27.3 位似
【考点 1 位似图形的识别】
【考点 2 求两个位似图形的相似比】
【考点 3 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】
【考点 4 位似图形的点坐标】
【考点 5 判定位似中心】
【考点 6 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形】
知识点 1 位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【考点 1 位似图形的识别】
【典例 1】下图所示的四种画法中，能使得 △ 与 △ 是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【变式 1-1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【变式 1-2】下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式 1-3】下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
知识点 2 位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.
【考点 2 求两个位似图形的相似比】
【典例 2】如图， △ 与 △ 位似，点 O 为位似中心，已知 : = 1:2，则 : = ．
【变式 2-1】如图，将 △ 以点 O 为位似中心放大后得到 △ ′ ′，若 ′ = 2 ，则 △ 与 △ ′ ′
的相似比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:1 D．2:3
【变式 2-2】如图，△ 与 △ 是以点O为位似中心的位似图形， : = 2:3，若 = 8，则 的
长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【变式 2-3】如图， △ 与 △ 位似，点 O 为位似中心，若 : = 1:3，则 : = ．
【考点 3 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】
【典例3】如图，△ 和 △ 1 1 1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段 1上，若 : 1 = 1:2，
则 △ 和 △ 1 1 1的面积之比为（ ）
A．1:4 B．4:1 C．1:9 D．9:1
【变式 3-1】如图，在平面直角坐标系中， △ 和 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形．若
= 2 ， △ 的周长为 3，则 △ 的周长为 ．
【变式 3-2】如图，△ 和 △ 是以点 为位似中心的位似图形．若 : = 2:3，则 △ 与 △
的面积比是 ．
【变式 3-3】如图，以点 O 为位似中心，将 △ 放大后得到 △ ，若 = 3， = 5，则 △ 与 △
的面积比为（ ）
A．3:5 B．3:8 C．9:64 D．9:25
【考点 4 位似图形的点坐标】
【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，△ 与 △ 的位似比是2:1，若点 ( 3,2)， ( 2, 2)，则
点 的对应点 的坐标为（ ）
A．( 1, 1) B．( 4, 4)
C．( 1, 1)或(1,1) D．( 4, 4)或( 1, 1)
【变式 3-1】如图，在平面直角坐标系中， △ 与 △ 是以点 为位似中心的位似图形，若
: = 1:2，点 的坐标是(5,4)，则点 的横坐标是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式 3-2】如图，△ 中， 、 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是(1,0)，以点 为位似中心，在
轴的下方作 △ 的位似图形 △ ′ ′ ，若 △ 与 △ ′ ′ 的位似比是1:2，设点 的横坐标是3，则
点 的对应点 ′的横坐标是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【变式 3-3】如图，在平面直角坐标系中，△ 与 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形，位似比
是1:3，若点 B 的坐标为(3,1)，则点 E 的坐标是 ．
知识点 3 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
【考点 5 判定位似中心】
【典例 4】如图，在正方形网格图中， △ 与 △ ′ ′ ′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 R B．点 P C．点 Q D．点 O
【变式 4-1】如图，正方形网格图中的 △ 与 △ ′ ′ ′位似，则位似中心是（ ）
A．点 D B．点 E C．点 F D．点 G
【变式 4-2】如图，点 是等边三角形 的中心， ′、 ′、 ′分别是 、 、 的中点，则 △ ′ ′ ′
与 △ 是位似三角形，此时 △ ′ ′ ′与 △ 的位似比、位似中心分别是（ ）
1 1
A．2、点 B．2、点 C．2、点 D．2、点
【变式 4-3】如图，在平面直角坐标系中， △ 的顶点坐标分别为 (0,1)， (3,0)， (2,2)，（每个方
格的边长均为 1 个单位长度）．
(1)作 △ 关于 y 轴的轴对称图形 △ 2 2，请在平面直角坐标系中画出 △ 2 2，并填写 2， 2的
坐标．点 2的坐标为（______，______）；点 2的坐标为（______，______）．
(2) △ 1 1 1的顶点坐标分别为 1(0,3)， 1(6,1)， 1(4,5)，若 △ 与 △ 1 1 1是位似图形，则位似
