专题 27.2.2 相似三角形的性质 （6 个考点）
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【考点 2 利用相似求坐标】
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【考点 6 相似三角形的综合问题】
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
1．已知一个三角形的三边长为 6，7，9，与它相似的另一个三角形 的最小边长为 3，那么三角形 的
周长为 ．
2．如图，已知 △ 中，∠ = 90°，在 △ 中，∠ = 90°，且 = 5， = 4，则 = 时，
图中的两个直角三角形相似．
1
3．若以点 , , 为顶点的三角形与 △ 相似，且∠ = ∠ , = 2，则 = ．
4．如图， △ 与 △ 相似，则 = ， = ．
5．如图，在矩形 中，点 E，F 分别在边 ， 上， △ ∽△ ， = 6， = 9， = 2，则
的长为 ．
6．如图， △ 与 △ 是位似图形，点 O 是位似中心， : = 1，若 △ = 2，则 △ = ．
7．两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm，大三角形的周长是 cm．
8．在平行四边形 中， = 10， = 6，E 是 的中点，在 上取一点 F，使 △ ∽△ ，则
的长为 ．
9．如图，△ 与 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形， = ，若 △ = 2，则 △ = ．
10．如图， △ ∽△ ，若 = 4， = 2， = 5，则 的长是 ．
【考点 2 利用相似求坐标】
11．如图，在平面直角坐标系中，点 B、C 在 y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与 x 轴的交点 D 的坐
标是（ 3，0），则点 A 的坐标为（ ）
A．（1，2 3） B．（2，2 3） C．（2 3，1） D．（2 3，2）
12．如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（﹣2，1），点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是
( )
A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ， ）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4） D．（ ，3）、（﹣ ，4）
13．已知:如图,点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以 C，D，E（E
在格点上）为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点 E 的坐标共有( )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
14．在平面直角坐标系中，点 的坐标为(4,0)，点 的坐标为(0,2)，点 在 轴上，∠ = 90°时，点 C 的
坐标是 ．
15．已知点 A(2，0)，点 B(b，0)(b＞2)，点 P 是第一象限内的动点，且点 P 的纵坐标为3，若△POA 和△PAB
相似，则符合条件的点 P 坐标为 ．
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
16．网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)在图 1 中画一个格点 △ 1 1 1，使 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为 2：1；
(2)在图 2 中画一个格点 △ 2 2 2，使 △ 2 2 2 ∽△ ，且相似比为 2:1．
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1， △ 是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图 1 中画出一个格点 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1与 △ 相似，周长之比为 2：1；
(2)在图 2 中画出一个格点 △ 2 2 2，使得 △ 2 2 2与 △ 相似，面积之比为 2：1．
18．如图，在7 × 7方格中， △ 的顶点都在格点上，请按要求画图形．
(1)在图 1 中画一个格点 △ 1 1 1，使 △ 1 1 1∽ △ ，且相似比为1:2．
(2)在图 2 中画一条格点线段 ，将 分为1:2．
19．如图，在4 × 4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ 的三个顶点均在格点上， 仅用
无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 中画 △ ，使得 △ 与 △ 的相似比为1: 2．
(2)在图 2 中画出 △ 的重心 O．
20．已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是 1 个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为2:1；
(2)在图②中画 △ ，使得 △ ∽△ ，且周长比为 2:1．
21．网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)将图①中的格点 △ 平移，使点 A 平移至点 ′，画出平移后的三角形；
(2)在图②中画一个格点 △ ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 2:1．
(3)在图③中画一个格点 △ ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 5:1．
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
22．如图，在 △ 中，点 ， 分别在边 ， 上， ∥ ，已知 = 6， = 8， = 92，则 的长
是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
23．如图， 1 ∥ 2， : = 2:5， : = 4:1，则 : 的值为（ ）
A．5:2 B．1:4 C．2:1 D．3:2
24．如图，在矩形 中， = 2， = 4 ，点 、 、 分别在线段 、 、 上，且 ⊥ ，则
= ．
25．如图，在 △ 中，以 为直径的 ⊙ 与 相切于点 A，与 相交于点 D，F 是 上一点，且
= ，连接 ．若 = 8， = 4，求 的长．
26．如图，在等腰 △ 中， = ，以 为直径的 ⊙ 与 交于点 D， ⊥ ，垂足为 E， 的延
长线与 的延长线交于点 F．
(1)求证： 是 ⊙ 的切线；
(2)若 ⊙ 5的半径为2， = 2，求 的长．
27．已知矩形 ABCD，点 E、F 分别在 AD、DC 边上运动，连接 BF、CE，记 BF、CE 交于点 P.
3
(1)如图 1，若 = 5， = 4， ⊥ 于 P，
①求证： △ ∽△ ；
②求线段的长度；
(2)如图 2，若∠ = ∠ = 2 ， 3，求 .
28．如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 P 在 的延长线上， 切 ⊙ 于点 D，过点 B 作 ⊥ ，交 的
延长线于点 C，连接 并延长，交 于点 E．
(1)求证： = ；
(2)若 = 2 3，点 A 是 的中点，求线段 的长．
30．如图，在 △ 和 △ 中， = ， = ( < )，且∠ = ∠ ．连接 ， ．
(1)求证： = ．
(2)在图 2 中，点 B，D，E 在同一直线上，且点 D 在 上，若 = ， = ，求 的值（用含 a，b
的代数式表示）．
31．如图，在正方形 中，点 M 是边 上的一点(不与 B、C 重合)，延长 使得 = ，连接
、 ， 与边 交于点 E．
(1)①求证： △ ≌ △ ；②求∠ 的度数；
(2)若 平分∠ ，求证： 2 = ；
(3) 和 相交于 O 点，当 = 2 时，求 的值．
32．如图，在 △ 中， = ，点 是 的中点，连接 ，分别过点 、点 作 、 的平行线交于
点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)设∠ = ，当 发生变化时，探究 的值是否为定值，并说明理由．
33．如图所示，在平行四边形 中，点 是边 上一点，点 是边 的中点， = +
(1)求证： ⊥ ；
(2)如果 平分∠ ，求证： = ．
34．已知：如图 1，在 △ 中， = ，∠ = 60°，点 D 在线段 上，连接 ，作线段 的垂直
平分线分别交 、 于点 E、F．
(1)如图 1，若 = 1， = 3，求 · 的值；
(2)把∠ = 60°改为∠ = 90°，其它条件不变，如图 2，求证： =
【考点 5 相似三角形--动点问题】
35．如图，在钝角 △ 中， = 6cm， = 12cm，点 D 从 A 点出发沿 以1cm/s的速度向 B 点移动，
