 , ∥ ，在证明 △ ∽△ ，
△ ∽△ ，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵ 是 的中点，
∴ = 2 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ = = 2 , ∥ ，
∵ ∥ ，
∴ ∥ ∥ ，
∴ △ ∽△ ， △ ∽△ ，
∴ = ， = ，
∴ 2
2
+ = + 12
= 1，
解得 = 6，
故选：A．
5．如图，在 △ 中， 、 1分别是边 ， 的中点．若 △ 的面积为2，则四边形 的面积为
（ ）
2 3
A．3 B．1 C．2 D．2
【答案】C
【分析】此题重点考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据相似三角形面积的
比等于相似比的平方求出△ABC 的面积是解题的关键．先根据三角形的中位线定理证明 ∥ ，则
△ ∽△ ，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出 △ 的面积，即可由
= 四边形 Δ Δ 求出四边形 的面积．
【详解】解：∵D、E 分别为 、 的中点，
∴ ∥ 1， = = 2 ， = =
1
2 ，
∴ = 1 = 2，
∴ △ ∽△ ，
2 2
∴ Δ =
=
1 = 1，
Δ 2 4
∴ = 4 = 4 × 1 Δ Δ 2 = 2，
∴ 1 3 四边形 = Δ Δ = 2 2 = 2，
故选：C．
6．如图，点 是 △ 边 上一点，连接 ，使∠ = ∠ ，则下列结论正确的是（ ）
A． : = : B． 2 =
C． : = : D． 2 =
【答案】D
【分析】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，能够发现隐含条件公共角∠ 是解答此题的关
键．由已知条件：∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，可判定 △ ∽△ ，再根据相似三角形的性质进行判断
即可．
【详解】解：∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = ，即：
2 = ，
故选：D．
7．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°，点 是 △ 的重心，连接 ，若 = 2，则线段 长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】C
2
【分析】本题考査三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到 = 3 ，D 是
中点．
2
延长 交 于 D，由重心的性质得到 = 3 ，D 是 中点，求出 = 3，由直角三角形斜边中线的
性质得到 = 2 = 6．
【详解】解：延长 交 于 D，
∵ 点 G 是 △ 的重心，
∴ = 23 ，D 是 中点，
∵ = 2，
∴ = 3，
∵ ∠ = 90°，D 是 中点，
∴ = 2 = 6.
故选：C．
8．如图，矩形 的面积为24，它的对角线 与双曲线 = 相交于点 ，且 : = 2:1，则 的值为 ．
【答案】 12
【分析】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，相似三角形的判定和性质以及矩形的性质等知识，
解题的关键是理解反比例函数系数 k 的几何意义，掌握相似三角形的判定和性质．根据矩形的性质可得
2
△
1
△ = 27，再利用相似三角形的判定和性质可得出 = = 2，进而求出 △ △ ，再由反比例函
数系数 k 的几何意义求出 k 的值即可．
【详解】解：如图所示，过点 D 作 ⊥ 于点 E，
∵四边形 是矩形，
∴ ∠ = 90° = ∠ = 1， △ 2 × 24 = 12，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
2
∴ △ = △ ，
∵ : = 2:1，
2
∴ △ 1 112 = = 2，2
∴ 1 △ = 6 = 2| |，
∴ =± 12，
又∵反比例函数图像在第二象限，
∴ < 0，
∴ = 12，
故答案为： 12．
9．如图，在菱形 中，点 E 1 在边 上，射线 交 的延长线于点 F，若 = 2， = 3，则 的长
为（ ）
2 3
A．1 B．3 C．2 D．2
【答案】C
【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明 △ ∽ △ 是解题的关
键．由菱形的性质得 ∥ ， = = 3 △ ∽ △ ，可证明 ，则 = =
1
2，求得 =
1
2 =
3
2，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形 是菱形， = 3，
∴ ∥ ， = = 3，
∵点 F 在直线 上，
∴ ∥ ，
∴ △ ∽ △ ，
∴ = 1 = 2，
∴ = 1 32 = 2．
故选：C．
10．如图，正方形 的边长为2，以点 为坐标原点建立平面直角坐标系， 与 轴交于点 ．若点 恰好
是 的中点，则点 的坐标为（ ）
A． 6 5 , 2 5 B． 4 55 5 5 ,
2 5 C． 4 5 5 D． 6 5 5
5 5 , 5 5 , 5
【答案】A
【分析】如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，根据 是 的中点，可得 = = 1，在Rt △ 中，运用
勾股定理可得 = 2 + 2 = 5，根据题意可得 △ ∽△ ，由此可算出 = 2 5， = 5，5 5