中心的坐标为（______，______）
【考点 6 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形】
【典例 5】如图，在平面直角坐标系中，已知 △ 三个顶点的坐标分别为 (0,2)， ( 2,4)， ( 1,6)．
(1)画出 △ 绕点 顺时针旋转90°后得到的 △ 1 1 1；
(2)在网格内以点 1为位似中心，画 △ 2 1 2使它与 △ 1 1 1的位似比为2:1．
【变式 5-1】如图，在6 × 8网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和 △ 的顶点均在小正方形的
顶点．
(1)以 O 为位似中心，在网格图中作 △ ′ ′ ′和 △ 位似，且位似比为1:2；
(2)连接（1）中的 ′，求四边形 ′ ′ 的周长．（结果保留根号）
【变式 5-2】在如图所示的平面直角坐标系中，△ 的顶点都在格点上，以原点 O 为位似中心，将 △
放大到 2 倍得到 △ ．
(1)在现有网格图中画出 △ ；
(2)记线段 的中点为 M，求放大后点 的对应点的坐标．
【变式 5-3】如图，已知 △ ，以点 O 为位似中心画一个 △ ，使它和 △ 位似，且位似比为
2．
1．如图， △ 与 △ 1 1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:3，点 B 的坐标为( 1,2)，则
点 1的坐标为（ ）
A．(2, 4) B．( 2,4) C．(3, 6) D．( 3,6)
1
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ( 3,6)、 ( 9, 3)，以原点 O 为位似中心，相似比为3，把 △
缩小，则点 A 的对应点 ′的坐标为（ ）
A．( 9,18) B．( 9,18)或(9, 18)
C．(1, 2) D．( 1,2)或(1, 2)
3．如图，在平面直角坐标中，正方形 与正方形 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为
1
3，点 A， B ， E 在 x 轴上，若正方形 的边长为 12， 则 C 点坐标为（ ）
A．(4，4) B．(5，4) C．(6，4) D．(8，4)
4．如图所示，矩形 与矩形 ′ ′ ′是位似图形，点 是位似中心，矩形 的周长是24， ′ = 4，
′ = 2，则 和 的长分别是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．6，6 D．10，2
5．如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，边 在 轴上， 在 轴上，如果矩形 ′ ′ ′
与矩形 1关于点 位似，且相似比为2，那么点 ′的坐标是（ ）
A．( 2,3)或(3, 2)B．(2, 3) C．( 2,3) D．( 2,3)或(2, 3)
6．如图， △ 和 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形．若 △ 和 △ 的周长之比为1:3，则
: = ．
7．如图，将 △ 以坐标原点 O 为位似中心放大，得到 △ ，已知 (1,2)、 (3,0)、 (4,0)，则点 C 的
坐标为 ．
8．如图，已知 △ 和 △ ′ ′ 是以点 ( 1,0)为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点 的对应点 ′的
横坐标为 ，则点 的横坐标为 ．
9．如图， △ 和 △ ′ ′ 是以点 为位似中心的位似图形，且 △ ′ ′ 和 △ 的面积之比为1:4，点 的
坐标为(1,0)，若点 的对应点 ′的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ．
10．在平面直角坐标系中， △ 的顶点坐标分别为 (0,2)、 (1,3)、 (2,1)．
(1)画出与 △ 关于 x 轴对称的 △ 1 1 1；
(2)以原点 O 为位似中心，在第三象限内画一个 △ 2 2 2，使它与 △ 的相似比为2:1，并写出点 2
的坐标．27.3 位似
【考点 1 位似图形的识别】
【考点 2 求两个位似图形的相似比】
【考点 3 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】
【考点 4 位似图形的点坐标】
【考点 5 判定位似中心】
【考点 6 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形】
知识点 1 位似图形的概念
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
【考点 1 位似图形的识别】
【典例 1】下图所示的四种画法中，能使得 △ 与 △ 是位似图形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本题考查位似图形，根据“两个相似图形的对应点的连线相交于一点，而且对应边互相平行或位
于同一条直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，”进行判断即可．
【详解】解：图①对应点的连线相交于点 A，对应边 ∥ ，对应边 与 在同一条直线上， 与
在同一条直线上，是位似图形；
图②，对应边 ∥ ， ∥ ，对应边 和 在同一条直线上，对应点的连线交于一点（ 的延长线
于 的交点），是位似图形；
图③，对应点的连线交于点 O，对应边 ∥ ， ∥ ， ∥ ，是位似图形；
图④，对应点法连线交于点 O，对应边 ∥ ， ∥ ， ∥ ，是位似图形，
故选：A．
【变式 1-1】下列各选项的两个图形中，是位似图形的有几个（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【分析】根据位似图形的定义判断即可.
