九年级数学上点拨与精练第22章 二次函数22.1.4 二次函数y=ax^2+bx+c的图像和性质（微专题）(含解析）

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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
微专题 二次函数的图像和性质的八种类型的应用
老师告诉你
二次函数的图像和性质是学习一次函数的图像和性质的拓展，是对一次函数的图像和性质一次升华，是后面二次函数与一元二次方程、二次函数的应用的预备知识，是各类考试必考内容，它的最大特点就是结合图像来研究二次函数的性质，考题所涉及内容主要有顶点坐标、开口方向、对称轴、函数的增减性、图像的平移及求二次函数的解析式等。
类型1 二次函数的图像在解题中的应用
例1-1．若二次函数y＝（a﹣1）x2+a2﹣2a﹣3的图象如图所示，试求a的值．
例1-2．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
针对训练1
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
2．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D；
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
类型2 二次函数的性质在解题中的应用
例2-1．函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m．
（1）当点A（﹣1，0）在函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m的图象上时，求函数图象与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；
（2）当﹣1≤m≤3时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
例2-2．定义新运算：对于任意实数m、n都有 m*n＝m2﹣mn．
例如：﹣2*2＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2＝8，根据以上知识解决下列问题：
求抛物线y＝（x+2）*（﹣2）的顶点坐标．
针对训练2
1．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
2．已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣1．
（1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为y轴，求它与x轴的交点坐标．
类型3 二次函数的平移在解题中的应用
例3-1．已知二次函数y＝﹣mx2+2mx﹣3（m≠0）．
（1）若该二次函数的最小值为﹣4，求该二次函数解析式；
（2）当m＜0且n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤5﹣n，求n的值；
（3）在（1）的条件下，将此二次函数平移，使平移后的图象经过（1，0）．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣m（x﹣h）2+2mx+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
例3-2．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m．
（1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值；
（2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围．
针对训练3
1．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴，一次函数y＝kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且点A坐标为（﹣4，4）．平行于x轴的直线l过（0，﹣1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象即直线AB交y轴于点F．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
类型4 二次函数图像上点的坐标特征在解题中的应用
例4-1．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0），其图象交y轴于点M（0，﹣3）．
（1）若它的图象过点（1，﹣4），求t的值；
（2）如果A（m，a），B（m﹣2，a），C（4，b）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜4．求m的取值范围．
例4-2．在平面直角坐标系xOy中，点M（1，m），是抛物线y＝a（x﹣t）2（a＞0）上的两点（M，N不重合）．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若点P（x0，p）在抛物线上，且对于t+1＜x0＜t+2都有n＜p＜m，求t的取值范围．
针对训练4
1．已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝2时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（﹣n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．
类型5 二次函数图像上的线段在解题中的应用
例5-1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于点A，B，其中A在y轴上．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过点P作x轴的垂线，与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为m，点P的横坐标为x，求出m与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）线段AB上是否存在一点P，使（2）中的线段PQ的长等于5？请说明理由．
针对训练5
1．如图，二次函数y＝ax2的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于A（﹣2，2），B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），Q（4，t+3）分别为线段CD和BD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）指出二次函数中，函数y随自变量x增大或减小的情况；
（3）当SR＝2RP时，求t的值；
（4）当S△BRQ＝15时，求t的值．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长；
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
类型6 二次函数图像上的三角形在解题中的应用
例6-1．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　 ．
针对训练6
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知OB＝OC．
（1）求a，b的值；
（2）若点P是第一象限抛物线上一点．