点 E 从 C 点出发沿 以2cm/s的速度向 A 点移动，如果两点同时移动，经过 秒时， △ 与 △
相似．
36．如图，在 △ 中， = 4， = 8，点 P 从 B 点出发沿 方向以每秒 1 个单位移动，点 Q 从 A 出
发沿 方向以每秒 2 个单位移动，当它们到达 A、C 后停止运动．试问经过几秒后， △ 与 △
相似？请说明理由．
37．如图，在 △ 中， = 8cm， = 16cm，动点 P 从点 A 开始沿 边运动，速度为2cm/s，动点 Q
从点 B 开始沿 边运动，速度为4cm/s；如果 P、Q 两动点同时运动，那么何时由 P，B，Q 三点连成
的三角形与 △ 相似？
38．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°, = 6cm, = 8cm，设 P，Q 分别为 , 上的动点，在点 P 自点 A
沿 方向以每秒1cm的速度向点 C 做匀速移动的同时，点 Q 自点 B 沿 方向以每秒2cm的速度向点 A
做匀速移动，当 Q 点到达 A 点时，P 点就停止移动．设 P，Q 移动的时间为 t 秒．
(1)当 t 为何值时， = ？
(2) △ 能否与Rt △ 相似？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．
39．如图，在等腰三角形 中， = = 10厘米， = 16厘米，动点 从点 出发，在 边上以每秒 3
厘米的速度向点 运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 2 厘米的速度向点 运动，当一个点到
达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为 秒，连结 ．
(1)请用含 的代数式表示： = ______， = ______．
(2)若三角形 与三角形 相似，求此时 的值．
(3)直接写出三角形 是直角三角形时 的值．
40．如图 1，在Rt △ 中，∠ = 90°， = 10cm， = 5cm，点 P 从点 C 出发沿线段 以每秒2cm
的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿线段 以每秒1cm的速度运动．设运动时间为 t 秒(0 < < 5)．
(1)填空： = ______cm；
(2)t 为何值时， △ 与 △ 相似；
41．如图，在矩形 中， = 15cm， = 10cm，动点 P 从点 A 出发，沿 边以2cm/s的速度向点 B
匀速移动，动点 Q 从点 D 出发，沿 边以1cm/s的速度向点 A 匀速移动，一个动点到达端点时，另一
个动点也停止运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 s．
(1)当 t 为何值时， △ 的面积为9cm2？
(2)当 t 为何值时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似？
42．如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 6cm， = 8cm，点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度运
动，点 从点 沿边 向点 以2cm/s的速度运动．若点 、点 同时出发，当某点到终点时，另一点立
即停止运动．运动时间为 s．
(1) = _________cm， = _________cm；（用含 的代数式表示）
(2)请计算当点 运动多少秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似．
【考点 6 相似三角形的综合问题】
43．如图，在边长为3cm的菱形 中，∠ = 120°，将菱形沿 折叠，使点 的对应点 落在对角线
上．若 = 1cm，则 的长为 cm， 的长为 cm．
44．如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥CD 交 AF 于点 G，连
接 DG．
（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；
1
（2）求证 EG2＝2GF AF；
（3）若 AG＝3，EG＝ 5，求 BE 的长．
45．如图，已知正方形 ，点 E 在 的延长线上，连结 交对角线 于点 G，交 于点 F．
2
（1）若 = 3，求 的值；
（2）求证： 2 = ；
（3）若 = , = ，求 n 关于 m 的关系式．
46．【问题情境】如图 1，已知△ABC 和△DCE 为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，
则线段 BD、AE 的数量关系为 ，线段 BD、AE 的位置关系为 ．
【类比探究】如图 2，已知△ABC 和△DCE 中满足∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，AC=2BC，试说明
AE 与 BD 具有怎样的数量关系．
【灵活运用】如图 3，已知矩形 ABCD 中有一点 P，连接 AP，BP，DP，∠ADB=30°，AP= 3，BP=2，
∠APB=120°，求 PD 的长．专题 27.2.2 相似三角形的性质 （6 个考点）
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
【考点 2 利用相似求坐标】
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
【考点 5 相似三角形--动点问题】
【考点 6 相似三角形的综合问题】
【考点 1 利用相似三角形的性质求解】
1．已知一个三角形的三边长为 6，7，9，与它相似的另一个三角形 的最小边长为 3，那么三角形 的
周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据题意可得相似三角形的相似比，再根据周长比等于相似比
即可解题．
【详解】解： ∵ 一个三角形的三边长为 6，7，9，与它相似的另一个三角形 的最小边长为 3，
∵ 6又 3 = 2，
已知三角形周长
∴ △ = 2，的周长
∴△ 6+7+9的的周长 = 2 = 11，
故答案为：11．
2．如图，已知 △ 中，∠ = 90°，在 △ 中，∠ = 90°，且 = 5， = 4，则 = 时，
图中的两个直角三角形相似．
12 16
【答案】 5 或 5
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
先利用勾股定理计算出 = 3，再根据相似三角形的判定方法进行讨论，①当Rt △ ∽ Rt △ 时，
②当Rt △ ∽ Rt △ 时，然后利用比例性质求出对应的 的长即可．
【详解】解：， ∵ ∠ = 90°， = 5， = 4，
∴ = 2 2 = 3，
∵ ∠ = ∠ = 90°
∴ ①当Rt △ DBC ∽ Rt △ BAC时，
=
4
，即 3 = 5，
∴ = 125 ；
②当Rt △ ∽ Rt △ 时，
= ，即 4 =
4
5，
∴ = 165 ，
12 16
故答案为： 5 或 5 ．
3．若以点 , , 为顶点的三角形与 △ 相似，且∠ = ∠ , 1 = 2，则 = ．
1
【答案】2 或2
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分两种情况进行讨论：当 △ ∽△ 时，当
△ ∽△ 时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当 △ ∽△ 时，如图所示：
∴ = 1 = 2；
当 △ ∽△ 时，如图所示：
= = 2；
1
综上分析可知： 的值为 2 或2．
1
故答案为：2 或2．
4．如图， △ 与 △ 相似，则 = ， = ．
3
【答案】 8 2
【分析】此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应
用．由 △ 与 △ 相似，∠ 、∠ 为钝角，分 △ ∽ △ 与 △ ∽ △ 两种情况讨论，继
而求得答案．
【详解】解：∵ △ 与 △ 相似，∠ 、∠ 为钝角，
∴∠ = ∠ ，
∴当 △ ∽ △ 时，
∴ = = 10
3
，即 5 = 4 = ，
∴ = 8, = 32；
当 △ ∽ △ 时，
∴ = =
，
∵ 10 ≠ 35 4，
∴ 不存在此种情况，
∴ = 8, = 32．
3
故答案为：8,2．
5．如图，在矩形 中，点 E，F 分别在边 ， 上， △ ∽△ ， = 6， = 9， = 2，则
的长为 ．
【答案】3
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．根据相似三角形性质得到 =
，把 = 6， = 9， = 2代入，即得 的值．
【详解】∵ △ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 6， = 9， = 2，
∴ = 3．
故答案为：3．
6．如图， △ 与 △ 是位似图形，点 O 是位似中心， : = 1，若 △ = 2，则 △ = ．
【答案】8