【详解】因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以 A，B，D 中的两个图形是位似
图形，C 中的两个图形不是位似图形.
故选 B.
【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过
同一点的两个相似多边形叫做位似图形.
【变式 1-2】下列图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；
D 中的两个图形不符合位似图形的概念，两个三角形不相似，故不是位似图形．
故选 D．
【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全
相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
【变式 1-3】下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得 A、C、D 三个图形中的两个图形都是位似图形；
而 B 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选 B．
【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于掌握位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形
状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
知识点 2 位似图形的性质
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
注意：
（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未
必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.
【考点 2 求两个位似图形的相似比】
【典例 2】如图， △ 与 △ 位似，点 O 为位似中心，已知 : = 1:2，则 : = ．
【答案】1:3 1/3
【分析】本题考查位似图形的性质，根据相似比等于位似比，即可得出结果．
【详解】解：∵ : = 1:2，
∴ : = 1:3，
∵ △ 与 △ 位似，点 O 为位似中心，
∴ : = : = 1:3；
故答案为：1:3．
【变式 2-1】如图，将 △ 以点 O 为位似中心放大后得到 △ ′ ′，若 ′ = 2 ，则 △ 与 △ ′
′的相似比为（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:1 D．2:3
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
根据位似图形的性质，即可求解．
【详解】解：∵ △ 以点 O 为位似中心放大后得到 △ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′，
∴ △ 与 △ ′ ′的相似比为 : ′ = :( + ′) = :3 = 1:3．
故选：B．
【变式 2-2】如图，△ 与 △ 是以点O为位似中心的位似图形， : = 2:3，若 = 8，则 的
长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的知识，掌握位似比等于相似比是解题的关键，根据 : = 2:3可知相似
2
比，根据 = 3，可求出 ，由此即可求解 的值．
【详解】解：∵ △ 与 △ 关于点 成位似图形，
∴ △ ∽△ ，
∴ =
2 2
3，即位似比为3，
∴ 2 = 3，且 = 8，
∴ = 3 3×82 = 2 = 12，
∴ = = 12 8 = 4，
故选：D ．
【变式 2-3】如图， △ 与 △ 位似，点 O 为位似中心，若 : = 1:3，则 : = ．
1
【答案】1:3/3
【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似图形的对应顶
点的连线平行或共线． △ 与 △ 位似，则 ∥ ， ∥ ，先证明 △ ∽△ ，
: = : ，进一步可求 : = : = 1:3，据此可得答案．
【详解】解：∵ △ 与 △ 位似，
∴ ∥ ， ∥
∴ △ ∽△ ， : = :
∴ : = :
∵ : = 1:3
∴ : = : = 1:3，
故答案为：1:3
【考点 3 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】
【典例3】如图，△ 和 △ 1 1 1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段 1上，若 : 1 = 1:2，
则 △ 和 △ 1 1 1的面积之比为（ ）
A．1:4 B．4:1 C．1:9 D．9:1
【答案】C
【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形肯定是相似图形，位似比等于相似比，相似图形的面积比
等于相似比的平方，由此可解．
【详解】解： ∵ : 1 = 1:2，
∴ : 1 = 1:3，
∴ △ 和 △ 1 1 1的相似比为1:3，
∴ △ 和 △ 1 1 1的面积之比为1
2:32 = 1:9，
故选 C．
【变式 3-1】如图，在平面直角坐标系中， △ 和 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形．若
= 2 ， △ 的周长为 3，则 △ 的周长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：∵ △ 和 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形， = 2 ，