（Ⅰ）如图2，连接BC，PB，PC，若△PBC的面积为3，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图3，DE是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线BP与直线DE交于点G，△AEF的面积为S1，△BEG的面积为S2，判断S1+S2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，3）两点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA＝PB时，求点P的坐标；
（3）已知BM⊥AB，BM与抛物线相交于点M，连接OM，若S△BOM＝nS△BOA，求n的值．
类型7 二次函数图像上的四边形在解题中的应用
例7-1．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3）为二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与反比例函数在第一象限的交点，已知该抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴正负半轴分别于E点、D点，交y轴负半轴于B点，且tan∠ADE＝．
（1）求二次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点D、M、B、E，求四边形DMBE面积的最大值；
（3）在（2）中四边形DMBE面积最大的条件下，过点M作MH⊥x轴于点H，交EB的延长线于点F，Q为线段HF上一点，且点Q到直线BE的距离等于线段OQ的长，求Q点的坐标．
针对训练7
1．已知：将函数的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数图象．
（1）写出这个新的函数的解析式；
（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O，A两点，与直线交于C，B两点．试判断以A，B，C，O四点为顶点四边形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数的图象一部分，求满足条件的实数b的取值范围．
2．如图①，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣3，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是OC的中点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）直接写出点D的坐标 　（0，2）　；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）当PC∥AB时，求四边形ABCP的面积；
（4）如图②，过点P作直线BD的垂线，垂足为M．以PM为对角线作正方形PQMN，当点Q落在抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴上时，请直接写出点P的横坐标．
类型8 二次函数的最值在解题中的应用
例8-1．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 ；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
针对训练8
1．已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为　 　；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
微专题 二次函数的图像和性质的八种类型的应用
老师告诉你
二次函数的图像和性质是学习一次函数的图像和性质的拓展，是对一次函数的图像和性质一次升华，是后面二次函数与一元二次方程、二次函数的应用的预备知识，是各类考试必考内容，它的最大特点就是结合图像来研究二次函数的性质，考题所涉及内容主要有顶点坐标、开口方向、对称轴、函数的增减性、图像的平移及求二次函数的解析式等。
类型1 二次函数的图像在解题中的应用
例1-1．若二次函数y＝（a﹣1）x2+a2﹣2a﹣3的图象如图所示，试求a的值．
【分析】依据题意，由图象知，过（0，0），故可以代入解析式，再结合开口向下，进而可以得解．
【解答】解：由题意，二次函数图象过（0，0），
∴a2﹣2a﹣3＝0．
∴（a﹣3）（a+1）＝0．
∴a＝3或a＝﹣1．
又函数图象开口向下，
∴a﹣1＜0．
∴a＝﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
例1-2．已知二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x﹣2）2+7的图象．
【分析】根据图象平移的规律，可得答案．
【解答】解：答案如图
．
【点评】本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减．
针对训练1
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，写出三条关于a，b，c的信息．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系求解．
【解答】∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，即b＞0，
∵抛物线与y轴交点为（0，2），
∴c＝2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
2．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点（如图所示），点D在二次函数的图象上，且D与C关于对称轴对称，一次函数的图象过点B、D；
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数的解析式；
（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
【分析】根据二次函数的特点求出点C的坐标，再根据对称轴为x＝﹣1，由抛物线的对称性得到点D的坐标；
根据一次函数的特点列出方程组求出解析式．
【解答】解：（1）由y＝﹣x2﹣2x+3得到C（0，3），
而对称轴为x＝﹣1，由抛物线的对称性知：D（﹣2，3）；
（2）设过点B（1，0）、D（﹣2，3）的一次函数为y＝kx+b
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+1．
（3）当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值大于二次函数值．
【点评】本题综合考查一次函数与二次函数的图象的特点．利用待定系数法求出解析式．
类型2 二次函数的性质在解题中的应用
例2-1．函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m．
（1）当点A（﹣1，0）在函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m的图象上时，求函数图象与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；
（2）当﹣1≤m≤3时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣2x+m2﹣4m，求出m的值，求解一元二次方程即可；