因为点 在第四象限，由此即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
∵ 是 的中点， = = 2，
∴ = = 1，
在Rt △ 中，
∴ = 2 + 2 = 5，
∵∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ 2 1 5 = = ，即 = = ，1
∴ = 2 5， = 5，
5 5
∴ = + = 6 5，
5
∵ 点 在第四象限，
∴ 点 的坐标为 6 5 , 2 5 ．5 5
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形的综合，掌
握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
1
11．如图， 中， 为 边上的点，且 = 2 ，已知 △ 的面积为 4，则 △ 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先由平行四边形的性质得到
2
= ∥ △ 2 2， ，再证明 △ ∽△ 得到 = ，接着根据已知条件得到 = 3 = 3 ，△
2△
则 = =
9
，据此可得答案．
△ 4
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ = ， ∥ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ △ =
2
，△
∵ = 12 ，
∴ = 2 23 = 3 ，
2
∴ △ =
9
△
= 4，
∵ △ 的面积为 4，
∴ △ 的面积为 9，
故选：C．
12．如图， 、 分别在 △ 边 、 上，若 ∥ ， = 2 ， = 4，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据 ∥ ，得出 △ ∽△ ，即 =
，再根据 = 2 ， = +
，得出 =
2
3，
即可得出 的长．
【详解】解：∵ ∥ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ =
，
∵ = 2 ， = + ，
∴ = 2 1 + = ，2 3
∴ =
2
= 3，
∵ = 4，
∴ 4 = 2 3，
解得： = 6．
故答案为：6．
13．如图，在平行四边形 中， 平分∠ ， 交 于点 ，若 : = 3:2，则 : = ．
【答案】5:3
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质．根据平行四边形的性质、角平分线
和相似三角形的判定可证 △ ∽△ ， = = ，从而可得 = ，再由 : = 3:2，
= + 5 5，可得 = 3，从而可得 = 3，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ， = ， = ，
∴ ∥ ，则∠ = ∠
∴ △ ∽△ ，
∴ =
，
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，则∠ = ∠ ，
∴ = = ，
∵ = + ， : = 3:2，即 : = 3:2，
∴ = 5 3，
∴ 5 = 3，
∴ : = 5:3，
故答案为：5:3．
14．如图，已知等腰三角形 中， = = 20cm, = 30cm，点 P 从点 B 出发沿 以4cm/s的速度向
点 A 运动；同时点 Q 从点 C 出发沿 以3cm/ 的速度向点 B 运动，在运动过程中，当 △ 与 △
相似时， = cm．
40
【答案】 9 或 20
【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关
键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出∠ 和∠ 对应相等，那么就要分成 和 为对应
边以及 和 为对应边两种情况．
【详解】解：设运动时间为 s，
当 △ ∽ △ = 时，有 ，
4 30 3
即3 = 20 ，
解得： = 109 ，
∴ = 4 = 409 cm，
当 △ ∽ △ 时，有 = ，
4 = 30 3 即20 3 ，
解得： = 5或 = 10（舍去），
∴ = 4 = 20cm，
综上所述，当 = 409 cm或20cm时， △ 与 △ 相似，
40
故答案为： 9 或 20．
15．如图，E 为 上一点，若∠ = ∠ ， = ，求证：
(1) △ ∽ △ ；
(2) = ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与
判定是解题的关键．
（1）根据∠ = ∠ ，∠ = ∠ 证明出 △ ∽△ ；
（2）由 △ ∽△ ，得到 = ，进而可证明出 = ．
【详解】（1）证明：∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∴180° ∠ = 180° ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ；
（2）证明：∵ △ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ．
16．在Rt △ 中，∠ = 90°, = 20cm, = 15cm．现有动点 P 从点 A 出发，沿 向点 C 方向运动，动
点 Q 从点 C 出发，沿线段 也向点 B 方向运动．如果点 P 的速度是4cm/秒，点 Q 的速度是2cm/秒，