∴ △ 和 △ 的相似比为：2:1，
∴ △ 和 △ 的周长比为：2:1，
∵ △ 的周长为 3，
∴ △ 的周长为 6；
故答案为：6．
【变式 3-2】如图，△ 和 △ 是以点 为位似中心的位似图形．若 : = 2:3，则 △ 与 △
的面积比是 ．
4
【答案】25
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解
题的关键．根据位似图形的概念得到 △ ∽△ ， ∥ ，证明 △ ∽△ ，根据相似三角
形的性质求出 ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解： ∵ : = 2:3，
∴ : = 2:5，
∵△ 和 △ 是以点 为位似中心的位似图形，
∴△ ∽△ ， ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = =
2
5，
2
∴△ 与 △ 2 4的面积比为：( 5 ) = 25，
4
故答案为：25
【变式 3-3】如图，以点 O 为位似中心，将 △ 放大后得到 △ ，若 = 3， = 5，则 △
与 △ 的面积比为（ ）
A．3:5 B．3:8 C．9:64 D．9:25
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对
应边平行（或共线）．
利用位似性质得到 △ ∽△ ，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解： ∵ 以点 为位似中心，将 △ 放大后得到 △ ，
∴△ ∽△ ，
∴ Δ
2
= = 3
2 9
( ) ( ) =Δ 3+5 64．
即 △ 与 △ 的面积比为9:64．
故选：C．
【考点 4 位似图形的点坐标】
【典例 3】如图，在平面直角坐标系中，△ 与 △ 的位似比是2:1，若点 ( 3,2)， ( 2, 2)，则
点 的对应点 的坐标为（ ）
A．( 1, 1) B．( 4, 4)
C．( 1, 1)或(1,1) D．( 4, 4)或( 1, 1)
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进
行讨论．
【详解】解： ∵△ 与 △ 的位似比是2:1，
当点 在第三象限时， ( 1, 1)，
当点 在第一象限时， (1,1)，
故点 的坐标为( 1, 1)或(1,1)，
故选：C．
【变式 3-1】如图，在平面直角坐标系中， △ 与 △ 是以点 为位似中心的位似图形，若
: = 1:2，点 的坐标是(5,4)，则点 的横坐标是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形
对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据 △ 与 △ 以原点为位似中心，相似比是 ，△ 上
一点的坐标是( , )，则在 △ 中，它的对应点的坐标是( , )或( , )，进而求出点 的横坐标
即可．
【详解】解： ∵ △ 与 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形，
∴△ ∽△ ，
∵ =
1
2，
∴ △ 与 △ 位似比为1:2，
∵ 点 的坐标是(5,4)，点 E 在第一象限，
∴ 点 E 的坐标是(2 × 5,2 × 4)，即 (10,8)，
∴点 的横坐标是 10．
故选：D．
【变式 3-2】如图，△ 中， 、 两个顶点在 轴的上方，点 的坐标是(1,0)，以点 为位似中心，在
轴的下方作 △ 的位似图形 △ ′ ′ ，若 △ 与 △ ′ ′ 的位似比是1:2，设点 的横坐标是3，则
点 的对应点 ′的横坐标是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】B
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，过点 作 ⊥ 轴于点 ， ′ ⊥ 轴于点
，根据相似三角形的性质得到 = = =
1
，利用相似比即可求解，
′ ′ 2
正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】过点 作 ⊥ 轴于点 ， ′ ⊥ 轴于点 ，
则 ∥ ′ ，
∴ △ ∽△ ′ ，
∴
1
= = = ， ′ ′ 2
∵点 的坐标是(1,0)，
∴ = 1，
∵点 的横坐标是3，
∴ = 3 1 = 2，
∴ = 2 = 2 × 2 = 4，
∴ = 4 1 = 3，
∴点 ′的横坐标是 3，
故选：B．
【变式 3-3】如图，在平面直角坐标系中，△ 与 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形，位似比
是1:3，若点 B 的坐标为(3,1)，则点 E 的坐标是 ．
【答案】(9,3)
【分析】本题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形
对应点坐标之间的关系是解题的关键．根据 △ 与 △ 以原点为位似中心，相似比是 ，△ 上
一点的坐标是( , )，则在 △ 中，它的对应点的坐标是( , )或( , )，进而求出坐标即可．
【详解】解： ∵ △ 与 △ 是以原点 O 为位似中心的位似图形，位似比是1:3，
∴ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = 3 = 1 = 3，
∵ 点 B 的坐标为(3,1)，点 E 在第一象限，
∴ 点 E 的坐标是(9,3)，
故答案为：(9,3)．
知识点 3 作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接各对应点.