（2）把顶点纵坐标看成关于m的二次函数，然后根据二次函数图象性质，在﹣1≤m≤3范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：1﹣2×（﹣1）+m2﹣4m＝0，即m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1或m＝3；
当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；
当m＝3时，y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴函数图象与x轴的另一个交点的坐标为（3，0）；
（2）∵y＝x2﹣2x+m2﹣4m＝（x﹣1）2+m2﹣4m﹣1的顶点坐标为（1，m2﹣4m﹣1），
设函数y′＝m2﹣4m﹣1，
∵y′＝（m﹣2）2﹣5，
∴函数y′＝m2﹣4m﹣1，关于直线m＝2对称，
∵1＞0，
∴当m＜2时，y′随m的增大而减小，
当m＞2时，y′随m的增大而增大，
当m＝2时，函数y′＝m2﹣4m﹣1有最小值为﹣5，
∵|﹣1﹣2|＞|3﹣2|，
∴m＝﹣1时，函数y′＝m2﹣4m﹣1有最大值为（﹣1﹣2）2﹣5＝4，
∴当﹣1≤m≤3时，函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m顶点纵坐标的取值范围是﹣5≤y≤4，
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
例2-2．定义新运算：对于任意实数m、n都有 m*n＝m2﹣mn．
例如：﹣2*2＝（﹣2）2﹣（﹣2）×2＝8，根据以上知识解决下列问题：
求抛物线y＝（x+2）*（﹣2）的顶点坐标．
【分析】利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案．
【解答】解：根据题意知，
y＝（x+2）2﹣（﹣2）（x+2）＝x2+4x+4+2x+4＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，
∴顶点坐为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标，解题的关键是掌握新定义运算法则．
针对训练2
1．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得m的值；
（2）首先将a的值代入得到二次函数的解析式，然后将点P的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根据PQ∥x轴得到点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，从而求得点Q的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2或x＝0，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
∴S△PQO＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求得点P的坐标，另外还应了解平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同．
2．已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣1．
（1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为y轴，求它与x轴的交点坐标．
【分析】（1）根据根的判别式求出即可；
（2）根据对称轴得出方程，求出k即可，再令y＝0，进而可以得解．
【解答】（1）证明：∵y＝x2﹣2kx﹣1，
∴Δ＝4k2+4＞0，
∴无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）解：∵此二次函数图象的对称轴为y轴，y＝x2﹣2kx﹣1，
∴﹣＝0．
解得：k＝0，
∴二次函数的解析式是y＝x2﹣1．
令y＝0，
∴x2﹣1＝0．
∴x＝±1．
∴与x轴的交点为（1，0），（﹣1，0）．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质和抛物线与x轴的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
类型3 二次函数的平移在解题中的应用
例3-1．已知二次函数y＝﹣mx2+2mx﹣3（m≠0）．
（1）若该二次函数的最小值为﹣4，求该二次函数解析式；
（2）当m＜0且n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤5﹣n，求n的值；
（3）在（1）的条件下，将此二次函数平移，使平移后的图象经过（1，0）．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝﹣m（x﹣h）2+2mx+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【分析】（1）利用配方法即可解决问题；
（2）转化为方程组即可解决问题；
（3）根据平移的性质可知，m＝﹣1，利用二次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵y＝﹣mx2+2mx﹣3＝﹣m（x﹣1）2+m﹣3有最小值为﹣4，
∴，
解得：m＝﹣1，
此时该二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为x＝1＞0，且m＜0，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小．
又∵n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣6≤y≤5﹣n，
∴，
解得m＝﹣3，n＝﹣1或n＝（舍去）．
（3）由（1）可知，m＝﹣1，y＝（x﹣h）2﹣2x+k，
∵平移后的图象经过（1，0），
∴0＝（1﹣h）2﹣2+k，即k＝2﹣（1﹣h）2，
∴y＝（x﹣h）2﹣2x+2﹣（1﹣h）2＝x2﹣（2h+2）x+1+2h，
∴对称轴x＝1+h，
∵当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴1+h≥2，
∴h≥1，∵k＝2﹣（1﹣h）2，
∴k≤2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．
例3-2．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+m．
（1）若该二次函数的最大值为2m，求m的值；
（2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图象与x轴有2个交点，求m的取值范围．
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4，则m+4＝2m，解之即可；
（2）求出平移后的解析式为y＝﹣x2+m，根据题意结合二次函数图象的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则m＞0．
【解答】解（1）∵二次函数解析式为y＝﹣x2﹣4x+m＝﹣（x+2）2+m+4，
∴当x＝﹣2时，二次函数有最大值m+4，
∵该二次函数的最大值为2m，
∴m+4＝2m，
∴m＝4；
（2）把二次函数y＝﹣（x+2）2+m+4向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为y＝﹣（x+2﹣2）2+m+4﹣4＝﹣x2+m，
∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下，
∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，
∴m＞0．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
针对训练3
1．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
【分析】（1）把点P（2，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣3（a＞0）可得b＝﹣2a，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点Q（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，可得：a＝1，可得抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得x1+x2＝2，，结合，4＜x2﹣x1＜6，再建立不等式组求解即可．
【解答】解：（1）∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【点评】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴，一次函数y＝kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且点A坐标为（﹣4，4）．平行于x轴的直线l过（0，﹣1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象即直线AB交y轴于点F．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？
【分析】（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y＝ax2，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；
（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可；
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为直线x＝2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x＝2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．
【解答】解：（1）把A（﹣4，4）代入y＝kx+1，
则4＝﹣4k+1，
得：k＝﹣，
故一次函数的解析式为y＝﹣x+1；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y＝ax2，
把A（﹣4，4）代入y＝ax2
得a＝，
故二次函数解析式为y＝x2．
（2）以线段AB为直径的圆与直线l相切，
证明：如图1所示：过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，
则AA′＝4+1＝5，BB′＝+1＝，
故直角梯形AA'B'B的中位线长为＝，
过B作BH垂直于直线AA'于点H，
则BH＝A'B'＝5，AH＝4﹣＝，
∴AB＝＝，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．
（3）如图2所示：平移后二次函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣t，
令y＝0，得（x﹣2）2﹣t＝0，x1＝2﹣2，x2＝2+2，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，
点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x＝2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE＝1，
在△CEM中，ME＝＝，
∴MN＝2，而MN＝|x2﹣x1|＝4，
∴t＝，
∴当t＝时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、二次函数的平移、勾股定理，二次函数的最值、解二元二次方程组等知识点的理解和掌握，解决问题的关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式，梯形的中位线等于上下底之和的一半，同时掌握二次函数平移的规律：上加下减，左加右减．
类型4 二次函数图像上点的坐标特征在解题中的应用
例4-1．已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0），其图象交y轴于点M（0，﹣3）．
（1）若它的图象过点（1，﹣4），求t的值；
（2）如果A（m，a），B（m﹣2，a），C（4，b）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜4．求m的取值范围．
【分析】（1）先求出c＝﹣3，再将点（1，﹣4）代入抛物线y＝x2﹣2tx﹣3求出t值即可；
（2）根据二次函数对称性得到m＝t+1，在根据b＜4得到16﹣8t﹣3＜4求出m＝t+1，则点B、A到抛物线对称轴距离比点C近，将对称轴t分两种情况讨论得出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2tx+c（t＞0）图象交y轴于点M（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
将点（1，﹣4）代入抛物线y＝x2﹣2tx﹣3得：1﹣2t﹣3＝﹣4，
解得：t＝1；
（2）A（m，a），B（m﹣2，a）两点纵坐标相等，
根据二次函数对称性可知：，即m＝t+1，
将点C（4，b）代入y＝x2﹣2tx+c得：16﹣8t﹣3＝b，
∵b＜4，
∴16﹣8t﹣3＜4，解得t＞，
∴m＝t+1，
∵抛物线开口向上，a＜b＜4，
∴点B、A到抛物线对称轴距离比点C近，
当t＞4时，即m＝t+1＞5，只需满足m﹣2＞4，整理得m＞6；
当0＜t＜4时，即0＜m﹣1＜4，则1＜m＜5，只需满足m＜4，此时整理为：1＜m＜4．
综上分析，m的取值范围是：或m＞6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键．
例4-2．在平面直角坐标系xOy中，点M（1，m），是抛物线y＝a（x﹣t）2（a＞0）上的两点（M，N不重合）．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若点P（x0，p）在抛物线上，且对于t+1＜x0＜t+2都有n＜p＜m，求t的取值范围．
【分析】（1）由m＝n可得对称轴是直线x＝t＝，解得t＝；
（2）由a＞0，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案．
【解答】解：（1）由题意，∵m＝n，且抛物线过点M（1，m），，
∴对称轴是直线x＝t＝．
∴t＝；
（2）∵抛物线y＝a（x﹣t）2（a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∵点P（x0，p）在抛物线上，且t+1＜x0＜t+2，
∴点P（x0，p）在对称轴的右侧，
∴点P（x0，p）关于对称轴的对称点为（2t﹣x0，p），
①当t≤0时，
∵n＜p＜m，
∴，
∴﹣2≤t≤﹣1；
②当t＞0时，
t+2＞1，则p＞m，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是﹣2≤t≤﹣1．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握a＞0时，离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小．