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键．根据位似图形的概念得到 △ ∽△ ， ∥ ，证明 △ ∽△ ，求出 ，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解： ∵ : = 1，
∴ : = 1:2，
∵△ 与 △ 是位似图形，
∴△ ∽△ ， ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ 1 = = 2，
2 2
∴ 1 △ 1 = 2 ，即△ = ，△ 4
解得： △ = 8，
故答案为：8．
7．两个相似三角形的相似比是5:7，小三角形的周长为20cm，大三角形的周长是 cm．
【答案】28
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三
角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求
解．
【详解】解：根据题意得，相似比为5:7，
∴ 5大三角形的周长是20 ÷ 7 = 28(cm)，
故答案为：28 ．
8．在平行四边形 中， = 10， = 6，E 是 的中点，在 上取一点 F，使 △ ∽△ ，则
的长为 ．
9
【答案】5
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，熟练应用相似三角形的性质是解题
关键．利用平行四边形的性质得出 = = 10， = = 6，再利用相似三角形的性质,即可得出答
案．
【详解】 ∵ = 6，E 是 的中点，
∴ = = 3，
在平行四边形 中， = 10， ∴ = = 10， = = 6，
∵△ ∽△ ，
∴ =
，
∴ 63 = 10，
9
解得 = 5．
9
故答案为：5．
9．如图，△ 与 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形， = ，若 △ = 2，则 △ = ．
【答案】8
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到 △ ∽ △ ， ∥ ，得到 △ ∽
△ ，根据相似三角形的性质求出 ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵ = ，
∴ 1 = 2，
∵ △ 与 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形，
∴ △ ∽ △ ， ∥ ，
∴ △ ∽ △ ，
∴ = =
1
2，
2
∴ △ = 1 =
1
△ 2 4
，
∵ △ = 2，
∴ △ = 8，
故答案为：8．
10．如图， △ ∽△ ，若 = 4， = 2， = 5，则 的长是 ．
【答案】10
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据 △ ∽△ 得到 = = 即可得到答案；
【详解】解：∵ △ ∽△ ，
∴ = = ，
∵ = 4， = 2， = 5，
∴2 = 45 ，
解得： = 10，
故答案为：10．
【考点 2 利用相似求坐标】
11．如图，在平面直角坐标系中，点 B、C 在 y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与 x 轴的交点 D 的坐
标是（ 3，0），则点 A 的坐标为（ ）
A．（1，2 3） B．（2，2 3） C．（2 3，1） D．（2 3，2）
【答案】C
【详解】过点 A 作 AE⊥OB 于 E，如图：
∵点 B、C 在 y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与 x 轴的交点 D 的坐标是（ 3，0），
∴AE=2 3，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴ = ，
3 = 可得： 2 ，2 3
解得：OC=1，
OE=EC﹣OC=2﹣1=1，
所以点 A 的坐标为（2 3，1），
故选 C．
12．如图，在矩形 AOBC 中，点 A 的坐标是（﹣2，1），点 C 的纵坐标是 4，则 B、C 两点的坐标分别是
( )
A．（ ，3）、（﹣ ，4） B．（ ， ）、（﹣ ，4）
C．（ ， ）、（﹣ ，4） D．（ ，3）、（﹣ ，4）
【答案】D
【详解】试题分析：分别过点 A、点 B 和点 C 作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，然后根据三角形全
等和相似分别得出点 B 和点 C 的坐标.
考点：(1)、三角形全等的应用；(2)、三角形相似的应用.
13．已知:如图,点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以 C，D，E（E
在格点上）为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点 E 的坐标共有( )
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
【答案】A
【详解】根据相似三角形的边长的关系可知△CDE 与△ABC 相似的图形中点 E 的位置如图所示：
因此这样的点有 6 个.
故选 A
考点：相似三角形
14．在平面直角坐标系中，点 的坐标为(4,0)，点 的坐标为(0,2)，点 在 轴上，∠ = 90°时，点 C 的
坐标是 ．
【答案】( 1,0)
【分析】先通过条件证明 △ ∽△ ，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出 CO，从而得到
点 C 的坐标．
【详解】解：如图，
∵∠ = 90°，∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ = 90°，
∴ △ ∽△ ，
∴ = ,
由点 的坐标为(4,0)，点 的坐标为(0,2)，可知 AO=4，BO=2，
∴24 =
2 ，即 CO=1，
∴点 C 的坐标是( 1,0)，
故答案为：( 1,0)．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法
是解题的关键．
15．已知点 A(2，0)，点 B(b，0)(b＞2)，点 P 是第一象限内的动点，且点 P 的纵坐标为3，若△POA 和△PAB
相似，则符合条件的点 P 坐标为 ．
4
【答案】 2， 3 ，(2,3 ± 5)
【分析】如图，分类讨论：（1） △ ∽△ ；（2） △ ∽△ ，根据相似三角形的相似比
列式计算出 b 的值，写出点 P 的坐标即可．
【详解】由题意可得：OA=2，OB=b，AP=3，
如图：（1）当 △ ∽△ 时，
= ，
∴ OA=AB=2，
∴ b=4，
∴ 4P(2，3)；
（2）当 △ ∽△ 时，
= ，
2
∴ 3 = ，
2 3
解得：b=9±3 5，
∴ P(2，3± 5)；
4
综上：P 的坐标为：(2，3)，(2，3± 5)．
4
故答案为：(2，3)，(2，3± 5)．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，分类讨论，根据相似三角形的性质求出对应边的长度进而
写出点的坐标是解题关键．
【考点 3 在网格中画与已知三角形相似的三角形】
16．网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)在图 1 中画一个格点 △ 1 1 1，使 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为 2：1；
(2)在图 2 中画一个格点 △ 2 2 2，使 △ 2 2 2 ∽△ ，且相似比为 2:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把 △ 的边长扩大 2 倍即可
（2）根据相似三角形的性质，把 △ 的边长扩大 2倍即可
2
【详解】（1）如图所示， 1 1 = 1 1 1 1 = = 1
（2）如图所示， = 1, = 2， = 5,
∴ 2 2 = 2， 2 2 = 2， 2 2 = 10
∴ 2 2 2 2 2 2 2 = = = 1
【点睛】本题考查作图与相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题
17．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是 1， △ 是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
(1)在图 1 中画出一个格点 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1与 △ 相似，周长之比为 2：1；
(2)在图 2 中画出一个格点 △ 2 2 2，使得 △ 2 2 2与 △ 相似，面积之比为 2：1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质，把 △ 的边长扩大 2 倍即可．
（2）根据相似三角形的性质，把 △ 的边长扩大 2倍即可．
【详解】（1）解：如图， △ 1 1 1即为所求作．
（2）如图， △ 2 2 2即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在7 × 7方格中， △ 的顶点都在格点上，请按要求画图形．