它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：
(1)用含 t 的代数式表示Rt △ 的面积 S；
(2)当 = 3秒时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？
(3)当 t 为多少秒时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似？
【答案】(1) = 20 4 2(0 ≤ ≤ 5)
(2) = 10cm
(3) = 3秒或 = 4011秒
【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，
解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题．
（1）由点 ，点 的运动速度和运动时间，又知 , 的长，可将 、 用含 的表达式求出，代入直
1
角三角形面积公式 △ = 2 × 求解；
（2）在Rt △ 中，当 = 3秒，可知 、 的长，运用勾股定理可将 的长求出；
（3）应分两种情况：当Rt △ ∽ Rt △ 时，根据 = ，可将时间 求出；当Rt △ ∽ Rt △
时，根据 = ，可求出时间 ．
【详解】（1）解：由题意得 = 4 , = 2 ，
则 = 20 4 ，
∴Rt △ = 1的面积为 2 × =
1
2 × (20 4 ) × 2 = 20 4
2(0 ≤ ≤ 5)；
（2）解：由题意得 = 4 , = 2 ，
则 = 20 4 ，
当 = 3秒时， = 20 4 = 8cm, = 2 = 6cm，
在Rt △ 中，由勾股定理得 = 2 + 2 = 82 + 62 = 10cm；
（3）解：由题意得 = 4 , = 2 ，
则 = 20 4 ，
∵ = 20cm, = 15cm．
∴①当Rt △ ∽ Rt △ 时， =
，
20 4 2
即 20 = 15，
解得 = 3秒；
Rt △ ∽ Rt △ ②当 时， = ，
20 4
即 15 =
2
20，
解得 = 4011秒．
∴ = 3秒或 = 4011秒时，以点 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似．
17．如图，在 △ 中， = ， ⊥ 于 D，作 ⊥ 于 E，F 是 中点，连 交 于点 G．
(1)求证： 2 = ；
(2)若 = 5， = 4，求 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2) = 10 5
13
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质等知识，解题的
关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题
型．
（1）只要证明 △ ∽△ ，可得 = ，推出 2 = 即可解决问题；
5 5 5
（2）利用直角三角形斜边中线定理求出 ，题根据 ∥ ，可得 = = 2 = 8，由此可得4 = 13，
题利用第一问的结论，即可解决问题；
【详解】（1）证明：∵ ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 2 = ，
∵ = ，
∴ 2 = ；
（2）解：如图，连接 ．
∵ = 5,∠ = 90°, = ，
∴ = 12 =
5
2，
∵ = , ⊥ ，
∴ = ，
∴ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴
5
=
= 52 =4 8，
∴ 5 = 13，
∵ 2 = ，
∴ = = 5 × 4 = 2 5，
∴ = 513 × 2 5 =
10 5．
13
18．如图，点 ， ， ， 均在 ⊙ 上，且 = ． 与 相交于点 ，∠ = 50°， = ．
(1)求∠ 的度数；
(2)若 = 8， = 6，求 的长．
【答案】(1)∠ = 50°
(2) = 698
【分析】（1）求出∠ 、∠ 的度数，由圆周角定义求出∠ ，根据三角形的内角和即可求出结果；
（2）由 = = 4， = 3，证明 △ ∽△ 9，求出 = 4，进而得到 ，证明
△ ∽△ = ，得 ，求出 ，进而即可得解．
【详解】（1）解： ∵ ∠ = 50°， = ，
∴ ∠ = ∠ = 65°，
∴ ∠ = ∠ = 65°，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ = 65°，
∴ ∠ = 180° ∠ ∠ = 50°；
（2）解：由（1）知，∠ = ∠ = 65°，∠ = ∠ = 65°，
故∠ = ∠
∴ = = 6，
∵ ∠ = ∠ = 50°，∠ = ∠ = 50°，∠ = ∠ = 65°，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = = 8， = 6
∴ 6 =
3
4，
9
∴ = 2
∴ = = 72，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
7∴ = 26 ，8
∴ = 218 ，
∴ = + = 6 + 21 = 698 8 ．
【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定等
知识点，灵活运用相似三角形的性质与判定，寻找线段的数量关系是解题的关键．
19．如图，在 △ 中，D 为 上一点，∠ = ∠ ．
(1)求证： △ ∽ △ ；
(2)若 = 6， = 3，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) = 9