针对训练4
1．已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．
（1）当m＝2时，求a和b的值；
（2）若二次函数的图象经过点A（﹣n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜1时，求n的取值范围；
（3）求证：b2+4a＝0．
【分析】（1）当m＝2时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（﹣2，0）和（6，0），用待定系数法可得a，b的值；
（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝﹣，根据﹣2＜m＜1，即得﹣2＜n＜4；
（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把 （﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．
【解答】（1）解：当m＝2时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（﹣2，0）和（6，0），
把（﹣2，0）和（6，0）代入解析式得：，
∴解得，
∴a＝，b＝1；
（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m，
∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（﹣n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，
∴由图象的对称性得﹣n＝2m，且n≠0，
∴，
∵﹣2＜m＜1，
∴，
∴﹣2＜n＜4，
∴n的取值范围为﹣2＜n＜4且n≠0；
（3）证明∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴b＝﹣2am，
∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1），
∵点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上，
∴，
①×3+②得：12am2+12＝0，
∴am2+1＝0，
∴b2+4a＝4a×0＝0．
【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值；
（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）根据抛物线的对称性得到＝2，即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
∴对称轴是直线x＝﹣＝2，
∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，
∴（5，n），（m，n）是对称点，
∴＝2，
解得m＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
类型5 二次函数图像上的线段在解题中的应用
例5-1．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y＝x+2与该二次函数的图象交于点A，B，其中A在y轴上．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一点（A，B两端点除外），过点P作x轴的垂线，与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为m，点P的横坐标为x，求出m与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）线段AB上是否存在一点P，使（2）中的线段PQ的长等于5？请说明理由．
【分析】（1）直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2，则A（0，2），由抛物线的顶点为（2，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，再用待定系数法求出a的值即可；
（2）用含x的代数式分别表示点P、点Q的坐标，其纵坐标的差的绝对值即可表示线段PQ的长；由直线的解析式与抛物线的解析式组成方程组，解方程组求出点B的坐标，再由点P为线段AB上一点且不与点A、点B重合，求出自变量的取值范围；
（3）由二次函数的性质可证明m的最大值小于5，说明线段AB上不存在点P，使（2）中线段PQ的长等于5．
【解答】解：（1）直线y＝x+2，当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
由题意可知，抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，
∵抛物线y＝a（x﹣2）2经过点A（0，2），
∴4a＝2，
解得，a＝，
∴此二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2，
即y＝x2﹣2x+2．
（2）∵点P的横坐标为x且PQ与x轴垂直，
∴P（x，x+2），Q（x，x2﹣2x+2），
∵点P在点Q上方，
∴PQ＝x+2﹣（x2﹣2x+2）＝x2+3x，
∴m＝x2+3x；
由，得，，
∴B（6，8），
∵P为线段AB上一点且不与点A（0，2）、B（6，8）重合，
∴点P的横坐标x的取值范围是0＜x＜6．
（3）不存在．
理由：∵m＝x2+3x＝（x﹣3）2+，
∴m的最大值为，
∴PQ＜5，
∴线段AB上不存在点P，使（2）中线段PQ的长等于5．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数的解析式、根据几何图形的意义求函数解析式等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题．
针对训练5
1．如图，二次函数y＝ax2的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于A（﹣2，2），B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），Q（4，t+3）分别为线段CD和BD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）指出二次函数中，函数y随自变量x增大或减小的情况；
（3）当SR＝2RP时，求t的值；
（4）当S△BRQ＝15时，求t的值．
【分析】（1）将A点的坐标分别代入直线和抛物线中，即可求得两函数的解析式，然后联立两函数可求出B点坐标；
（2）可根据抛物线的对称轴和开口方向进行判断；
（3）可分别求出当x＝t时，S，R的纵坐标，RP为R的纵坐标，SR为S，R的纵坐标差的绝对值，据此可求出t的值．（也可理解为SR为当x＝t时，两函数的函数值的差，据此可列出关于t的方程，可求出t的值）；
（4）本题可先求出BQ的长，然后根据R、B的横坐标求出△BRQ底边BQ上的高，由此可得出关于三角形BRQ的面积与t的函数关系式，将S＝15代入函数式中即可求出t的值．
【解答】解：（1）由题意知点A（﹣2，2）在y＝ax2的图象上，又在y＝x+b的图象上所以得
2＝a（﹣2）2和2＝﹣2+b，
∴a＝，b＝4．
∴一次函数的解析式为y＝x+4．
二次函数的解析式为y＝x2．
由，
解得或，
所以B点的坐标为（4，8）．
（2）对二次函数y＝x2：
当x＜0时，y随自变量x的增大而减小；
当x＞0时，y随自变量x的增大而增大．