(1)在图 1 中画一个格点 △ 1 1 1，使 △ 1 1 1∽ △ ，且相似比为1:2．
(2)在图 2 中画一条格点线段 ，将 分为1:2．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是复杂作图，同时考查了相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性
质作图是解本题的关键；
（1）由勾股定理可得 = 2， = 2 5， = 4 2， 1 1 = 1， 1 1 = 5， 1 1 = 2 2，再利用相
似三角形的判定方法可得 △ 1 1 1∽ △ ；
（2）如图，取格点 ，连接 ，满足 ∥ ， = 4，连接 与 交于点 ，则由相似三角形的性质
可得 : = 1:2，可得线段 即为所求．
【详解】（1）解：如图， △ 1 1 1即为所求；
．
（2）如图，线段 即为所求；
．
19．如图，在4 × 4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ 的三个顶点均在格点上， 仅用
无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．
(1)在图 1 中画 △ ，使得 △ 与 △ 的相似比为1: 2．
(2)在图 2 中画出 △ 的重心 O．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键．
（1）根据相似三角形的性质作出图形即可；
（2）根据三角形重心的定义即可得到结论．
【详解】（1）如图所示， △ 即为所求；
（2）如图所示，点 即为所求．
20．已知图①和图②中的每个小正方形的边长都是 1 个单位，请在方格纸上按要求画出格点三角形．
(1)在图①中画 △ 1 1 1，使得 △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为2:1；
(2)在图②中画 △ ，使得 △ ∽△ ，且周长比为 2:1．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】本题考查相似三角形性质及判定，勾股定理求线段长．
（1）根据相似比得出各边均扩大 2 倍，通过计算求出扩大后三角形三边长再连接各点即可；
（2）根据相似比等于周长比得出将各边扩大 2倍，通过计算得到扩大后各边长度，连接各点即可得到
图形；
【详解】（1）解：∵ △ 1 1 1 ∽△ ，且相似比为2:1，
∴应将 △ 中各边均扩大 2 倍画出图形，
∵ = 1, = 5, = 2 2，
∴ 1 1 = 2, 1 1 = 2 5, 1 1 = 4 2，
画图如下：
；
（2）解：∵ △ ∽△ ，且周长比为 2:1，
∴应将 △ 中各边均扩大 2倍画出图形，
∵ = 1, = 5, = 2 2，
∴ = 2, = 10, = 4，
在图中找出对应线段长，画图如下：
．
21．网格中每个小正方形的边长都是 1．
(1)将图①中的格点 △ 平移，使点 A 平移至点 ′，画出平移后的三角形；
(2)在图②中画一个格点 △ ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 2:1．
(3)在图③中画一个格点 △ ，使 △ ∽ △ ，且相似比为 5:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了格点画相似三角形，
（1）连接 ′，作 ′平行且相等于 ′， ′平行且相等于 ′，找到对应点，顺次连接即可；
（2）先求出三角形的三边，再让三边长分别乘以 2，得到新的三角形的三边长，画出三角形即可；
（3）先求出三角形的三边，再让三边长分别乘以 5，得到新的三角形的三边长，画出三角形即可．
利用勾股定理得到需求的三角形的边长在格点中如何画出，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，即为所求：
（3）解：如图所示，即为所求：
【考点 4 相似三角形的判定与性质综合】
22．如图，在 △ 中，点 ， 分别在边 ， 上， ∥ ，已知 = 6， = 8 = 9， 2，则
的长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段和差，由 ∥ 得 △ ∽△ ，再根据相似
三角形的性质，线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵ ∥ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ =
，
∴ 6
9
2
6+8 = ，
∴ = 212 ，
∴ = = 212
9
2 = 6，
故选：A．
23．如图， 1 ∥ 2， : = 2:5， : = 4:1，则 : 的值为（ ）
A．5:2 B．1:4 C．2:1 D．3:2
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据 1 ∥ 2可证 △ ∽△ ，△ ∽△ ，利用
相似三角形对应边成比例即可求解．
【详解】解： ∵ 1 ∥ 2，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ 2 = = 5，
∵ : = 4:1，
∴ 1 = 5 ，
∴ 2 1 = 5 ÷ 5 = 2，
∵ 1 ∥ 2，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = = 2，
∴ : = 2:1，
故选 C．
24．如图，在矩形 中， = 2， = 4，点 、 、 分别在线段 、 、 上，且 ⊥ ，则
= ．
【答案】2
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形
是解决本题的关键．过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，求出 = = 4，证 △ ∽△ ，即
可求解．
【详解】解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，
∵四边形 是矩形，
∴∠ = ∠ = 90°，
∴四边形 是矩形，
∴ = = 4，∠ = ∠ = 90°，
又 ∵ ⊥ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = 4 = 2 = 2，
故答案为：2．
25．如图，在 △ 中，以 为直径的 ⊙ 与 相切于点 A，与 相交于点 D，F 是 上一点，且
= ，连接 ．若 = 8， = 4，求 的长．
【答案】 = 185
【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判
定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
先根据切线的性质得 △ 为直角三角形，再根据勾股定理求出 ，进而求出 ，然后连接 ，结
合“直径所对的圆周角是直角”证明 △ ∽△ ，可得 =
，即可求出 ．
【详解】解：∵ 为 ⊙ 的直径， ⊙ 与 相切于点 ，
∴∠ = 90°．
∴ △ 为直角三角形．
设 = = ，则 = + = + 4．
∵ = 8，
∴在Rt △ 中，由勾股定理，得82 + 2 = ( + 4)2．
解得 = 6．
∴ = = 6， = 6 + 4 = 10．
连接 ，
∵ 是 ⊙ 的直径，
∴∠ = 90°．
∴∠ = ∠ = 90°．
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
∴ 6 = ，即10 = 6 ．
∴ = 185 ．
26．如图，在等腰 △ 中， = ，以 为直径的 ⊙ 与 交于点 D， ⊥ ，垂足为 E， 的延
长线与 的延长线交于点 F．
(1)求证： 是 ⊙ 的切线；
5
(2)若 ⊙ 的半径为2， = 2，求 的长．
【答案】(1)见解析
4
(2)5
【分析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性
质等知识点，熟练应用相关知识点成为解题的关键．
（1）连接 ，根据等腰三角形的性质和圆的性质可得∠ = ∠ 、∠ = ∠ ，即∠ = ∠ ，
可证 ∥ ，再结合 ⊥ 即可证明结论；
（2）连接 ，通过证明 △ ∽ △ ，然后根据相似三角形的性质及等量代换进行计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ ∥ ，
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，即 ⊥ ，
∵ 是 ⊙ 的半径，
∴ 是 ⊙ 的切线；
（2）解：连接 ，
∵ 是 ⊙ 直径，
∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ = = 2，
∵ = = 5，
∴2 = 5 2 ，
解得： = 45．
27．已知矩形 ABCD，点 E、F 分别在 AD、DC 边上运动，连接 BF、CE，记 BF、CE 交于点 P.
3
(1)如图 1，若 = 5， = 4， ⊥ 于 P，
①求证： △ ∽△ ；
②求线段的长度；
(2)如图 2，若∠ = ∠ ， =
2
3，求 .