注意：
位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
【考点 5 判定位似中心】
【典例 4】如图，在正方形网格图中， △ 与 △ ′ ′ ′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点 R B．点 P C．点 Q D．点 O
【答案】D
【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．
根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．
【详解】连接 ′， ′，交于点 ，
∴点 是位似中心，
故答案为：D．
【变式 4-1】如图，正方形网格图中的 △ 与 △ ′ ′ ′位似，则位似中心是（ ）
A．点 D B．点 E C．点 F D．点 G
【答案】A
【分析】本题考查了位似中心的确定，位似对应点连线的交点即为位似中心即可．
【详解】根据题意，得位似中心为点 D，
故选 A．
【变式 4-2】如图，点 是等边三角形 的中心， ′、 ′、 ′分别是 、 、 的中点，则 △ ′ ′ ′
与 △ 是位似三角形，此时 △ ′ ′ ′与 △ 的位似比、位似中心分别是（ ）
1 1
A．2、点 B．2、点 C．2、点 D．2、点
【答案】D
1
【分析】根据三角形中位线定理得到 ′ ′ = 2 ，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】 ∵ 点 是等边三角形 的中心， ′、 ′、 ′分别是 、 、 的中点，
∴ 1各对应点的连线交于点 ， ′ ′ = 2
∴ 位似中心是点 ，
∵ △ ′ ′ ′与 △ 是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴ △
′ ′ 1
′ ′ ′与 △ 位似比是 = 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
【变式 4-3】如图，在平面直角坐标系中， △ 的顶点坐标分别为 (0,1)， (3,0)， (2,2)，（每个方
格的边长均为 1 个单位长度）．
(1)作 △ 关于 y 轴的轴对称图形 △ 2 2，请在平面直角坐标系中画出 △ 2 2，并填写 2， 2的
坐标．点 2的坐标为（______，______）；点 2的坐标为（______，______）．
(2) △ 1 1 1的顶点坐标分别为 1(0,3)， 1(6,1)， 1(4,5)，若 △ 与 △ 1 1 1是位似图形，则位似
中心的坐标为（______，______）
【答案】(1) 3；0； 2；2
(2)0； 1
【分析】本题考查作图 轴对称变换、位似变换；
（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）连接 1， 1， 1，相交于点 ，则点 即为位似中心，即可得出答案．
【详解】（1）如图， △ 2 2即为所求．
点 2的坐标为( 3,0)，点 2的坐标为( 2,2)．
故答案为： 3；0； 2；2．
（2）如图，作射线 1 ， 1 ， 1 ，相交于点 ，
则点 为 △ 与 △ 1 1 1的位似中心，
∴ 点 的坐标为(0, 1)．
故答案为：0； 1．
【考点 6 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形】
【典例 5】如图，在平面直角坐标系中，已知 △ 三个顶点的坐标分别为 (0,2)， ( 2,4)， ( 1,6)．
(1)画出 △ 绕点 顺时针旋转90°后得到的 △ 1 1 1；
(2)在网格内以点 1为位似中心，画 △ 2 1 2使它与 △ 1 1 1的位似比为2:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查了作图-位似变换和旋转变换．
（1）利用网格特点和旋转的旋转画出点 A、B、C 的对应点 1, 1, 1，从而得到 △ 1 1 1；
（2）延长 1 1到 2使 1 2 = 2 1 1，则点 2为点 1的对应点，同样方法作出 1的对应点 2，从而得到
△ 2 1 2．
【详解】（1）解： △ 1 1 1，如图所示，
（2）解： △ 2 1 2如图所示，
．
【变式 5-1】如图，在6 × 8网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O 和 △ 的顶点均在小正方形的
顶点．
(1)以 O 为位似中心，在网格图中作 △ ′ ′ ′和 △ 位似，且位似比为1:2；
(2)连接（1）中的 ′，求四边形 ′ ′ 的周长．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)6 2 +4
【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理，
（1）根据位似的性质作图即可．
（2）利用勾股定理求出 ′ ′和 的长，进而可得出答案．
【详解】（1）解：如图， △ ′ ′ ′即为所求．
（2）解：∵ ′ = 2， ′ ′ = 22 + 22 = 2 2， ′ = 2， = 42 + 42 = 4 2，
∴四边形 ′ ′ 的周长为2 + 2 2 +2 + 4 2 = 6 2 +4．
【变式 5-2】在如图所示的平面直角坐标系中，△ 的顶点都在格点上，以原点 O 为位似中心，将 △