（3）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x＝t，
由得，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由得，
所以点R的坐标（t，t2）．
所以SR＝t+4﹣t2，RP＝t2．
由SR＝2RP得t+4﹣t2＝2×t2，
解得t＝﹣或t＝2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以﹣2≤t≤4，
所以t＝﹣或t＝2．
（4）因BQ＝8﹣（t+3）＝5﹣t，点R到直线BD的距离为4﹣t，
所以S△BPQ＝（5﹣t）（4﹣t）＝15．
解得t＝﹣1或t＝10．
因为﹣2≤t≤4，
所以t＝﹣1．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形面积的求法、函数图象交点等重要知识点．综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长；
②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．
【分析】（1）根据已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0）代入即可求解；
（2）①求出C坐标及BC解析式，根据过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，即可用含m的带上书表示出P和D的坐标，进而求解；
②用含m的代数式表示出△PBC的面积，可得S是关于m的二次函数，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，
∴y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，
∴3a＝3，即a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①由y＝x2﹣4x+3可知，对称轴为直线x＝2，点C（0，3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入直线BC解析式y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线BC解析式为：yBC＝﹣x+3．
设P（m，m2﹣4m+3），
∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m；
②S△PBC＝S△CPD+S△BPD
＝OB PD
＝﹣m2+m
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S有最大值．
当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣．
∴P（，﹣）．
∴△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
类型6 二次函数图像上的三角形在解题中的应用
例6-1．如图，已知抛物线，等边△ABC的边长为，顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当△ABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是：　（2﹣，0），（2+，0），（2，﹣6）　．
【分析】根据等边三角形的边长解直角三角形求出等边三角形的高为3，然后分①点B在x轴上时，点A的坐标为纵坐标为3，代入抛物线解析式求出点A的横坐标，根据等边三角形的性质，然后利用等边三角形的性质解答即可；②点B在y轴上时，点A的横坐标为等边三角形边长的一半，即，然后代入抛物线解析式求出点A的纵坐标，再向下3个单位长度即为点C的纵坐标，点C的横坐标的长度等于等边三角形的边长，写出即可．
【解答】解：∵等边△ABC的边长为，
∴高线AD＝2×＝3，边长的一半为，
①如图1，点B在x轴上时，点A的纵坐标为3，
∵点A在抛物线上滑动，
∴x2﹣2x＝3，
整理得，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝＝＝±，
当x＝﹣时，﹣+＝2﹣，
此时，点C的坐标为（2﹣，0），
当x＝+时，++＝2+，
此时，点C的坐标为（2+，0）；
②如图2，点B在y轴上时，点A的横坐标等于等边三角形边长的一半，为，
∵点A在抛物线上滑动，
∴2﹣2×＝3﹣6＝﹣3，
﹣3﹣3＝﹣6，
所以点C的坐标为（2，﹣6），
综上所述，点C的坐标为（2﹣，0），（2+，0），（2，﹣6）．
故答案为：（2﹣，0），（2+，0），（2，﹣6）．
【点评】本题综合考查了二次函数问题，等边三角形的性质，难点在于要分点在x轴上与y轴上两种情况讨论求解．
针对训练6
1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，已知OB＝OC．
（1）求a，b的值；
（2）若点P是第一象限抛物线上一点．
（Ⅰ）如图2，连接BC，PB，PC，若△PBC的面积为3，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图3，DE是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线BP与直线DE交于点G，△AEF的面积为S1，△BEG的面积为S2，判断S1+S2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据二次函数解析式可以确定点C（0，3），根据OB＝OC，确定点B（3，0），设出二次函数交点式，代入B和C坐标，即可确定a的值，进而得出答案；
（2）（ⅰ）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），从而表示出PQ的长，利用三角形的面积公式得到关于t的方程，解答即可；
（ⅱ）f分别求出直线AP的解析式和直线BG的解析式，将x＝1分别代入两个一次函数解析式，从而确定EF和EG的长，进而把两个三角形面积表示出来，再相加即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∴可设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入，得3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴a＝﹣1，b＝2；
（2）设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），
（ⅰ）过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，
由点B（3，0），C（0，3），
可知：直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则点Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴，
整理得：t2﹣3t+2＝0，
解得：t1＝1，t2＝2，
当t1＝1时，﹣t2+2t+3＝4；
当t2＝2时，﹣t2+2t+3＝3，
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）；
（ⅱ）S1+S2为定值，理由如下：
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），代入A（﹣1，0），P（t，﹣t2+2t+3），
得：
解得：
∴直线AP的解析式为y＝（﹣t+3）x﹣t+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