12
【答案】(1)①见详解② = 5
4
(2) = 5
【分析】（1）①根据矩形的性质可得： = ， = ，∠ = ∠ = ∠ = 90° ， =
3
= 5，
结合四边形内角和可证得 △ ∽△ ，②因为 △ ∽△ ，所以得出 =
3
= 5，即可求得
答案；
△ ∽△ = 3（2）根据已知条件可证得 ，得出 = ，进而得出 = 2 ，利用
= + ，即可得出答案．
本题是矩形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三
角形是解题关键．
【详解】（1）解：① ∵ 四边形 是矩形，
∴ = ， = ，∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∵ =
3
5，
∴ = = 3 5，
∵ ∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 360°，∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 90° = 90° = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∵ ∴△ ∽△ = 2② ， 3
∴ = 3 = 5，
∵ = 4，
∴ = 3 = 3 × 4 = 125 5 5 ；
（2） ∵ 四边形 是矩形，
∴ ∥ ， = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = =
，
∵ 2 = = 3，
∴ 2 = = 3，
∴ = 32 ，
∵ = + ，
3
∴ 2 = 2
+ 3
，
∴ 4 + = 9，
∴ = 4 5；
28．如图，已知 是 ⊙ 的直径，点 P 在 的延长线上， 切 ⊙ 于点 D，过点 B 作 ⊥ ，交 的
延长线于点 C，连接 并延长，交 于点 E．
(1)求证： = ；
(2)若 = 2 3，点 A 是 的中点，求线段 的长．
【答案】(1)见详解
(2) = 3
【分析】（1）连接 ，如图，根据切线的性质得到 ⊥ ，则可判断 ∥ ，所以∠ = ∠ ，
结合∠ = ∠ ，所以∠ = ∠ ，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；
（2）先由点 A 是 的中点，得出 = ，由（1）得 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ ，运用勾股定
理列式计算 = 4，再证明 △ ∽△ ，把数值代入 = 进行计算，即可作答．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．勾股定理，相似三角形的判定与性质，正
确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵ 切 ⊙ 于点 ，
∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ；
（2）解：∵点 A 是 的中点
∴ = 2 =
∵ ∥ ， ⊥
∴ ⊥
2
在Rt △ 中， 2 = 2 2 = 2 2 = (2 3) = 12
∴ = 4， = 2， = 6
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ = 90°
∴ △ ∽△
∴ =
6
即 2 = 4
∴ = 3
30．如图，在 △ 和 △ 中， = ， = ( < )，且∠ = ∠ ．连接 ， ．
(1)求证： = ．
(2)在图 2 中，点 B，D，E 在同一直线上，且点 D 在 上，若 = ， = ，求 的值（用含 a，b
的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)
2 2
2
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定等等，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理与相似三角形判定定理．
（1）只需要证明 △ ≌ △ ．即可证明 = ．
（2）先根据对边对等角和三角形内角和定理得到∠ = ∠ = ∠ ．则 = = ．再证明
2 2 2
△ ∽△ = ．得到 ．则 = = ，据此可得答案．
【详解】（1）证明： ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ = ， = ，
∴△ ≌ △ （SAS）．
∴ = ．
（2）解：在图 2 中，点 ， ， 在同一直线上，
∵ ∠ = ∠ ， = ， = ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ．
∴ = = ．
∵ ∠ = ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
∴
= ，即 = ．
2
∴ = ．
2 2 2∴ = = = ．
∴ =
2 2 2 2 2
÷
=
． 2
31．如图，在正方形 中，点 M 是边 上的一点(不与 B、C 重合)，延长 使得 = ，连接
、 ， 与边 交于点 E．
(1)①求证： △ ≌ △ ；②求∠ 的度数；
(2)若 平分∠ ，求证： 2 = ；
(3) 和 相交于 O 点，当 = 2 时，求 的值．
【答案】(1)①见解析；②∠ = 45°
(2)见解析
= 1(3) 2
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，
（1）①四边形 是正方形，∠ = ∠ = ∠ = 90°， = ，又由已知 = 即可证
明 △ ≌ △ ；②由 △ ≌ △ (SAS)得 = ，∠ = ∠ ，证明∠ = 90°，
即可得到答案；
（2）证明 △ ∽△ ，则 = ，由 = 即可得到结论；
（3） = 2 ,设 = , = 2 ，由 △ ≌ △ 得到 = = ，则
= = = = 3 ，得到 = 3 + = 4 ，证明 △ ∽△ ，则 = = ，即 =
= 12 4，得到 = 0.5 ，则 = 3 0.5 = 2.5 △ ∽△
= = 2 = 4，证明 ，得到 2.5 5，设
= 4 ，则 = 5 ，得到 = 3 + 5 = 8 ，即可得到答案．
【详解】（1）证明：①四边形 是正方形，∠ = ∠ = ∠ = 90°， =
又∵ =
∴ △ ≌ △ (SAS)
②由 △ ≌ △ (SAS)得 = ，∠ = ∠
∴∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
即∠ = 90°，
∴ △ 是等腰直角三角形，
∴∠ = 45°；
（2） ∵ ∠ = ∠ = 45°
又∵ 平分∠ ， ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∴△ ∽△
∴ =
∴ =
∵ =
∴ 2 = ；
1
（3） = 2
理由如下：
∵ = 2 ，设 = ， = 2
∵ △ ≌ △
∴ = = ，
∴ = = = = 3 ，
∴ = 3 + = 4 ，
∵ ∥
∴ △ ∽△
∴ = = 1 ，即 = 2 = 4
∴ = 0.5
∴ = 3 0.5 = 2.5
∵ ∥
∴ △ ∽△
∴ = = 2 = 4 2.5 5
设 = 4 ，则 = 5
∵ 又 =
1
4
∴ = 3
∴ = 3 + 5 = 8
∴ 1 = 2．
32．如图，在 △ 中， = ，点 是 的中点，连接 ，分别过点 、点 作 、 的平行线交于
点 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)设∠ = ，当 发生变化时，探究 的值是否为定值，并说明理由．
【答案】(1)见解析
1
(2) 的值为定值3，理由见解析
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，因为∠ = 90°，得证四边形 是矩形；
（2）先由矩形的性质得证 △ ≌ △ (AAS)，则点 是 的中点．然后证明 △ ∽△ ，代
1
入数值化简 = 3，即可作答．
【详解】（1）证明： ∵ ∥ ， ∥ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
∵ 在 △ 中， = ，点 是 的中点，
∴ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ 四边形 是矩形；
1
（2）解： 的值为定值3．
理由： ∵ 四边形 是矩形，点 为 的中点，
∴ = = ， ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌ △ (AAS)，
∴ = ，
∴ 点 是 的中点．
如图，过点 作 的平行线，交 于点 ，
∴ 为 的中点．
∴ 3 = 4，
∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△
3
∴ = = 4
∴ 1 = 3，
与∠ 的大小无关，即与 的大小无关，
∴ 当 1发生变化时， 的值为定值3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形