放大到 2 倍得到 △ ．
(1)在现有网格图中画出 △ ；
(2)记线段 的中点为 M，求放大后点 的对应点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)点 M 在 △ 上对应点的坐标为(4,3)
【分析】本题主要考查作图-位似变换、坐标与图形等知识点，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）先根据位似的性质找到对应点 D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）由题意可知，先求出 的中点坐标，再求出对应边 的中点坐标即可．
【详解】（1）解：如图： △ 即为所求．
（2）解：由题意得， = ， = ，
∴BC 中点 M 的坐标为(2,1.5)，
∵ △ 放大到 2 倍得到 △ ，
∴点 M 在 △ 上对应点的坐标为(4,3)．
【变式 5-3】如图，已知 △ ，以点 O 为位似中心画一个 △ ，使它和 △ 位似，且位似比为
2．
【答案】作图见解析
【分析】本题主要考查了利用位似作图，可以根据位似的定义，结合图形的做法即可解答
【详解】解：连接 延长到 D，使 = ，连接 延长到 E，使 = ，连接 延长到 F，使
= ， △ 如图所示：
1．如
图，△ 与 △ 1 1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:3，点 B 的坐标为( 1,2)，则点 1
的坐标为（ ）
A．(2, 4) B．( 2,4) C．(3, 6) D．( 3,6)
【答案】C
【分析】本题考查了位似的性质和位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或者 ．根据位似变换的性质，即可解题．
【详解】解： ∵△ 与 △ 1 1是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1:3，点 B 的坐标为
( 1,2)，
∵ 点 1在第四象限，
∴ 点 1的坐标为(1 × 3, 2 × 3)即(3, 6)，
故选：C．
1
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ( 3,6)、 ( 9, 3)，以原点 O 为位似中心，相似比为3，把 △
缩小，则点 A 的对应点 ′的坐标为（ ）
A．( 9,18) B．( 9,18)或(9, 18)
C．(1, 2) D．( 1,2)或(1, 2)
【答案】D
【分析】本题考查位似变换，利用位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的
坐标的比等于 k 或 进行求解．
1
【详解】解：∵点 ( 3,6)，以原点 O 为位似中心，相似比为3，把 △ 缩小，
∴点 A 的对应点 ′的坐标为( 1,2)或(1, 2)，
故选 D．
3．如图，在平面直角坐标中，正方形 与正方形 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为
1
3，点 A， B ， E 在 x 轴上，若正方形 的边长为 12， 则 C 点坐标为（ ）
A．(4，4) B．(5，4) C．(6，4) D．(8，4)
【答案】C
【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出 的长是解题关键．直接利
用位似图形的性质结合相似比得出 的长，进而得出 △ ∽△ ，进而得出 的长，即可得出答
案．
1
【详解】解： ∵ 正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为3，
∴ 1 = 3， ∥ ，
∵ = 12，
∴ = = 4，
∵ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ 1 = 3，
∴ = 1 4+ 3，
解得： = 2，
∴ = 6，
∴ 点坐标为：(6，4)，
故选：C．
4．如图所示，矩形 与矩形 ′ ′ ′是位似图形，点 是位似中心，矩形 的周长是24， ′ = 4，
′ = 2，则 和 的长分别是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．6，6 D．10，2
【答案】B
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据矩形的性质得到 = 12 ，根据位似变换的性质得到
∥ ′ ′, ∥ ′ ′，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．熟练掌握位似图形的
任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比是解答本题的关
键．也考查了平行线分线段成比例定理．
【详解】解：∵矩形 的周长是 24，
∴ + = 12，
∴ = 12 ，
∵ ′ = 4， ′ = 2，
∴ ′ = + 4, ′ = 12 + 2 = 14 ，
∵矩形 与矩形 ′ ′ ′是位似图形，
∴ ∥ ′ ′, ∥ ′ ′，
∴ = ， = ，
′ ′ ′ ′
∴ = 12 ，即
′ ′ 14
= +4，
解得， = 8，
则 = 12 = 4，
故选：B．
5．如图，在直角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，边 在 轴上， 在 轴上，如果矩形 ′ ′ ′