把x＝1代入y＝（﹣t+3）x﹣t+3，
得：y＝﹣2t+6，
∴点F的坐标为（1，﹣2t+6），
∴EF＝﹣2t+6，
设直线BG的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0），
代入B（3，0），P（t，﹣t2+2t+3），
得：
解得：
∴直线BG的解析式为y＝（﹣t﹣1）x+3t+3，
把x＝1代入y＝（﹣t﹣1）x+3t+3，
得：y＝2t+2，
∴点G的坐标为（1，2t+2），
∴EG＝2t+2，
∴，
即S1+S2为定值，该定值为8．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握学会用转化思想求三边均不与坐标轴平行的三角形的面积的方法．
2．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，3）两点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA＝PB时，求点P的坐标；
（3）已知BM⊥AB，BM与抛物线相交于点M，连接OM，若S△BOM＝nS△BOA，求n的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式，即可得到顶点C的坐标；
（2）设P（1，t），表达PB和PA的长，由PA＝PB，建立方程求解即可；
（3）延长BM交x轴于N，设N（m，0），利用勾股定理求出m＝9，设直线BN的解析式为y＝kx+h，求出直线BM的解析式，联立二次函数，求解得出点M的坐标，根据n＝＝即可求解．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得，
抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
顶点C的坐标为（1，4）；
（2）设P（1，t），则PB2＝12+（3﹣t）2＝t2﹣6t+10，PA2＝22+t2＝t2+4，
当PA＝PB时，t2﹣6t+10＝t2+4，
解得t＝1，
∴P（1，1）；
（3）如图，连接AB，延长BM交x轴于N，
设N（m，0），
在Rt△ABN中，AN2＝AB2+BN2，
即（m+1）2＝32+12+32+m2，
解得m＝9，
∴N（9，0），
设直线BN解析式为y＝kx+h，
代入B（0，3），N（9，0），得，
解得，
∴BM的解析式为y＝﹣x+3，
联立，
解得（舍去）或，
∴M（，），
∴n＝＝＝．
【点评】本题考查了二次函数的几何应用，二次函数线段问题与二次函数面积问题，勾股定理需要数形结合，难度较大．
类型7 二次函数图像上的四边形在解题中的应用
例7-1．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，3）为二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与反比例函数在第一象限的交点，已知该抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）交x轴正负半轴分别于E点、D点，交y轴负半轴于B点，且tan∠ADE＝．
（1）求二次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点M为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点D、M、B、E，求四边形DMBE面积的最大值；
（3）在（2）中四边形DMBE面积最大的条件下，过点M作MH⊥x轴于点H，交EB的延长线于点F，Q为线段HF上一点，且点Q到直线BE的距离等于线段OQ的长，求Q点的坐标．
【分析】（1）把A（2，3）代入反比例函数的解析式即可求出k的值；由条件tan∠ADE＝可求出D的坐标，把A和D点的坐标代入到y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中求出a和b的值即可去吃二次函数的解析式；
（2）过M作MH⊥DE于H，设M的坐标为（a，a2+a﹣2），由题意可知S四边形DMBE＝S△DHM+S四边形HOBM+S△OEB，进而得到S和a的二次函数关系，由函数的性质即可求出四边形DMBE面积的最大值；
（3）首先由抛物线的解析式可求出抛物线的对称轴，设过EB的直线为y＝kx+b，由E和B的坐标即可求出其解析式，再通过△QPE∽△EHF，得到，进而求出b的值，又Q在线段HF上，所以Q点的坐标可求出．
【解答】解：（1）将A（2，3）代入中，
解得：k＝6，
∴，
又∵且tan∠ADE＝，
∴D（﹣4，0），
将A，D代入y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中得：，
解得：，
∴y＝x2+x﹣2；
（2）过M作MH⊥DE于H，设M的坐标为（a，a2+a﹣2），
则S四边形DMBE＝S△DHM+S四边形HOBM+S△OEB，
＝，
＝+1＝2MH﹣a+1，
＝2（﹣a2﹣a+2）﹣a+1，
＝﹣a2﹣4a+5，
＝﹣（a+2）2+9，
∴当a＝﹣2时，四边形DMBE的面积最大为9；
（3）∵y＝x2+x﹣2，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣，
∴点E的坐标为（1，0），
又∵B（0，﹣2），
∴EB的解析式为y＝2x﹣2，
∴F的坐标为（﹣2，﹣6），
∴EF＝＝3，
设Q（﹣2，b），
∴FQ＝b+6，QP＝OQ＝，
∵△QPF∽△EHF，
∴，
∴，
∴20+5b2＝（b+6）2，
∴b2﹣3b﹣4＝0，
∴b1＝4（舍），b2＝﹣1，
又∵Q在线段HF上，
∴Q（﹣2，﹣1）．
【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数、一次函数、反比例函数的解析式以及各种函数的性质和相似三角形的判定及其性质和一元二次方程的求解，题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．
针对训练7
1．已知：将函数的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数图象．
（1）写出这个新的函数的解析式；
（2）若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于O，A两点，与直线交于C，B两点．试判断以A，B，C，O四点为顶点四边形状，并说明理由；
（3）若（2）中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数的图象一部分，求满足条件的实数b的取值范围．
【分析】（1）根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的直线解析式．
（2）根据（1）题所得直线解析式，可求得A点坐标；易求得B、C的坐标，由于四边形OABC的对边都平行，因此四边形OABC首先是个平行四边形，根据A、B的坐标可求得AB＝2＝OA，由此可证得四边形OABC是菱形．
（3）将所给的抛物线解析式化为顶点式，可得：y＝（x﹣b）2+，由于b值不确定，因此该函数的顶点在直线y＝上左右移动；求四边形覆盖二次函数时b的取值范围，可考虑两种情况：
①当抛物线对称轴右侧图象经过点B时，b的值；
②当抛物线对称轴左侧图象经过点A时，b的值；
联立上述两种情况下b的取值即可求得实数b的取值范围．
【解答】解：（1）y＝x+2．
（2）四边形AOCB为菱形；理由如下：
由题意可得：AB∥CO，BC∥AO，AO＝2，
∴四边形AOCB为平行四边形，易得A（0，2），B（﹣，1）；
由勾股定理可得：AB＝2，
∴AB＝AO，故平行四边形AOCB是菱形．
（3）二次函数y＝x2﹣2bx+b2+化为顶点式为：y＝（x﹣b）2+，