的判定与性质，本题的难点在于过点 作 的平行线，构造相似三角形，从而将线段 与 之间的关
系表示出来．
33．如图所示，在平行四边形 中，点 是边 上一点，点 是边 的中点， = +
(1)求证： ⊥ ；
(2)如果 平分∠ ，求证： = ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形
的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）延长 交 的延长线于 ，证明 △ ≌ △ (ASA)，得出 = ， = ，由题意得出
= + = ，再由等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）由角平分线的定义结合等腰三角形的性质得出∠ = ∠ = ∠ ，由平行四边形的性质得出
∠ = ∠ ， = ， = ，证明 △ ∽△ ， 得出 = ，结合 = ，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，延长 交 的延长线于 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵点 是边 的中点，
∴ = ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ≌ △ (ASA)，
∴ = ， = ，
∵ = + ，
∴ = + = ，
∴ ⊥ ；
（2）证明：∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ = ∠ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴∠ = ∠ ， = ， = ，
∴ △ ∽△ ，
∴ = ，
∵点 是边 的中点，
∴ = ，
∴ =
，
∴ = ．
34．已知：如图 1，在 △ 中， = ，∠ = 60°，点 D 在线段 上，连接 ，作线段 的垂直
平分线分别交 、 于点 E、F．
(1)如图 1，若 = 1， = 3，求 · 的值；
(2)把∠ = 60°改为∠ = 90° ，其它条件不变，如图 2，求证： =
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）连接 ， ，证明 △ ∽△ ，得到 = ，即可求解．
（2）证明 △ ∽△ ，得到 =
，又 =
，所以 = ，再证明 △ ∽△ ，得到
= = ，即 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：连接 ， ，
∵ = ，∠ = 60°，
∴ △ 是等边三角形，
∴∠ = ∠ = 60°，
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴∠ + ∠ = 120°，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ = ， = ，
∴∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴∠ = ∠ = 60°，
∵∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴∠ + ∠ = 120°，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
∴ =
，
∵ = 1， = 3，
∴ = 3．
（2）证明：作 ∥ 交 延长线于 G，如图 2，
∵ ∥
∴ △ ∽△
∴ =
∵ =
∴ =
∵ ∥
∴∠ + ∠ = 180°
∵∠ = 90°
∴∠ = 90°
∴∠ = ∠
∴∠ + ∠ = ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°
∴∠ = ∠
∵ 垂直平分
∴∠ + ∠ = 90°
∴∠ = ∠
∴ △ ∽△
∴ =
∴ =
∴ = ．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【考点 5 相似三角形--动点问题】
35．如图，在钝角 △ 中， = 6cm， = 12cm，点 D 从 A 点出发沿 以1cm/s的速度向 B 点移
动，点 E 从 C 点出发沿 以2cm/s的速度向 A 点移动，如果两点同时移动，经过 秒时， △
与 △ 相似．
24
【答案】3 或 5
【分析】解答时，分 △ ∽△ 和 △ ∽△ 两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的
判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：设经过 s， △ 与 △ 相似．
∵ = 6cm， = 12cm，点 D 从 A 点出发沿 以1cm/s的速度向 B 点移动，点 E 从 C 点出发沿 以
2cm/s的速度向 A 点移动，
∴ = cm， = 2 cm， = = (12 )cm，
△ ∽△ = = 12 2 当 时，则 即6 12 ，
解得 = 3(s)；
△ ∽△ = = 12 2 当 时，则 即12 6 ，
= 24解得 5 (s)；
24
故答案为：3 或 5 ．
36．如图，在 △ 中， = 4， = 8，点 P 从 B 点出发沿 方向以每秒 1 个单位移动，点 Q 从 A 出
发沿 方向以每秒 2 个单位移动，当它们到达 A、C 后停止运动．试问经过几秒后， △ 与 △
相似？请说明理由．
4
【答案】经过 2 或5秒后， △ 与 △ 相似，理由见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出 = 4 ， = 2 ，再分 △ ∽△ 时，
△ ∽△ 时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
4
【详解】解：经过 2 秒或5后 △ 与 △ 相似，理由如下：
设点 P、Q 运动的时间为 t，由题意得， = ， = 2 ，
∵ = 4， = 8，
∴ = 4 ，
当 △ ∽△ 时，
∴ =
4 2
，即 4 = 8
解得 = 2．
4
同理，当 △ ∽△ 时， = 5
4
综上所述，经过 2 或5秒后， △ 与 △ 相似．
37．如图，在 △ 中， = 8cm， = 16cm，动点 P 从点 A 开始沿 边运动，速度为2cm/s，动点 Q
从点 B 开始沿 边运动，速度为4cm/s；如果 P、Q 两动点同时运动，那么何时由 P，B，Q 三点连成
的三角形与 △ 相似？
【答案】经过 2 秒或0.8秒时， △ 与 △ 相似．
【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利
用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定
建立方程求解即可；
【详解】解：设经过 t 秒时，以 △ 与 △ 相似， = (8 2 )厘米，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ = 8 2 4 当 时， △ ∽ △ ，即 8 = 16；
解得： = 2，
8 2 4
当 = 时， △ ∽ △ ，即 16 = 8；
解得： = 0.8，
即经过 2 秒或0.8秒时， △ 与 △ 相似．
38．如图，在Rt △ 中，∠ = 90°, = 6cm, = 8cm，设 P，Q 分别为 , 上的动点，在点 P 自点 A
沿 方向以每秒1cm的速度向点 C 做匀速移动的同时，点 Q 自点 B 沿 方向以每秒2cm的速度向点 A
做匀速移动，当 Q 点到达 A 点时，P 点就停止移动．设 P，Q 移动的时间为 t 秒．
(1)当 t 为何值时， = ？
(2) △ 能否与Rt △ 相似？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．
25
【答案】(1) = 8
30 50
(2)能， = 11或13
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，在解答时要注意进行分类
讨论，不要漏解．
（1）由勾股定理求出 = 10cm，当 = 时，作 ⊥ ，垂足为 E，证明 △ ∽ △ ，由相
5
似三角形的性质得出 = ，得出10 = 6 ，则可得出答案；
（2）分 △ ∽ △ 与 △ ∽ △ 两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵Rt △ 中，∠ = 90°, = 6cm, = 8cm，
∴ = 2 + 2 = 62 + 82 = 10(cm)，
∴ = (10 2 )cm, = cm，
如图，当 = 时，作 ⊥ ，垂足为 E，
∵ = , ⊥ ，
∴ = 1 12 = 2(10 2 ) = (5 )cm，
∵∠ = ∠ ,∠ = ∠ = 90°，
∴ △ ∽ △ ，
∴ =
5
，即10 = 6 ，
25
解得 = 8 ，
∴t 25为 8 时， = ；
（2）解：能．
当 △ ∽ △ 时， =
10 2
，即6 = 10 ，
解得 = 3011；
当 △ ∽ △
10 2
时， = ，即10 = 6 ，
= 50解得 13；
∴ = 30 5011或 = 13时， △ 与Rt △ 相似．