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比
例线段是解题关键．
（1）根据两角对应相等证明 △ ∽ △ ；
（2）根据（1）的结论推 = ，把有关线段的值代入计算即可．
【详解】（1）证明： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽ △ ；
（2）解： ∵△ ∽ △ ，
∴ = ．
∵ = 6， = 3，
∴ 6 3 = 6，
∴ = 12，
∴ = = 12 3 = 9．
20．如图，已知矩形 中， 是 上的一点，过点 作 ⊥ 交边 于点 ，交 的延长线于点 ，且
= ．
(1)求证： = ；
(2)若 = 4cm，矩形 的周长为 32cm，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)13cm
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，
证明 △ ≌ △ 以及 △ ∽△ 是解题关键．
（1）证明 △ ≌ △ ，由全等三角形的性质即可证明结论；
（2）设 = = cm，结合矩形的周长解得 的值，易得 = 6cm， = = 10cm，再证明
△ ∽△ ，由相似三角形的性质即可获得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ， = ，
∵ ⊥ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴ △ ≌ △ (AAS)，
∴ = ；
（2）解：设 = = cm，
由（1）可知， = = cm，
∴ = + = ( + 4)cm，
∵矩形 的周长为 32cm，
∴2( + ) = 2( + 4 + ) = 32cm，
解得 = 6cm，
∴ = 6cm， = = 6 + 4 = 10(cm)，
∵ △ ≌ △ ，
∴ = = 4cm，
∴ = = 2cm，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90°，
∴ △ ∽△ ，
∴ = 6 ，即 =
4
2，
解得 = 3cm，
∴ = + = 10 + 3 = 13cm．27.2.2 相似三角形的性质及其运用
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【考点 2 利用相似求坐标】
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【考点 6 相似三角形的综合问题】
知识点 1 相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质 2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质 3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽ ，则
由比例性质可得：
图一
性质 4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二， ∽ ，则 分别作出 与 的高 和 ，
1
S BC AD
1
× k × B C ×k × A D
则 △ABC = 2 = 21 1 =k
2
S △A B C B C × A D B C × A D
2 2
图二
注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
知识点 3 射影定理
射影定理：如图，Rt△ABC，∠C＝90 ，CD⊥AB
则，1．CD2＝AD·BD C
2．BC2＝BD·AB
b
h a
AC2＝AD·AB
A
BC 2 BD q D p
B
很容易推出： 2 = ．
c
AC AD
AC·BC＝AB·CD．
BC2＋AC2＝AB2．
1 1 1
2 = ．BC AC 2 CD2
AC＋BC＜AB＋CD．
用图中小写字母 a、b、c、p、q、h（常称为勾股六线段）表达以上关系：
a2 p
① h2＝pq ；② a2＝pc ；③ b2＝qc ；④ 2 = ；⑤ ab＝ch ；b q
1 1 1
⑥ a2＋b2＝c2 ；⑦ 2 2 = 2 ；⑧ a＋b＜c＋h；⑨ c＝p＋q．a b h
利用上述关系式， “知二可求四” ，即在 a、b、c、p、q、h 这六个量中，已知两个量就可求
出其余四个量来。同学们自己可任意设出两个量，练习求另外四个量（在设的时候，要注意构成直角
三角形的基本条件：斜边大于直角边
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【典例 1】如图， △ ∽△ ， = 2， = 3， = 4，那么 的值等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
【变式 1-1】如图， △ ∽△ ′ ′ ′， 和 ′ ′分别是 △ 和 △ ′ ′ ′的高，若 = 2， ′ ′ = 3，
则 △ 与 △ ′ ′ ′的面积的比为（ ）
A．4:9 B．9:4 C．2:3 D．3:2
2
【变式 1-2】若 △ ∽△ 1 1 1，且 ＝3．若 △ 的面积为 8，则 △ 1 1 1的面积是（ ）1 1
8
A．3 B．6 C．9 D．18
【变式 1-3】如图， △ 和 △ 1 1 1是以点 为位似中心的位似图形，点 在线段 1上，若 : 1
= 1:2，则 △ 和 △ 1 1 1的周长之比为（ ）
A．1:2 B．2：3 C．1：3 D．3：1
【考点 2 利用相似求坐标】