1
与矩形 关于点 位似，且相似比为2，那么点 ′的坐标是（ ）
A．( 2,3)或(3, 2)B．(2, 3) C．( 2,3) D．( 2,3)或(2, 3)
【答案】D
【分析】此题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用；
由矩形 ′ ′ ′与矩形
1
关于点 位似，矩形 ′ ′ ′与矩形 的位似比为2，又由点 的坐标为
( 4,6)，即可求得答案．
【详解】解：矩形 1 ′ ′ ′与矩形 关于点 位似，位似比为2，
∵ 点 的坐标为( 4,6)，
∴ 点 ′的坐标为：( 2,3)或(2, 3)
故选：D．
6．如图， △ 和 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形．若 △ 和 △ 的周长之比为1:3，则
: = ．
【答案】1:3
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到 △ ∽ △ ， ∥ ，
得到 △ ∽ △ ，根据相似三角形的性质得到 =
，根据相似三角形的周长比等于相似比求出
1
= 3，即可求解．
【详解】解：∵ △ 和 △ 是以点 O 为位似中心的位似图形，
∴ △ ∽ △ ， ∥ ，
∴ △ ∽ △ ，
∴ = ，
∵ △ 和 △ 的周长之比为1:3，
∴ 1 = 3，
∴ : = 1:3，
故答案为：1:3．
7．如图，将 △ 以坐标原点 O 为位似中心放大，得到 △ ，已知 (1,2)、 (3,0)、 (4,0)，则点 C 的
坐标为 ．
4 8
【答案】
3 , 3
【分析】此题考查了求位似图形的对应坐标．注意根据题意求得其位似比是关键．
由将 △ 以坐标原点 O 为位似中心扩大到 △ ， (3,0)、 (4,0)，即可求得其位似比，继而求得答
案．
【详解】解：∵ (3,0)、 (4,0)，
∴ : = 3:4，
∵将 △ 以坐标原点 O 为位似中心扩大到 △ ，
∴位似比为：3:4，
∵ (1,2)，
∴ 4 8点 C 的坐标为： ，
3 , 3
4 8
故答案为：
3 , ．3
8．如图，已知 △ 和 △ ′ ′ 是以点 ( 1,0)为位似中心，位似比为1:2的位似图形，若点 的对应点 ′的
横坐标为 ，则点 的横坐标为 ．
+3
【答案】 2
1 1
【分析】本题考查了位似变换的性质、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出 +1 = 2是解题
的关键．
设 点横坐标为 ，过 作 ⊥ 轴于点 ，过 ′作 ′ ⊥ 轴于点 N，根据平行线分线段成比例定理得到
1 1
= ，根据相似三角形的性质求出 +1 = 2，计算即可． ′
【详解】设 点横坐标为 ，如图，过 作 ⊥ 轴于点 ，过 ′作 ′ ⊥ 轴于点 N
∴ ∥ ′ ，
∴△ ∽△ ′ ，
∴
= ， ′
∵ △ 和 △ ′ ′ 是位似比为1:2的位似图形，
1 1
即 +1 = 2，
+3
解得 = 2 ，
∴ +3点横坐标为 2 ．
9．如图， △ 和 △ ′ ′ 是以点 为位似中心的位似图形，且 △ ′ ′ 和 △ 的面积之比为1:4，点 的
坐标为(1,0)，若点 的对应点 ′的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ．
【答案】7
【分析】过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 ′作 ′ ⊥ 轴于点 ，，根据 △ ′ ∽△ 得到 = ，根据 ′
相似三角形的性质求出 = 2，计算即可．
′
【详解】解：过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 ′作 ′ ⊥ 轴于点 ，
则 ∥ ′ ，
∴ △ ′ ∽△ ，
∴ = ， ′
∵ △ ′ ′ 和 △ 的面积之比为1：4，
∴ = 2，
′
由题意得： = 1 + 2 = 3，
∴ 3 = 2，
解得： = 6，
∴ = 7，即点 的横坐标为7，
故答案为：7．
10．在平面直角坐标系中， △ 的顶点坐标分别为 (0,2)、 (1,3)、 (2,1)．
(1)画出与 △ 关于 x 轴对称的 △ 1 1 1；
(2)以原点 O 为位似中心，在第三象限内画一个 △ 2 2 2，使它与 △ 的相似比为2:1，并写出点 2
的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析， 2( 2, 6)
【分析】本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
（1）根据关于 x 轴对称的点的坐标得到的坐标 1(0, 2)， 1(1, 3)， 1(2, 1)，然后描点，连接即可；
（2）把 、 、 的坐标都乘以 2得到的坐标 2(0, 4)， 2( 2, 6)， 2( 4, 2)，然后描点，连接即
可；
【详解】（1）解：如图， (0,2)、 (1,3)、 (2,1)关于 x 轴对称的点的坐标得到的坐标 1(0, 2)， 1
(1, 3)， 1(2, 1)，然后描点，连接
∴ △ 1 1 1即为所求；
（2）解： (0,2)、 (1,3)、 (2,1)的坐标都乘以 2得到的坐标 2(0, 4)， 2( 2, 6)， 2( 4, 2)，然
后描点，连接，
∴如图所示， △ 2 2 2即为所求， 2( 2, 6)．