39．如图，在等腰三角形 中， = = 10厘米， = 16厘米，动点 从点 出发，在 边上以每秒 3
厘米的速度向点 运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 2 厘米的速度向点 运动，当一个点到
达终点时，另一个点也停止运动，设运动时间为 秒，连结 ．
(1)请用含 的代数式表示： = ______， = ______．
(2)若三角形 与三角形 相似，求此时 的值．
(3)直接写出三角形 是直角三角形时 的值．
【答案】(1)10-2t，3t；
80 25
(2)31或17；
25 40
(3) = 11或23．
【分析】本题考查了动点问题的三角形相似、三角形为直角三角形、分类讨论等，熟练掌握相似的判
定、直角三角形的判定是解题的关键．
（1）根据点的运动速度和运动时间表示出对应线段即可；
（2）分类讨论三角形相似的情况，对应列出等式求解即可；
（3）分类讨论直角的情况，根据相似即可列出等式．
【详解】（1）解：由题意可得 = 2 ， = 3
∵ = 10
∴ = 10 2
（2）∵∠ = ∠
= 当 时 △ ∽△
∵ = = 10， = 16
10 2 3
∴ 10 = 16
80
∴ = 31
= 当 时 △ ∽△
10 2 3
即 16 = 10
25
∴ = 17
80 25
综上所述当三角形 与三角形 相似时， = 31或17
（3）如图，过 作 ⊥
∵ = = 10， = 16
∴ = 8，
∴ = 2 2 = 6
当∠ = 90°时， △ ∽△
∴ =
= 10 2 即 6 8
15 3
∴ = 2
由勾股定理有
2 + 2 = 2
15 3 2
即(10 2 )2 + ( 2 ) = (3 )
2
= 25解得： 11或 = 25（舍去）
当∠ = 90°时， △ ∽△
如图
∴ =
3 = 10 2 即 8 10
40
解得： = 23
综上所述当三角形 25 40是直角三角形时 = 11或23．
40．如图 1，在Rt △ 中，∠ = 90°， = 10cm， = 5cm，点 P 从点 C 出发沿线段 以每秒2cm
的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿线段 以每秒1cm的速度运动．设运动时间为 t 秒(0 < < 5)．
(1)填空： = ______cm；
(2)t 为何值时， △ 与 △ 相似；
【答案】(1)5 5
(2) = 1秒或2.5秒
【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方
法．
（1）根据勾股定理求出 的值即可；
= （2）分两种情况进行讨论：当 或 = 时，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵在Rt △ 中，∠ = 90°， = 10cm， = 5cm，
∴ = 2 + 2 = 102 + 52 = 5 5(cm)．
故答案为：5 5．
（2）解：由题意可知： = 2 ， = ，则 = 5 ，
∵∠ = ∠ = 90°，
∴ 当 = 或 = 时， △ 与 △ 相似，
= 5 2 当 时， 5 = 10，
解得， = 2.5，
5 2
当 = 时， 10 = 5，
解得， = 1，
∴ 当 = 1或 2.5 秒时， △ 与 △ 相似．
41．如图，在矩形 中， = 15cm， = 10cm，动点 P 从点 A 出发，沿 边以2cm/s的速度向点 B
匀速移动，动点 Q 从点 D 出发，沿 边以1cm/s的速度向点 A 匀速移动，一个动点到达端点时，另一
个动点也停止运动，点 P，Q 同时出发，设运动时间为 s．
(1)当 t 为何值时， △ 的面积为9cm2？
(2)当 t 为何值时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与 △ 相似？
【答案】(1)当 = 1时， △ 的面积为9cm2
(2)当 = 30 57 或 = 2时，以 , , 为顶点的三角形与 △ 相似
【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的几何应用、相似三角形的性质等知识，熟练掌握一
元二次方程的几何应用和相似三角形的性质是解题关键．
0 < ≤ 15（1）先求出 2 ，再求出 , 的长，然后利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得；
（2）分两种请：① △ ∽△ 和② △ ∽△ ，利用相似三角形的性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵在矩形 中， = 15cm， = 10cm，
∴ = = 10cm，∠ = ∠ = 90°，
由题意可知， = 2 cm， = cm，点 从点 运动到点 15所需时间为 2 s，点 从点 运动到点 所需
时间为10s，
∴ 0 < ≤ 152 ， = = (10 )cm，
∵ △ 的面积为9cm2，
∴ 1 = 12 2 × 2 (10 ) = 9，
解得 = 1或 = 9 > 152 （不符合题意，舍去），
答：当 = 1时， △ 的面积为9cm2．
（2）解：①当 △ ∽△ 时，
= 2 10 则 ，即15 = 10 ，
30
解得 = 7 ，符合题意；
②当 △ ∽△ 时，
2 10
则 = ，即10 = 15 ，
5
解得 = 2，符合题意，
= 30综上，当 7 或 =
5
2时，以 , , 为顶点的三角形与 △ 相似．
42．如图，在 △ 中，∠ = 90°， = 6cm， = 8cm，点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度运
动，点 从点 沿边 向点 以2cm/s的速度运动．若点 、点 同时出发，当某点到终点时，另一点立
即停止运动．运动时间为 s．
(1) = _________cm， = _________cm；（用含 的代数式表示）
(2)请计算当点 运动多少秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似．
【答案】(1)(6 )；2
18
(2)2.4秒或11秒
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，
（1）根据路程＝速度×时间以及线段的和差，即可列出代数式；
（2）分两种情况， △ ∽△ 或 △ ∽△ ，分别得到关于 的方程，求出 的值，即可解决
问题；
掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度运动，点 从点 沿边 向点 以2cm/s
的速度运动， = 6cm， = 8cm，
∴ = = (6 )(cm)， = 2 (cm)，
故答案为：(6 )；2 ；
（2）设点 运动 秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似，
∵点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度运动，点 从点 沿边 向点 以2cm/s的速度运动，点 、
点 同时出发，当某点到终点时，另一点立即停止运动， = 6cm， = 8cm，
∴点 运动到终点所需时间为：6 ÷ 1 = 6(s)，
点 运动到终点所需时间为：8 ÷ 2 = 4(s)，
∴ 的取值范围是：0 < < 4，
∵∠ = ∠ = 90°，
∴可分两种情况：
当 △ ∽△ 时，
∴ = ，
∴6 = 2 6 8，
∴ = 2.4；
当 △ ∽△ 时，
∴ = ，
∴2 6 =
6
8 ，
∴ = 1811；
∴ 18当点 运动 2.4 秒或11秒时，以 、 、 为顶点的三角形与 △ 相似．
【考点 6 相似三角形的综合问题】
43．如图，在边长为3cm的菱形 中，∠ = 120°，将菱形沿 折叠，使点 的对应点 落在对角线
上．若 = 1cm，则 的长为 cm， 的长为 cm．
【答案】 2 13 2/ 2 + 13
【分析】由折叠的性质可知， = ， = ，则 = = = 2，因为四边形 是菱形，
则 = = 3，∠ = ∠ = ∠ = 12∠ = 60°，则推出 △ 为等边三角形，则 = = 3，
∠ = ∠ = 60°，推出∠ + ∠ = 180° ∠ = 120°，又因为∠ = 60°，则∠ + ∠
= 180° ∠ = 120°，则∠ = ∠ ，因为∠ = ∠ = 60°，推出 △ ∽△ ，则
3
= ，设 = ， = ， = 3 ，则 1 = 2，求出 = 2；又因为 = ，即3 = 2 = 2 2，
解得 = 5 ± 13，又因为 < ，即 < 3，则 = 5 13；推出 = 3 = 13 2．
【详解】解：由折叠的性质可知， = ，
∴ = = = 2，
∵四边形 是菱形，
∴ = = 3，∠ = ∠ = ∠ = 12∠ = 60°，
∴ △ 为等边三角形，
∴ = = 3，∠ = ∠ = 60°，
∴∠ + ∠ = 180° ∠ = 120°，
又∵∠ = 60°，
∴∠ + ∠ = 180° ∠ = 120°，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ = 60°，
∴ △ ∽△ ，
∴ = ，
设 = ， = ，
∴
1 = 2，