【典例 2】如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(0,6)、(8,0)，连接 ．动点 P 从点 A 开
始在折线段 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 上以每秒 3
个单位长度的速度向点 A 移动．设点 P、Q 移动的时间为 t 秒，当 △ 与 △ 相似时，点 P 的坐标
是 ．
【变式 2-1】如图，在平面直角坐标系中，已知 △ ，点 A 的坐标为( , )，点 B 的坐标为( ,0)．若
a，b 的值是关于 x 的一元二次方程 2 5 + 6 = 0的两个根，且 > ．
(1)直接写出 = ___________， = ___________
(2)若点 P 在 y 轴上，且 △ ∽△ ，求点 P 的坐标．
【变式 2-2】如图，点 (0,3)， (1,0)，将线段 平移得到线段 ．若∠ = 90°， = 2 ，则点
的坐标为（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
【变式 2-3】如图，点 、 、 、 的坐标分别是(1,0)、(5,0)、(3,2)、(4,1)，如果以点 、 、 为顶点
的直角三角形与 △ 相似，则 点的坐标可能是下列的（ ）
①(2,1) ②(3,1) ③(4,2) ④(5,2)
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【典例 3】已知图 1 和图 2 中的每个小正方形的边长都是 1 个单位，请在方格纸上按要求画格点三角形：
(1)在图 1 中画 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为2:1；
(2)在图 2 中画 △ ，使得 △ ∽△ ，且面积比为2:1．
【变式 3-1】如图在4 × 1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形
称为格点三角形，△ABC 就是一个格点三角形，现从 △ 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格
点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与 △ 相似的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 3-2】网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)将图①中的格点三角形 平移，使点 平移至点 ′，画出平移后的三角形；
(2)在图②中画一个格点三角形 ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 2:1．
【变式 3-3】如图，在7 × 4方格纸中，点 ， ， 都在格点上，用无刻度直尺作图.
(1)在图 1 中作一个 △ ，使 △ 与 △ 相似（相似比不为 1，只需作一个即可）；
1
(2)在图 2 中的线段 上找一个点 ，使 = 2.
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【典例 4】已知：如图在 △ 中， = 16cm，高 = 12cm，它的内接矩形 （点 E 在边 上，
点 H、G 在边 上，点 F 在边 上）， 与 边之比为1:2，求 的长．
【变式 4-1】如图， △ 中，点 D 在 上，∠ = ∠ ，若 = 2， = 6，求 的长．
【变式 4-2】如图，在 △ 中， 平分∠ 交 于点 D， = ．
(1)求证： △ ∽△
(2)若 = 2， = 1，求 的长．
【变式 4-3】如图，四边形 为菱形，点 E 在 的延长线上，∠ = ∠ ．
(1)求证： △ ∽ △ ；
(2)当 = 18， = 8时，求 的长．
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【典例 5】在Rt △ 中，∠ = 90°， = 20cm， = 15cm，现有动点 从点 出发，沿线段 向点
运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 运动，连接 ．如果点 的速度是4cm/s，点 的速度是2cm/
s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为 s．
(1)求出 的取值范围；
(2)当 = 3时， ， 两点之间的距离是多少？
(3)当 为多少时，以点 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似？
【变式5-1】如图， = 4，射线 和线段 互相垂直， 为线段 上一点，点 在射线 上，且2 = ，
1
作 ⊥ ，并截取 = 2 ，连接 并延长交射线 于点 ，设 = ， = ，则( )
A． = 16 2 8 12 8 B． = 1 C． = 1 D． = 14
【变式 5-2】如图所示，在Rt △ 中，∠ = 90°， = 4cm， = 3cm．动点 从点 出发，以1cm/s
的速度沿 向终点 移动，同时动点 从点 出发，以2cm/s的速度沿 向终点 移动，连接 ，设移动
时间为 s(0 < < 2.5)．求当 为何值时，以 ， ， 为顶点的三角形与 △ 相似
【变式 5-3】如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 6cm， = 8cm，动点 从点 出发以2cm/s的速度向
点 移动，动点 从点 从出发以1cm/s的速度向点 移动，如果 、 同时出发，当他们移动多少秒时，