∴抛物线顶点在直线y＝上移动；
假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B点和A点分别是二次函数与四边形接触的边界点；
将B（﹣，1）代入二次函数，
解得b＝﹣﹣，b＝﹣+（不合题意，舍去）；
将A（0，2）代入二次函数，
解得b＝，b＝﹣（不合题意，舍去）；
所以实数b的取值范围：﹣﹣＜b＜．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移、平行四边形及菱形的判定、函数图象上点的坐标意义等知识，（3）题中，能够正确的判断出抛物线的移动范围是解决问题的关键．
2．如图①，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣3，0）、B（2，0），与y轴交于点C，点D是OC的中点，点P是抛物线上的一个动点．
（1）直接写出点D的坐标 　（0，2）　；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）当PC∥AB时，求四边形ABCP的面积；
（4）如图②，过点P作直线BD的垂线，垂足为M．以PM为对角线作正方形PQMN，当点Q落在抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴上时，请直接写出点P的横坐标．
【分析】（1）点D是OC的中点，令x＝0，代入y＝ax2+bx+4，可知，C（0，4），进而求解．
（2）用待定系数法可得抛物线的表达式．
（3）根据梯形面积公式得四边形ABCP的面积为12．
（4）分情况讨论，①当P在对称轴左侧时，延长MP交x轴与T，②当P在对称轴右侧时，进而求解．
【解答】解：（1）令x＝0，代入y＝ax2+bx+4，
可知，C（0，4），
∵点D是OC的中点，
∴D的坐标（0，2）．
故答案为：D（0，2）．
（2）把A（﹣3，0）、B（2，0），代入y＝ax2+bx+4，
得，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+4．
（3）在y＝﹣x2﹣x+4中，令y＝4，得4＝﹣x2﹣x+4，
解得x＝0，x＝﹣1，
∴P（﹣1，4），
∴CP＝1，OC＝4，
∵A（﹣3，0）、B（2，0），
∴AB＝5，
∴（CP+AB） OC＝×（1+5）×4＝12，
∴四边形ABCP的面积为12．
（4）①当P在对称轴左侧时，延长MP交x轴与T，
由y＝﹣x2﹣x+4可得抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∵B（2，0），D（0，2），
∴OB＝OD，直线BD的解析式为y＝﹣x+2，
∴∠DBO＝45°，
∵∠TMB＝90°，
∴∠MTB＝45°，
∵四边形PQMN为正方形，
∴∠MPQ＝45°，
∴PQ∥BT，
∵MQ⊥PQ，
∴MQ⊥BT，即MQ⊥x轴，
∵抛物线对称轴直线x＝﹣垂直x轴，
∴MQ∥直线x＝﹣，
∴当Q在直线x＝﹣上时，M也在直线x＝﹣上，
由，
得，
∴M（﹣，），
设P（m，），则Q（﹣，），
∵MQ＝PQ，
∴＝﹣﹣m，
解得m＝（舍去）或m＝﹣3，
②当P在对称轴右侧时，
同理可知M（﹣），
设P（n，），则Q（﹣，﹣），
∵MQ＝PQ，
∴（﹣）﹣＝n﹣（﹣），
解得n＝或n＝﹣3（舍去），
∴此时P的横坐标为或﹣3（舍去），
综上所述，P的横坐标为或﹣3，
【点评】本题考查了二次函数的应用，设计待定系数法，梯形面积等知识，解题关键在于分类讨论思想的应用．
类型8 二次函数的最值在解题中的应用
例8-1．已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．
（1）a的值为 　44cm　；
（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？
【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a＝2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值即可；
（2）根据（1）中a的值，用x表示出y的值，利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．
【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm），
∴a＝2（x+y），
∵当x＝12时，y＝10，
∴a＝2（12+10）＝44．
故答案为：44cm；
（2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y），
∴y＝22﹣x，
∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0），
∴当x＝﹣＝11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）．
答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2．
【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与x之间的函数关系式是解题的关键．
针对训练8
1．已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为　（0，﹣1）　；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令x＝0，求得y＝﹣1，即可证得无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点（0，﹣1）；
（2）把x＝﹣1代入解析式，求得y＝0，故无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）当一次项系数为0时，二次函数的最值就是抛物线与y轴交点的纵坐标．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）图象一定经过y轴上一点（0，﹣1），
故答案为（0，﹣1）；
（2）把x＝﹣1代入y＝kx2+（k﹣1）x﹣1得，y＝k﹣k+1﹣1＝0，
∴无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）存在，
当k﹣1＝0，即k＝1时，函数为y＝x2﹣1，此时函数有最小值﹣1，
故当k＝1时，原函数存在最小值﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征适合解析式是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．
【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；
（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；
（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，
∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点C关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，
设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣2＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．
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