即 = 2；
∵ 又 = ，
3
即 3 = 2，2
解得 = 5 ± 13，
∵ < ，
即 < 3，
∴ = 5 13；
∴ = 3 = 3 (5 13） = 13 2，
故答案为：2， 13 2．
【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定及性质，解
题的关键是掌握相关知识．
44．如图，将矩形 ABCD 沿 AF 折叠，使点 D 落在 BC 边的点 E 处，过点 E 作 EG∥CD 交 AF 于点 G，连接
DG．
（1）求证：四边形 EFDG 是菱形；
1
（2）求证 EG2＝2GF AF；
（3）若 AG＝3，EG＝ 5，求 BE 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） = 6 5．
5
【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到 GD=DF，接下来依据
翻折的性质可证明 DG=GE=DF=EF；
（2）连接 DE，交 AF 于点 O．由菱形的性质可知 GF⊥DE，OG=OF 1=2GF，接下来，证明
△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明 DF2=FO AF，于是可得到 GE、AF、FG 的数量关系；
（3）过点 G 作 GH⊥DC，垂足为 H．利用（2）的结论可求得 FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可
求得 AD 的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得 GH 的长，最后依据 BE=AD-GH
求解即可．
【详解】（1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形 EFDG 为菱形．
（2）证明：如图 1 所示：连接 DE，交 AF 于点 O．
∵四边形 EFDG 为菱形，
∴GF⊥DE， = = 12 ，
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴ 2 = ，即 DF =FO AF．
∵ = 12 , = ，
∴ 1 2 = 2 ；
（3）如图 2 所示：过点 G 作 GH⊥DC，垂足为 H．
∵ 2 =
1
2 , = 3, = 5，
∴5 = 12 ( + 3)，整理得：FG
2+3FG-10=0．
解得：FG=2，FG=-5（舍去）．
∵ = = 5, = 5
∴ = 2 2 = 2 5
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴
=
，即 =
2
，
2 5 5
∴ = 4 5．
5
∴ = = 2 5 4 5 = 6 5．5 5
【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判
定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到 DF2=FO AF 是解
题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得 GH 的长是解答问题（3）的关键．
45．如图，已知正方形 ，点 E 在 的延长线上，连结 交对角线 于点 G，交 于点 F．
2
（1）若 = 3，求 的值；
（2）求证： 2 = ；
（3）若 = , = ，求 n 关于 m 的关系式．
3
【答案】（1）5；（2）见解析；（3） =
2 +3 + 2
△ABG∽△EDG = = = 2 = 3 【分析】（1）证明 ，得到 ，根据 3，可得 5，即 ；
（2）证明△ADG∽△FBG ，得到 = ，再根据 AB∥DE，得到 = ，通过等量代换可得结果；
△ADG∽△FBG △ABG∽△EDG = = （3）根据 ， ，推出 ，根据 ，可以推出 = = =
1
+1，
= GE=nGF-AG 2 2 = nGF-AG=
2
再根据 ，得到 ，结合（ ）中 ，得到 = ，令 = ，
则根据 nGF-AG=x·GA，变形可得 = 2 + ，证明△ABF∽△ECF
，得到 = = ，推出 x=m+1，结合
= 2 + 可得 m 和 n 的关系．
【详解】解：（1）∵四边形 ABCD 为正方形，
∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC，
∴△ABG∽△EDG，
∴ = = ，
∵ 2 = 3，
∴ 3 = 5，
∴ = 3 5；
（2）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FBG，
∴ =
，
∵AB∥DE，
∴△ABG∽△EDG，
∴ =
，
∴ =
，
∴ 2 = ；
（3）∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FBG，
∴ = = ，
∵AB∥DE，
∴△ABG∽△EDG，
∴ = = ，
∵ = 又 ，即 = ，
∴ = ，
∵ = ，CF∥AD，
∴ = = = +1， =
1
+1，
∵ = ，
∴ = = = 1 +1，
∵ = ，
∴ = ，
则 AG=AE-GE=nGF-GE，
则 GE=nGF-AG，
由（2）可知： 2 = ，
2∴ = ，
2
∴nGF-AG = =
，
令 = ，
则 nGF-AG=x·GA，
变形得： : 1 = ，
∴ 1 = ，
则 = 2 + ，
∵AB∥CE，
∴△ABF∽△ECF，
∴ = = ，
又∵ = = ，
∴ 1 = ，
= 1则 = = ，
∴ =
1
+1，又∵BC=AD，
∴ =
1
+1，
∴ = + 1，
∵ = 又 = + 1，
∴x=m+1，
∵ = 2 + ，
∴ = ( + 1)2 + + 1= 2 +3 + 2，
∴m 与 n 的关系为 = 2 +3 + 2．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，有一定的综合性，熟练运用相似三角
形的性质，遇到线段比，通常联想到相似三角形，需熟练掌握．
46．【问题情境】如图 1，已知△ABC 和△DCE 为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，
则线段 BD、AE 的数量关系为 ，线段 BD、AE 的位置关系为 ．
【类比探究】如图 2，已知△ABC 和△DCE 中满足∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，AC=2BC，试说明
AE 与 BD 具有怎样的数量关系．
【灵活运用】如图 3，已知矩形 ABCD 中有一点 P，连接 AP，BP，DP，∠ADB=30°，AP= 3，BP=2，
∠APB=120°，求 PD 的长．
【答案】【问题情境】相等，垂直；【类比探究】AE=2BD．【灵活运用】2 6
【分析】【问题情境】根据∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=CE，证△BCD≌△ACE，利用全等三角形
的性质，导角得出 90°即可；
【类比探究】根据∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，证△ABC∽△DCE，再证△BCD∽△ACE，利用相似
三角形的性质可求；
【灵活运用】过点 A 作 AN⊥AP,交 BP 延长线于点 N，连接 DN，证△PAB∽△NAD，得到∠DNP=90°和
DN 长，勾股定理即可求值．
【详解】【问题情境】相等，垂直；
延长 BD 交 AE 于点 F, 交 AC 于点 G，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
∵AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC，
∵∠DGC=∠FGA，
∴∠GCB=∠AFG=90°，
∴BD⊥AE；
【类比探究】∵∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，
∴ = ，
∴△ABC∽△DCE，
∴ =
∵∠BAC=∠DEC，AB=AC，DE=EC，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠DCB=∠ACE，
∴△ACE∽△BCD，
∴ = = 2，
∴AE=2BD．
【灵活运用】过点 A 作 AN⊥AP,交 BP 延长线于点 N，连接 DN，
∵∠APB=120°，
∴∠APN=60°，∠ANP=30°，
∴AP= 3，PN=2 3，
∵∠ADB=∠ANP=30°，∠DAB=∠NAP=90°，
∴△DAB∽△NAP，
∴ =
，即 = = 3，
∵∠PAB=∠NAD，
∴△PAB∽△NAD，
∴ = = 3，∠BPA=∠DNA=120°，
∵∠ANP=30°，
∴∠DNP=90°，
DN= 3BP=2 3，
PD= 2 + 2 = 2 6，
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，解题关键是熟练运用相似三角形的性质，恰当作辅助线，
构建相似三角形．