以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似？
【考点 6 相似三角形的综合问题】
【典例 6】如图，在 △ 中， = ， ⊥ 于 ，作 ⊥ 于 ， 是 中点，连 交 于点
．
（1）求证： 2 = ；
（2）若 = 5， = 4，求 的值．
【变式 6-1】如图，△ABC 中，点 D，E 分别是 BC，AB 上的点，CE，AD 交于点 F，BD＝AD，BE＝
EC．
(1)求证：△ABD∽△CBE；
(2)若 CD＝CF，试求∠ABC 的度数．
【变式 6-2】如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E，点 F 分别在线段 AB，AD 上，且∠EFD＝
∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
4
（2）若 = 5， = 2，且∠AFE＝∠C，探索 BE 和 DF 之间的数量关系．
【变式 6-3】如图，矩形 ABCD 中 AB＝2，AD＝4，动点 F 在线段 CD 上运动（不与端点重合），过点 D 作
AF 的垂线，交线段 BC 于点 E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当 CF＝1 时，求 EC 的长．
1．两个相似三角形对应边上的高之比为2:3，则它们的面积比为（ ）
A．2:3 B． 2: 3 C．3:2 D．4:9
2．如图，在 △ 中， = 2 ， 是∠ 的平分线，在 的延长线上取一点 ，使得 = ，连接
．则 = （ ）
1 1 1 2
A．4 B．3 C．2 D．3
3．如图，在 △ 中， ∥ ，且 = 1， = 1，则 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知四边形 是平行四边形，点 是 的中点，连接 ， 相交于点 ，过 作 的平行线
交 于点 ，若 = 2，则 的值是（ ）
A．6 B．5 C．8 D．4
5．如图，在 △ 中， 、 分别是边 ， 的中点．若 △ 1的面积为2，则四边形 的面积为
（ ）
2 3
A．3 B．1 C．2 D．2
6．如图，点 是 △ 边 上一点，连接 ，使∠ = ∠ ，则下列结论正确的是（ ）
A． : = : B． 2 =
C． : = : D． 2 =
7．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°，点 是 △ 的重心，连接 ，若 = 2，则线段 长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．9
8．如图，矩形 的面积为24，它的对角线 与双曲线 = 相交于点 ，且 : = 2:1，则 的值为 ．
9．如图，在菱形 中，点 E 在边 上，射线 交 1的延长线于点 F，若 = 2， = 3，则 的长
为（ ）
2 3
A．1 B．3 C．2 D．2
10．如图，正方形 的边长为2，以点 为坐标原点建立平面直角坐标系， 与 轴交于点 ．若点 恰好
是 的中点，则点 的坐标为（ ）
A． 6 5 , 2 5 B． 4 5 , 2 5 C． 4 55 5 5 5 5 ,
5 D． 6 5 5
5 5 , 5
11．如图， 1中， 为 边上的点，且 = 2 ，已知 △ 的面积为 4，则 △ 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
12．如图， 、 分别在 △ 边 、 上，若 ∥ ， = 2 ， = 4，则 的长为 ．
13．如图，在平行四边形 中， 平分∠ ， 交 于点 ，若 : = 3:2，则 : = ．
14．如图，已知等腰三角形 中， = = 20cm, = 30cm，点 P 从点 B 出发沿 以4cm/s的速度向
点 A 运动；同时点 Q 从点 C 出发沿 以3cm/ 的速度向点 B 运动，在运动过程中，当 △ 与 △
相似时， = cm．
15．如图，E 为 上一点，若∠ = ∠ ， = ，求证：
(1) △ ∽ △ ；
(2) = ．
16．在Rt △ 中，∠ = 90°, = 20cm, = 15cm．现有动点 P 从点 A 出发，沿 向点 C 方向运动，动
点 Q 从点 C 出发，沿线段 也向点 B 方向运动．如果点 P 的速度是4cm/秒，点 Q 的速度是2cm/秒，
它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求：
(1)用含 t 的代数式表示Rt △ 的面积 S；
(2)当 = 3秒时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？
(3)当 t 为多少秒时，以点 C，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似？
17．如图，在 △ 中， = ， ⊥ 于 D，作 ⊥ 于 E，F 是 中点，连 交 于点 G．
(1)求证： 2 = ；
(2)若 = 5， = 4，求 的值．
18．如图，点 ， ， ， 均在 ⊙ 上，且 = ． 与 相交于点 ，∠ = 50°， = ．
(1)求∠ 的度数；
(2)若 = 8， = 6，求 的长．
19．如图，在 △ 中，D 为 上一点，∠ = ∠ ．
(1)求证： △ ∽ △ ；
(2)若 = 6， = 3，求 的长．
20．如图，已知矩形 中， 是 上的一点，过点 作 ⊥ 交边 于点 ，交 的延长线于点 ，且
= ．
(1)求证： = ；
(2)若 = 4cm，矩形 的周长为 32cm，求 的长．
